4、7一元二次方程的应用(1)
主备人王田刚
学习目标:
1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。
3.通过解决传播问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.
重点:列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题
难点:发现特殊图形问题中的等量关系
活动一问题:如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)
分析:封面的长宽之比是27∶21= ,中央的长方形的长
宽之比也应是,若设中央的长方形的长和宽分别是9acm
和,由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比
是 .
想一想,怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题?请你试一试。
活动2:典型例题,初步应用
例1.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度应是多少厘米?
例2.如图,某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是1442
m,求马路的宽.
例3.如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有
两横两竖的彩条(图中阴影部分),横、竖彩条的宽度比为
2:3,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,
应如何设计彩条的宽度(精确到0.1cm)
例4.用一根长cm
40的铁丝围成一个长方形,要求长方形的面积为2
75cm.
⑴求此长方形的宽是多少?
⑵能围成一个面积为1012
cm的长方形吗?如能,说明围法。
⑵若设围成一个长方形的面积为S(2
cm),长方形的宽为()
cm
x,求S与x的函数关系式,并求出当x为何值时,S的值最大?最大面积为多少?
活动3:归纳内化
活动4 巩固练习
1.在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少?
2.如图,利用一面墙(墙的长度不限),用20m
为502m
的矩形场地.
32m
20m
一元二次方程及根的定 义 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及 的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0; (2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, ,
, 所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以,
所以. (3)将原方程展开并整理得, 这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》同步练习2带答案 一、判断题(下列方程中,是一元二次方程的在括号内划“√”,不 是一元二次方程的,在括号内划“×”) 1.5x 2+1=0 ( ) 2 .3x 2+x 1+1=0 ( ) 3.4x 2=ax (其中a 为常数) ( ) 4.2x 2+3x =0 ( ) 5.5 132+x =2x ( ) 6.22)(x x + =2x ( ) 7 .|x 2+2x |=4 ( ) 二、填空题 1.一元二次方程的一般形式是__________. 2.将方程-5x 2+1=6x 化为一般形式为__________. 3.将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________. 4.方程2x 2=-8化成一般形式后,一次项系数为__________,常 数项为__________. 5.方程5(x 2-2x +1)=-32x +2的一般形式是__________,其 二次项是__________,一次项是__________,常数项是__________. 6.若ab ≠0,则a 1x 2+b 1x =0的常数项是__________. 7.如果方程ax 2+5=(x +2)(x -1)是关于x 的一元二次方程,则a __________. 8.关于x 的方程(m -4)x 2+(m +4)x +2m +3=0,当m __________时,
是一元二次方程,当m__________时,是一元一次方程. 三、选择题 1.下列方程中,不是一元二次方程的是_________. [ ] A.2x2+7=0 B.2x2+23x+1=0 1+4=0 C.5x2+ x D.3x2+(1+x) 2+1=0 2.方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是_________. [ ] A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0 3.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是_________. [ ] A.7x2,2x,0 B.7x2,-2x,无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,-2x,0 4.方程x2-3=(3-2)x化为一般形式,它的各项系数之和可能是_________. [ ] A.2 B.-2 C.3 2- D.3 + 1- 2 2 5.若关于x的方程(ax+b)(d-cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac,则常数项为_________. [ ] A.m B.-bd C.bd-m D.-(bd-m) 6.若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是_________. [ ] A.2 B.-2 C.0 D.不等于2
一元二次方程的应用专项练习60题(有答案) 1.某单位组织职工观光旅游,旅行社的收费标准是:如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元;如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元.该单位按旅行社的收费标准组团,结束后,共支付给旅行社2700元.求该单位这次共有多少人参加旅游? 2.4月7日国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009~20XX年》.某市政府决定用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元,并计划20XX年提高到7260万元.若从到20XX年每年的资金投入按相同的增长率递增,求到20XX年的平均增长率. 3.某商场按定价销售某种电器时,每台可获利48元,按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等, (1)该电器每台进价、定价各是多少元? (2)按(1)的定价该商场一年可销售这种电器1000台.经市场调查:每降低一元一年可多卖该种电器出10台.如果商场想在一年中使该种电器获利32670元,那么商场应按几折销售? 4. 5月1日,目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320元,其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用是每车380元,从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元.若设问这批货物有x车. (1)用含x的代数式表示每车从宁波港到B地的海上运费; (2)求x的值. 5.有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样大的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作成一个无盖的方盒.如果制成的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?>?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?>?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1 二次函数与一元二次方程同步练习题(含 答案) 北师大版九年级数学下册课时同步练习-2.8二次函数与一元二次方程(1)附答案 1.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 2.一元二次方程x2+7x+ 9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系? 试把方程的根在图象上表示出. 3.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0. 4.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B ,与x轴交于A, 两点. 求△AB的周长和面积. 5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处B点的坐标为 B(6,5). (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米). 6.如图,已知抛物线y=-x2+bx+与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求抛物线的代数表达式 ; (2) 设抛物线与y轴交于点,求直线B的表达式; (3)求△ AB的面积. 7.试用图象法判断方程x2+2x=- 的根的个数. 答案: 1.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0); (3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0), 草图略. 2.该方程的根是该函数的图象与直线y=1的交点的横坐标. 3.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6 4.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0, -3). 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1 ,x2=3. 故A、两点的坐标为(1,0),(3,0) . 所以A=3-1=2,AB= ,B= , B=│-3│=3. △AB=AB+ B+A= . S△AB= A•B= ×2×3=3. 5.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a= . 故y= (x-6)2+5 一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元? 三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度. 一元二次方程的应用 1.某地区2014年投入教育经费2500万元,2016年投入教育经费3025万元. (1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率; (2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2017年该地区将投入教育经费多少万元. 2.白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2014年达到82.8公顷. (1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率; (2)若年增长率保持不变,2015年该镇绿地面积能否达到100公顷? 3.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定位多少元? 4.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售. (1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示); (2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元? 5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多? 6.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具. (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把化简后的结果填写在表格中: 销售单价(元)x 销售量y(件) 销售玩具获得利润w(元) (2)在(1)问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元. 7.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽. 九年级数学下册一元二次方程同步练习题2含 答案 一·判断题(下列方程中,是一元二次方程的在括号内划“√”,不是一元二次方程的,在括号内划“×”) 1.5x 2+1=0 ( ) 2.3x 2+x 1+1=0 ( ) 3.4x 2=ax (其中a 为常数) ( ) 4.2x 2 +3x =0 ( ) 5.5 132+x =2x ( ) 6.2 2)(x x + =2x ( ) 7.|x 2+2x |=4 ( ) 二·填空题 1.一元二次方程的一般形式是__________. 2.将方程-5x 2+1=6x 化为一般形式为__________. 3.将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________. 4.方程2x 2=-8化成一般形式后,一次项系数为__________,常数项为__________. 5.方程5(x 2-2x +1)=-32x +2的一般形式是__________,其二次项是__________,一次项是__________,常数项是__________. 6.若ab ≠0,则 a 1x 2+b 1x =0的常数项是__________. 7.如果方程ax 2+5=(x +2)(x -1)是关于x 的一元二次方程,则a __________. 8.关于x 的方程(m -4)x 2+(m +4)x +2m +3=0,当m __________时,是一元二次方程,当 m __________时,是一元一次方程. 三·选择题 1.下列方程中,不是一元二次方程的是_________. [ ] A .2x 2 +7=0 B .2x 2+23x +1=0 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3). 分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算, ** 认识一元二次方程 一、填空题 1.某地开展植树造林活动,两年内植树面积由30万亩增加到42万亩,若设植树面积年平均增长率为x,根据题意列方程_________. 2.某商品成本价为300元,两次降价后现价为160元,若每次降价的百分率相同,设为x,则方程为_____________. 3.小明将500元压岁钱存入银行,参加教育储蓄,两年后本息共计615元,若设年利率为x,则方程为_____________. 4.已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为x,可得方程为_____________. 5.某高新技术产生生产总值,两年内由50万元增加到75万元,若每年产值的增长率设为x,则方程为___________. 6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,且不考虑利息税,到期后本息共计1320元,若设年利率为x,根据题意可列方程_____________. 7.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐月上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设一、二月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为_____________. 8.方程(4-x)2=6x-5的一般形式为_____________,其中二次项系数为_________,一次项系数为_________,常数项为_________. 9.如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程,那么a所满足的条件为___________. 10.如图1,将边长为4的正方形,沿两边剪去两个边长为x的矩形,剩余部分的面积为9,可列出方程为_____________,解得x=_________. 图1 一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台? (二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。 典型例题一 例 求证:如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根,那么,关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?,方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?,则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根, 01∴,即0404<+m ,解得:.10- 分析:运用根的判别式判定根的情况时,要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式,然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号,尤其是当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数,再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号,从而判定方程的根的情况,有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解:(1)),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. (2)0≠a , ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项,将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数,2b 均为非负数, 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. (3)0≠a , ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程,它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?, ∴需要讨论a 、c 的符号,才能确定?的符号. 当0=c 时,0=?,方程有两个相等的实数根; 当a 、c 异号时,0>?,方程有两个不相等的实数根; 当a 、c 同号时,0,方程没有实数根. 说明:运用一元二次方程的根的判别式时,必须先把方程化为一般形式,正确地确定各项系数,当方程系数有字母时,要注意对字母取值情况的讨论. 19.1一元二次方程 一、填空 1.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式 为: ,二次项系数为: ,一次项系数 为: ,常数项为: 。 2.关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一 次方程;当m 时为一元二次方程。 3.已知直角三角形三边长为连续整数,则它的三边长是 。 4. ++x x 32 +=x ( 2);-2x x (2=+ 2)。 5.直角三角形的两直角边是3︰4,而斜边的长是15㎝,那么这 个三角形的面积是 。 6.若方程02=++q px x 的两个根是2-和3,则q p ,的值分别 为 。 7.若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数,则x 的值 是 。 8.方程492=x 与a x =23的解相同,则a = 。 9.当t 时,关于x 的方程032=+-t x x 可用公式法求解。 10.若实数b a ,满足022=-+b ab a ,则b a = 。 11.若8)2)((=+++b a b a ,则b a += 。 12.已知1322++x x 的值是10,则代数式1642++x x 的值是 。 二、选择 1.下列方程中,无论取何值,总是关于x 的一元二次方程的是( ) (A )02=++c bx ax (B )x x ax -=+221 (C )0)1()1(222=--+x a x a (D )03 12=-+=a x x 2.若12+x 与12-x 互为倒数,则实数x 为( ) (A )±21 (B )±1 (C )± 2 2 (D )±2 3.若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根,且m ≠0,则 n m +的值为( ) (A )1- (B )1 (C )2 1- (D )21 4.关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0, 则下列条件正确的是( ) (A )0,0==n m (B )0,0≠=n m (C )0,0=≠n m (D )0,0≠≠n m 5.关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根,则( ) (A )k <0 (B )k >0 (C )k ≥0 (D )k ≤0 6.已知x 、y 是实数,若0=xy ,则下列说法正确的是( ) (A )x 一定是0 (B )y 一定是0 (C )0=x 或0=y (D )0=x 且0=y 7.若方程02=++c bx ax )0(≠a 中, c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ,则方程的根是( ) (A )1,0 (B )-1,0 (C )1,-1 (D ) 23.4 一元二次方程的应用 情境切入 学海导航 完全解读 知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤 列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点,究其原因是理论指导不充分,必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题,具体的步骤一般是:(1)审:审题要弄清已知量和未知量,问题中的等量关系; (2)设:设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异; (3)列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,列代数式表示相等关系中的各个量,即方程; (4)解:求出所列方程的解; (5)检验:检验方程的解是否正确,是否符合题意; (6)答:写出答案. 友情提醒:列方程解应用题应该注意的一些问题 (1)要注意各类应用题中常用的等量关系.例如面积问题中有关的面积公式,还要注 意挖掘题目中隐含的等量关系; (2)注意语言与代数表达式的互化.题目中有些条件是通过语言给出的,只有把它转 化成代数式才能为列方程服务;注意从语言叙述中写出等量关系; (3)注意单位问题:一是在设元时必须写清单位,用对单位,例如不要把速度单位写 成路程单位.二是在列方程时,要注意方程两边的单位必须一致. 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击:由题意,3月份的售价可以用50×(1—10%)表示,若设4、5月份两个月 平均涨价率为x ,则4月份的售价是50×(1—10%)×(1+x ),5月份的售价是50×(1—10%)×(1+x )(1+x )即50×(1—10%)×(1+x )2 ,由于5月份的售价已知,所以可列出一个方程,进而解决本题。 解:设4、5月份两个月平均涨价率为x ,由题意,得 50×(1—10%)×(1+x )2=64.8。整理,得(1+x )2=1.44. 解得:120.220%, 2.2x x ===-(不合题意,舍去)。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思:列方程解应用题,要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四 个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 思维点击:设截去正方形的边长x 厘米之后,关键在于列出底面(图示虚线部分)长和 宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽,不难得出这一代数式. 解:设截去正方形的边长为x 厘米,根据题意,得 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) a 根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间()n m ,外,即在区间两侧 12,x m x n <>,(图形分别如下)需满足的条件是 (1)0a >时,()()00f m f n ?? ?;(2)0a <时,()()0 f m f n >???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况: 若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n 解一元二次方程同步练习 一.选择题(共12小题) 1.一元二次方程2(x-2)2+7(x-2)+6=0的解为() A.x1=-1,x2=1B.x1=4,x2=3.5 C.x1=0,x2=0.5D.无实数解 2.将方程x2+8x+9=0配方后,原方程可变形为() A.(x+4)2=7B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=-9D.(x+8)2=7 3.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是()A.3B.2C.1D.0 4.已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根,则矩形的对角线的长为() A .6B.7C.D. 5.已知等腰△ABC的底边长为3,两腰长恰好是关于x的一元二次方程0.5kx2-(k+3)x+6=0的两根,则△ABC的周长为() A.6.5B.7C.6.5或7D.8 6.等腰三角形三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根,则k的值为() A.30B.34或30C.36或30D.34 7.关于x的一元二次方程x2+(a2-3a)x+a=0的两个实数根互为倒数,则a的值为()A.-3B.0C.1D.-3 或0 8.定义运算:a*b=2ab,若a、b是方程x2+x-m=0(m>0)的两个根,则(a+1)*b+2a的 值为() A.m B.2-2m C.2m-2D.-2m-2 9.若整数a既使得关于x的分式方程有非负数解,又使得关于x的方程x2-x+a+6=0无解,则符合条件的所有a的个数为() A.1B.2C.3D.4 10.已知m,n(m≠n)满足方程x2-5x-1=0,则m2-mn+5n=() A.-23B.27C.-25D.25 11.若整数a使得关于x的一元二次方程(a+2)x2+2ax+a-1=0有实数根,且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解,则符合条件的整数a的个数为()A.3B.4C.5D.6 12.设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,记S1=x1+2011x2,S2=x12+2011x22,…,Sn=x1n+2011x2n,则aS2012+bS2011+cS2010的值为() A.0B.2010C.2011D.2012 二.填空题(共5小题) 13.方程(x-1)(x+2)=0的解是. 14.已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8.则x2+y2的值为 15.已知a、b是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则a2+ab+2a的值为. 16.若关于x的方程x2-4|x|+3-m=0有4个不相等的实数根,则m的取值范围是. 17.若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为. 1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元. 一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此,一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读,再填空解题: (1)方程:x2-4x-12=0 的根是:x 1=6, x 2 =-2,则x 1 +x 2 =4,x 1 ·x 2 =-12; (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x 1= 1 2 , x 2 =3,则x 1 +x 2 = 7 2 ,x 1 ·x 2 = 3 2 ; (3)方程3x2+6x-2=0的根是:x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = , x 1·x 2 = ; 根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0且a、b、c为常数)的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系?请写出来你的猜想并说明理由。 解析:方程3x2+5x-2=0的根是:x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -,x1·x2= 2 3 -。 能猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数) 的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下: 根据求根公式可知,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c 为常数)的两根为: a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和,等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数所得的商.一元二次方程应用题——分类
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