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4、7一元二次方程的应用(1)

4、7一元二次方程的应用(1)
4、7一元二次方程的应用(1)

4、7一元二次方程的应用(1)

主备人王田刚

学习目标:

1.能根据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.

2.经历将实际问题抽象为代数问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。

3.通过解决传播问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识.

重点:列一元二次方程解有关特殊图形问题的应用题

难点:发现特殊图形问题中的等量关系

活动一问题:如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的阴影边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?(精确到0.1cm)

分析:封面的长宽之比是27∶21= ,中央的长方形的长

宽之比也应是,若设中央的长方形的长和宽分别是9acm

和,由此得上下边衬与左右边衬的宽度之比

是 .

想一想,怎样设未知数可以更简单的解决上面的问题?请你试一试。

活动2:典型例题,初步应用

例1.要为一幅长29cm,宽22cm的照片配一个镜框,要求镜框的四条边宽度相等,且镜框所占面积为照片面积的四分之一,镜框边的宽度应是多少厘米?

例2.如图,某小区规划在一个长为40米、宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽度的马路,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种草.若使每一块草坪的面积都是1442

m,求马路的宽.

例3.如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有

两横两竖的彩条(图中阴影部分),横、竖彩条的宽度比为

2:3,如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一,

应如何设计彩条的宽度(精确到0.1cm)

例4.用一根长cm

40的铁丝围成一个长方形,要求长方形的面积为2

75cm.

⑴求此长方形的宽是多少?

⑵能围成一个面积为1012

cm的长方形吗?如能,说明围法。

⑵若设围成一个长方形的面积为S(2

cm),长方形的宽为()

cm

x,求S与x的函数关系式,并求出当x为何值时,S的值最大?最大面积为多少?

活动3:归纳内化

活动4 巩固练习

1.在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少?

2.如图,利用一面墙(墙的长度不限),用20m

为502m

的矩形场地.

32m

20m

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及 的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0; (2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, ,

, 所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以,

所以. (3)将原方程展开并整理得, 这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

21.1 一元二次方程 同步练习题2 含答案

人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》同步练习2带答案 一、判断题(下列方程中,是一元二次方程的在括号内划“√”,不 是一元二次方程的,在括号内划“×”) 1.5x 2+1=0 ( ) 2 .3x 2+x 1+1=0 ( ) 3.4x 2=ax (其中a 为常数) ( ) 4.2x 2+3x =0 ( ) 5.5 132+x =2x ( ) 6.22)(x x + =2x ( ) 7 .|x 2+2x |=4 ( ) 二、填空题 1.一元二次方程的一般形式是__________. 2.将方程-5x 2+1=6x 化为一般形式为__________. 3.将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________. 4.方程2x 2=-8化成一般形式后,一次项系数为__________,常 数项为__________. 5.方程5(x 2-2x +1)=-32x +2的一般形式是__________,其 二次项是__________,一次项是__________,常数项是__________. 6.若ab ≠0,则a 1x 2+b 1x =0的常数项是__________. 7.如果方程ax 2+5=(x +2)(x -1)是关于x 的一元二次方程,则a __________. 8.关于x 的方程(m -4)x 2+(m +4)x +2m +3=0,当m __________时,

是一元二次方程,当m__________时,是一元一次方程. 三、选择题 1.下列方程中,不是一元二次方程的是_________. [ ] A.2x2+7=0 B.2x2+23x+1=0 1+4=0 C.5x2+ x D.3x2+(1+x) 2+1=0 2.方程x2-2(3x-2)+(x+1)=0的一般形式是_________. [ ] A.x2-5x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x2+5x-5=0 D.x2+5=0 3.一元二次方程7x2-2x=0的二次项、一次项、常数项依次是_________. [ ] A.7x2,2x,0 B.7x2,-2x,无常数项 C.7x2,0,2x D.7x2,-2x,0 4.方程x2-3=(3-2)x化为一般形式,它的各项系数之和可能是_________. [ ] A.2 B.-2 C.3 2- D.3 + 1- 2 2 5.若关于x的方程(ax+b)(d-cx)=m(ac≠0)的二次项系数是ac,则常数项为_________. [ ] A.m B.-bd C.bd-m D.-(bd-m) 6.若关于x的方程a(x-1)2=2x2-2是一元二次方程,则a的值是_________. [ ] A.2 B.-2 C.0 D.不等于2

一元二次方程的应用专项练习60题(有答案)

一元二次方程的应用专项练习60题(有答案) 1.某单位组织职工观光旅游,旅行社的收费标准是:如果人数不超过25人,人均旅游费用为100元;如果超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不得低于70元.该单位按旅行社的收费标准组团,结束后,共支付给旅行社2700元.求该单位这次共有多少人参加旅游? 2.4月7日国务院公布了《医药卫生体制改革近期重点实施方案(2009~20XX年》.某市政府决定用于改善医疗卫生服务的经费为6000万元,并计划20XX年提高到7260万元.若从到20XX年每年的资金投入按相同的增长率递增,求到20XX年的平均增长率. 3.某商场按定价销售某种电器时,每台可获利48元,按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等, (1)该电器每台进价、定价各是多少元? (2)按(1)的定价该商场一年可销售这种电器1000台.经市场调查:每降低一元一年可多卖该种电器出10台.如果商场想在一年中使该种电器获利32670元,那么商场应按几折销售? 4. 5月1日,目前世界上最长的跨海大桥﹣﹣杭州湾跨海大桥通车了.通车后,苏南A地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从宁波港运到B地.若有一批货物(不超过10车)从A地按外运路线运到B地的运费需8320元,其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用是每车380元,从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是:一车800元,当货物每增加1车时,每车的海上运费就减少20元.若设问这批货物有x车. (1)用含x的代数式表示每车从宁波港到B地的海上运费; (2)求x的值. 5.有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个同样大的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作成一个无盖的方盒.如果制成的无盖方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形?

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论(不讨论 a ) ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论(不讨论 a ) ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

一元二次方程应用题——分类

增长率问题:1、恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台? 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税) 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%,这样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(利息税为20%,只需要列式子) 5、市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元,则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价:1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a 元,则可卖出(350-10a )件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元,需要进货多少件?每件商品应定价多少? 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理)。当每吨售价为260元时,月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现:当每吨售价每下降10元时,月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。(1)当每吨售价是240元时,计算此时的月销售量;(2)在遵循“薄利多销”的原则下,问每吨材料售价为多少时,该经销店的月利润为9000元。(3)小静说:“当月利润最大时,月销售额也最大。”你认为对吗?请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游,推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游,共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游? 图 1

二次函数与一元二次方程同步练习题(含答案)

二次函数与一元二次方程同步练习题(含 答案) 北师大版九年级数学下册课时同步练习-2.8二次函数与一元二次方程(1)附答案 1.求下列二次函数的图象与x轴的交点坐标,并作草图验证. (1)y= x2+x+1; (2)y=4x2-8x+4; (3)y=-3x2-6x-3; (4)y=-3x2-x+4 2.一元二次方程x2+7x+ 9=1的根与二次函数y=x2+7x+9的图象有什么关系? 试把方程的根在图象上表示出. 3.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根. (1)4x2-8x+1=0; (2)x2-2x-5=0; (3)2x2-6x+3=0; (3)x 2-x-1=0. 4.已知二次函数 y=-x2+4x-3,其图象与y轴交于点B ,与x轴交于A, 两点. 求△AB的周长和面积. 5..在体育测试时,初三的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图象的一部分(如图),若这个男生出手处A点的坐标为(0,2), 铅球路线的最高处B点的坐标为 B(6,5). (1)求这个二次函数的表达式; (2)该男生把铅球推出去多远?(精确到0.01米).

6.如图,已知抛物线y=-x2+bx+与x轴的两个交点分别为A(x1,0),B(x2,0) , 且x1+x2=4, .(1)求抛物线的代数表达式 ; (2) 设抛物线与y轴交于点,求直线B的表达式; (3)求△ AB的面积. 7.试用图象法判断方程x2+2x=- 的根的个数. 答案: 1.(1)没有交点;(2)有一个交点(1,0); (3)有一个交点(-1,0);(4)有两个交点( 1,0),( ,0), 草图略. 2.该方程的根是该函数的图象与直线y=1的交点的横坐标. 3.(1)x1≈1.9,x2≈0.1;(2)x1≈3.4,x2≈-1.4;(3)x1≈2.7,x2≈0.6;(4)x1≈1.6,x2≈-0 .6 4.令x=0,得y=-3,故B点坐标为(0, -3). 解方程-x2+4x-3=0,得x1=1 ,x2=3. 故A、两点的坐标为(1,0),(3,0) . 所以A=3-1=2,AB= ,B= , B=│-3│=3. △AB=AB+ B+A= . S△AB= A•B= ×2×3=3. 5.(1)设y=a(x-6)2+5,则由A(0,2),得2=a(0-6)2+5,得a= . 故y= (x-6)2+5

一元二次方程应用题精选含答案

一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?

三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度.

(完整版)一元二次方程的应用练习题及答案

一元二次方程的应用 1.某地区2014年投入教育经费2500万元,2016年投入教育经费3025万元. (1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率; (2)根据(1)所得的年平均增长率,预计2017年该地区将投入教育经费多少万元. 2.白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷,该镇近几年不断增加绿地面积,2014年达到82.8公顷. (1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率; (2)若年增长率保持不变,2015年该镇绿地面积能否达到100公顷? 3.某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查反映:每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,在顾客得实惠的前提下,商家还想获得6080元的利润,应将销售单价定位多少元? 4.水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售. (1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示); (2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?

5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件; (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多? 6.某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具. (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把化简后的结果填写在表格中: 销售单价(元)x 销售量y(件) 销售玩具获得利润w(元) (2)在(1)问条件下,若商场获得了10000元销售利润,求该玩具销售单价x应定为多少元. 7.利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地,求矩形的长和宽.

九年级数学下册一元二次方程同步练习题2含答案

九年级数学下册一元二次方程同步练习题2含 答案 一·判断题(下列方程中,是一元二次方程的在括号内划“√”,不是一元二次方程的,在括号内划“×”) 1.5x 2+1=0 ( ) 2.3x 2+x 1+1=0 ( ) 3.4x 2=ax (其中a 为常数) ( ) 4.2x 2 +3x =0 ( ) 5.5 132+x =2x ( ) 6.2 2)(x x + =2x ( ) 7.|x 2+2x |=4 ( ) 二·填空题 1.一元二次方程的一般形式是__________. 2.将方程-5x 2+1=6x 化为一般形式为__________. 3.将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________. 4.方程2x 2=-8化成一般形式后,一次项系数为__________,常数项为__________. 5.方程5(x 2-2x +1)=-32x +2的一般形式是__________,其二次项是__________,一次项是__________,常数项是__________. 6.若ab ≠0,则 a 1x 2+b 1x =0的常数项是__________. 7.如果方程ax 2+5=(x +2)(x -1)是关于x 的一元二次方程,则a __________. 8.关于x 的方程(m -4)x 2+(m +4)x +2m +3=0,当m __________时,是一元二次方程,当 m __________时,是一元一次方程. 三·选择题 1.下列方程中,不是一元二次方程的是_________. [ ] A .2x 2 +7=0 B .2x 2+23x +1=0

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3). 分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,

认识一元二次方程同步练习2

** 认识一元二次方程 一、填空题 1.某地开展植树造林活动,两年内植树面积由30万亩增加到42万亩,若设植树面积年平均增长率为x,根据题意列方程_________. 2.某商品成本价为300元,两次降价后现价为160元,若每次降价的百分率相同,设为x,则方程为_____________. 3.小明将500元压岁钱存入银行,参加教育储蓄,两年后本息共计615元,若设年利率为x,则方程为_____________. 4.已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为x,可得方程为_____________. 5.某高新技术产生生产总值,两年内由50万元增加到75万元,若每年产值的增长率设为x,则方程为___________. 6.某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,且不考虑利息税,到期后本息共计1320元,若设年利率为x,根据题意可列方程_____________. 7.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨,通过优化管理,产量逐月上升,第一季度共生产化工原料60万吨,设一、二月份平均增长的百分率相同,均为x,可列出方程为_____________. 8.方程(4-x)2=6x-5的一般形式为_____________,其中二次项系数为_________,一次项系数为_________,常数项为_________. 9.如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程,那么a所满足的条件为___________. 10.如图1,将边长为4的正方形,沿两边剪去两个边长为x的矩形,剩余部分的面积为9,可列出方程为_____________,解得x=_________. 图1

一元二次方程应用题经典题型汇总

一元二次方程应用题经典题型汇总 (一)传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题,决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后,由每盒200 元下调至128 元,则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121 人患了流感,每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主 干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛,共比赛45 场比赛,共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共 互赠了182 件,这个小组共有多少名同学? 6. 一个小组有若干人,新年互送贺卡,若全组共送贺卡72 张,这个小组共有多 少人? 7. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑?若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过700 台?

(二)平均增长率问题 变化前数量×(1x)n=变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤,2003 年平均每公顷产8450 公斤,水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价,每件售价由原来的90 元降到了40 元,求平均每 次降价率是。 3. 某种商品,原价50 元,受金融危机影响, 1 月份降价10%,从2 月份开始涨价, 3 月份的售价为64.8 元,求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价,零售价降为原来的一半,已知两次降价的百分率相同,求 每次降价的百分率? 5. 为了绿化校园,某中学在2007 年植树400 棵,计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵,求该校植树平均每年增长的百分数。

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证:如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根,那么,关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?,方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?,则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根, 01+∴m ,即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明:上述证明中,判定02>?用到了01

分析:运用根的判别式判定根的情况时,要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式,然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号,尤其是当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数,再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号,从而判定方程的根的情况,有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解:(1)),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. (2)0≠a , ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项,将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数,2b 均为非负数, 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. (3)0≠a , ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程,它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?, ∴需要讨论a 、c 的符号,才能确定?的符号. 当0=c 时,0=?,方程有两个相等的实数根; 当a 、c 异号时,0>?,方程有两个不相等的实数根; 当a 、c 同号时,0

八年级数学一元二次方程同步练习题

19.1一元二次方程 一、填空 1.一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式 为: ,二次项系数为: ,一次项系数 为: ,常数项为: 。 2.关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ,当m 时为一元一 次方程;当m 时为一元二次方程。 3.已知直角三角形三边长为连续整数,则它的三边长是 。 4. ++x x 32 +=x ( 2);-2x x (2=+ 2)。 5.直角三角形的两直角边是3︰4,而斜边的长是15㎝,那么这 个三角形的面积是 。 6.若方程02=++q px x 的两个根是2-和3,则q p ,的值分别 为 。 7.若代数式5242--x x 与122+x 的值互为相反数,则x 的值 是 。 8.方程492=x 与a x =23的解相同,则a = 。 9.当t 时,关于x 的方程032=+-t x x 可用公式法求解。 10.若实数b a ,满足022=-+b ab a ,则b a = 。 11.若8)2)((=+++b a b a ,则b a += 。 12.已知1322++x x 的值是10,则代数式1642++x x 的值是 。 二、选择 1.下列方程中,无论取何值,总是关于x 的一元二次方程的是( )

(A )02=++c bx ax (B )x x ax -=+221 (C )0)1()1(222=--+x a x a (D )03 12=-+=a x x 2.若12+x 与12-x 互为倒数,则实数x 为( ) (A )±21 (B )±1 (C )± 2 2 (D )±2 3.若m 是关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的根,且m ≠0,则 n m +的值为( ) (A )1- (B )1 (C )2 1- (D )21 4.关于x 的一元二次方程02=++m nx x 的两根中只有一个等于0, 则下列条件正确的是( ) (A )0,0==n m (B )0,0≠=n m (C )0,0=≠n m (D )0,0≠≠n m 5.关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根,则( ) (A )k <0 (B )k >0 (C )k ≥0 (D )k ≤0 6.已知x 、y 是实数,若0=xy ,则下列说法正确的是( ) (A )x 一定是0 (B )y 一定是0 (C )0=x 或0=y (D )0=x 且0=y 7.若方程02=++c bx ax )0(≠a 中, c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ,则方程的根是( ) (A )1,0 (B )-1,0 (C )1,-1 (D )

一元二次方程的应用 (含答案)

23.4 一元二次方程的应用 情境切入 学海导航 完全解读 知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤 列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点,究其原因是理论指导不充分,必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题,具体的步骤一般是:(1)审:审题要弄清已知量和未知量,问题中的等量关系; (2)设:设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异; (3)列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,列代数式表示相等关系中的各个量,即方程; (4)解:求出所列方程的解; (5)检验:检验方程的解是否正确,是否符合题意;

(6)答:写出答案. 友情提醒:列方程解应用题应该注意的一些问题 (1)要注意各类应用题中常用的等量关系.例如面积问题中有关的面积公式,还要注 意挖掘题目中隐含的等量关系; (2)注意语言与代数表达式的互化.题目中有些条件是通过语言给出的,只有把它转 化成代数式才能为列方程服务;注意从语言叙述中写出等量关系; (3)注意单位问题:一是在设元时必须写清单位,用对单位,例如不要把速度单位写 成路程单位.二是在列方程时,要注意方程两边的单位必须一致. 例1、某种商品原价50元。因销售不畅,3月份降价10%,从4月份开始涨价,5月份的售 价为64.8元,则4、5月份两个月平均涨价率为 . 思维点击:由题意,3月份的售价可以用50×(1—10%)表示,若设4、5月份两个月 平均涨价率为x ,则4月份的售价是50×(1—10%)×(1+x ),5月份的售价是50×(1—10%)×(1+x )(1+x )即50×(1—10%)×(1+x )2 ,由于5月份的售价已知,所以可列出一个方程,进而解决本题。 解:设4、5月份两个月平均涨价率为x ,由题意,得 50×(1—10%)×(1+x )2=64.8。整理,得(1+x )2=1.44. 解得:120.220%, 2.2x x ===-(不合题意,舍去)。 所以4、5月份两个月平均涨价率为20%。 解后反思:列方程解应用题,要注意求得的方程的解必须符合题意。 例2、如图,一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四 个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体水槽,使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长. 思维点击:设截去正方形的边长x 厘米之后,关键在于列出底面(图示虚线部分)长和 宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽,不难得出这一代数式. 解:设截去正方形的边长为x 厘米,根据题意,得

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) a

根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间()n m ,外,即在区间两侧 12,x m x n <>,(图形分别如下)需满足的条件是 (1)0a >时,()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况: 若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n

人教版九年级上册第二十一章一元二次方程 21.2 解一元二次方程 同步练习(含答案)

解一元二次方程同步练习 一.选择题(共12小题) 1.一元二次方程2(x-2)2+7(x-2)+6=0的解为() A.x1=-1,x2=1B.x1=4,x2=3.5 C.x1=0,x2=0.5D.无实数解 2.将方程x2+8x+9=0配方后,原方程可变形为() A.(x+4)2=7B.(x+4)2=25 C.(x+4)2=-9D.(x+8)2=7 3.若关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的值可能是()A.3B.2C.1D.0 4.已知矩形的长和宽是方程x2-7x+8=0的两个实数根,则矩形的对角线的长为() A .6B.7C.D. 5.已知等腰△ABC的底边长为3,两腰长恰好是关于x的一元二次方程0.5kx2-(k+3)x+6=0的两根,则△ABC的周长为() A.6.5B.7C.6.5或7D.8 6.等腰三角形三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x+k+2=0的两根,则k的值为() A.30B.34或30C.36或30D.34 7.关于x的一元二次方程x2+(a2-3a)x+a=0的两个实数根互为倒数,则a的值为()A.-3B.0C.1D.-3 或0 8.定义运算:a*b=2ab,若a、b是方程x2+x-m=0(m>0)的两个根,则(a+1)*b+2a的

值为() A.m B.2-2m C.2m-2D.-2m-2 9.若整数a既使得关于x的分式方程有非负数解,又使得关于x的方程x2-x+a+6=0无解,则符合条件的所有a的个数为() A.1B.2C.3D.4 10.已知m,n(m≠n)满足方程x2-5x-1=0,则m2-mn+5n=() A.-23B.27C.-25D.25 11.若整数a使得关于x的一元二次方程(a+2)x2+2ax+a-1=0有实数根,且关于x的不等式组有解且最多有6个整数解,则符合条件的整数a的个数为()A.3B.4C.5D.6 12.设关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,记S1=x1+2011x2,S2=x12+2011x22,…,Sn=x1n+2011x2n,则aS2012+bS2011+cS2010的值为() A.0B.2010C.2011D.2012 二.填空题(共5小题) 13.方程(x-1)(x+2)=0的解是. 14.已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8.则x2+y2的值为 15.已知a、b是方程x2+2x-5=0的两个实数根,则a2+ab+2a的值为. 16.若关于x的方程x2-4|x|+3-m=0有4个不相等的实数根,则m的取值范围是. 17.若x1,x2是方程x2-2mx+m2-m-1=0的两个根,且x1+x2=1-x1x2,则m的值为.

一元二次方程应用题(含答案)

1:某种服装,平均每天可以销售20件,每件盈利44元,在每件降价幅度不超过10元的情况下,若每件降价1元,则每天可多售出5件,如果每天要盈利1600元,每件应降价多少元? 解:设没件降价为x,则可多售出5x件,每件服装盈利44-x元, 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得:x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列,后又增加了69人,使得队伍增加的行·列数相同,增加了多少行多少列? 解:设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现:单价每千克70元时日均销售60kg;单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时:单价为65元,日均销售量为60+2(70-65)=70kg,那么获总利为1950*7000/70=195000元,当销售单价最高时:单价为70元,日均销售60kg,将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为(70-30)*7000-117*500=221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此,一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读,再填空解题: (1)方程:x2-4x-12=0 的根是:x 1=6, x 2 =-2,则x 1 +x 2 =4,x 1 ·x 2 =-12; (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x 1= 1 2 , x 2 =3,则x 1 +x 2 = 7 2 ,x 1 ·x 2 = 3 2 ; (3)方程3x2+6x-2=0的根是:x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = , x 1·x 2 = ; 根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0且a、b、c为常数)的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系?请写出来你的猜想并说明理由。 解析:方程3x2+5x-2=0的根是:x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -,x1·x2= 2 3 -。 能猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数) 的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下: 根据求根公式可知,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c 为常数)的两根为: a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和,等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数所得的商.

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