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高中数学空间距离考点解析及例题辅导

直线、平面、简单几何体——空间距离

高考要求

1理解点到平面、直线和直线、直线和平面、平面和平面距离的概念

2会用求距离的常用方法（如：直接法、转化法、向量法对异面直线的距离只要求学生掌握作出公垂线段或用向量表示的情况）和距离公式计算七种距离

知识点归纳

1点到平面的距离：已知点P是平面α外的任意一点，过点P作PAα

⊥，垂足为A，则PA 唯一，则PA是点P到平面α的距离

即一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离

结论：连结平面α外一点P与α内一点所得的线段中，垂线段PA最短

2异面直线的公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线．

3．公垂线唯一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线

4．两条异面直线的公垂线段：两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分，叫做两条异面直线的公垂线段；

5．公垂线段最短：两条异面直线的公垂线段是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条；

6．两条异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度

说明：两条异面直线的距离AB即为直线a到平面α的距离

其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离

7直线到与它平行平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直线到平面的距离(转化为点面距离)

8．两个平行平面的公垂线、公垂线段：

（1）两个平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线

（2）两个平面的公垂线段：公垂线夹在平行平面间的的部分，叫做两个平面的公垂线段（3）两个平行平面的公垂线段都相等

（4）公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长

9．两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离

10．七种距离：点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离，其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础，求其它几种距离一般化归为求这三种距离，点到平面的距离有时用“体积法”来求

10用向量法求距离的公式：

⑴异面直线,a b 之间的距离：

AB n d n ?= ，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈

⑵直线a 与平面α之间的距离：

AB n d n ?= ，其中,A a B α∈∈

是平面α的法向量 ⑶两平行平面,αβ之间的距离：

AB n d n ?= ，其中,A B αβ∈∈n

是平面α的法向量 ⑷点A 到平面α的距离：

AB n d n ?= ，其中B α∈，n

是平面α的法向量另法：点000(,,),A x y z 平面0Ax By Cz D +++=

则

d =

⑸点A 到直线a 的距离：

d =

B a ∈，a 是直线a 的方向向量

⑹两平行直线,a b 之间的距离：

d =

，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量题型讲解

例1 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC 的距离

解法一：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），

∴(7,7,7)AD =--

设平面ABC 的法向量n

=（x ，y ，z ），

则n ·AB =0，n ·A C

=0，

∴??

?=?=-?,

0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x

即??

???

-=-=????=+=+-.

,23064022z y z x z x z y x

令z =－2，则n

=（3，2，－2）

∴由点到平面的距离公式：

||AD n d n ?=

|3(7)2(7)27|?-+?--?=1749

∴点D 到平面ABC

解法二：设平面ABC 的方程为：Ax By Cz D +++=

将A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７）的坐标代入，得

3230242063705A B A B C D A B C D C B A B C D D B ?=?+++=???

+++=?=-????+++==-??

，取B ＝2，则平面ABC 的法向量n

=(A,B,C)=（3，2，－2）

又因为 (7,7,7)AD =--

∴由点到平面的距离公式：

||AD n d n ?=

=1749

∴点D 到平面ABC

点评：求点到平面的距离除了根据定义及等积变换外，还可以借用平面的法向量求得，

方法是：求出平面的一个法向量n

的坐标(两种方法)，再求出已知点P 与平面内任一点M 构

d =|M P ||cos 成的向量M P

的坐标，那么P 到平面的距离〈n ，M P

〉

=例2 如图所求，已知四边形ABCD 、EADM 和MDCF 都

是边长为a 的正方形，点P 、Q 分别是ED 和AC

的中点

求：（1）PM

与F Q 所成的角；

（2）P 点到平面EFB 的距离；（3）异面直线PM 与FQ 的距离解：建立空间直角坐标系，则D （0，0，0）、A （a ，0，0）、B （a ，a ，0）、C （0，a ，0）、M （0，0，a ）、E （a ，0，a ）、F （0，a ，a ），

则由中点坐标公式得P （

a ，0，

a ）、Q （

a ，

2a ，0）

（1）∴PM =（－2

a ，0，2

a ），F Q =（2

a ，－2

，－a ），

PM ·F Q =（－2

a ）×2

a +0+2

a ×（－a ）=－4

3a 2，

且|PM |=

2a ，|F Q |=

∴cos 〈PM ，F Q 〉=||||

PM FQ

PM FQ ?

a a

故得两向量所成的角为150°

（2）设n

=（x ，y ，z ）是平面EFB 的法向量，

即|n |=1，n ⊥平面EFB ，∴n ⊥EF ，n ⊥BE

又EF =（－a ，a ，0），EB =（0，a ，－a ），即有00

ax ay x y z ay az -+=??==?-=?，

取1x =，则(1,1,1)n =

∵ PE =（2a ，0，2

）

∴ 设所求距离为d ，则||

PE n d n ?=

= 33

a （3）设m

=（x 1，y 1，z 1）是两异面直线的公垂线的方向向量，

则由PM =（－2a ，0，2a ），F Q =（2a ，－2

，－a ），得

11111111

022

a a x z x z y a a x y az ?-+=???==-?

?--=?? 取1y ＝－1，则(1,1,1)m =-

而M F

=（0，a ，0）设所求距离为m ，

则||

M F m m m ?=

=33

a 例3 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离

分析：虽然此题中没有给出表示两异面直线距离的线段，但是容易建立直角坐标系，使它变为坐标系下的异面直线距离的问题，还是属于考试范围的问题

解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），

则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD B C BB ==-=

设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =

，则由0BD n x y ?=+=

和10,B C n x z ?=-=

1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=-

∴异面直线BD 与B 1C 的距离：

111|||cos ,|3BB n d BB BB n n ?=<>===

小结：

1用向量求点到平面的距离的步骤为：先确定平面的法向量，再求该点与平面内一点的

连线在法向量上的射影长即得也就是若n 是平面α的法向量，0P 为平面内的一点，则点P

到平面α的距离为：

000|cos ,|PP n d PP PP n n

?=<>=

2求异面直线的距离方法很多，但考纲仅要求会求图中已给出表示异面直线间距离的线

段，或在空间直角坐标系下的异面直线的距离，对于第一类问题要先找出这条线段，证明它是所求距离，然后求之；第二类问题的求解步骤是：先求出与两异面直线都垂直的一个向量，然后再求异面直线上两点连线在这个向量上的射影的长，即若n 是与异面直线b a ,都垂直的

向量，点b F a E ∈∈,，则异面直线与之间的距离： c o s |,E F n

d E F E F n n

?=<>=

3两平面间的距离一般转化为点到平面或线到面的距离来求解

练习

1ABCD 是边长为2的正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A —BD —C ，E 是CD 的中点，则异面直线AE 、BC 的距离为

D 1

解析：易证CE 是异面直线AE 与BC 的公垂线段，其长为所求易证CE =1∴选D 答案：D

2在△ABC 中，AB =15，∠BCA =120°，若△ABC 所在平面α外一点P 到A 、B 、C 的距离都是14，则P 到α的距离是

A 13

B 11

C 9

D 7 解析：作PO ⊥α于点O ，连结OA 、OB 、OC ， ∵P A =PB =PC ， ∴OA =OB =OC

∴O 是△ABC 的外心

∴OA =

BCA

AB ∠sin 2=

120

sin 215

∴PO =2

2OA PA -=11为所求∴选B

答案：B

3在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是

6a B

3a C

3a a

解析：A 到面MBD 的距离由等积变形可得

V A —MBD =V B —AMD 易求d =

答案：D

4平面α内的∠MON =60°，PO 是α的斜线，PO =3，∠POM =∠PON =4５°，那么点P 到平面α的距离是

3 C

3 D

解析：cos ∠POM =cos ∠POH ·cos ∠MOH ， ∴

3cos ∠POH ∴cos ∠POH =

∴sin ∠POH

∴PH =PO ·sin ∠POH =3×

1答案：A

5正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E 是CC 1的中点，则E 到A 1B 的距离是

解析：连结A 1E 、BE ，过E 作EH ⊥A 1B 于H ，在△A 1BE 中易求EH =

23a

答案：D

6A 、B 是直线l 上的两点，AB =4，AC ⊥l 于A ，BD ⊥l 于B ，AC =BD =3，又AC 与BD 成60°的角，则C 、D 两点间的距离是_______

解析：CD 答案：5或43

7设P A ⊥Rt △ABC 所在的平面α，∠BAC =90°，PB 、PC 分别与α成45°和30°角，P A =2，则P A 与BC 的距离是_____________；点P 到BC 的距离是_____________

解析：作AD ⊥BC 于点D ，∵P A ⊥面ABC ，∴P A ⊥AD ∴AD 是P A 与BC 的公垂线易得

AB =2，AC =23，BC =4，AD =3，连结PD ，则PD ⊥BC ，P 到BC 的距离PD =答案：3

8已知l 1、l 2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l 1、l 2分别交α、β、γ于A 、B 、C 和D 、E 、F ，AB =4，BC =12，DF =10，又l 1与α成30°角，则β与γ的距离是__________；DE =__________

解析：由直线与平面所成角的定义及平行平面距离定义易得β与γ间距离为6由面面平

行的性质定理可得

AB =

DE ，∴

AB AB +=

DE DE +，即

44+DE =25

答案：6 25

9已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为a ，E 、F 分别是棱A 1B 1、CD 的中点（1）证明：截面C 1EAF ⊥平面ABC 1 （2）求点B 到截面C 1EAF 的距离

（1）证明：连结EF 、AC 1和BC 1，易知四边形EB 1CF 是平行四边形，从而EF ∥B 1C ，直线B 1C ⊥BC 1且B 1C ⊥AB ，则直线B 1C ⊥平面ABC 1，得EF ⊥平面ABC 1而EF ?平面C 1EAF ，得平面C 1EAF ⊥平面ABC 1

（2）解：在平面ABC 1内，过B 作BH ，使BH ⊥AC 1，H 为垂足，则BH 的长就是点B

到平面C 1EAF 的距离，在直角三角形中，BH =

AC BC AB ?=

a a 32另法：建立坐标系(略)

10已知直线l 上有两定点A 、B ，线段AC ⊥l ，BD ⊥l ，AC =BD =a 且AC 与BD 成120°角，求AB 与CD 间的距离

解法一：在面ABC 内过B 作BE ⊥l 于B ，且BE =AC ，则ABEC 为矩形 ∴AB ∥CE

∴AB ∥平面CDE

则AB 与CD 的距离即为B 到DE 的距离

过B 作BF ⊥DE 于F ，易求BF =

解法二：建系如图，则A （0，0，b ），C （－

1a ，

3a ，

a ），D （a ，

0，0），

设AB 与CD 的公垂线的一个方向向量n

=（x ，y ，z ），

利用n ·AB =0，n

·C D =0，

求出n

，则d =||||

n BD n

=21a