高三数学单元滚动检测卷-统计与统计案例
高三数学单元滚动检测卷-统计与统计案例
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．
2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．
3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．为规范学校办学，省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应为( ) A ．13 B ．19 C ．20
D ．51
2．从N 个编号中抽取n 个号码入样，若采用系统抽样方法进行抽取，则分段间隔应为( ) A.N n B ．n C ．[N n
]
D ．[N
n
]＋1
3．已知一组数据：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7构成公差为d 的等差数列，且这组数据的方差等于1，则公差d 等于( ) A ．±14
B ．±12
C ．±128
D ．无法求解
4．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下列联表：
班级与成绩列联表
优秀 不优秀 总计 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 总计
19
71
90
则随机变量K 2A ．0.600 B ．0.828 C ．2.712
D ．6.004 5．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如下表，则这100人成绩的标准差为( )
分数 5 4 3 2 1 人数
20
10
30
30
10
A. 3 B ．3 C.2105
D.85
6.如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a 2＋b 2的最小值是( ) A ．24 B ．32 C ．36
D ．48
7．(2014·重庆)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ^
＝0.4x ＋2.3 B.y ^
＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5
D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
8．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多大的把握认为“学生性别与支持该活动有关系．”( ) 附：
P (K 2≥k 0)
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
A.0.1% C ．99%
D ．99.9%
9．一个频率分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分(如图)，只记得样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本分别在[40,50)，[50,60)上的数据个数可能是( )
A ．7和6
B ．6和9
C ．8和9
D ．9和10
10．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和 i ＝1n
(y i －y ^
i )2如下表：
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
11．(·驻马店模拟)中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2011年至2013年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为( ) A ．36 B ．35 C ．32
D ．30
12．(·蚌埠模拟)给出以下命题：
①若p 或q 为假命题，则p 与q 均为假命题；
②对具有线性相关关系的变量x ，y 有一组观测数据(x i ，y i ) (i ＝1,2，…，8)，其线性回归方程是y ＝13x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝2(y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8)＝6，则实数a ＝14；
③对于分类变量X 与Y 的随机变量χ2来说，χ2越小，“X 与Y 有关联”的把握程度越大； ④已知x －12－x ≥0，则函数f (x )＝2x ＋1
x 的最小值为16.
其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩(单位：分)数据绘制成频率分布直方图(如图)．则这100名学生成绩的平均数，中位数分别为________．
14．某企业三月中旬生产A 、B 、C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：
由于不小心，表格中A A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________件． 15．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：
小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．
16．关于统计数据的分析，有以下几个结论：
①一组数不可能有两个众数；
②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差没有变化；
③调查剧院中观众观看感受时，从50排(每排人数相同)中任意抽取一排的人进行调查，属于分层抽样；
④一组数据的方差一定是正数；
⑤如图是随机抽取的200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图，根据这个直方图，可以得到时速在[50,60)的汽车大约是60辆，则这五种说法中错误的是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(·江西八所重点中学联考)“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]后得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；
(2)若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率．
18．(12分)(·课标全国Ⅱ)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：
(1)(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二
乘估计公式分别为：b ^
＝
∑i ＝1
n
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1
n
(t i －t )2
，a ^＝y －b ^
t .
19．(12分)为使学生更好地了解中华民族伟大复兴的历史知识，某校组织了一次以“我的梦，中国梦”为主题的知识竞赛，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分、90分、80分、70分，学校将某年级的一班和二班的成绩整理并绘制成统计图：
请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)把一班竞赛成绩统计图补充完整；
(2)写出下表中a，b，c的值.
(3)
①从平均数和中位数方面来比较一班和二班的成绩；
②从平均数和众数方面来比较一班和二班的成绩；
③从B级以上(包括B级)的人数方面来比较一班和二班的成绩．
20.(12分)某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装的件数x之间的一组数据如下：
已知：∑7
i ＝1x 2i ＝280，∑i ＝1y 2
i ＝45 309，∑i ＝1
x i y i ＝3 487. (1)求x ，y ；
(2)判断纯利润y 与每天销售件数x 之间是否线性相关，如果线性相关，求出线性回归方程．
21．(12分)针对时下的“韩剧热”，某校团委对“喜欢韩剧和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的1
6，女生喜欢韩剧
的人数占女生人数的2
3
.
(1)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？
(2)若在犯错误的概率不超过0.1的前提下，没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有多少人？
22．(12分)(·沈阳质量监测二)在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：
(1)
等式选讲”称为代数类，我们可以得到如下2×2列联表：
(2)在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈，已知这名学委和两名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．
(i)求在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中的概率；
(ii)记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．
下面临界值表仅供参考：
(参考公式：K2＝
)
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
答案解析
1．C [抽样间隔为46－33＝13， 故另一位同学的编号为7＋13＝20，选C.] 2．C
3．B [这组数据的平均数为 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 77＝7a 4
7＝a 4.
又因为这组数据的方差等于1，
所以1
7[(a 1－a 4)2＋(a 2－a 4)2＋(a 3－a 4)2＋(a 4－a 4)2＋(a 5－a 4)2＋(a 6－a 4)2＋(a 7－a 4)2]
＝(－3d )2＋(－2d )2＋(－d )2＋0＋(d )2＋(2d )2＋(3d )27＝1.
即4d 2＝1， 解得d ＝±1
2
.]
4．A [由题意知a ＝11，b ＝34，c ＝8，d ＝37，n ＝90， 则K 2＝n (ad －bc )
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )的值约为0.600，
故选A.] 5．C [x ＝20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1
100
＝3，
s ＝
1
100[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2] ＝
1
100
(80＋10＋30＋40)＝ 160100＝41010＝2105
.] 6．B [根据题意，得4＋a ＋6＋b ＋7
5＝5，得a ＋b ＝8.
方法一 由b ＝8－a ，得a 2＋b 2＝a 2＋(8－a )2＝2a 2－16a ＋64， 其中a ，b 满足0≤a ≤9,0≤b ≤9， 所以0≤a ≤9,0≤8－a ≤9， 即0≤a ≤8且a 是整数，
设函数f (a )＝2a 2－16a ＋64，分析知当a ＝4时， f (a )取得最小值32，
所以a 2＋b 2的最小值是32.故选B. 方法二 由a ＋b ＝8，且a ，b ≥0， 得8≥2ab ，
故ab ≤16，则a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥64－32＝32， 当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以a 2＋b 2的最小值是32.]
7．A [因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D. 因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.]
8．C [因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”，选C.] 9．B [因样本中数据在[20,60)上的频率为0.8， 则样本中数据在[20,60)上的频数为30×0.8＝24. 又因为样本中数据在[20,40)上的频数为4＋5＝9， 所以样本在[40,60)上的数据的个数为24－9＝15. 由选项知B 符合．]
10．D [根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2
表达式中 i ＝1n
(y i －y ^
i )2为确定的数，则残差平方和越小，R 2
越接近于1)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好．由试验结果知丁要好些，故选D.]
11．A [设从30个小品类节目中抽取x 个，则有x 30＝27
50＋40，解得x ＝9.则27＋9＝36，所
以样本容量为36.]
12．B [①正确．②中a ＝1
8，所以②不正确．③中χ2越小，“X 与Y 有关联”的把握程度越
小，所以③不正确．由x －12－x ≥0可得1≤x <2，因为f (x )＝2x ＋1
x ≥22＝4，当且仅当x ＝1时取
等号，所以④不正确．] 13．125,124
解析 由图可知(a ＋a －0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a ＝0.025， 则x ＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125. 中位数在120～130之间，设为x ，
则0.01×10＋0.03×10＋0.025×(x －120)＝0.5， 解得x ＝124. 14．800
解析 设C 产品的数量为x ，C 产品的样本容量为a ， 则A 产品的数量为1 700－x ，
A 产品的样本容量为10＋a ，
由分层抽样的定义可知：1 700－x a ＋10＝x a ＝1 300
130，
∴x ＝800. 15．0.5 0.53
解析 平均投篮命中率y ＝1
5
(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，而x ＝3.
∑i ＝15
(x i －x )(y i －y )＝(－2)×(－0.1)＋(－1)×0＋0×0.1＋1×0.1＋2×(－0.1)＝0.1，
∑i ＝1
5
(x i －x )2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10，
于是b ^
＝0.01，a ^
＝y －b ^
x ＝0.47，∴y ^
＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ^
＝0.53. 16．①③④
解析 一组数中可以有两个众数，故①错误；根据方差的计算法可知②正确；③属于简单随机抽样，错误；④错误，因为方差可以是零；⑤正确．
17．解 (1)众数的估计值为77.5，设中位数的估计值为x ，则0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x －75)＝0.5，解得x ＝77.5，即中位数的估计值为77.5.
(2)从题图中可知，车速在[60,65)内的车辆数为0.01×5×40＝2，车速在[65,70)内的车辆数为0.02×5×40＝4，记车速在[60,65)内的两辆车为a ，b ，车速在[65,70)内的四辆车为c ，d ，e ，f ，则所有基本事件有
(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )， (b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )， (c ，d )，(c ，e )，(c ，f )， (d ，e )，(d ，f )， (e ，f )， 共15个，
其中车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的事件有：
(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，共8个．
所以若从车速在[60,70)内的车辆中任抽取2辆，则车速在[65,70)内的车辆恰有一辆的概率为P ＝815
.
18．解 (1)由所给数据计算得t ＝1
7(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，
y ＝1
7
(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，
∑i ＝17
(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×
0.9＋3×1.6＝14，
b ^
＝
∑i ＝1
7
(t i －t )(y i －y )
∑i ＝1
7
(t i －t )2
＝14
28
＝0.5， a ^
＝y －b ^
t ＝4.3－0.5×4＝2.3， 所求线性回归方程为y ^
＝0.5t ＋2.3.
(2)由(1)知，b ^
＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得
y ^
＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元． 19．解 (1)25－6－12－5＝2(人)．
(2)a ＝87.6，b ＝90，c ＝100.
(3)①一班和二班平均数相等，一班的中位数大于二班的中位数，故一班的成绩好于二班． ②一班和二班平均数相等，一班的众数小于二班的众数，故二班的成绩好于一班； ③B 级以上(包括B 级)一班18人，二班12人，故一班的成绩好于二班． 20．解 (1)x ＝1
7
(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，
y ＝1
7(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86.
(2)根据已知∑7
i ＝1x 2i ＝280，∑7
i ＝1
y 2i ＝45 309， ∑7
i ＝1
x i y i ＝3 487，得相关系数
r ＝
3 487－7×6×79.86
(280－7×62)(45 309－7×79.862)
≈0.973.
由于0.973>0.75，所以纯利润y 与每天销售件数x 之间具有显著的线性相关关系． 利用已知数据可求得线性回归方程为 y ^
＝4.75x ＋51.36.
21．解 设男生人数为x ，依题意可得列联表如下：
(1) 则k ≥3.841，
由k ＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ×x 2×x 2×x ＝38x ≥3.841，
解得x ≥10.24，
因为x 2，x
6为整数，所以若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜欢韩剧和性别有
关，则男生至少有12人．
(2)在犯错误的概率不超过0.1的前提下，没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则k <2.706，
由k ＝3x 2(x 6×x 6－5x 6×x 3)2x ×x 2×x 2×x ＝38x <2.706，
解得x <7.216，
因为x 2，x
6为整数，所以，若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男生至多有6
人．
22．解 (1)由题意得K 2
＝42×(16×12－8×6)224×18×20×22
＝252
55≈4.582>3.841.
所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关． (2)由题意可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学． (i)令事件A 为“这名学委被选中”；事件B 为“两名数学课代表被选中”， 则P (A ∩B )＝C 33C 318，P (A )＝C 217
C 318
.
所以P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )
＝C 33
C 217＝217×16＝1136.
另解：令事件A 为“在这名学委被选中的条件下，两名数学课代表也被选中”，则P (A )＝C 22
C 2
17＝
217×16＝1
136
. (ii)由题意知X 的可能取值有0,1,2， 依题意P (X ＝0)＝C 316
C 318＝3551
，
P (X ＝1)＝C 216C 1
2
C 318＝517，
P (X ＝2)＝C 116C 22
C 318＝151
.
从而X 的分布列为
于是E (X )＝0×3551＋1×517＋2×151＝1751＝1
3.