分析:由于Ω由平面22x y z ++=,0,0,0x y z ===围成,不难看出Ω所有边界曲面的方程中含有变量z 的方程恰好有两个,故可将Ω向xoy 平面投影,得一平面区域D ;Ω的边界曲面的全部方程中只含变量,x y 的方程及两个含变量z 的方程消去z 得到的一个关于变量x 、y 的方程便是平面区域D 的边界曲线的方程;Ω的边界曲面的全部方程中含变量z 的方程0z =,11
122
z x y =-
-为先积的定积分的积分限. 解:将Ω向xoy 平面投影,得一平面区域D ,
D 由0,0x y ==,2x y +=围成,见图 11
1220
x y D
I xdxdydz dxdy xdz --Ω
==??????
22001111
(1)(1)2222
x D
x x y dxdy dx x x y dy -=-
-=--????
2
220
11
1()
24
3
x
x y xy y dx -=
--=?
.
(2)“先二后一” 即将三重积分化为:
()()()(,,)(,,)(,,)(,,)d
c D z b
a
D x n
m D y dz f x y z dxdy f x y z dv dx f x y z dydz dy f x y z dxdz Ω
?????=??????
??????
??????
评注:当积分域是旋转体时,一般采用“先二后一”计算. 命题1:如果积分区域是绕轴旋转而成的旋转体时 ① 将Ω向z 轴投影得投影区间[,]c d ;
② (,)z c d ?∈,过点(0,0,)z 作z 轴的垂直平面,该平面截Ω得平面区域()D z 则 ()
(,,)(,,)d
c
D z I f x y z dv dz f x y z dxdy Ω
=
=????
??
其余两个命题类似.
[例2.3] 计算22
()I x y dv Ω
=
+???,其中Ω是曲线202x y z =??=?绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2,8z z ==围成的立体.
分析:由于Ω是旋转体,故采用“先二后一”计算,而Ω是绕z 轴旋转而成的旋转体,需
将Ω向z 轴投影.
解:将Ω向z 轴投影得投影区间[2,8],
由于Ω由2,8z z ==及曲面2
2
2x y z +=围成,所以()D z 为2
2
2x y z +≤ 于是8
2
2
222
()
()()D z I x
y dv dz x y dxdy Ω
=
+=+??????
2
828
2
2
2
424
z dz d rdy dz π
θπ=
?=??
?
336π=. 3.利用柱坐标计算
⑴ 柱坐标系下的体积元素dv rdrd dz θ=, ⑵ 柱坐标系下的三次积分的先后次序一般为 (cos ,sin ,)I d rdr f r r z dz θθθ=
???
[例2.4] 计算I zdv Ω
=???,其中Ω是由2222
2
()
h x y z R +=及(0)z h h =>围成的闭区域. 分析:Ω是圆锥体,被积函数(,,)f x y z z =形如2
2
(,)f x y z +,故选用柱坐标计算.
解:I zdv Ω
=
???222
2
20
()R h R
h r
R h d dr rzdz r h r dr R
π
θπ==-?
???
221
4
R h π=. 4.利用球坐标计算
⑴ 球坐标与直角坐标的关系:sin cos x r ?θ=?,sin sin y r ?θ=?,cos z r ?=, ⑵ 球坐标系下的体积元素2
sin dv r drd d ?θ?=, ⑶ 球坐标系下三次积分的先后次序一般为 2(sin cos ,sin sin ,cos )sin I d d f r r r r dr θ??θ?θ??=
??????
[例2.5] 222
()I x y z dv Ω
=
++???
,其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域. 分析:由于Ω是球体,被积函数2
2
2
x y z ++形如2
2
2
()f x y z ++,故选用球坐标计算.
解:21
22222
()sin I x y z dv d d r r dr ππθ??Ω
=
++=??????? 1
220
04
2sin 5
d r r dr π
π
??π=?=?
?.
三、三重积分的应用
设有一物体,在空间占有区域Ω,其上每一点的体密度为(,,)x y z ρ,且(,,)x y z ρ在Ω上连续,在空间点0000(,,)M x y z 处有一质量为m 的质点,则 1.该物体的质心坐标(,,)x y z 为:
(,,)(,,)x x y z dv
x x y z dv
ρρΩ
Ω
=
??????, (,,)(,,)y x y z dv
y x y z dv
ρρΩ
Ω
=
??????, (,,)(,,)z x y z dv
z x y z dv
ρρΩ
Ω
=
??????
2.该物体绕轴的转动惯量 绕x 轴的转动惯量: 22
()(,,)x I y z x y z dv ρΩ
=+??? 绕y 轴的转动惯量: 2
2()(,,)y I x
z x y z dv ρΩ
=+???
绕z 轴的转动惯量: 22()(,,)z I y x x y z dv ρΩ
=
+??? 绕直线000
:
x x y y z z l m n p
---==的转动惯量: 2
00222
(,,)l i
j k x x y y z z m
n
p
I x y z dv m n p ρ---=
++???
3.该物体对质点的引力{}
,,x y z F F F F =为: 02223/2000(,,)()
[()()()]x Gm x y z x x F dv x x y y z z ρΩ
-=
-+-+-???,
02223/2000(,,)()
[()()()]y Gm x y z y y F dv x x y y z z ρΩ
-=
-+-+-??? 02223/2000(,,)()
[()()()]z Gm x y z z z F dv x x y y z z ρΩ
-=-+-+-???
●● 常考题型及其解法与技巧
一、概念、性质的理解
[例6.2.1] 设(,,)f x y z 是连续函数,2222
()(,,)x y z r I r f x y z dv ++≤=???
,则0r +→时,下面说
法正确的是
(A )()I r 是r 的一阶无穷小 (B )()I r 是r 的二阶无穷小 (C )()I r 是r 的三阶无穷小 (D )()I r 至少是r 的三阶无穷 解:由积分中值定理得
34
()(,,)3
I r f r ξη?π=?,其中2222r ξη?++≤,
当0r +
→时,(,,)(0,0,0)ξη?→,于是3
0()4lim (0,0,0)3
r I r f r π+→=,因此选(D ). [例6.2.2] 设2
2
2
:,0x y R z H Ω+≤≤≤,则
3
23
[tan()3]_____z e x y dv Ω
+=???. 解:因为3
2
3tan()z e x y 是y 的奇函数,且Ω关于xoz 平面对称,故3
23[tan()]0z e
x y dv Ω
=???,
所以
3
232
[tan()3]33z e x y dv dv R H πΩ
Ω
+===??????. 二、三重积分的计算
Ⅰ 利用“先二后一”计算
若被积函数是一元函数,积分域是球体、半球体、椭球体、半椭球体,一定选择利用“先二后一”完成;若积分域是旋转体时一般选择利用“先二后一”完成.解题的一般思路:①将积分域Ω向相应坐标轴投影,得投影区间;②确定先积的二重积分的积分域;③将三重积分化为“先二后一”计算 . [例6.2.3] 计算下列三重积分
(1)2
I y dy Ω
=???,其中222
222:1,0,(0,0,0)x y z y a b c a b c Ω++≤≥>>>;
(2)z I e dxdydz Ω
=
???,其中Ω为222
1x y z ++≤ 解:(1)将Ω投影到y 轴,得投影区间[0,]b ,此时可得222
222():1x z y D y a c b
+≤-,则
220
()
b
D y I y dy dy
y dxdz Ω
==??????
22
320
2
[(1)]15
b
y y ac dy ab c b ππ=
?-=?
.
(2)将Ω投影到z 轴,得投影区间[1,1]-,此时可得2
2
2
():1D z x y z +≤-,则
1
1
()
z
z
D z I e dxdydz dz e dxdy -Ω
==??????
1
1
221
[(1)]2(1)z
z e z dz z e dz ππ-=
?-=-?
?
2102[(22)]z z e z z e π=--+2π=. [例6.2.4] 计算下列三重积分
(1)22
()I x y z dv Ω=++???,其中Ω是由曲线?????==0
22
x z y 绕z 轴旋转一周所得曲面与平面
4z =围成的立体;
(2)计算2
2
x
y I ze dxdydz +Ω
=
???其中Ω
是由z =及(0)z h h =>围成的闭区域.
解:(1)Ω由旋转抛物面2
2
2y x z +=与平面4z =围成.
将Ω投影到z 轴,得投影区间[0,4],此时可得2
2
():2D z x y z +≤,则
4
220
()
()D z I dz x y z dxdy =++???
4
220
d d )d z r z r r πθ=
+?
?4
20
256
4dz 3
z ππ==
?; (2)将Ω投影到z 轴,得投影区间[0,]h ,此时可得2
2
2
():D z x y z +≤,则
2
2
()
h
x
y D z I zdz e dxd +=???
2
20
h z r zdz d e rdr πθ=???20
1
2(1)2
h
z z e dz π=-?
22220
1
1
()(1)
z h h e z e h ππ=
-=--.
[例6.2.5] 计算I zdz Ω
=
???,其中Ω为由0,0,0x y z ===及1x y z ++=围成的四面体.
解:将Ω投影到z 轴,得投影区间[0,1],此时可得()D z 由0,0x y ==1x y z +=-围成,则
1
()
D z I dz zdxdy =
???
21
0(1)11211
()2223424
z z dz -==-+=?.
Ⅱ 利用“先一后二”计算
此法特别适合无法画出积分域Ω的图形,或者域Ω的图形非常复杂的三重积分的计算.解题思路:①写出积分区域Ω的全部边界曲面的方程;②根据Ω的全部边界曲面的方程的特点将Ω向相应坐标面投影,得平面区域D ;③确定先积的定积分的上下限;④将三重积分化为“先一后二”计算. [例6.2.6] 计算23
I xy z dv Ω
=
???,其中Ω由曲面z xy =及平面,1,0y x x z ===围成.
解法一:Ω由曲面z xy =及平面,1,0y x x z ===围成,从而Ω的所有边界曲面中含有变量z 的方程刚好有两个,因此将Ω投影到xoy 平面上得 投影区域为D .
D 由,1y x x ==及0y =围成.其图形如右下图所示 所以23
230
xy
D
I xy z dv dxdy xy z dz Ω
=
=??????
12456
011()44x D xy xy dxdy dx x y dy ==????
112011
28364
x dx ==
?. 解法二:Ω由曲面z xy =及平面,1,0y x x z ===围成,从而Ω的所有边界曲面中含有变量y 的方程刚好有两个,因此将Ω投影到xoz 平面上得投影区域为D . D 由0,1z x ==及2
z x =围成.其图形如右下图所示 所以23
23x z
x
D
I xy z dv dxdz xy z dy Ω
=
=??????
23313333
330011()()33x D z z xz x dxdz dx xz x dz x x
=-=-????
112011
28364
x dx =
=?. [例6.2.7] 计算cos()I y x z dxdydz Ω
=+???,其中Ω由抛物柱面y x =,平面0y =,0z =,
2
x z π
+=
所围成的区域.
解:由于Ω由抛物柱面y x =,平面0y =,0z =,2
x z π
+=
所围成,从而Ω的所有边
界曲面中含有变量z 的方程刚好有两个,因此将Ω投影到xoy 平面上得投影区域为D .
D 由曲线y x =0,2
y x π
==
围成.其图形如右下图所示
所以2
cos()xoy
x
D I ydxdy x z dz π
-=
+???
20
(1sin )x
dx y x dy π
=-?
=2
220
00
1
1(1sin )()(sin )2
2x x y dx x x x dx π
π
-=-??
2
220
18
[(sin cos )]22
16
x x x x π
π-=--=
.
Ⅲ 利用柱坐标计算
若积分域Ω的形状是柱体、锥体或由柱面、锥面、旋转曲面与其它曲面所围成的立体时,一般适宜用柱坐标计算. [例6.2.8] 计算下列三重积分 (1)22I x y dv Ω
=
+,其中Ω是由曲面222,1x y z z +==所围的区域.
(2) I zdv Ω
=
???
,Ω是由球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围的区域. 解:(1)由于Ω在xoy 平面上的投影域D 是圆域,故采用柱坐标.
曲面2
2
2
x y z +=与1z =的交线为 222221:11
x y z x y z z ??+=+=Γ???==??,所以22
:1D x y +≤
故 22
I x y dv Ω
=
+=
1
r
D
rd dr rdz θ???
21
20
(1)6
d r r dr π
π
θ=
-=
?
?.
(2)由于Ω在xoy 平面上的投影域D 是圆域,故采用柱坐标.
球面2
2
2
4x y z ++=与抛物面2
2
3x y z +=交线为2222222
14
:33z x y z x y x y z
=?++=??Γ???+=+=??? 所以22
:3D x y +≤. 故
2
3
r D
I zdv rd dr θΩ
=
=??????
2240
01113
(4)
d r r dr π
θπ=
?--=
?
.
[例6.2.9] 计算下列三重积分 (
1)I Ω
=???
,其中Ω是由2221x y z ++≤及z ≥ (2)2
22()
()x
y z I x z e dv -
++Ω
=
+???,其中Ω为:22214,0,0,0x y z x y z ≤++≤≥≥≥
解:(1)利用球坐标计算,而球面与锥面相交所成的曲线为222:14
z x y ?=??Γ??+=??,所以 21
26
cos sin I d d r r r dr π
π
θ???=?????20
π
=
;
(2)利用球坐标计算,则
2
2
2220
1
(sin cos cos )sin r I d d r e r dr π
π
θ??θ??-=+???
2
2
2220
1
(sin cos cos )sin r d d re r dr ππ
θ?θ???-=
+?
??
2222
220011(sin cos cos )sin 2r d d e r dr ππ
θ?θ???-=+???
4220
011(sin cos cos )sin 2t
d d
e tdt ππ
θ?θ???-=+???
14
220
25(sin cos cos )sin 2e e d d ππ
θ?θ???---=
+??
14
20
251
(cos )2
42
e e d ππθθ---=
+?
14
254
e e π---=
. Ⅴ 分段函数的三重积分
分段函数三重积分解题思路:①用积分域Ω内的分段面将Ω划分,将三重积分写成几个分段域上的三重积分的和;② 计算各个分段域上的三重积分. [例6.2.10] 计算(,,)I f x y z dxdydz Ω
=
???
,其中Ω为2221x y z ++≤,被积函数
0,(,,)0z f x y z z z ?≥=≤≤≤分析:由于被积函数是分段函数因此须首先将积分域分成几个相应的子域,然后再计算,由
被积函数的表达式及积分域的特点选球坐标系计算方便. 解:分段面0z =
和z =
将Ω分成三部分.
令1Ω为Ω
在锥面z =
内部分、2Ω为Ω在平面0z =下方部分、3Ω为Ω去
掉1Ω、2Ω剩余部分.于是
1
2
3
(,,)(,,)(,,)I f x y z dxdydz f x y z dxdydz f x y z dxdydz ΩΩΩ=++?????????
1
3
2
0dxdydz ΩΩΩ=
++???
221
2
22
2
4
sin sin d d r dr d d r r dr π
π
ππππθ??θ??=+????
???
251
816
ππ=
+. 三、计算三次积分
计算三次积分时经常遇到交换积分次序的问题,而三次积分交换积分次序一般应将相邻的两个积分看作二次积分(将另外的一个变量看作常数),用二次积分交换次序的方法来实现.
[例6.2.10]
计算1
11
x
y
I dx dy =
?
??.
分析:先对z 无法积分,故应交换积分次序.
解:交换二次积分
11
x
y
dy ??的次序(将x 视为常数)可得
11
1z
x
y
x
x
dy dz =??
??
所以22
1
1
1
2
z
x
x
z x I dx dz dx dz -=
=???
??
再交换二次积分
22
1
02
x
z x
dx dz
-
??的次序可得
22
13
00
121
22318
z z x
I dz dz z dz
-
===
???.
四、三重积分表示函数的讨论
[例6.2.11] 已知()
f x连续,
222
()[()]
F t z f x y dv
Ω
=++
???,其中Ω:222
0,
z h x y t
≤≤+≤,求()
F t'和
2
()
lim
t
F t
t
+
→
.解:
2
22222
000
()[()][()]
t h
F t z f x y dv d rdr z f r dz
π
θ
Ω
=++=+
??????
32
1
2[()]
3
t
r h f r h dr
π
=+
?
所以32
1
()2[()]
3
F t t h hf t
π
'=+,
3
2
00
()()1
lim lim[(0)]
23
t t
F t F t
h hf
t t
π
++
→→
'
==+.
[例6.2.12] 设()
f x连续且恒大于零,
222
()
22
()
()
()
()
t
D t
f x y z dv
F t
f x y dσ
Ω
++
=
+
???
??,其中
2222
():
t x y z t
Ω++≤,222
():
D t x y t
+≤
则()
F t
(A)在1
t=时取极小值,(B)在1
t=时取极大值(C)在区间(0,)
+∞单调增加,(D)在区间(0,)
+∞单调减少.解:
2222222
00000
2222
0000
()sin4()2() ()
()2()()
t t t
t t t
d d f r r dr f r r dr f r r dr
F t
d f r rdr f r rdr f r rdr
ππ
π
θ??π
θπ
???
===
???
?????
????
则
222222
00
22
2[()()()()]
()
(())
t t
t
t f t f r rdr tf t f r r dr
F t
f r rdr
??-??
'=
?
??
?
22
22
2()()()
(())
t
t
tf t f r r t r dr
f r rdr
??-
=>
?
?
?
所以在区间(0,)+∞内()F t 单调增加,故应选(C ).
五、三重积分的应用
Ⅰ 几何上的应用
[例6.2.13] 求下列区域的体积
(1)Ω是球体2
2
2
4x y z az ++≤中曲面2
2
2
4x y az a ++=的下方部分; (2)Ω是2
2,1z x y x y z =+++=所围区域.
解:(1)两曲面的交线22222
222
45404x y az a z az a z a x y z az
?++=?Γ?-+=?=?++=??或4z a =所以两曲面的交线为222
3z a
x y a =??+=?
和交点(0,0,4)a ,因此Ω在xoy 平面上的投影区域为222:3xoy D x y a +≤.
所以Ω
的体积为2221[(4)(2xoy
D V a x y a dxdy a =
---??
2220
1
[(4)(2d a r a rdr a
π
θ=
--?
3
2242223
2
111372[(2)((4)43
6
a r r ar a r a a ππ=--+-=
. (2)两曲面的交线为22
2211
z x y x x y y x y z ?=+Γ?+++=?
++=? 所以Ω在xoy 平面上的投影域为2
2
1
13:()()2
2
2
xoy D x y +++≤ 故Ω的体积为22
1]xoy
D V x y x y dxdy =
----??
22222232
3113
[()()][]2222
xoy
D v u x y dxdy u v dvdu +≤
=
-+-+=--????
22
0099199244448
d rdr ππθπππ=-=-??=?.
Ⅱ 物理应用
[例6.2.14] 设有半径为R 的球体,0P 是此球表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0)k >,求球体质心位置.
解:取球体Ω的球心为坐标原点,点0P 位于x 轴正向上,从而0P 点的坐标为(,0,0)R ,球体上任一点(,,)P x y z 的密度为2
2
2
[()]k x R y z ρ=-++.
设质心坐标为(,,)x y z ,则
222
2
22
[()][()
]k x R y z xdxdydz x k x R y z dxdydz
Ω
Ω
-++=
-++?????? 222
2
22
[()][()
]k x R y z ydxdydz y k x R y z dxdydz
Ω
Ω
-++=
-++??????
222
2
22
[()][()
]k x R y z zdxdydz z k x R y z dxdydz
Ω
Ω
-++=
-++??????
由Ω关于三个坐标面都是对称的,所以利用三重积分的对称性知0y z == 而
2
222222[()
][]2x R y z dxdydz x y z dxdydz R xdxdydz R dv Ω
Ω
Ω
Ω
-++=++-+????????????
2220
00sin R d d r r dr π
πθ??=
??
??543R π+532
15
R π=
2222
[()]2x R y z xdxdydz R x dxdydz Ω
Ω
-++=-?????? 2222260
8
2sin cos sin 15
R
R d d r r dr R π
πθ??θ?π=-?=-
?
?? 所以4
R x =-
. 因此球体Ω的质心坐标为(,0,0)4R -,即在通过0P 的直径上,且在球内与0P 相距5
4
R 的地方.
[例6.2.16] 设球体22
2
2,0x y z az a ++≤>的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比.求球体的质量M 及球体绕z 轴旋转的转动惯量I . 解:由已知球内任一点(,,)x y z
的密度为(,,)x y z ρ=
(0)k >.
则(,,)M x y z dxdydz ρΩ
Ω
=
=???
22cos 222220
01
sin 2sin 4cos 2a k d d r dr k a d r
πππ
?
θ??π???==????
?
24
3
ka π=.
22
()(,,)I x y x y z dv ρΩ
=+
???22Ω
=
2222cos 2344220
0sin 1
sin 2sin 16cos 4
a kr d d r dr k a d r π
π
π
?
?θ??π???==??
??
?
416
35
ka π=.
§6.3 曲线积分
本节重点是两类曲线积分的计算、平面曲线积分与路径无关的条件的使用、求原函数及解曲线积分应用题.
● 常考知识点精讲
一、对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)
1.对弧长曲线积分的概念 ⑴ 对弧长曲线积分的定义
定义:设L 为xoy 平面内的一条以,A B 为端点的光滑(或逐段光滑)曲线弧,函数(,)f x y 在L 上有界,在L 内任意插入1n -个点121,,,n M M M -把L 分成n 个小弧段
01M M ,12M M ,
,1i i M M -,
,1n n M M -(0,n M A M B ==)
记i s 表示弧段1i i M M -的长度,在1i i M M -上任取一点(,)i i ξη,作乘积(,)i i i f s ξη?,并作和
1
(,)n
i
i
i i f s ξη=?
∑,如果当各弧段的长度的最大值0λ→时,该和的极限总存在(与弧
段1i i M M -的分法及点(,)i i ξη的取法无关),则称此极限值为函数(,)f x y 在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作
(,)L
f x y ds ?
,即
1
(,)lim (,)n
i i i L
i f x y ds f s λξη→==?∑?
.
此定义可以推广到积分弧段为空间曲线弧的情形,即函数(,,)f x y z 在空间曲线弧Γ上对弧长的曲线积分
(,,)f x y z ds Γ
?
.
⑵ 对弧长曲线积分的存在性
定理:当(,)f x y 在曲线弧L 上连续时,(,)f x y 在L 上对弧长的曲线积分存在.
⑶ 对弧长曲线积分的基本性质
① 第一类曲线积分与积分路径的方向无关,即
(,)(,)L
L
f x y ds f x y ds -
=?
? (其中L -表示与L 方向相反的弧段)
② 若12n L L L L =+++,则
1
2
(,)(,)(,)(,)n
L
L L L f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds =++
+?
???
③
(,)(,)L L
kf x y ds k f x y ds =??
,
(其中k 为常数) ④
[(,)(,)](,)(,)L
L
L
f x y
g x y ds f x y ds g x y ds ±=±??
?
2.对弧长的曲线积分的计算
⑴ 利用化简计算
第一类曲线积分的化简方法有两种 ① 利用对称性化简,有如下两个命题
命题1:如果积分曲线L 关于x 轴对称,则
1
0(,)(,)(,)2(,)(,)(,)L
L f x y f x y f x y ds f x y ds f x y f x y -=-??=?
-=???
?,当时
,当时 其中1L 是L 被x 轴分出来的一部分 命题2:如果积分曲线L 关于y 轴对称,则
1
0(,)(,)(,)2(,)(,)(,)L
L f x y f x y f x y ds f x y ds f x y f x y -=-??=?
-=???
?,当时
,当时 其中1L 是L 被y 轴分出来的一部分 ② 将积分曲线的方程代入被积函数化简
⑵ 利用定积分计算
命题:设(,)f x y 在曲线L 上连续.若曲线L 的参数方程为:()
()x x t t y y t αβ=?≤≤?=?
,则
(,)[(),(L
f x y ds f x t y t β
α
=?
?
其中(),()x t y t 在区间[,]αβ上有连续导数且2
2
()()0x t y t ''+≠.
⑶ 转化为第二类曲线积分计算
[例3.1] 设L 是圆周2
2
2
x y R +=,计算23()L
I x y ds =
+?
.
解:由于积分曲线L 关于x 轴对称,被积函数3
(,)f x y y =是关于y 的奇函数,所以
30L
y ds =?
又因为L 是圆周2
2
2
x y R +=,所以L 具有轮换对称性,从而 22222
311()2
2
L
L
L
L x ds y ds x y ds R ds R π=
=
+=
=?
?
?
?
所以233()L
I x y ds R π=
+=?
.
[例3.2] 设L 是由圆周2
2
2
x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限中所围成图形的边界,计算22
x y L
I e
ds +=
?
.
解:如图,积分曲线L ,由线段OA ,圆弧AB 和线段OB 组成 于是
22
22
22
22
x y x y x y x y L
OA
AB
OB
I e
ds e
ds e
e
ds ++++=
=++?
???
而在OA 上,:,(0)0x x
OA x a y =?≤≤?
=?
,ds dx = 在AB 上,cos :,0sin 4x a t AB t y a t
π
=?≤≤?
=?,ds adt =
在OB 上,2
:,02x x OB x a y x
=?≤≤?
=?,2ds dx =
故 2240
22(1)4
a
x
a
x
a a I e dx e adt dx e ae π
π
=
+?+=-+
?
?.
3.物理应用
设曲线形物体在xoy 平面上占有弧段L ,其上点(,)x y 处的线密度为(,)x y ρ,假定
(,)x y ρ在L 上连续,则
⑴ 该物体的质心坐标(,)x y 为:
(,)(,)L L x x y ds x x y ds
ρρ=??, (,)(,)L L
y x y ds y x y ds
ρρ==
?? ⑵ 该物体绕轴的转动惯量 绕x 轴的转动惯量: 2(,)x L
I y x y ds ρ=?
绕y 轴的转动惯量: 2(,)y L
I x x y ds ρ=
?
绕直线:0l ax by c ++=的转动惯量: 2
22
()(,)l L ax by c I x y ds a b ρ++=+? 二、对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)
1.对坐标的曲线积分的概念
⑴ 对坐标曲线积分的定义
定义:设L 为xoy 平面内的一条以,A B 为端点的有向光滑(或逐段光滑)曲线弧,函数
(,),(,)P x y Q x y 在L 上有界,在L 内任意插入1n -个点111111(,),,(,)n n n M x y M x y ---把
L 分成n 个有向小弧段
01M M ,12M M ,,1i i M M -,,1n n M M -(0,n M A M B ==)
记11,i i i i i i x x x y y y --=-=-,在1i i M M -上任取一点(,)i i ξη.如果当各弧段的长度的
最大值0λ→时,
1
(,)n
i
i
i i P x ξη=?
∑的极限总存在(与弧段1i i M M -的分法及点(,)i i ξη的取
法无关),则称此极限值为函数(,)P x y 在有向曲线弧L 上对坐标x 的曲线积分,记作
(,)L
P x y dx ?
.类似地,如果极限1
(,)n
i i i i Q y ξη=?∑的极限总存在(与弧段1i i M M -的分法及
点(,)i i ξη的取法无关),则称此极限值为函数(,)Q x y 在有向曲线弧L 上对坐标y 的曲线积分,记作
(,)L
Q x y dy ?,即
1(,)lim (,)n
i i i L
i P x y dx P x λξη→==?∑?
1
(,)lim (,)n
i
i
i L
i Q x y dy Q y λ
ξη→==?∑?
一般地
(,)(,)(,)(,)L
L
L
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +=+?
??.
上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧Γ的情况:
(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ
++?
1lim [(,,)(,,)(,,)]n
i i i i i i i i i i i i i P x Q y R z λξηζξηζξηζ→==?+?+?∑.
⑵ 对坐标的曲线积分的存在性
定理:若(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上连续,则(,),(,)P x y Q x y 在有向曲线弧L 上对
坐标的曲线积分存在.
⑶ 对坐标的曲线积分的基本性质
第二类曲线积分与积分路径的方向有关,
(,)(,)(,)(,)L L
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy -
+=-+?
?
其它性质类似于对弧长的曲线积分. 2.对坐标的曲线积分的计算 ⑴ 利用定积分计算
命题:若有向曲线弧L 的参数方程为:()()
x x t y y t =??
=?,而且t α=对应于有向曲线弧L 起点,
t β=对应于有向曲线弧L 终点(β不一定大于α)
.那么 (,)(,)L
P x y dx Q x y dy +?
={}[(),()]()[(),()]()P x t y t x t Q x t y t y t dt β
α
''+?
其中(),()x t y t 在区间[,]αβ(或[,]βα)上有连续导数且22
()()0x t y t ''+≠.
一般来说封闭曲线上的第二类曲线积分或通过观察用定积分计算很困难的第二类曲线积分需借助于格林公式用二重积分计算. [例3.3] 计算22(2)(2)L
I x xy dx y xy dy =
-+-?
,其中L 是抛物线2y x =上从点(1,1)-到
点(1,1)的一段弧.
解:2
:x x
L y x
=??=?,当1x =-时,对应L 的起点;当1x =时对应L 的终点. 于是 22(2)(2)L
I x xy dx y xy dy =-+-?
1
23431
[(2)(2)2]x x x x x dx -=
-+-??
1
2
4
0142(4)15
x x dx =-=-
?
. 3.格林公式及其应用 ⑴ 格林公式
定理:设D 是一平面有界闭区域,L 是D 的边界曲线,方向为规定的正向,(,),(,)P x y Q x y 在D 及其边界L 上有一阶连续偏导数,则有
(,)(,)(
)L
D
Q P
P x y dx Q x y dy dxdy x y
??+=-???
?? ⑵ 平面上曲线积分与路径无关的条件
定理:设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有连续一阶偏导数,则曲线积分
(,)(,)L
P x y dx Q x y dy +?
在D 内与路径无关(或沿D 内任意简单闭曲线的曲线积分值为
零)的充要条件是,(,)Q P
x y D x y
??≡∈??. ⑶ 原函数的求法
定义:若有(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy du x y +=,则称(,)(,)P x y dx Q x y dy +为函数(,)u x y 的全微分,而函数(,)u x y 叫(,)(,)P x y dx Q x y dy +的一个原函数.
定理:设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有连续一阶偏导数,则(,)(,)P x y dx Q x y dy +为函数(,)u x y 的全微分的充分必要条件为在D 内恒有
Q P
x y
??≡??.且函数(,)u x y 可以表示为:0
0(,)(,)(,)x
y
x y u x y P x y dx Q x y dy =
+?
?或0
0(,)(,)(,)x
y
x y u x y P x y dx Q x y dy =+??
其中00(,)x y 为区域D 内一点. [例3.4] 计算232()(2)L
I x xy dx y xy dy =
-+-?
.
其中L 为四个顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.
分析:由于L 是封闭曲线,且其正向为它所围区域D 边界规定的正向,且2
3
(,)P x y x xy
=-与2
(,)2Q x y y xy =-都有连续偏导数,故格林定理的条件满足,用格林定理来计算. 解:由格林公式可得 232()(2)L
I x xy dx y xy dy =-+-?
2(
)(23)D
D
Q P
dxdy y xy dxdy x y ??=
-=-+?????? 2
220
(23)8dx y xy dy =
-+=?
?.
[例3.5] 证明曲线积分2
322(6)(63)L
xy
y dx x y xy dy -+-?在整个平面上与路径无关,并计
算积分
(3,4)
2322(1,2)
(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-?
的值.
解:整个平面域是单连通区域,记2
3
(,)6P x y xy y =-,2
2
(,)63Q x y x y xy =- 则(,),(,)P x y Q x y 在整个平面域上有一阶连续偏导数,且
2123P Q xy y y x
??=-=?? 所以曲线积分2
322(6)(63)L
xy
y dx x y xy dy -+-?在整个平面上与路径无关
于是
(3,4)
3
4
23
2
2
(1,2)
1
2
(6)(63)(,2)(3,)xy y dx x y xy dy P x dx Q y dy -+-=+?
??
3
4
21
2
(248)(549)236x dx y y dy =
-+-=?
?.
[例3.6] 验证dy y y x dx xy x )23()23(2
232
+++是全微分式,并求其全部原函数. 解:因为 3
2
23),(xy x y x P += ,y y x y x Q 23),(2
2
+=在整个平面内都有连续一阶偏导数,且
26xy y
P
x Q =??=??,所以是全微分式. 全部原函数为
32320
(,0)(,)x
y
P x dx Q x y dy c x x y y c ++=+++?
?(c 是任意常数).
4.对坐标曲线积分的应用
设质点在力{}(,),(,)F P x y Q x y =作用下沿有向曲线弧从A 点运动到B 点,这一过程中力F 做的功为 (,)(,)AB
AB
W F ds P x y dx Q x y dy =
?=+?
?
三、两类曲线积分间的关系
设(,)M x y 是有向曲线弧L 上任一点,0
τ是L 在M 点且与L 方向一致的单位切向量,则
{}{}0,cos ,cos dx dy ds ds ds
ταβ===
●● 常考题型及其解法与技巧
一、对弧长曲线积分的计算
Ⅰ 利用化简计算
[例6.3.1] 填空题
(1)设L 为椭圆
22
143
x y +=,其周长记为a ,则22(234)____L xy x y ds ++=?; (2)设2222:0
x y z a x y z ?++=Γ?++=?,则2
____x ds Γ
=?.
解:(1)L 关于x 轴对称,而函数2xy 是变量y 的奇函数,所以由对称性可知
20L
xyds =?
从而22
2
2
2
2
(234)3412()43
L L L x y xy x y ds x y ds ds ++=+=+
??? 又因为L 上的点都满足22
143
x y +=,所以 22
12()121243
L L x y ds ds a +
==?? 故
22(234)12L
xy x y ds a ++=?
.
(2)因为2222
:0
x y z a x y z ?++=Γ?++=?,所以具有轮换对称性.
由轮换对称性可得: 222x ds y ds z ds Γ
Γ
Γ
==?
??
所以
22221
()3x ds x y z ds Γ
Γ
=
++?
?, 又因为Γ上的点都满足2
2
2
2
x y z a ++=,从而 2
2223()2x
y z ds a ds a πΓ
Γ
++==??
故
2
323
x ds a πΓ
=?. Ⅱ 利用定积分计算 [例6.3.2] 计算
()L
x y ds +?,其中L 是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形围成.
解:利用积分性质得:
()()()()L OA
OB
BA
x y ds x y ds x y ds x y ds +=+++++??
??
线段OA 参数方程为,010
x x
x y =?≤≤?=?,ds dx =,故
1
1()2
OA
x y ds xdx +==
??; 线段OB 参数方程为0
,01x y y y =?≤≤?=?
,ds dy =,故
1
1
()2
OB
x y ds ydy +==
?
?;
第7章 多元函数微积分 测试题 一、单项选择题。 1.设23)12(++=y x z ,则 =??y z ( D )。 A .13)12)(23(+++y x y B .13)12)(23(2+++y x y C .)12ln()12(23+++x x y D .)12ln()12(323+++x x y 2.设)ln(y x z +=,则=) 0,1(d z ( B ) 。 A .y x d d +- B .y x d d + C .y x d d - D .y x d d -- 3.下列说法正确的是( A )。 A .可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值,则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ; B .函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值,则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ; C .若),(00y x f x 0),(00==y x f y ,则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。 D .若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在,则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。 4.设uv z =,v u x +=,v u y -=,若把z 看作y x ,的函数,则 =??x z ( A ) 。 A .x 21 B .)(21 y x - C .x 2 D .x 5.下列各点中( B )不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A .)0,1( B .)1,0( C .)2,1( D .)0,3(- 6.二元函数?????=≠+=)0,0(),( 0)0,0(),( ),(2 2y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处( C )。 A .连续,偏导数存在 B .连续,偏导数不存在 C .不连续,偏导数存在 D .不连续,偏导数不存在 7.函数xy y x z ++=22的极值点为( A )。 A .)0,0( B .)1,0( C .)0,1( D .不存在
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限: A (2,1,-6), B (0,2,0), C (-3,0,5), D (1,-1,-7). 解:A 在V 卦限,B 在y 轴上,C 在xOz 平面上,D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1,2,3),求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解:设所求对称点的坐标为(x ,y ,z ),则 (1) 由x -1=0,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为:(1,-2,-3). (2) 由x =-1,y +2=0,z +3=0,得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为:(-1,-2,-3). 同理可得:点M 关于y 轴的对称点的坐标为:(1, 2,-3);关于z 轴的对称点的坐标为:(1,-2,3). (3)由x =-1,y =2,z +3=0,得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为:(-1, 2,-3). 同理,M 关于yOz 面的对称点的坐标为:(1, 2,3);M 关于zOx 面的对称点的坐标为:(-1,-2,3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4,1,7)和B (3,5,-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0,0,z ),依题意有|MA |2=|MB |2,即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11,故所求的点为M (0,0, 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解:由两点距离公式可得2 12 14M M =,2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1),M 2(7,1,2),M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =-3,c =5,求这个平面的方程. 解:所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,-3,-1)的平面方程. 解:因所求平面经过x 轴,故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,-3,-1)在平面上,所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0),M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解:因所求平面平行于y 轴,故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上,于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式:A =C =-D ,代入方程得:-Dx -Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z -1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2-2x +4y =0表示怎样的曲面? 解:表示以点(1,-2,0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形? (1) x -2y =1; (2) x 2+y 2=1; (3) 2x 2+3y 2=1; (4) y =x 2. 解:(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。
用MATLAB 计算多元函数的积分 三重积分的计算最终是化成累次积分来完成的,因此只要能正确的得出各累次积分的积分限,便可在MA TLAB 中通过多次使用int 命令来求得计算结果。但三重积分的积分域Ω是一个三维空间区域,当其形状较复杂时,要确定各累次积分的积分限会遇到一定困难,此时,可以借助MATLAB 的三维绘图命令,先在屏幕上绘出Ω的三维立体图,然后执行命令 rotate3d on ↙ 便可拖动鼠标使Ω的图形在屏幕上作任意的三维旋转,并且可用下述命令将Ω的图形向三个坐标平面进行投影: view(0,0),向XOZ 平面投影; view(90,0),向YOZ 平面投影; view(0,90),向XOY 平面投影. 综合运用上述方法,一般应能正确得出各累次积分的积分限。 例11.6.1计算zdv Ω ???,其中Ω是由圆锥曲面222z x y =+与平面z=1围成的闭区域 解 首先用MA TLAB 来绘制Ω的三维图形,画圆锥曲面的命令可以是: syms x y z ↙ z=sqrt(x^2+y^2); ↙ ezsurf(z,[-1.5,1.5]) ↙ 画第二个曲面之前,为保持先画的图形不会被清除,需要执行命令 hold on ↙ 然后用下述命令就可以将平面z=1与圆锥面的图形画在一个图形窗口内: [x1,y1]=meshgrid(-1.5:1/4:1.5); ↙ z1=ones(size(x1)); ↙ surf(x1,y1,z1) ↙ 于是得到Ω的三维图形如图:
由该图很容易将原三重积分化成累次积分: 111zdv dy -Ω=???? 于是可用下述命令求解此三重积分: clear all ↙ syms x y z ↙ f=z; ↙ f1=int(f,z.,sqrt(x^2+ y^2),1); ↙ f2=int(f1,x,-sqrt(1- y^2), sqrt(1- y^2)); ↙ int(f2,y,-1,1) ↙ ans= 1/4*pi 计算结果为4 π 对于第一类曲线积分和第一类曲面积分,其计算都归结为求解特定形式的定积分和二重积分,因此可完全类似的使用int 命令进行计算,并可用diff 命令求解中间所需的各偏导数。 例11.6.2用MATLAB 求解教材例11.3.1 解 求解过程如下 syms a b t ↙ x=a*cos(t); ↙ y=a*sin(t); ↙ z=b*t; ↙ f=x^2 +y^2+z^2; ↙ xt=diff(x,t); ↙ yt=diff(y,t); ↙ zt=diff(z,t); ↙ int(f*sqrt(xt^2 +yt^2+zt^2),t,0,2*pi) ↙ ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*a^2*pi+8/3*( a^2 +b^2)^1/2*b^2*pi^3 对此结果可用factor 命令进行合并化简: factor (ans ) ans= 2/3*( a^2 +b^2)^1/2*pi*(3* a^2 +4*b^2*pi^2) 例11.6.3用MATLAB 求解教材例11.4.1 解 求解过程如下 syms x y z1 z2↙ f= x^2 +y^2; ↙ z1=sqrt(x^2 +y^2); ↙ z2=1; ↙ z1x=diff(z1,x); ↙ z1y=diff(z1,y); ↙ z2x=diff(z2,x); ↙ z2y=diff(z2,y); ↙
2.多元函数积分学 K考试内容》(数学一) 二重积分、三重积分的概念及性质二重积分与三重积分的计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林公式平面曲线积分与路径无关的条件己知全微分求原函数两类曲面积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯公式斯托克斯公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用 K考试要求》(数学一) 1 ?理解二重积分、三重积分的概念,了解重积分的性质,了解二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标),会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 3?理解两类曲线积分的概念,了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 4.掌握计算两类曲线积分的方法。 5.掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件,会求全微分的原函数。 6.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系,掌握计算两类曲面积分的方法。会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。 7.了解散度与旋度的概念,并会计算。 8.会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等)。 K考试要求』(数学二) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 K考试要求》(数学三) 1.了解二重积分的概念及性质,掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 2.了解无界区域上较简单的广义二重积分及其计算。 K考试要求》(数学四) 同数学三
2.多元函数积分学 K知识点概述H 2. 1二重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法(x型简单区域;y型简单区域)极坐标法(r型简单区 域;&型简单区域)一般变换法 几何应用:面积、曲顶柱体体积物理应用:质量、质心、转动惯量 2. 2三重积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:直角坐标法:x型简单区域;y型简单区域;z型简单区域 投影法(先定积分后二重积分) 截面法(先二重积分后定积分)柱坐标法;球坐标法;一般变换法 儿何应用:体积物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 2. 3曲线积分 第一类曲线积分 基本概念:定义、基本性质 计算方法:参数化法 儿何应用:弧长 物理应用:质量、质心、转动惯量、引力 第二类曲线积分 基本概念:定义、基本性质计算方法:参数化法 曲线积分基本定理(曲线积分与路径无关的条件(平面情形,空间情形); 全微分的原函数;场论基本概念与计算格林公式(平面曲线积分);斯托克 斯公式(空间曲线积分)物理应用:功,环流量,通量第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系
第六章多元函数微分学 [单选题] 1、 设积分域在 D由直线x+y二0所围成,则 | dxdy 如图: [单选题] 2、 A 9 B、4 C 3
【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 [单选题] 3、 设H 二才,则y=() A V 皿2-1) B 、xQnx-1) D 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 首先设出-,J ' 二一;,然后求出 最后结果中把二】用’’次方代换一下就可以得到结果. [单选题] 4、 Ft F'y,尸空二 dx F f y
[% I 设Z = 则去九£ |() km ,(心+& J D )L 『(也几) AK^*° A'X ?■ 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题直接根据偏导数定义得到 [单选题] 5、 设z=ln (x+弄),示=() A 1 B 、 X+旷" C 1-2妒 盂+沙 D X + 帘 一" 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】 B 、 lim U m /侃+山+ 3) — / (险用) Ay 了0+山』0)—/(兀 几) Ar lim /(x+Ax.y)-/^) 4y
|"S 1 I 对x求导,将y看做常数,小门?八 [单选题] 6、 设U 了:,;_丁;:£=() 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】A 【您的答案】您未答题 【答案解析】<■■-?■■■■■:川[单选题] 7、 设f(x r x+y) = ^ + x2t则£0,卩)+ £(尽刃二() A丨; B、… C : D ', 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 f(x,兀+y)=砂+ F二疏》+兀) /fcy) = ^y X '(^y)=y 二兀 £(2)+另(“)=曲 [单选题] 8
§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系; 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式; 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式; 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程: 一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系的建立 过空间定点0,作三条互相垂直的数轴,他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴,y 轴, z 轴,统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,z 轴 z 在铅垂方向,他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地,点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1.曲面方程 在空间解析几何中,任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ,如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ,不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程,则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程,而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等,求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为
`第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理,熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,掌握二元函数极值存在的充分条件,并会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。
(1)基本概念 ①二元函数极限的定义:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ,对于?0ε>,总?0δ>,使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时,都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立,则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限,记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续:设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点,且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=,则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 (2)关于二元函数极限的解题思路 注意:在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中,0P P →方式任意,正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态,在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在:若0P P 以两种不同的方式趋于时,()f P 的极 限不同,则0 lim ()P P f P →一定不存在(见例1)。 ②求二元函数的极限:可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限,比如:极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等(见例2) 例1证明:2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0()的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点,可考虑选择路径 2x ky =。 证明: 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++,
多元函数微积分复习题 一、单项选择题 1.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 2.设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的 ( D ) (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 3.函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ). (A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件. 4.对于二元函数(,)z f x y =, 下列结论正确的是 ( ). C A. 若0 lim x x y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0 lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处 z x ??和z y ??存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ??和22z y ??都存在, 则. 22z x ??=22 z y ??. 5.二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( ). C A. 可微(指全微分存在)?可导(指偏导数存在)?连续; B. 可微?可导?连续; C. 可微?可导, 或可微?连续, 但可导不一定连续; D. 可导?连续, 但可导不一定可微. 6.向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=-,则a b = ( A ) (A) 3 (B) 3- (C) 2- (D) 2
第八章.多元函数积分学 在不同的问题当中,可以对多元函数的积分进行不同的定义,因此,我们需要在不同的问题背景当中来定义不同的积分概念。 二重积分。 二重积分实际上就是对二元函数求定积分,在实际问题当中,需要对二元函数进行求和计算,或者直观地说,涉及到体积的计算与具有在二维区域上的分布的物理量的计算,就需要运用二重积分的概念来进行。 因此我们对二重积分的定义,与对单变量函数的定积分的定义是完全类似的,只是这里的积分区域不是一维的,而是二维平面上的区域。这样通过把积分区域任意划分成只有公共边界的子区域,然后在每一个子区域当中任意取一点,取这点的函数值与该子区域的面积之积,再把所有的这样的乘积加起来,得到一个和式,接下来,就是我们已经很熟悉的极限过程,即使得所有子区域当中面积最大者的面积趋向于0,也就是使得子区域的数目趋向于无穷大,看和式是否存在极限,以及可能的话,这个极限是多少。这就是关于二重积分的可积性问题与二重积分的计算问题。 关于可积性的问题有下面一个简单的定理: 如果函数在一个有界闭区域上有定义并且连续,则这个函数必定在这个区域上可积。 从上面的二重积分概念的说明,可以得到与单变量函数的定积分相类似的几何说明,即被积函数所描述的曲面与其在自变量平面上的积分区域上的投影之间所夹的空间的体积。基于这样的理解,可以很容易得到如下的二重积分的性质。 (1)??+??=??+D D D gdx j fdx i dx jg if )(, 其中i ,j 为任意常数。这是二重积分的线性性质; (2),??+??=??D D fdx fdx fdx D 21 其中D D D =?21。 (3)如果在区域D 上有 ),(),(y x g y x f ≤, 则有 ??≤??D D gdx fdx ; 而对于D 上的可积函数f ,存在任意上界M 和任意下界m ,则有 MD fdx mD D ≤??≤ 其中D 为区域D 的面积。 (4)设函数f 为有界连通闭区域D 上的连续函数,则一定在这个区域上存在一点(a ,b ),使得 D b a f fdx D ),(=??; 这个性质还可以推广到比较一般的形式: 设函数g 为D 上的非负值连续函数,f 在D 上可积,则存在一个介于f 在D 上的上界
第七章 多元函数微积分学 第一部分:多元函数微分学 一、二元函数的极限专题练习: 1.求下列二元函数的极限: (1) ()2 1 1(,)2,2lim 2;y xy x y xy +? ? →- ? ? ?+ (2) () ()2222 (,),3 lim sin ;x y x y x y →∞∞++ (3) ()(,)0,1sin lim ;x y xy x → (4) ( (,)0,0lim x y → 2.证明:当()(,)0,0x y →时,() 44 3 4 4(,)x y f x y x y =+的极限不存在。 二、填空题 3. 若22),(y x y y x f -=+,则=),(y x f ; 4. 函数22(,)ln(1)f x y x y =+-的定义域是D = ; 5. 已知2 (,)x y f x y e = ,则 '(,)x f x y = ; 6. 当23(,)5f x y x y =,则 '(0,1)x f = ; 7. 若2yx e z xy +=,则=??y z ; 8. 设)2ln(),(x y x y x f + =,则'(1,0)y f =; 9. 二元函数xy xe z =的全微分=dz ;
10.arctan()Z xy =设,则dz= . 三、选择题 11.设函数 ln()Z xy =,则 Z x ?=? ( ) A 1y B x y C 1x D y x 12.设2sin(),Z xy = 则 Z x ?=? ( ) A 2cos()xy xy B 2cos()xy xy - C 22cos()y xy - D 22cos()y xy 13.设 3xy Z =,则 Z x ?=? ( ) A 3xy y B 3ln 3xy C 13xy xy - D 3ln 3xy y
第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、()y x,f z =,定义域为平面上某一个平面域 几何上()y x,f z =为空间一张曲面。 2、二元函数极限 P186 例1、讨论函数 ()()()0,00 y x 0y x 0x y y 4x y x,f 222222 44 2在=+≠+?????+=极限是否存在。 解:()()()01K x x 4K lim x x K x K 4x lim x y y 4x lim 24222022444 42022442y x 0 2=+=+?=+→→=→x x x 而 ()4y y y 4y lim 244442y x 0 x =+?=→ ∴ () y x f 在(0,0)极限不存在. 3、连续 P187 第二节 偏导数 定义:()()00y ,x y x,f z 在点=处对x 的偏导数, 记作:()0010y y 0x x x 0y y 0x x 0y y 0x x y ,x f ,z ,x f , x z ''????====== 即: ()()()x y ,x f y x,x f lim y ,x f 00000x 00x ?-?+='→? 同理:()()()y y ,x f y y ,x f lim y ,x f 00000y 00y ?-?+='→? ()00y x y ,x f ,f 在''存在,称()()00y ,x y x,f z 在=可导。 例1、y z ,x z ,x z y ????=求 解:lnx x y z ,yx x z y 1y =??=??- 例2、P188,例5,6
第八讲 多元函数积分学知识点 一、二重积分的概念、性质 1、 ∑??=→?=n i i i i d D f dxdy y x f 1 0),(lim ),(δηξ ,几何意义:代表由),(y x f ,D 围成的曲顶柱体体积。 2、性质: (1)=??D dxdy y x kf ),(??D dxdy y x f k ),( (2)[]??+D dxdy y x g y x f ),(),(= ??D dxdy y x f ),(+??D dxdy y x g ),( (3)、D d x d y D =?? (4)21D D D +=,??D dxdy y x f ),(=??1),(D dxdy y x f +??2 ),(D dxdy y x f (5)若),(),(y x g y x f ≤,则≤??D dxdy y x f ),(??D dxdy y x g ),( (6)若,),(M y x f m ≤≤则MD dxdy y x f mD D ≤≤??),( (7)设),(y x f 在区域D 上连续,则至少存在一点D ∈),(ηξ,使=??D dxdy y x f ),(D f ),(ηξ 二、计算 (1) D:)()(,21x y x b x a ??≤≤≤≤ ????=) ()(21),(),(x x b a D dy y x f dx dxdy y x f ?? (2) D :)()(,21y x y d y c ??≤≤≤≤, ????=) ()(21),(),(x x d c D dy y x f dy dxdy y x f ?? 技巧:“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围,然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 (3)极坐标下:θθθrdrd dxdy r y r x ===,sin ,cos ????=) (0)sin ,cos ( ),(θβαθθθr D rdr r r f d dxdy y x f 三、曲线积分 1、第一型曲线积分的计算 (1)若积分路径为L :b x a x y ≤≤=),(φ,则
第六章 多元函数微分学 答案及评分标准 一、1、B 解:原式6)11(3lim )11(3lim 0 000=++=++=→→→→xy xy xy xy y x y x . 2、A 解:2R D =,当022≠+y x 时,),(y x f 连续;当022=+y x 时 22222221)(210),(y x y x y x y x f +=++≤-.即)0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→. 3、B 4、D 解:)0,0()0(111222?>≥?≥++≥z z y x z 是最小值点,由于)0,0(为定义域内点,所以)0,0(也是极小值点. 5.C 解:由方向导数的定义可得. 二、1、 2ln 2、xy xyz xyz yz -- 3、21f z f '+',2212 2f xz f x f ''+''+' 解:21211f z f z f f x u '+'=?'+?'=??, 故22122222122f xz f x f x f z f x f z x u ''+''+'=?''+'+?''=???. 4、{2x -4,4y -6,6z -8} 解:grad f ={2x -4,4y -6,6z -8};grad f |(2,1,2)={0,-2,4}, |grad f |(2,1,2)=,即f 在点(2,1,2)处方向导数 的最大值为. 5、 dy dx +2ln 2 三、解:1cos sin ?+?=????+????=??v e y v e x v v z x u u z x z u u )]cos()[sin(y x y y x e xy ++?+= ……………5分 1cos sin ?+?=????+????=??v e x v e y v v z y u u z y z u u )]cos()[sin(y x x y x e xy ++?+= ……………10分 四、解:xy x z 2=?? y x y z cos 2+=?? (4分) x y x z 22=??? (7分) y y z sin 22-=?? (10分)
多元函数微分学练习题 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
第五章(多元函数微分学) 练习题 一、填空题 1. (,)(0,0)sin()lim x y xy y →= . 2. 22 (,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+=+ . 3. 1 (,)(0,0)lim [1sin()]xy x y xy →+= . 4. 设21sin(), 0,(,)0, 0x y xy xy f x y xy ?≠?=??=? 则(0,1)x f = . 5. 设+1(0,1)y z x x x =>≠,则d z = . 6. 设22ln(1)z x y =++,则(1,2)d z = . 7. 设u =d u = . 8. 若(,)f a a x ?=? ,则x a →= . 9. 设函数u =0(1,1,1)M -处的方向导数的最大值为 . 10. 设函数23u x y z =++,则它在点0(1,1,1)M 处沿方向(2,2,1)l =-的方向导数为 . 11. 设2z xy =,3l i j =+,则21x y z l ==?=? . 12. 曲线cos ,sin ,tan 2 t x t y t z ===在点(0,1,1)处的切线方程是 . 13. 函数z xy =在闭域{(,)0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤上的最大值是 . 14. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为 . 15. 曲面2:0x z y e -∑-=上点(1,1,2)处的法线方程是 . 16. 曲面22z x y =+与平面240x y z +-=平行的切平面方程是 .
多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸,包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义:曲顶柱体的体积 性质:线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式:x 型、y 型、极坐标(2 2 y x +) 常见计算类型: ① 选择积分顺序:能积分、少分块 ② 交换积分顺序:确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算:要兼备被积函数和积分区域两个方面,不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限:极点在积分区域内(特殊:与x 轴相切、与y 轴相切)、极点不在积分区域内 ⑤ 其他:利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”:dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证:令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- (奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算) ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”,所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 (了解“积不出来函数”,增强目标意识,适当转化目标函数形式)
③ 令其中一个x 变成y ,构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =,θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ,)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 (极坐标系?直角坐标系,选择合适的积分次序将二重积分?二次积分,了解广义定积分) (此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = )
第六章多元函数微积分复习要点 一、基本概念及相关定理 1.多元函数的极限定义:函数(,)z f x y =在区域D 内有定义,当点P(x ,y )D ∈沿任意路径无限趋于点000(,)P x y (0P P ≠)时, (,)f x y 无限趋于一个确定的常数 A,则称常数A 是函数(,)z f x y =当P(x ,y )趋于 000(,)P x y 时的极限.记作0 lim (,)x x y y f x y A →→=,或00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=,或(,)f x y A →,00(,)(,)x y x y →,或 lim (,)f x y A ρ→=,或 (,)f x y A →,0ρ→.其中 , ρ= 2.二元函数连续的定义:函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义,如果对任意 0(,)()P x y U P ∈,都有 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=(或 0lim ()()P P f P f P →=),则称函数(,)z f x y =在点000(,) P x y 处连续. 3.偏导数的定义:函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域0()U P 内有定义. (1)函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导 数定义为00000 (,)(,)lim x f x x y f x y x ? →+?-?,记作 00 x x y y z x ==??,或 00 x x y y f x ==??, 或00(,)x z x y ',或00(,)x f x y ',即 x x y y z x ==??=00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ? →+?-?. (2)函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 处对 y 的偏导
重积分测验题 一、选择题(每小题4分) 1、设??????+=+=+= D D D dxdy y x I dxdy y x I dxdy y x I )(,)(,)ln(322 1,其中D 是由直线 1,2 1 ,0,0=+= +==y x y x y x 所围成的区域,则321,,I I I 的大小顺序为_________. A 、123I I I << B 、321I I I << C 、231I I I << D 、213I I I << 2、设?? =1 21 sin y dx x dy I ,则I 等于___________. A 、 )1cos 1(2 1 - B 、1cos 1- C 、1sin 1+ D 、积不出来 3、设 ,),(),(10 10 ? ???-=x D dy y x f dx dxdy y x f 则改变其积分次序后应为_________. A 、 ?? -1 10 ),(dx y x f dy x B 、? ?-x dx y x f dy 101 ),( C 、 ?? 1 1 ),(dx y x f dy D 、? ?-y dx y x f dy 10 1 ),( 4、设0,:22221≥≤++Ωz R z y x 及0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x 则___. A 、??????ΩΩ=2 1 4xdv xdv B 、??????ΩΩ=2 1 4ydv ydv C 、 ??????ΩΩ=2 1 4zdv zdv D 、??????ΩΩ=2 1 4xyzdv xyzdv 5、 Ω是由曲面1,0,,22===+=z y x y y x z 在第一卦限所围成的区域,),,(z y x f 在Ω 上连续,则 ???Ω dv z y x f ),,(=__________. A 、 ?? ? +-1 11 2 2 2 ),,(y x y y dz z y x f dx dy B 、?? ? +-1 12 20 2 2 2 ),,(y x x x dz z y x f dy dx C 、 ?? ? +-1 12 2 2 2 2 ),,(y x y y dz z y x f dx dy D 、???+1 10 2 2 ),,(y x y dz z y x f dx dy 二、填空题(每小题4分) 1、由二重积分的几何意义得到 =??≤+1 43 22y x d σ 2、二重积分 ?? D xydxdy 的值为__________,其中.10,0:2 ≤≤≤≤x x y D
第六章 多元函数微积分 一、单项选择题 二、填空题 1.设z=22y x +,则)2,1(dz =___________. 2.设z =x y cos ,则全微分d z =___________. 3.设z=x e xy ,则y x z ???2=______________________. 4.设z =(2x +y )2y ,则x z ??=________. 5.设z=y x 322e -,则y x z ???2=_______________. 6.设函数v u w w v u w v u f ++-=)(),,(,则=-+),,(xy y x y x f . 7.设函数z =22y x +,则偏导数 =??x z _________. 三、计算题 1.设z=arctan x y ,求y x z 2???. 2.设隐函数z (x,y )由方程x+2y+z=2xyz 所确定,求 x z ??. 3.计算二重积分I=??+D 22dxdy )y x (x ,其中D 是由直线x=0, y=0及x+y=3所围成的闭区域. 4.设z =z (x ,y )是由方程e xyz +z -sin(xy )=1所确定的隐函数,求 x z ??,y z ??. 5.计算二重积分I = ??D y x xy x d d )cos(2,其中D 是由直线x =1,y =x 及x 轴所围成的平面区域. 6.计算二重积分??D y x y x d d 2,其中D 是由直线y =x ,x =1以及x 轴所围的区域. 7.计算二重积分??=D y x x I d d ,其中区域D 由曲线x y = ,直线x =2以及x 轴围成. 8.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y z x z ????,.
考研数学:多元函数微分学考点和常考 题型分析 在研究生入学考试中,高等数学是数一、数二、数三考试的公共内容。数一、数三均占56%(总分150分),考察4个选择题(每题4分,共16分)、4个填空题(每题4分,共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论,高数占78%,考察6个选择题(每题4分,共24分)、4个填空题(每题5分,共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所占比例易知,高数是考研数学的重头戏,因此一直流传着“得高数者得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷级数等七个模块,老师在梳理分析函数、极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学的基础上,继续梳理多元函数微分学,希望对学员有所帮助。 1、考试内容 (1)多元函数的概念二元函数的几何意义;(2)二元函数的极限与连续的概念,有界闭区域上二元连续函数的性质 ;(3)多元函数偏导数的概念与计算;(4)多元复合函数的求导法与隐函数求导法;(5)二阶偏导数;(6)全微分;(7)多元函数的极值和条件极值,最大值和最小值。 2、考试要求 (1)了解多元函数的概念,了解二元函数的几何意义;(2)了解二元函数的极限与连续的概念,了解有界闭区域上二元连续函数的性质;(3)了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数,会求全微分,会求多元隐函数的偏导数;(4)了解多元函数极值和条件极值的概念;(5)掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件;(6)会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决简单的应用问题. 3、常考题型 (1)多元函数的极限;(2)多元函数微分学的概念;(3)连续、可导、可微的关系;(4)求函数的偏导数;(5)变换下关于偏导数方程的变形;(6)求函数的无条件极值;(7)求函数的条件极值。