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正余弦定理练习题含答案

高一数学正弦定理综合练习题

1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( )

A.6

B. 2

C. 3 D .2 6 2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )

A .4 2

B .4 3

C .4 6 D.32

3

3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )

A .45°或135°

B .135°

C .45°

D .以上答案都不对 4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )

A .1∶5∶6

B .6∶5∶1

C .6∶1∶5

D .不确定 解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )

A .1 B.12 C .2 D.1

4

6.在△ABC 中,若cos A cos B =b

a

,则△ABC 是( )

A .等腰三角形

B .等边三角形

C .直角三角形

D .等腰三角形或直角三角形 7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )

A.32

B.34

C.32或 3

D.34或32

8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )

A. 6 B .2 C. 3 D. 2

9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π

3

,则A =________.

10.在△ABC 中,已知a =43

3

,b =4,A =30°,则sin B =________.

11.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________. 12.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________.

13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +c

sin A +sin B +sin C =________,c =________.

14.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +c

sin A -2sin B +sin C

=________.

15.在△ABC 中,已知a =32,cos C =1

3

,S △ABC =43,则b =________.

正余弦定理练习题含答案

16.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.

17.如图所示,货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行,为了确定船位,船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°,航行半小时后船到达C 点,观测灯塔A 的方位角是65°,则货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是多少?

18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A

2

,求A 、

B 及b 、c .

19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A =35,sin B =1010.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.

20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.

高一数学余弦定理综合练习题

1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =1

3

,那么AC 等于( )

A .6

B .2 6

C .3 6

D .4 6 2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( )

A. 3

B. 2

C. 5 D .2 3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( )

A .60°

B .45°

C .120°

D .150°

4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2

-b 2)tan B =3ac ,则∠B 的值为( )

A.π6

B.π3

C.π6或5π6

D.π3或2π3

5.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A 等于( )

A .a

B .b

C .c

D .以上均不对

6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( )

A .锐角三角形

B .直角三角形

C .钝角三角形

D .由增加的长度决定

7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →

的值为( )

A .2

B .-2

C .4

D .-4 8.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( )

A. 3 B .2 3 C.3或2 3 D .2

9.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________. 10.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数.

11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________. 12.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________.

13.在△ABC 中,a =32,cos C =1

3

,S △ABC =43,则b =________.

14.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →

的值为________.

15.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c

24

,则角C =________.

16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________. 17.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.

18.已知△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .(1)求边AB 的长;(2)若△ABC 的面积为1

6

sin C ,

求角C 的度数.

19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .(1)求AB 的值;(2)求sin(2A -π

4

)的值.

20.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.

正弦定理综合练习题答案

1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( )

A.6

B. 2

C. 3 D .2 6

解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin B

sin A

= 6.

2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )

A .4 2

B .4 3

C .4 6 D.32

3

解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin B

sin A

=4 6.

3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )

A .45°或135°

B .135°

C .45°

D .以上答案都不对

解析:选C.由正弦定理a sin A =b sin B 得:sin B =b sin A a =2

2

,又∵a >b ,∴B <60°,∴B =45°.

4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )

A .1∶5∶6

B .6∶5∶1

C .6∶1∶5

D .不确定

解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6. 5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )

A .1 B.12 C .2 D.1

4

解析:选A.C =180°-105°-45°=30°,由b sin B =c sin C 得c =2×sin 30°

sin45°

=1.

6.在△ABC 中,若cos A cos B =b

a

,则△ABC 是( )

A .等腰三角形

B .等边三角形

C .直角三角形

D .等腰三角形或直角三角形

解析:选D.∵b a =sin B sin A ,∴cos A cos B =sin B

sin A

sin A cos A =sin B cos B ,∴sin2A =sin2B

即2A =2B 或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π

2

.

7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )

A.32

B.34

C.32或 3

D.34或32

解析:选D.AB sin C =AC sin B ,求出sin C =3

2

,∵AB >AC ,

∴∠C 有两解,即∠C =60°或120°,∴∠A =90°或30°.

再由S △ABC =1

2

AB ·AC sin A 可求面积.

8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )

A. 6 B .2 C. 3 D. 2

解析:选D.由正弦定理得6sin120°=2

sin C

∴sin C =1

2

.

又∵C 为锐角,则C =30°,∴A =30°, △ABC 为等腰三角形,a =c = 2.

9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π

3

,则A =________.

解析:由正弦定理得:a sin A =c

sin C

所以sin A =a ·sin C c =1

2

.

又∵a <c ,∴A <C =π3,∴A =π

6

.

答案:π6

10.在△ABC 中,已知a =43

3,b =4,A =30°,则sin B =________.

解析:由正弦定理得a sin A =b

sin B

?sin B =b sin A a =4×12433

=3

2

.

答案:3

2

11.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________.

解析:C =180°-120°-30°=30°,∴a =c ,

由a sin A =b sin B 得,a =12×sin30°sin120°=43, ∴a +c =8 3. 答案:8 3

12.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________.

解析:由正弦定理,得a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B , 代入式子a =2b cos C ,得 2R sin A =2·2R ·sin B ·cos C , 所以sin A =2sin B ·cos C , 即sin B ·cos C +cos B ·sin C =2sin B ·cos C , 化简,整理,得sin(B -C )=0. ∵0°<B <180°,0°<C <180°, ∴-180°<B -C <180°, ∴B -C =0°,B =C . 答案:等腰三角形

13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +c

sin A +sin B +sin C

=________,c =________.

解析:由正弦定理得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =63sin60°=12,又S △ABC =12bc sin A ,∴1

2×12×sin60°×c =

183,

∴c =6.

答案:12 6

14.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +c

sin A -2sin B +sin C

=________.

解析:由∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3得,∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°,

∴2R =a sin A =1

sin30°

=2,

又∵a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,

∴a -2b +c sin A -2sin B +sin C =2R A -2sin B +sin C

sin A -2sin B +sin C =2R =2. 答案:2

15.在△ABC 中,已知a =32,cos C =1

3

,S △ABC =43,则b =________.

解析:依题意,sin C =223,S △ABC =1

2

ab sin C =43,

解得b =2 3. 答案:2 3

16.在△ABC 中,b =43,C =30°,c =2,则此三角形有________组解.

解析:∵b sin C =43×1

2

=23且c =2,

∴c

解:在△ABC 中,BC =40×1

2

=20,

正余弦定理练习题含答案

∠ABC =140°-110°=30°, ∠ACB =(180°-140°)+65°=105°, 所以∠A =180°-(30°+105°)=45°, 由正弦定理得

AC =BC ·sin ∠ABC sin A

=20sin30°sin45°

=102(km). 即货轮到达C 点时,与灯塔A 的距离是10 2 km.

18.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,若a =23,sin C 2cos C 2=14,sin B sin C =cos 2A

2

,求A 、

B 及b 、c .

解:由sin C 2cos C 2=14,得sin C =1

2

又C ∈(0,π),所以C =π6或C =5π

6.

由sin B sin C =cos 2A

2,得

sin B sin C =1

2

[1-cos(B +C )],

即2sin B sin C =1-cos(B +C ),

即2sin B sin C +cos(B +C )=1,变形得 cos B cos C +sin B sin C =1,

即cos(B -C )=1,所以B =C =π6,B =C =5π

6

(舍去),

A =π-(

B +

C )=2π

3.

由正弦定理a sin A =b sin B =c

sin C

,得

b =

c =a sin B

sin A =23×123

2

=2.

故A =2π3,B =π

6

,b =c =2.

19.(2009年高考四川卷)在△ABC 中,A 、B 为锐角,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且cos 2A

=35,sin B =1010

.(1)求A +B 的值;(2)若a -b =2-1,求a ,b ,c 的值.

解:(1)∵A 、B 为锐角,sin B =

1010

, ∴cos B =1-sin 2B =310

10.

又cos 2A =1-2sin 2A =35,∴sin A =55,cos A =25

5

∴cos(A +B )=cos A cos B -sin A sin B =255×31010-55×1010=22

.

又0<A +B <π,∴A +B =π

4

.

(2)由(1)知,C =3π4,∴sin C =2

2.

由正弦定理:a sin A =b sin B =c

sin C

5a =10b =2c ,即a =2b ,c =5b .

∵a -b =2-1,∴2b -b =2-1,∴b =1. ∴a =2,c = 5.

20.△ABC 中,ab =603,sin B =sin C ,△ABC 的面积为153,求边b 的长.

解:由S =12ab sin C 得,153=1

2×603×sin C ,

∴sin C =1

2

,∴∠C =30°或150°.

又sin B =sin C ,故∠B =∠C . 当∠C =30°时,∠B =30°,∠A =120°.

又∵ab =603,a sin A =b

sin B

,∴b =215.

当∠C =150°时,∠B =150°(舍去). 故边b 的长为215.

余弦定理综合练习题答案

1.在△ABC 中,如果BC =6,AB =4,cos B =1

3

,那么AC 等于( )

A .6

B .2 6

C .3 6

D .4 6 解析:选A.由余弦定理,得 AC =AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B

= 42+62-2×4×6×1

3

=6.

2.在△ABC 中,a =2,b =3-1,C =30°,则c 等于( ) A. 3 B. 2 C. 5 D .2

解析:选B.由余弦定理,得c 2=a 2

+b 2-2ab cos C =22+(3-1)2-2×2×(3-1)cos30° =2, ∴c = 2.

3.在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+3bc ,则∠A 等于( ) A .60° B .45° C .120° D .150°

解析:选D.cos ∠A =b 2+c 2-a 22bc =-3bc 2bc =-3

2

∵0°<∠A <180°,∴∠A =150°. 4.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则∠B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3

解析:选D.由(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,联想到余弦定理,代入得

cos B =a 2+c 2-b 22ac =32·1tan B =32·cos B sin B .

显然∠B ≠π2,∴sin B =32.∴∠B =π3或2π

3

.

5.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边,则a cos B +b cos A 等于( ) A .a B .b C .c D .以上均不对

解析:选C.a ·a 2+c 2-b 22ac +b ·b 2+c 2-a 22bc =2c 2

2c

=c .

6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 解析:选A.设三边长分别为a ,b ,c 且a 2+b 2=c 2. 设增加的长度为m ,

则c +m >a +m ,c +m >b +m ,

又(a +m )2+(b +m )2=a 2+b 2+2(a +b )m +2m 2>c 2+2cm +m 2=(c +m )2, ∴三角形各角均为锐角,即新三角形为锐角三角形.

7.已知锐角三角形ABC 中,|AB →|=4,|AC →|=1,△ABC 的面积为3,则AB →·AC →

的值为( ) A .2 B .-2 C .4 D .-4

解析:选A.S △ABC =3=12

|AB →|·|AC →

|·sin A

=12

×4×1×sin A , ∴sin A =3

2,又∵△ABC 为锐角三角形,

∴cos A =1

2

∴AB →·AC →

=4×1×12

=2.

8.在△ABC 中,b =3,c =3,B =30°,则a 为( ) A. 3 B .2 3 C.3或2 3 D .2

解析:选C.在△ABC 中,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即3=a 2+9-33a , ∴a 2-33a +6=0,解得a =3或2 3. 9.已知△ABC 的三个内角满足2B =A +C ,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.

解析:∵2B =A +C ,A +B +C =π,∴B =π

3

.

在△ABD 中,

AD =AB 2+BD 2-2AB ·BD cos B

= 1+4-2×1×2×1

2

= 3.

答案: 3

10.△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10,求最大角的度数. 解:∵sin A ∶sin B ∶sin C =(3-1)∶(3+1)∶10, ∴a ∶b ∶c =(3-1)∶(3+1)∶10.

设a =(3-1)k ,b =(3+1)k ,c =10k (k >0), ∴c 边最长,即角C 最大.由余弦定理,得

cos C =a 2+b 2-c 22ab =-12

又C ∈(0°,180°),∴C =120°. 11.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边,S 是△ABC 的面积,若a =4,b =5,S =53,则边c 的值为________.

解析:S =12ab sin C ,sin C =3

2,∴C =60°或120°.

∴cos C =±1

2

,又∵c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,

∴c 2=21或61,∴c =21或61. 答案:21或61

12.在△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4,则cos A ∶cos B ∶cos C =________. 解析:由正弦定理a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4, 设a =2k (k >0),则b =3k ,c =4k ,

cos B =a 2+c 2-b 22ac =k 2+k 2-k 22×2k ×4k =11

16

同理可得:cos A =78,cos C =-1

4

∴cos A ∶cos B ∶cos C =14∶11∶(-4). 答案:14∶11∶(-4)

13.在△ABC 中,a =32,cos C =1

3

,S △ABC =43,则b =________.

解析:∵cos C =13,∴sin C =22

3.

又S △ABC =1

2

ab sin C =43,

即12·b ·32·223

=43,

∴b =2 3. 答案:2 3

14.已知△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →

的值为________.

解析:在△ABC 中,cos B =AB 2+BC 2-AC

22AB ·BC

=49+25-362×7×5

=1935

, ∴AB →·BC →=|AB →|·|BC →|·cos(π-B )

=7×5×(-19

35

)

=-19. 答案:-19

15.已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ,且面积S =a 2+b 2-c 2

4

,则角C =________.

解析:1

2ab sin C =S =a 2+b 2-c 24=a 2+b 2-c 22ab ·ab 2

=1

2

ab cos C ,∴sin C =cos C ,∴tan C =1,∴C =45°. 答案:45° 16.(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数,且最大角为钝角,则最小角的余弦值为________. 解析:设三边长为k -1,k ,k +1(k ≥2,k ∈N ),

则?

????

k 2+k -2-k +2<0k +k -1>k +1?2<k <4, ∴k =3,故三边长分别为2,3,4,

∴最小角的余弦值为32+42-222×3×4=7

8

.

答案:78

17.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,且2cos(A +B )=1,求AB 的长.

解:∵A +B +C =π且2cos(A +B )=1,

∴cos(π-C )=12,即cos C =-1

2

.

又∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根, ∴a +b =23,ab =2. ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C

=a 2+b 2-2ab (-1

2

)

=a 2+b 2

+ab =(a +b )2-ab =(23)2-2=10, ∴AB =10.

18.已知△ABC 的周长为2+1,且sin A +sin B =2sin C .

(1)求边AB 的长;

(2)若△ABC 的面积为1

6

sin C ,求角C 的度数.

解:(1)由题意及正弦定理得

AB +BC +AC =2+1,BC +AC =2AB , 两式相减,得AB =1.

(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C =16sin C ,得BC ·AC =1

3

由余弦定理得cos C =AC 2+BC 2-AB 2

2AC ·BC

=AC +BC 2-2AC ·BC -AB 22AC ·BC =12

所以C =60°.

19.在△ABC 中,BC =5,AC =3,sin C =2sin A .

(1)求AB 的值;

(2)求sin(2A -π

4

)的值.

解:(1)在△ABC 中,由正弦定理AB sin C =BC

sin A

得AB =sin C

sin A

BC =2BC =2 5.

(2)在△ABC 中,根据余弦定理,得

cos A =AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC =25

5

于是sin A =1-cos 2A =5

5.

从而sin 2A =2sin A cos A =4

5,

cos 2A =cos 2 A -sin 2 A =3

5

.

所以sin(2A -π4)=sin 2A cos π4-cos 2A sin π4=2

10

.

20.在△ABC 中,已知(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,且2cos A sin B =sin C ,确定△ABC 的形状.

解:由正弦定理,得sin C sin B =c

b

.

由2cos A sin B =sin C ,有cos A =sin C 2sin B =c

2b

.

又根据余弦定理,得

cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2b =b 2+c 2-a

2

2bc

即c 2=b 2+c 2-a 2,所以a =b . 又因为(a +b +c )(a +b -c )=3ab ,

所以(a +b )2-c 2=3ab ,所以4b 2-c 2=3b 2, 所以b =c ,所以a =b =c , 因此△ABC 为等边三角形.