§1.4 因动点产生的平行四边形问题8

§1．4 因动点产生的平行四边形问题

课前导学

我们先思考三个问题：

1．已知A、B、C三点，以A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个，怎么画？

2．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对边AB与DC平行且相等？

3．在坐标平面内，如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分？

图1 图2 图3

如图1，过△ABC的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点D．

如图2，已知A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形ABCD是平行四边形，怎样求点D的坐标呢？

点B先向右平移2个单位，再向上平移3个单位与点A重合，因为BA与CD平行且相等，所以点C(3, 1) 先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点D(5, 4)．

如图3，如果平行四边形ABCD的对角线交于点G，那么过点G画任意一条直线（一般与坐标轴垂直），点A、C到这条直线的距离相等，点B、D到这条直线的距离相等．

关系式x A＋x C＝x B＋x D和y A＋y C＝y B＋y D有时候用起来很方便．

我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合．

如图4，点A是抛物线y＝－x2＋2x＋3在x轴上方的一个动点，AB⊥x轴于点B，线段AB交直线y＝x－1于

点C，那么

点A的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)，

点C的坐标可以表示为(x, x－1)，

线段AB的长可以用点A的纵坐标表示为

AB＝y A＝－x2＋2x＋3，

线段AC的长可以用A、C两点的纵坐标图4

表示为AC＝y A－y C＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2．

通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐标表示点到坐标轴的距离．

例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24题

如图1，抛物线经过A (1, 0)、B (5, 0)、C 10

(0,)3

三点．设点E (x , y )是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E (x , y )运动时，试求平行四边形OEBF 的面积S 与x 之间的函数关

系式，并求出面积S 的最大值；

（3）是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14岳阳24”，拖动点E 运动，可以体验到，当点E 运动到抛物线的顶点时，S 最大．当点E 运动到OB 的垂直平分线上时，四边形OEBF 恰好是正方形．

思路点拨

1．平行四边形OEBF 的面积等于△OEB 面积的2倍．

2．第（3）题探究正方形OEBF ，先确定点E 在OB 的垂直平分线上，再验证EO ＝EB ．

图文解析

（1）因为抛物线与x 轴交于A (1, 0)、B (5, 0)两点，设y ＝a (x －1)(x －5)．

代入点C 10(0,

)3，得1053a =．解得2

3

a =． 所以抛物线的解析式为22210

(1)(5)4333

y x x x x =--=-+．

（2）因为S ＝S 平行四边形OEBF ＝2S △OBE ＝OB ·(－y E )

＝22105(4)33x x --+＝210(65)3x x --+＝21040

(3)33

x --+．

所以当x ＝3时，S 取得最大值，最大值为40

3

．此时点E 是抛物线的顶点（如图2）．

（3）如果平行四边形OEBF 是正方形，那么点E 在OB 的垂直平分线上，且EO ＝EB ． 当x ＝

52时，22355(1)(5)()33222y x x =--=??-=-．此时E 55(,)22

-． 如图3，设EF 与OB 交于点D ，恰好OB ＝2DE ．

所以△OEB 是等腰直角三角形．所以平行四边形OEBF 是正方形．

所以当平行四边形OEBF 是正方形时，E 55(,)22-、F 55(,)22

．

图2 图3

考点伸展

既然第（3）题正方形OEBF是存在的，命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢？

如图4，如果平行四边形OEBF为矩形，那么∠OEB＝90°．

根据EH2＝HO·HB，列方程

2

2

(1)(5)(5)

3

x x x x

??

---=-

??

??

．

或者由DE＝1

2

OB＝

5

2

，根据DE2＝

25

4

，列方程

2

2

5225

()(1)(5)

234

x x x

??

-+---=

??

??

．

这两个方程整理以后都是一元三次方程4x3－28x2＋53x－20＝0，这个方程对于初中毕业的水平是不好解的．

事实上，这个方程可以因式分解，

51

(4)()()0

22

x x x

---=．

如图3，x＝5

2

；如图4，x＝4；如图5，x＝

1

2

，但此时点E在x轴上方了．

这个方程我们也可以用待定系数法解：

设方程的三个根是5

2

、m、n，那么4x3－28x2＋53x－20＝

5

4()()()

2

x x m x n

---．

根据恒等式对应项的系数相等，得方程组

441028,

1010453,

1020.

m n

m n mn

mn

++=

?

?

++=

?

?=

?

解得

4,

1

.

2

m

n

=

?

?

?

=

??

图4 图5

例 25 2014年湖南省益阳市中考第20题

如图1，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a(x－2)2＋k经过A、B两点，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．

（1）求a，k的值；

（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；

（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A、C、M、N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．】

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14益阳20”，可以体验到，点Q在线段AB的垂直平分线上．还可以体验到，正方形的对角线为AC，有一个顶点恰为抛物线的顶点．

思路点拨

1．第（2）题的等腰三角形只考虑QA＝QB的情形．

2．第（3）题的正方形不可能AC为边，只存在AC为对角线的情形．

图文解析

（1）由y＝－3x＋3，得A(1, 0)，B(0, 3)．

将A(1, 0)、B(0, 3)分别代入y＝a(x－2)2＋k，得

0,

4 3.

a k

a k

+=

?

?

+=?

解得a＝1，k＝－1．

（2）如图2，抛物线的对称轴为直线x＝2，设点Q的坐标为(2, m)．

已知A(1, 0)、B(0, 3)，根据QA2＝QB2，列方程12＋m2＝22＋(m－3)2．

解得m＝2．所以Q(2, 2)．

（3）点A(1, 0)关于直线x＝2的对称点为C(3, 0)，AC＝2．

如图3，如果AC为正方形的边，那么点M、N都不在抛物线或对称轴上．

如图4，当AC为正方形的对角线时，M、N中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,－1) ．

因为对角线AC＝2

图2 图3 图4

考点伸展

如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点M有几个？

①如果AC为对角线，上面的正方形AMCN是符合条件的，M(2,－1)．

②如图5，如果AC为边，那么MN//AC，MN＝AC＝2．所以点M的横坐标为4或0．

此时点M的坐标为(4, 3)或(0, 3)．

第（2）题如果没有限制等腰三角形ABQ的底边，那么符合条件的点Q有几个？

①如图2，当QA＝QB时，Q(2, 2)．

②如图6，当BQ＝BA B为圆心，BA为半径的圆与直线x＝2有两个交点．

m=

根据BQ2＝10，列方程22＋(m－3)2＝10，得3

此时Q(2,3或(2,3．

③如图7，当AQ＝AB时，以A为圆心，AB为半径的圆与直线x＝2有两个交点，但是点(2,－3)与A、B三点共线，所以Q(2, 3)．

图5 图6 图7

例 26 2014年湖南省邵阳市中考第25题

准备一张矩形纸片（如图1），按如图2操作：

将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的点M ，将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的点N ．

（1）求证：四边形BFDE 是平行四边形；

（2）若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积．

图1

图2

动感体验

请打开几何画板文件名“14邵阳25”，拖动点D 可以改变矩形ABCD 的形状，可以体验到，当EM 与FN 在同一条直线上时，四边形BFDE 是菱形，此时矩形的直角被三等分．

思路点拨

1．平行四边形的定义和4个判定定理都可以证明四边形BFDE 是平行四边形．

2．如果平行四边形BFDE 是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂直．用这两个性质都可以解答第（2）题．

图文解析

（1）如图3，因为AB //DC ，所以∠ABD ＝∠CDB ． 又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以BE //FD ． 又因为ED //BF ，所以四边形BFDE 是平行四边形．

图3 图4

（2）如图4，如果四边形BFDE 是菱形，那么∠1＝∠5． 所以∠1＝∠2＝∠5．

由于∠ABC ＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°．

所以BD ＝2AB ＝4，AE ＝

3．所以ME ＝3

．

所以S 菱形BFDE ＝2S △BDE ＝BD ·ME ＝

3

． 考点伸展

第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四边形叫平行四边形．还可以这样思考：

证明四边形BFDE 的两组对边分别相等； 证明ED 与BF 平行且相等；

证明四边形BFDE 的两组对角分别相等．

这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4．

这样其实就走了弯路，因为由∠1＝∠3，直接得到BE //FD ，根据平行四边形的定义来得快． 能不能根据BD 与EF 互相平分来证明呢？也是可以的：

如图5，设EF 与BD 交于点O ，根据“角角边”证明△EMO ≌△FNO ，得到EF 与MN 互相平分．又因为BM ＝DN ，于是得到EF 与BD 互相平分．

图5 图6

第（2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到30°的角． 我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题：

如图6，如果四边形BFDE 是菱形，那么对角线EF ⊥BD ，此时垂足M 、N 重合． 因此BD ＝2DC ．这样就得到了∠5＝30°．

事实上，当四边形BFDE 是菱形时，矩形ABCD 被分割为6个全等的直角三角形．

由AB ＝2，得AD ＝ABCD 的面积为

菱形面积占矩形面积的2

3

初二平行四边形的动点问题提升

平行四边形中的动点问题 1.四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四个条件： ①AD ∥BC ；②AD=BC ；③OA=OC ；④OB=OD 2.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ， 点E ，F 分别是边AD ，AB 的中点，EF 交AC 于点H ，则的值为（ ） 平行四边形的判定： 定义： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 1．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16． 动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半； （2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． （3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． 解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ， 依题意，得 12)22116(2112)2(2 1?-+-=?+t t t t 解得； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时， DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5；

专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)

y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。

由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

经典特殊的平行四边形讲义

特殊 的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质． 4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角． 6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD 的周长是28cm ，CD-AD=2cm ，那么AB=______cm ，BC=______cm ． 2．菱形的两条对角线分别是6cm ，8cm ，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于________ 4．已知正方形的边长为a ，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD 被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm ，对角线长是13cm ， 则矩形ABCD 的周长是_____________ 6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点， 将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 （1）求AE 的长 （2）△BED 的面积 巩固练习： 1．如图，矩形ABCD 中，AD=9，AB=3，将其折叠，使其点D 与点B 重合，折痕为 EF,求DE 和EF 的长。 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 Ｍ Ｄ Ｑ ＢＡC ’ D A B C E F D A B C E C ’ E A D

平行四边形的动点问题(尖)

平行四边形的动点问题 1．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B 出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造□PCOD．在线段OP延长线上一动点E，且满足PE=AO． （1）当点C在线段OB上运动时，求证：四边形ADEC为平行四边形； （2）当点P运动的时间为3 2 秒时，求此时四边形ADEC的周长是多少？

2．如图，在?ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，OA=5cm ，E 、F 为直线BD 上的两个动点（点E 、F 始终在?ABCD 的外面），且DE=12OD ，BF=1 2 OB ，连接AE 、 CE 、CF 、AF ． （1）求证：四边形AFCE 为平行四边形． （2）若DE=13OD ，BF=1 3 OB ，上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？ （3）若CA 平分∠BCD ，∠AEC=60°，求四边形AECF 的周长． 3．平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若E 、F 是AC 上两动点，E 、F 分别从A 、C 两点同时以2cm/s 的相同的速度向C 、A 运动 （1）四边形DEBF 是平行四边形吗？说明你的理由． （2）若BD=10cm ，AC=18cm ，当运动时间t 为多少时，以D 、E 、B 、F 为顶点的四边形为矩形．

4．如图，M、N是平行四边形ABCD对角线BD上两点． （1）若BM=MN=DN，求证：四边形AMCN为平行四边形； （2）若M、N为对角线BD上的动点（均可与端点重合），设BD=12cm，点M 由点B向点D匀速运动，速度为2（cm/s），同时点N由点D向点B匀速运动，速度为a（cm/s），运动时间为t（s）．若要使四边形AMCN为平行四边形，求a 的值及t的取值范围． 5．如图，在?ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，E，F分别是BC，AD上的两点，且BE=DF，连AE，BF，DE，CF分别交于点G，H． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形． （2）若E，F分别是BC，AD上的两个动点，设BE=DF=x，试推断当x等于多少时，四边形GEHF是矩形．

八下数学平行四边形中动点问题.doc

动点问题练习题 1．（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段MN 在△ ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以1厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点M 与点 A 重合，点 N 到 达点 B 时运动终止），过点 M 、N 分别作 AB 边的垂线，与△ ABC 的其它边交于P、 Q 两点，线 段 MN 运动的时间为t秒． 1、线段MN在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （ 2）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． C Q P A M N B 2．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD 3， DC 5， AB 42，∠ B 45 ．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动．设运动的时间为t 秒． （ 1）求BC 的长． （ 2）当MN ∥ AB 时，求t 的值． （ 3）试探究：t 为何值时，△MNC为等腰三角形．A D N C B M

1．如图，在平面直角坐标系中，在四边形OABC中， OA∥ BC，点 A 的坐标为 (6， 0)，点 B 的 坐标为 (4，3)，点 C 在 y 轴的正半轴上．动点M 在 OA 上运动，从 O 点出发到 A 点；动点 N 在 AB 上运动，从 A 点出发到 B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒 1 个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段 AB 的长；当 t 为何值时， MN ∥ OC？ y (2)设△ CMN 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数解析式， B C 并指出自变量 t 的取值范围； S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ N (3)连接 AC，那么是否存在这样的t，使 MN 与 AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的 t 值；若不存在，请说明理由． O M x A 2．（河北卷）如图，在Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， AC＝ 12， BC＝ 16，动点 P 从点 A 出发沿 AC边向点C 以每秒 3 个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发沿 CB边向点 B 以每秒 4 个单位长的速度运动． P， Q 分别从点 A， C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动 过程中，△ PCQ关于直线 PQ 对称的图形是△ PDQ．设运动时间为 t （秒）．（ 1）设四边形 PCQD的面积为 y，求 y 与 t 的函数关系式； （ 2） t 为何值时，四边形 PQBA 是梯形？ （ 3）是否存在时刻 t ，使得 PD∥ AB？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （ 4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得 PD⊥ AB？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤ t≤ 1；1＜ t≤ 2； 2＜ t≤ 3； 3＜ t≤ 4）；若不存在，请简要说明理由． A P D C Q B 3．（山东济宁）如图，A、B 分别为x 轴和 y 轴正半轴上的点。OA、 OB 的长分别是方程x2－ 14x＋ 48＝0 的两根 (OA＞OB)，直线 BC 平分∠为BC上一动点， P 点以每秒 1 个单位的速度从 B 点开始沿 BC 方向 移动。 (1) 设△ APB 和△ OPB的面积分别为S1、 S2，求 S1∶ S2的值； (2) 求直线 BC 的解析式； B (3)设 PA－ PO＝ m，P 点的移动时间为 t 。 ①当 0＜ t ≤4 5时，试求出 m 的取值范围； ②当 t ＞4 5时，你认为 m 的取值范围如何 (只要求写出结论 )？ O ABO 交 x 轴于 C 点， P y P x C A

动点问题中的平行四边形

动点问题中的平行四边形 教学内容：动点问题中的平行四边形 教学要求：1、利用平行四边形的有关知识解决动点中的相关问题 2、领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想在动点问题中的应用. 教学过程 一、复习：1、平行四边形的性质与判定 2、几何作图的关键 二、新课 1、情境引入，探究已知三点确定平行四边形的第四个顶点。 1．1、张大伯家有一个直角三角形的池塘，如图1所示，张大伯打算把池塘在原有的基础上，把面积扩大一倍后变成一个平行四边形，你能帮张大伯找到这个平行四边形的第四个顶点么？并说出你的理由！ 图1 图2 1.2、小结方法：如何确定平行四边形的第四个顶点，你的依据是什么？ 1.3、趁热打铁： 如图2，在平面直角坐标系中，点A （1，0） , B （0，2）， 则平行四边形AOBC 的顶点C 的坐标为__________________

1.4、变式练习： 如图2，在平面直角坐标系中，点A（1，0）B（0，2），求以A、O、B、C 为顶点的平行四边形的顶点C坐标，则点C的坐标为____________________ ________________________________. 小结：如何求点的位置，你的依据是什么？ 1.5、举一返三 1、如图3，在梯形ABCD中，A D∥BC ,在AD边上有一点P从点A到点D运动，速度为每秒1个单位，在CB边上有一点Q从点C向点B运动，速度为每秒2个单位，已知AD=8,BC=12,若P、Q同时运动，当四边形ABQP是平行四边形时，P 运动多少秒时?

2、如图4，抛物线1417 452++-=x y 与直线y =12 1+x 交于A 、 B 点，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0).动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N . 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为l 个单位，求l 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？

二次函数中动点问题——平行四边形(练习)

2018年04月28日187****6232的初中数学组卷 一．解答题（共5小题） 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E 作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2． （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

特殊的平行四边形知识梳理+典型例题

特殊的平行四边形 知识点一：矩形 1、概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2、性质定理（1）矩形的四个角是直角 （2）矩形的对角线相等且互相平分 （3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形 直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 特殊运用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3、判定定理 （1）有一个角为直角的平行四边形叫矩形 （2）对角线相等平行四边形为矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 归纳补充： 1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条 2、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题 3、矩形的面积S矩形=长×宽=ab

知识点二：菱形 1、定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、性质定理： （1）菱形的四条边都相等 （2）菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角 （3）菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是都是它的对称轴 菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心 2、判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （3）四条边都相等的四边形是菱形 ※注意：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，对角线互相垂直平分的四边形才是菱形 归纳补充: 1、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形 2、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算 3、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决题目知识点三：正方形 1、定义：有一组邻边相等的矩形叫正方形 2、性质定理 （1）正方形的四条边都相等，四个角是直角。 （2）正方形的两条对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角 （3）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形 3、判定定理 （1）有一组邻边相等的矩形是正方形 （2）对角线相互垂直的矩形是正方形 （3）对角线相等的菱形是正方形 （4）有一个角是直角的菱形是正方形 方法总结： （1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种： 先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。

苏教版八下数学第九章平行四边形--折叠、动点问题

折叠问题 【矩形折叠问题】 1、矩形折叠问题：如图所示，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由． 2、（1）若AB=4，BC=8，求AF ． 3、（2）若对折使C 在AD 上，AB=6，BC=10，求AE ，DF 的长． 2、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如图所示： （1）请说明△ABF ≌△CEF （2）求CEF S 3、在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着EF 对折，使得B 点与D 点重合。 （1）说明DE=DF （2）、求DEG S △ （3）求EF 的长度。 4、如图①，将边长为4cm 的正方形纸片ABCD 沿EF 折叠（点E 、F 分别在边AB 、CD 上），使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连接EP ． （1）如图②，若M 为AD 边的中点， ①△AEM 的周长= cm ；②求证：EP=AE+DP ； （2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发生变化？请说明理由．

能力训练 1、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形。则展开后三角形的周长是。 2、如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为。 3、如图所示，把一长方形纸片MN折叠，点D、C分别落在D′，C′的位置。若∠AMD′=36°，则∠NFD′= 。 4、如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合的点为A′，则△A′BG的面积与该矩形面积的比为。 5、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B'处，点A对应点为A′，且B′C=3，则AM的长是（） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5 6、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为（） A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm 7、如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 8、小明尝试着将矩形ABCD（如图①，AD＞CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M 处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为。

特殊四边形经典例题

特殊四边形经典例题 ①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 于点M，N．给出下列结论： ①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S四边形BFNM=S平行四边形ABCD． 其中正确的结论有（） MNQP，分别内接于△BCD和△ABD，设矩形EFCH，MNQP的周长分别为m1，m2，则 m1，m2的大小关系为（） 6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断： ①EF是△ABC的中位线； ②△DEF的周长等于△ABC周长的一半； ③若四边形AEDF是菱形，则AB=AC； ④若∠BAC是直角，则四边形AEDF是矩形， 其中正确的是（）

7．如图，已知A1，A2，A3，…A n是x轴上的点，且OA1=A1A2=A2A3=…=A n﹣1A n=1，分别过点A1，A2，A3，…A n作x轴的垂线交反比例函数y=（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…B n， 过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△B n P n B n+1的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S n=_________．8．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形 A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是_________． 9．已知如图，在线段BG同侧作正方形ABCD和正方形CEFG，其中BG=10，BC：CG=2：3，则S△ECG=_________，S△AEG=_________． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始，沿边AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点D从点A开始，沿边AB向点B以每秒个单位长 度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC，动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ．点P，D，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）． （1）当t为何值时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的？ （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q 的速度．

初二平行四边形的动点问题学案 (含答案经典)

第十一讲平行四边形中的动点问题时间：年月日刘满江老师学生姓名：一、兴趣导入 二、学前测试 1．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（） 2.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件： ①AD∥BC；②AD=BC；③OA=OC；④OB=OD

交AC于点H，则的值为（） ∴= 三、方法培养： 知识要点： 平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形 平行四边形的性质：边：对边平行且相等 角：内角和为______,外角和___________，邻角______,对角__________ 对角线：互相平分 平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离叫 性质：平行线之间的距离处处相等。 推广：夹在两条平行线之间平行线段相等 平行四边形的判定： 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 例11．如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16． 动点P 从点B 出发，沿射线BC 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 的面积是梯形ABCD 的面积的一半； （2）四边形PQCD 能为平行四边形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． （3）四边形PQCD 能为等腰梯形吗？如果能，求出t 的值；如果不能，请说明理由． 考点：等腰梯形的判定；平行四边形的判定；直角梯形。 专题：动点型。 分析：（1）根据：路程=速度×时间，表示线段的长度，再利用：S 梯形ABPQ =S 梯形PQDC ，列方程求解； （2）只要能满足DQ=PC 即可，由此建立等量关系，列方程求解； （3）当四边形PQCD 为等腰梯形时，作PE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ，需要满足QE=CF ， 由此建立等量关系，列方程求解． 解答：解：（1）由已知得：AQ=t ，QD=16﹣t ，BP=2t ，PC=21﹣2t ， 依题意，得 12)22116(21 12)2(2 1?-+-=?+t t t t 解得 ； （2）能；当四边形PQDC 为平行四边形时， DQ=PC ，即16﹣t=21﹣2t 解得t=5； （3）不能 作QE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足为E 、F ， 当四边形PQCD 为等腰梯形时，PE=CF ， 即t ﹣2t=21﹣16 解得t=﹣5，不合实际． 点评：本题考查了梯形计算面积的方法，根据平行四边形、等腰梯形的性质列方程求解的问题． 变式练习：如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，AB=12，BC=21，AD=16．动点P 从点 B 出发，沿射线B C 的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 同时从点A 出发，在线段A D 上以每秒1个单位长的速度向点D 运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t （秒）． （1）设△DPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式； （2）当t 为何值时，四边形PCDQ 是平行四边形？ （3）分别求出当t 为何值时，①PD=PQ ，②DQ=PQ ． 考点：直角梯形；勾股定理；平行四边形的判定与性质。 解答：（1）解：直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=90°，BC=21，AB=12，AD=16， 依题意AQ=t ，BP=2t ，则DQ=16﹣t ，PC=21﹣2t ， 过点P 作PE ⊥AD 于E ， 则四边形ADPE 是矩形，PE=AB=12， ∴S △DPQ =DQ ?AB=（16﹣t ）×12=﹣6t+96． （2）当四边形PCDQ 是平行四边形时，PC=DQ ，

(完整版)平行四边形及特殊平行四边形知识点(经典完整版)

平行四边形矩形菱形正方形图形 性质①对边且； ②对角；邻角； ③对角线； ④对称性：平行四边形不是轴对称图形. ①对边且； ②对角且四个角都是； ③对角线； ④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直 线，2条）． ①对边且四条边都； ②对角； ③对角线且每条对角 线； ④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2 条） ①对边且四条边都； ②对角且四个角都是； ③对角线且每条对角线 （即与边的夹角 度）； ④对称性：轴对称图形（4条） 判定方法 ①的 四边形是平行四边形； ②的 四边形是平行四边形； ③的 四边形是平行四边形； ④的 四边形是平行四边形； ⑤的 四边形是平行四边形； ①是矩形； ②是矩形； ③是矩形； ①是菱形； ②是菱形； ③是菱形； ①有一组的矩形是正方形； ②对角线的矩形是正方形； ③有一个角是的菱形是正方形； ④对角线的菱形是正方形.； ⑤有一组且有一个角是的 平行四边形是正方形； ⑥对角线且的 平行四边形是正方形.?????? 正方形的判定方法很多，所有以平行四边形， 矩形，菱形三者的判定作为条件的四边形都是 正方形. 面积

一、本章知识框架图 正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的关系有怎样的包含关系？请填入下图中. 平行四边形 二、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析 （1）判定矩形的常用方法（3种） ①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的有一个角为直角． ②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等． ③说明四边形ABCD的三个角是直角． （2）判定菱形的常用方法（3种）

经典特殊的平行四边形讲义

特殊的平行四边形 一、知识回顾 矩形、菱形、正方形 1、菱形的性质：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． ③具有平行四边形所有性质． 2．菱形的判定：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形． ③四条边都相等的四边形是菱形． 3．矩形的性质：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．4．矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形． ③有三个角是直角的四边形是矩形． 5．正方形的性质：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．6．正方形的判定：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形． ③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形． 课前练习: 1．已知平行四边形ABCD的周长是28cm，CD-AD=2cm，那么AB=______cm，BC=______cm．2．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____，一组对边的距离为_____ 3．在菱形ABCD中，∠ADC=120°，则BD：AC等于________ 4．已知正方形的边长为a，则正方形内任意一点到四边的距离之和为_____． 5．矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长之和是86cm，对角线长是13cm， 则矩形ABCD的周长是_____________ Ｍ Ｄ Ｑ

6．如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD ，BC 边的中点，将C 点折叠至MN 上，落在P 点的位置，折痕为BQ ，连结PQ ，则PQ 二、例题讲解 矩形 例1．如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C ’处，BC ’边交AD 于E ，AD=4，CD=2 2．如图，已知将矩形ABCD 沿EF 所在直线翻折，使点A 与C 重合，AB=6，AD=8,求折痕EF 的长 巩固练习 1．矩形的相邻两边的长分别是12㎝和5㎝，则矩形的对角线的长是 。 2．若矩形的面积是36 3 cm 2，两条对角线相交成60o锐角，则此矩形的两邻边长分别是 ㎝和 ______ ㎝。 F D A B C E C ’ E F A B C D

八年级数学 四边形动点问题及难题

动点问题及四边形难题 1如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4）， 点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式； （2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）； 2.已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC AB ∥，以O 为原点建立平面直角坐标系， A B C ，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ，， ，，，，点D 为线段BC 的中点，动点P 从点O 出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD 的路线移动，移动的时间为t 秒． （1）求直线BC 的解析式； （2）若动点P 在线段OA 上移动，当t 为何值时，四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的 27 ？ （3）动点P 从点O 出发，沿折线OABD 的路线移动过程中，设OPD △的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围；

3.如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 4. 如图，已知AD 与BC 相交于E ，∠1＝∠2＝∠3，BD ＝CD ，∠ADB ＝90°，CH ⊥AB 于H ，CH 交AD 于F. （1）求证：CD ∥AB ； （2）求证：△BDE ≌△ACE ； （3）若O 为AB 中点，求证：OF ＝1 2 BE. 5、如图1―4―2l ，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，E 是异于A 、D 两点的动点，F 是CD 上的动点，满足A E ＋CF=a ，说明：不论E 、F 怎样移动，三角形BEF 总是正三角形．

中考特殊平行四边形证明及计算经典习题及答案.

DSE 金牌数学专题系列经典专题系列 初中数学中考特殊四边形证明及计算 一．解答题 1．（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F． 求证：AE=CF． （2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I． 求证：EI=FG． 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）． 分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF． （2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证 得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG． 解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC， ∴∠1=∠2， 在△AOE和△COF中， ，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF， 由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B， ∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6， ∴∠5=∠6，在△A1IE与△CGF中， ，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG． 点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

新课标人教版八年级数学下平行四边形及特殊的平行四边形知识点总结及经典习题(精品)教案资料

《四边形》的基本知识、主要考点、配套试题全章知识脉络：

平行四边形 ◆考点1．平行四边形的两组对边分别平行且相等 推论：平行四边形一组邻边的和为周长的一半 对边平行 内错角相等（有“角平分线”会产生“等腰三角形” ） 1．□ABCD 的周长为34cm ，且AB=7cm ，则BC= cm 。 2．□ABCD 的周长为26cm ，相邻两边相差3cm ，则AB= cm 。 3、如果ABCD 的周长为28cm ，且AB ：BC=2∶5，那么AB= cm ，BC= cm ，CD=_____cm ， 4、如图，□ABCD 中，CE 平分∠BCD ，BG 平分∠ABC ，BG 与CE 交于点F 。(1)求证：AB=AG ；(2)求证：AE=DG ；(3)求证：CE ⊥BG 。 ◆考点2．平行四边形的两组对角分别相等 推论：平行四边形的邻角互补 1．平行四边形的一个角为50度，则其余三个角分别为 。 2．平行四边形相邻两个角相差40度，则相邻两角度数分别为 。 3、□ABCD 中两邻角∠A ：∠B=1：2，则∠C=_______度 D A G E F

4、在□ABCD 中，若∠A-∠B=70°，则∠A=______，∠B=______，∠C=______，∠D=______． ◆考点3．平行四边形的对角线互相平分 推论1：经过平行四边形对角线交点的直线具备双重平分作用： ①该直线平分平行四边形的面积； ②该直线在平行四边形内的部分被对角线平分。 1．如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，△AOB 与△BOC 的周长相差2， 且AB=5，则BC= 。 2．如图△ABC 中，AB=3，AC=5，则BC 边上的中线AD 长度的取值范 围是 。 3．平行四边形的一条对角线长为10，则它的两边可能长为（ ） A ．5和5 B ．3和9 C ．4和15 D ．10和20 4．平行四边形的两条对角线长分别6和10，则它的边长不可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 5．平行四边形的一条边长为8，则它两条对角线可以是（ ） A ．6 和12 B ．6和10 C ．6 和8 D ．6 和6 6．如图，□ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ， 连接CE ，若△CDE 的周长为12，则□ABCD 的周长为 。 C B C B

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结

平行四边形及特殊平行四边形知识点总结 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质： 平行四边形矩形菱形正方形图形 性质1．对边 且； 2．对角； 邻角； 3．对角线 ； 1．对边 且； 2．对角 且四个角都是 ； 3．对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角； 3．对角线 且每 条对角线 ； 1．对边且四条 边都； 2．对角且四个角 都是； 3．对角线 且每条对角 线； 面积 2. 判定方法小结： (1) 判定平行四边形的方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 (2) 判定矩形的方法： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； ③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 (3) 判定菱形的方法： ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ③四边都相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 (4) 判定正方形的方法： ①有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形； ②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

③有一组邻边相等的矩形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形； ⑤有一个角是直角的菱形是正方形；⑥对角线相等的菱形是正方形； ⑦对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。 请按照下图中的序号回答每一种判定需要满足的条件： 3.基础达标训练： （1）两条对角线的四边形是平行四边形； （2）两条对角线的四边形是矩形； （3）两条对角线的四边形是菱形； （4）两条对角线的四边形是正方形； （5）两条对角线的平行四边形是矩形； （6）两条对角线的平行四边形是菱形； （7）两条对角线的平行四边形是正方形； （8）两条对角线的矩形是正方形； （9）两条对角线的菱形是正方形。 一、选择题（每题3分，共30分） 1．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（） A．4个B．3个C．2个D．1个2．若平行四边形的一边长为10cm，则它的两条对角线的长度可以是（） A．5cm和7cm B．18cm和28cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm

第十八章专题：《平行四边形》动点问题(一)—练习版

第十八章专题：《平行四边形》动点问题（一） 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，点P 在线段DB 上，点M 是边AC 的中点，连 接MP ，作∠MPQ=90°，点Q 在边BC 上，若AC=6，BC=8，则（ ） A ．当CQ=4时，点P 与点D 重合 B ．当CQ=4时，∠MPA=30° C ．当PD=5 7时，CQ=4 D ．当PM=PQ 时，CQ=4 2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，点F 在AD 上， AF=6cm ，BF=12cm ，∠FBM=∠CBM ，点E 是BC 的中点，若点P 以1cm/秒的速度从点A 出发，沿AD 向点F 运动；点Q 同时以2cm/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 运动．点P 运动到F 点时停止运动，点Q 也同时停止运动．当点P 运动 时，以点P 、Q 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形． 3. 已知四边形ABCD ，∠ABC=45°，∠C=∠D=90°，含30°角（∠P=30°）的直角三角板PMN （如图） 在图中平移，直角边MN ⊥BC ，顶点M 、N 分别在边AD 、BC 上，延长NM 到点Q ，使QM=PB ．若BC=10，CD=3，则当点M 从点A 平移到点D 的过程中，点Q 的运动路径长为__________。 4. 在矩形ABCD 中，AB=6cm ，AD=8cm ，动点P 从点A 以1cm/s 的速度在线段AD 上向点D 运动，动 点Q 以相同的速度从点C 在线段CB 上向点B 运动，P 、Q 同时运动，当运动时间t= 时，四边形PBQD 是菱形． 5. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两个动点，P 是正方形四边上的任意一点，且AB=4， EF=2，设AE=x ．当△PEF 是等腰三角形时，下列关于P 点个数的说法中，一定正确的是（ ） ①当x=0（即E 、A 两点重合）时，P 点有6个； ②当0＜x ＜42-2时，P 点最多有9个 ③当P 点有8个时，x=22-2； ④当△PEF 是等边三角形时，P 点有4个