高中数学导数专题训练

高二数学导数专题训练

一、选择题

1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2

t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）

A 7米/秒

B 6米/秒

C 5米/秒

D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2

＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ）

A.1

B.2

C.－1

D. 0

3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足'

'

()()f x g x =,则

()f x 与()g x 满足（ ）

A ()f x =2()g x

B ()f x -()g x 为常数函数

C ()f x =()0g x =

D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3

y

x x 的递增区间是（ ）

A )1,(-∞

B )1,1(-

C ),(+∞-∞

D ),1(+∞

5.若函数f(x)在区间（a ，b ）函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）有（ ）

A. f(x) 〉0

B.f(x)〈 0

C.f(x) = 0

D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件

7．曲线3

()

2f x x x

在0p 处的切线平行于直线41y

x ，则0p 点的坐标为（ ）

A (1,0)

B (2,8)

C (1,0)和(1,4)--

D (2,8)和(1,4)--

8．函数3

13y x x =+- 有 （ ）

A.极小值-1，极大值1

B. 极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值3

D. 极小值-2，极大值2

9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'

(1)()0x f x -≥，则必有（ ）

A (0)(2)2(1)f f f +<

B (0)(2)2(1)f f f +≤ C

(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>

10.若函数()y f x =在区间(,)a b 可导，且0(,)x a b ∈则000

()()

lim

h f x h f x h h

→+--

的值为（ ）

A ．'0()f x

B ．'02()f x

C ．'

02()f x - D ．0

二、填空题

11．函数3

2

y x x x =--的单调区间为___________________________________. 12．已知函数3

()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值围是 . 13.曲线x x y 43

-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________.

14.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列

1n a n ????+??

的前n 项和的公式是 . 三、解答题：

15．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3

2

35y x x =+-相切的直线方程

16．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去

四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？

17．已知c bx ax x f ++=2

4)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是

2y x =-，请解答下列问题：

（1）求)(x f y =的解析式； （2）求)(x f y =的单调递增区间。

18．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值；

（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；

（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3

1

的图象有三个不同的交点，求m 的取值围．

19．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；

（II ）若函数()f x 没有零点，数k 的取值围；

20.已知1x =是函数3

2

()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；

（3）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值围.

参考答案

一、选择题 AABCB ACCDB 二、填空题

11．递增区间为：（-∞，13），（1，+∞）递减区间为（13

-，1） （注：递增区间不能写成：（-∞，1

3

）∪（1，+∞））

12．(,0)-∞ 13．3

4

π

14．122n +- ()()/

112

22,:222(2)n n n x y n y n x --==-++=-+-切线方程为，

令0x =，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以

21

n n

a n =+，则数列1n a n ??

??+??

的前n 项和()

12122212n n n S +-=

=-- 三、解答题：

15．解：设切点为(,)P a b ，函数3235y x x =+-的导数为'2

36y x x =+

切线的斜率'2|363x a k y a a ===+=-，得1a =-，代入到32

35y x x =+-

得3b =-，即(1,3)P --，33(1),360y x x y +=-+++=

16．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 3

2

(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+ '

2

'10125240,0,1,3

V x x V x x =-+===

令得或，103x =（舍去）

(1)18V V ==极大值，在定义域仅有一个极大值， 18V ∴=最大值

17．解：（1）c bx ax x f ++=2

4

)(的图象经过点(0,1)，则1c =，

'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=

切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=2

4

)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22

a b c a b ++=-=

=-得 4259

()122f x x x =-+

（2

）'3

()1090,0,f x x x x x =-><<>或

单调递增区间为()1010

-

+∞ 18．解：函数

)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）

（I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f

得 ?

?

?==????=--++=03

023233c d b a c b a d …………（4分） （II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f

??

?=+--+-=--+5

346483

23412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a

所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）

（III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()

m x x x x x x +++-=++-5343962

23有

三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=872

3

与x 轴有三个交点；

42381432--=+-='x x x x x g ，

()m g m g --=-=??

? ??164,273． …………（10分） 当且仅当()016402768

32<--=>-=

??

? ??m g m g 且时，有三个交点， 故而，27

68

16<<-m 为所求． …………（12分）

19．解：（I ）当1k =时，2()1

x

f x x -'=-

)(x f 定义域为（1，+∞）

，令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在是增函数，(2,)+∞在上是减函数

∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分） （II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，

∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）

②当0k >时，1()

11()111k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分） 令1()0,k f x x k +'==得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1

(1,),()0x f x k '∈++∞<时，

∴1()(1,1)f x k +在是增函数，1

[1,)k

++∞在上是减函数，

∴()f x 的最大值是1(1)ln f k k

+=-，

∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，

因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值围(1,)k ∈+∞．………………（10分）

20．解(1)2

()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,

所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+

（2）由（1）知，2

()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ????--+

???????

当0m <时，有2

11

>+

，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： 故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ?

?

-∞+ ???

单调递减， 在2

(1,1)m

+

单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得()3f x m '>，即2

2(1)20mx m x -++>

又0m <所以222(1)0x m x m m -

++<即[]222

(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212

()2(1)g x x x m m

=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

所以22(1)0120(1)010

g m m

g ?

-<+++

3

m -<又0m < 所以4

03

m -<<

即m 的取值围为4,03??- ???