中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析

中考数学专题训练【方案设计型】能力提升训练与解析

考点：一次方程、方程组、分式方程、不等式组、一次函数、二次函数、

【例1】.某商店准备购进甲、乙两种商品．已知甲商品每件进价

15元，售价20

元；乙商品每件进价35元，售价45元．

(1)若该商店同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2 700元，求购进甲、乙两种商品各多少件？

(2)若该商店准备用不超过3 100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润是多少(利润＝售价－进价)?

解：(1)设购进甲种商品x 件，购进乙种商品y 件， 根据题意，得

????? x ＋y ＝100，15x ＋35y ＝2 700，解得：?????

x ＝40，y ＝60.

答：商店购进甲种商品40件，购进乙种商品60件．

(2)设商店购进甲种商品a 件，则购进乙种商品(100－a )件， 根据题意列，得

?

????

15a ＋35100－a ≤3 100，5a ＋10100－a ≥890，解得20≤a ≤22. ∵总利润W ＝5a ＋10(100－a )＝－5a ＋1 000，W 是关于x 的一次函数，W 随x 的增大而减小，

∴当x ＝20时，W 有最大值，此时W ＝900，且100－20＝80，

答：应购进甲种商品20件，乙种商品80件，才能使总利润最大，最大利润为900元．

【例2】．今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环保意识，节约用

水，某校数学教师编造了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：

月用水量(单位：吨) 单价(单位：元/吨)

不大于10吨部分

1.5 大于10吨，且不大于m 吨部分(20≤m ≤50)

2 大于m 吨部分

3 (1)若某用户六月份的用水量为18吨，求其应缴纳的水费；

(2)记该用户六月份的用水量为x 吨，缴纳水费y 元，试列出y 关于x 的函数式；

(3)若该用户六月份的用水量为40吨，缴纳水费y 元的取值范围为70≤y ≤90，试求m 的取值范围．

解：(1)应缴纳水费：10×1.5＋(18－10)×2＝31(元)． (2)当0≤x ≤10时，y ＝1.5x ；

当10

当x >m 时，y ＝15＋2(m －10)＋3(x －m )＝3x －m －5.

∴y ＝????

?

1.5x 0≤x ≤10，2x －5 10m .

(3)当40≤m ≤50时，y ＝2×40－5＝75(元)，满足． 当20≤m <40时，y ＝3×40－m －5＝115－m ， 则70≤115－m ≤90，∴25≤m ≤45，即25≤m ≤40. 综上得，25≤m ≤50.

【例3】．潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A ，B 两类蔬菜，

种植户 种植A 类蔬菜面积(单位：亩) 种植B 类蔬菜面积(单位：亩) 总收入(单位：元)

甲

3 1 12 500 乙

2 3 16 500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩的平均收入相等；亩为土地面积单位． (1)求A ，B 两类蔬菜每亩的平均收入各是多少元；

(2)某种植户准备租20亩地用来种植A ，B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63 000元，且种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植户所有的租地方案．

解：(1)设A ，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元．

由题意，得????? 3x ＋y ＝12 500，2x ＋3y ＝16 500.解得?????

x ＝3 000，y ＝3 500.

答：A ，B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3 000元，3 500元．

(2)设用来种植A 类蔬菜的面积为a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20－a )亩．

由题意，得?

??

??

3 000a ＋3 500

20－a ≥63 000，

a ＞20－a .解得10＜a ≤14.

∵a 取整数，为：11,12,13,14.

类别

种植面积(亩)

A 11 12 13 14 B

9

8

7

6

【例4】.某学校计划将校园内形状为锐角△ABC 的空地（如图）进行改造，将它分

割成△AHG 、△BHE 、△CGF 和矩形EFGH 四部分，且矩形EFGH 作为停车场，经测量BC=120m ，高AD=80m ，

（1）若学校计划在△AHG 上种草，在△BHE 、△CGF 上都种花，如何设计矩形的长、宽，使得种草的面积与种花的面积相等？

（2）若种草的投资是每平方米6元，种花的投资是每平方米10元，停车场铺地砖投资是每平方米4元，又如何设计矩形的长、宽，使得△ABC 空地改造投资最小？最小为多少?

解、（1）设FG=x 米，则AK=(80－x)米 由△AHG ∽△ABCBC=120，AD=80可得：

8080120x HG -= ∴ x HG 2

3

120-=

BE+FC=120－）（x 23120-

=x 23

∴x x x x ·232180·23120 · 21?=--）（）（

解得x=40 ∴当FG 的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。 （2）设改造后的总投资为W 元 W=

2880024064·)2

3120(10··23216·80·23120 · 212+-=-+?+--x x x x x x x x ）（）（=6(x －20)2+26400

∴当x=20时,W 最小=36400

答:当矩形EFGH 的边FG 长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。

【例5】.我州鼓苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，

州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会.现有A 型、B 型、C 型三种汽车可供选择.已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满.

（1）设A 型汽车安排x 辆，B 型汽车安排y 辆，求y 与x 之间的函数关系式. （2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案. （3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费. 解：（1）法①根据题意得

()46721120

x y x y ++--=化简得：327y x =-+

（2）由

4

4

214x y x y ≥??

≥??--≥?

得 ()43274213274x x x x ?≥?

-+≥??---+≥?

，解得 2573x ≤≤.

∵x 为正整数，∴5,6,7x =.故车辆安排有三种方案，即： 方案一：A 型车5辆，B 型车12辆，C 型车4辆 方案二：A 型车6辆，B 型车9辆，C 型车6辆 方案三：A 型车7辆，B 型车6辆，C 型车8辆 （3）设总运费为W 元，则

()()

15001800327200021327W x x x x =+-++-+-

10036600x =+

∵W 随x 的增大而增大，且5,6,7x = ∴当5x =时，

37100

W =最小元

答：为节约运费，应采用 ⑵中方案一，最少运费为37100元。

【例6】.为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境，德州市政府拟对

部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程．现在甲、乙两个工程队有能力承包这个工程．经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用2000元．

（1）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

（2）请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费用． 解：（1）设甲工程队单独完成该工程需x 天，则乙工程队单独完成该工程需（x+25）天．

根据题意得：3030

15x x =++2．

方程两边同乘以x （x+25），得30（x+25）+30x=x （x+25），即x2﹣35x ﹣750=0．解之，

得x1=50，x2=﹣15．

经检验，x1=50，x2=﹣15都是原方程的解．

但x2=﹣15不符合题意，应舍去．∴当x=50时，x+25=75．

答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该工程需75天． （2）此问题只要设计出符合条件的一种方案即可．

方案一：由甲工程队单独完成． 所需费用为：2500×50=125000（元）． 方案二：由甲乙两队合作完成．所需费用为：（2500+2000）×30=135000（元）．

【例7】. “五一”期间，为了满足广大人民的消费需求，某商店计划用160000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：

（1）、若全部资金用来购买彩电和洗衣机共100台，问商店可以购买彩电和洗衣机各多少台?

(2)、若在现有资金160000元允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数和冰箱台数相同，且购买洗衣机的台数不超过购买彩电的台数，请你算一算有几种进货方案？哪种进货方案能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？并求出最大利润。（利润=售价-进价）

解：（1）设商店购买彩电x台，则购买洗衣机（100﹣x）台．

由题意，得2000x+1000（100﹣x）=160000，解得x=60，则100﹣x=40（台），

所以，商店可以购买彩电60台，洗衣机40台．

（2）设购买彩电和冰箱各a台，则购买洗衣机为（100﹣2a）台．

根据题意，得

200016001000(100-2)160000

1002

a a a

a a

++≤

?

?

-≥

?解得

5.

37

3

1

33≤

≤a

．

因为a是整数，所以a=34、35、36、37．

因此，共有四种进货方案．

设商店销售完毕后获得的利润为w元，

则w=（2200﹣2000）a+（1800﹣1600）a+（1100﹣1000）（100﹣2a）=200a+10000，∵200＞0，∴w随a的增大而增大，

∴当a=37时，W最大值=200×37+10000=17400，

所以，商店获得的最大利润为17400元．

【例8】.在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立

方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．

（1）求运往两地的数量各是多少立方米？

（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？

（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表：

在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？ 解：（1）设运往E 地x 立方米，由题意得，x+2x ﹣10=140，解得：x=50，∴2x ﹣10=90， 答：共运往D 地90立方米，运往E 地50立方米； （2）由题意可得，

[]??

?≤+--<+-12)30(90502)30(90a a A ，解得：20＜a≤22，

∵a 是整数，∴a=21或22，∴有如下两种方案：

第一种：A 地运往D 地21立方米，运往E 地29立方米；C 地运往D 地39立方米，运往E 地11立方米；

第二种：A 地运往D 地22立方米，运往E 地28立方米；C 地运往D 地38立方米，运往E 地12立方米；

（3）第一种方案共需费用：22×21+20×29+39×20+11×21=2053（元）， 第二种方案共需费用：22×22+28×20+38×20+12×21=2056（元）， 所以，第一种方案的总费用最少．

【例9】.我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A 、B 、C 三种化学物资共200

吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：

（1）设装运A 种物资的车辆数为x ，装运B 种物资的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式；

（2）如果装运A 种物资的车辆数不少于5辆，装运B 种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；

（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．

解：（1）根据题意，得：12x+10y+8（20﹣x ﹣y ）=200，12x+10y+160﹣8x ﹣8y=2002x+y=20， ∴y=20﹣2x ，

（2）根据题意，得：52024x x ??

-?

≥≥解之得：5≤x≤8

∵x 取正整数，∴x=5，6，7，8， ∴共有

（3）设总运费为M 元，

则M=12×240x+10×320（20﹣2x ）+8×200（20﹣x+2x ﹣20） 即：M=﹣1920x+64000

∵M 是x 的一次函数，且M 随x 增大而减小，∴当x=8时，M 最小，最少为48640元．

【例10】.为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具

盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元.

（1）每个文具盒、每支钢笔个多少元？ （2）时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x 个文具盒需要1y 元，买x 支钢笔需要2y 元；求1y 、2y 关于x 的函数关系式；

（3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱. 解：（1）设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，可列方程组得

???=+=+1617410025y x y x ， 解之得?

?

?==1514y x 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元.

（2）由题意知，y1关于x 的函数关系式为y1=14×90%x ，即y1=12.6x.

由题意知，买钢笔10以下（含10支）没有优惠，故此时的函数关系式为y2=15x.

当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y2=15×10+15×80%（x －10）

即y2=12x+30

（3）当y1< y2即12.6x<12x+30时，解得x<50;

当y1= y2即12.6x=12x+30时，解得x=50;

当y1> y2即12.6x>12x+30时，解得x>50.

综上所述，当购买奖品超过10件但少于50件时，买文具盒省钱；

当购买奖品超过50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；

当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱.

【例11】．为极大地满足人民生活的需求，丰富市场供应，我区农村温棚设施农业

迅速发展，温棚种植面积在不断扩大．在耕地上培成一行一行的矩形土埂，按顺序间隔种植不同农作物的方法叫分垄间隔套种．科学研究表明：在塑料温棚中分垄间隔套种高、矮不同的蔬菜和水果（同一种紧挨在一起种植不超过两垄），可增加它们的光合作用，提高单位面积的产量和经济效益．

现有一个种植总面积为540m2的矩形塑料温棚，分垄间隔套种草莓和西红柿共24垄，

种植的草莓或西红柿单种农作物的总垄数不低于10垄，又不超过14垄(垄数为正整数)，它们的占地面积、产量、利润分别如下：

（1）若设草莓共种植了垄，通过计算说明共有几种种植方案？分别是哪几种？

（2）在这几种种植方案中，哪种方案获得的利润最大？最大利润是多少？

解：（1）根据题意西红柿种了（24-x）垄

15x+30(24-x)≤540 解得x≥12

∵x≤14，且x是正整数∴x=12，13，14

共有三种种植方案，分别是：

方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄

方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄

方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄

（2）解法一：方案一获得的利润：12×50×1.6+12×160×1.1=3072（元）方案二获得的利润：13×50×1.6+11×160×1.1=2976（元）

方案三获得的利润：14×50×1.6+10×160×1.1=2880（元）

由计算知，种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大，最大利润是3072元

解法二：若草莓种了x垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润y元，则

+

?

?

=

=x

y

x

x

-

-

6.1+

96

4224

24

)

(

50

1.1

160

k-96＜0 ∴y随x的增大而减小

∵=

又∵12≤x≤14，且x是正整数

∴当x=12时，最大

y=3072（元）