数列经典例题(裂项相消法)知识讲解
数列裂项相消求和的典型题型
1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1
{1
+n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100
2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10
9
则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距
为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622
3219,132a a a a a ==+．
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++=Λ求数列}1
{
n
b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2
=---n a n a n n ．
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1
n
n a n b +=
求数列}{n b 的前n 项和n T ．
5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足
,,2
1
1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++Λ求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1
1*2
N n a b n n ∈-=
求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n
a a 2
11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)令,2
1
1n n n a a b -
=+求数列}{n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n T ．
8．已知等差数列}{n a 的前3项和为6，前8项和为﹣4． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)设),,0()4(*
1N n q q a b n n n ∈≠-=-求数列}{n b 的前n 项和n S ．
9．已知数列}{n a 满足,2,021==a a 且对*
,N n m ∈?都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．
(Ⅰ)求53,a a ；
(Ⅱ)设),(*
1212N n a a b n n n ∈-=-+证明：}{n b 是等差数列；
（Ⅲ）设),,0()(*
11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+求数列}{n c 的前n 项和n S ．
10．已知数列}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)数列}{n a 和数列}{n b 满足等式),(2
222*33
221N n b b b b a n n n ∈++++=
Λ求数列}{n b 的前n 项和n S ． 11．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)令,4)
1(1
1
2+--=n n n a a n
b 求数列}{n b 的前n 项和n T .
12．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(2
22=+--+-n n S n n S n n .
(1)求数列}{n a 的通项公式n a ； (2)令,)2(12
2n n a n n b ++=
数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*
N n ∈?都有64
5 1．A ；2．B 3．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6有a 32=9a 42，∴q 2=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1，∴a 1=． 故数列{a n}的通项式为a n=． （Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣， 故=﹣=﹣2（﹣） 则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣， ∴数列{}的前n项和为﹣． 4．解：(Ⅰ)由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0， 可有（a n﹣2n）（a n+1）=0 ∴a n=2n． (Ⅱ)∵a n=2n，b n=， ∴b n===， T n===． 数列{b n}的前n项和T n为． 5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有： ， 解有a1=1，d=2． ∴a n=2n﹣1，n∈N*． (Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有： 当n=1时，=， 当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合． ∴=，n∈N* 由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*． ∴b n=，n∈N*． 又T n=+++…+， ∴T n=++…++， 两式相减有：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣ ∴T n=3﹣． 6．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d， ∵a3=7，a5+a7=26， ∴有， 解有a1=3，d=2， ∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1； S n==n2+2n； (Ⅱ)由(Ⅰ)知a n=2n+1， ∴b n====， ∴T n===， 即数列{b n}的前n项和T n=． 7．解：(Ⅰ)由条件有，又n=1时，， 故数列构成首项为1，公式为的等比数列．∴，即． (Ⅱ)由有，，两式相减，有：，∴． （Ⅲ）由有．∴T n=2S n+2a1﹣2a n+1=． 8．解：(Ⅰ)设{a n}的公差为d， 由已知有 解有a1=3，d=﹣1 故a n=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n； (Ⅱ)由(Ⅰ)的解答有，b n=n?q n﹣1，于是 S n=1?q0+2?q1+3?q2+…+n?q n﹣1． 若q≠1，将上式两边同乘以q，有 qS n=1?q1+2?q2+3?q3+…+n?q n． 上面两式相减，有 （q﹣1）S n=nq n﹣（1+q+q2+…+q n﹣1）=nq n﹣ 于是S n= 若q=1，则S n=1+2+3+…+n= ∴，S n=． 9．解：(Ⅰ)由题意，令m=2，n=1，可有a3=2a2﹣a1+2=6 再令m=3，n=1，可有a5=2a3﹣a1+8=20 (Ⅱ)当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可有a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8 于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）=8 即b n+1﹣b n=8 ∴{b n}是公差为8的等差数列 （Ⅲ）由(Ⅰ) (Ⅱ)解答可知{b n}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列则b n=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2 另由已知（令m=1）可有 a n=﹣（n﹣1）2． ∴a n+1﹣a n=﹣2n+1=﹣2n+1=2n 于是c n=2nq n﹣1． 当q=1时，S n=2+4+6++2n=n（n+1） 当q≠1时，S n=2?q0+4?q1+6?q2+…+2n?q n﹣1． 两边同乘以q，可有 qS n=2?q1+4?q2+6?q3+…+2n?q n． 上述两式相减，有 （1﹣q）S n=2（1+q+q2+…+q n﹣1）﹣2nq n=2?﹣2nq n=2? ∴S n =2? 综上所述，S n =． 10．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ， 则依题意可知d ＞0由a 2+a 7=16， 有，2a 1+7d=16① 由a 3a 6=55，有（a 1+2d ）（a 1+5d ）=55② 由①②联立方程求，有d=2，a 1=1/d=﹣2，a 1=（排除） ∴a n =1+（n ﹣1）?2=2n ﹣1 (Ⅱ)令c n = ，则有a n =c 1+c 2+…+c n a n+1=c 1+c 2+…+c n+1 两式相减，有 a n+1﹣a n =c n+1，由（1）有a 1=1，a n+1﹣a n =2 ∴c n+1=2，即c n =2（n ≥2）， 即当n ≥2时， b n =2n+1，又当n=1时，b 1=2a 1=2 ∴b n = 于是S n =b 1+b 2+b 3+…+b n =2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6，n ≥2， ． 11．解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×1 2×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×3 2 ×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1(12n －1＋1 2n ＋1 )． 当n 为偶数时， T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时， T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…－(12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋1 2n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n ＝? ?? ?? 2n ＋22n ＋1，n 为奇数， 2n 2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋(－1)n －1 2n ＋1 ) 12．(1)解 由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2 ＋n )＝0， 得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)． n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式． ∴a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *)得b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116?????? 1n 2－1(n ＋2)2 T n ＝116?? ?? ??1－132＋????122－142＋????132－152＋… ? ?? ＋? ????1(n －1)2－1(n ＋1)2＋? ????1n 2－1(n ＋2)2 ＝ 116? ?????1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116????1＋122＝564(n ∈N *)． 即对于任意的n ∈N * ，都有T n <564 .