第10章 稳恒磁场分解
第十章 稳恒磁场
问题
10-1 你能说出一些有关电流元d I l 激发磁场d B 与电荷元d q 激发电场d E 有何异同吗？
解 电流元激发的磁场与电荷元激发的电场是两个基元场. 由毕奥—萨伐尔定律定律得电流元d I l 激发的磁场为 0r
2
d d 4I r
μ?=πl e B
由电荷元电场强度公式得电荷元d q 激发的电场为2
0d d 4q
r ε=
πE
相同点： 这两个场的大小都与场点到“元”（电流元、电荷元）的距离平方成反比； 这两个场都是矢量场，满足叠加原理.
相异点： 电荷元产生的电场呈球对称，其方向与r 的方向相同或相反；电流元产生的磁场不具有球对称性，其方向垂直于d l 与r 组成的平面，遵从右手螺旋法则. 另外，d E 的大小与电荷元的电量d q 成正比，而d B 的大小不仅与d I l 的大小成正比，还与其方向有关.
10-2 在球面上铅直和水平的两个圆中通以相等的电流，电流流向如图所示.问球心O 处磁感强度的方向是怎样?
解 由右手螺旋法则可知，铅直的圆中电流在O 处
产生的磁场方向垂直于铅直面向里；水平圆中电流在O 处产生的磁场方向垂直于水平面向下；并且这两个圆产
生的磁感应强度大小相等。所以球心处总的磁感应强度
斜向里，与竖直向上方向的夹角为135.
10-3 电流分布如图所示,图中有三个环路1、2和3. 磁感强度沿其中每一个环路的线积分各为多少？
解 由安培环路定理0
i i
d l
I μ?=∑?B l 可知
环路1 1
01d l I μ?=?B l 环路2 2
02d l I μ?=?B l 环路3
()3
012d 2l I I μ?=-?
B l
O
I
I
10-4 “无限长”载流直导线的磁感强度02I
B d
μ=
π可从毕奥-萨伐尔定律求
得.你能否用安培环路定律来求得呢? 如果可以,需要作哪些假设条件呢?
解 “无限长”载流直导线周围的磁场分布呈轴对称，距离导线相等处的场点磁感强度大小相等. 取以直导线为中轴线、半径为d 的同心圆为积分路径，积分方向与直导线中电流方向遵从右手螺旋定则. 由安培环路定律可得
2l
d B d I μ=π=?B l ?
02I
B d
μ=
π
在此解法中需要场点距直导线的距离d 为有限.
10-5 如图所示,在一个圆形电流的平面内取一个同心的圆形闭合回路,并使这两个圆同轴,且互相平行.由于此闭合回路内不包含电流,所以把安培环路定理用于上述闭合回路可得
d 0l
?=?B l
由此结果能否说在闭合回路上各点的磁感强度为零?
解 不能，
d 0l
?=?B l 不仅与磁感强度的大小
有关，还与磁感强度与积分路径的夹角θ有关. 当
90θ=时，d 0l
?=?B l 也成立.
10-6 如图所示,设在水平面内有许多根长直载流导线彼此紧挨着排成一行,每根导线中的电流相同. 你能求出邻近平面中部A 、B 两点的磁感强度吗？A 、B 两点附近的磁场可看作均匀磁场吗？
解 由于导线数目甚多，且电流分布均匀，相当于一个无限大带电平面. 由对称性
可知，在平面中部附近各点的磁感强度大小相等. 设各导线中的电流为I ，单位长度的导线数目为n . 如图所示，取长为L 的矩形
回路abcd ，回路内所包含的电流为nIL ，且使ab 、cd 边与磁场平行，bc 、da 边与磁场垂直，所以由安培环路定律可知
0d d d l
ab
cd
nIL μ=+=??
?B l B l B l ???
01
2
B nI μ=
可见当导线电流、导线分布密度一定时，在平面中部附近的场强可以视为均匀磁场.
O I
10-7 如果一个电子在通过空间某一区域时，电子运动的路径不发生偏转，我们能否说这个区域没有磁场？
解 由洛仑兹力e =-?F v B 可知，电子进入磁场是否受力偏转与电子进入磁场时的速度方向有关，若电子进入磁场时初始速度方向与磁场方向平行，即
sin 00vB ?==v B
此时虽然磁感强度不为零，但电子运动路径不会发生偏转.
10-8 方程q =?F v B 中的三个矢量，哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？
解 由右手螺旋法则可知 q =?F v B 中 ，力F 与粒子速度v ，F 与磁感强度B 始终正交，v 与B 可以有任意角度.
10-9 气泡室是借助于小气泡显示在室内通过的
带电粒子径迹的装置，如图是气泡室中所摄照片的描绘图，磁感强度B 的方向垂直平面向外，在照片的点P 处有两条曲线，试判断哪一条径迹是电子形成的？哪一条是正电子形成的？
解 由q =?F v B 可知向右偏离的径迹是正电子
形成的, 向左下偏离的径迹是电子形成的.
10-10 在磁场中，若穿过某一闭合曲面的磁通量为零，那么，穿过另一非闭合曲面的磁通量是否也为零呢？
解 不一定. 磁场为有旋无源场，由磁场中的高斯定理可知，穿过任一闭合曲面的磁通量必为零，即d 0S
Φ=
?=?B S ；而穿过一非闭和曲面的磁通量不一定为
零，例如处于均匀磁场中的半球面S ，磁感强度的方向与半球面中轴线平行，则穿过此半球面的磁通量为2d 2S
R B Φ=?=π?
B S .
10-11 安培定律d d I =?F l B 中的三个矢量，哪两个矢量始终是哪些矢量始终是正交的？哪些矢量之间可以有任意角度？
解 由右手螺旋法则可知d d I =?F l B 中, 安培力d F 与d I l 、安培力d F 与磁感强度B 始终是正交的, d I l 与B 之间可以有任意角度.
10-12 如图，把一载流线圈放入一永久磁铁的磁场中，在磁场的作用下线圈将发生转动.（1）图（a ）中的线圈怎样转动？（2）图（b ）中的线圈由上往下看是
顺时针在转动，问磁铁哪一边是N 极，哪一边是S 极？（3）图（c ）中的线圈由上往下看是反时针在转动，问线圈中电流的流向怎样？
解 (1) 图（a ）中的线圈由上往下看是反时针转动. （2）图（b ）中左边磁铁是N 极,右边磁铁是S 极. （3）图（c ）中线圈电流是顺时针.
10-13 如均匀磁场的方向铅直向下，一矩形导线回路的平面与水平面一致，试问这个回路上的电流沿哪个方向流动时，它才处于稳定平衡状态？
解 载流回路在磁场中会受到磁场的作用. 要矩形导线回路处于平衡状态，则要求整个导线回路所受合力及磁力矩都为零. 由于回路为矩形，无论电流流向如何，它所受合外力均为零. 同时要使回路所受磁力矩也为零，由n IS =?M e B 可知，载流线圈的n e 方向必须与磁感强度的方向相同，回路所受的磁力矩才为零，即电流方向与磁感强度方向应遵从右手螺旋定则.
10-14 如图所示，有两个圆电流A 和B 平行放置，这两个圆电流间是吸引还是排斥?
解 圆电流A 产生的磁场与B 产生的磁场方向相反, 它们之间相互排斥.
10-15 若在上题两圆电流A 和B 之间放置一平行的圆电流C （如图），这个圆电流如何运动？
解 由各圆电流产生的磁场方向可知,圆电流A
和C 相互吸引, 圆电流C 与B 相互排斥,所以圆电流C 向A 移动.
I
N
S
I
S N
(a)
(b)
(c)
A
1
I 2
I 3
I B
C
1
I 2
I A
B
习题
10-1 如图所示，两根长直导线互相平行的放置，导线内电流大小相等均为10A I =，方向相同，求图中M 、N 两点的磁感强度B 的大小和方向（图中
00.020m r =）.
解 由无限长带电直导线在距离其r 处的磁感强度大小为02I
B r
μ=
π可知，两导线在M 点产生的磁感
强度大小相等为
1200
2M M I
B B r μ==
π
由右手螺旋法则可知它们的方向相反，由磁场的叠加可得M 点的磁感强度
0M B =
同理N 点的磁感强度为
120000
()cos
()4N N N I
I B B B r r π=+=+4π4π 400
1.010T I
r μ-==?2π
其方向沿水平向左.
10-2 已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为5
6.010
T -?. 如图所示,如设
想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发, 此电流有多大? 流向如何?
解 设赤道圆电流为I ，地球半径为6
6.3710m R =?。由教材可知，圆电流轴线上距圆心R 处（地球北极）的磁感强度
(
)
2
032
2
22IR B R R
μ=
=
+
由上式可知，此电流大小为
90
1.7210A I μ=
=?
2
M B
由于地磁场由南极指向北极，由右手螺旋法则可知，此圆电流的流向应为自西向东.
10-3 如图所示,几种载流导线在平面内分布,电流均为I ,它们在O 点的磁感强度各为多少?
解 （1）图（a ）中的载流导线可看作两根直导线和一段14圆弧形导线组成。 场点O 在两根直导线的延长线上，有d 0I ?=l r ，这两根直导线在O 点产生的磁场为零。所以此时O 点处磁感强度由14圆弧电流激发，即 08O I
B R
μ=
由右手定则可知O B 方向垂直纸面向外.
（2）O 点磁感强度可看作是一圆电流和长直电流在此处的叠加，圆电流在O 点产生的磁感强度垂直纸面向里，长直电流在O 点产生的磁感强度垂直纸面向外，总的磁感强度为
0022O I
I
B R
R
μμ=
-
π
方向垂直纸面向里.
（3）O 点磁感强度可看作是一半圆电流和两根长直电流在此处的叠加，O 点总的磁感强度为
0000044O I
I
I
I
I
B R
R
R
R
R
μμμμμ=
+
+
=
+
4π4π2π
N
(a)(b)
(c)
O B 方向垂直纸面向外.
10-4 如图所示,半径为R 的木球上绕有密集的细导线, 线圈平面彼此平行,且以单层线圈覆盖住半个球面,设线圈的总匝数为N ,通过线圈的电流为I . 求球心处O 的磁感强度.
解 如图所示，以球心为原点、半球中轴线为x 轴建立直角坐标系。由于导线均匀绕在半球面上，我们可以将半球分成一组薄圆盘，每一个圆盘可看作一个圆电流元。单位弧长上的线圈匝数为12N R ??
π
???
，每一个圆盘中的电流为 2d d d N
I I N I R R
θ==?
?π 它在球心处产生的磁感强度为
2
2232
d d 2()y B I x y μ=+
考虑到cos x R θ=、sin y R θ=，将上式积分可得球心处总的磁感强度为
2000
sin d N I
N I
B R
R
μμθθπ==
π4?
10-5 如图所示,一宽为b 的薄金属板, 其电流为I ,试求在薄板的平面上,距板的一边为r 的点P 的磁感强度.
2R
x
O
解 如图所示，以点P 为原点O ，建立坐标轴Ox 。我们可以将薄板分成宽度为d x 的长直电流，且d d I
I x b
=
，它在点P 处所产生的磁感强度为 d d 2I B x
μ0=π
由于各长直电流在点P 处产生的磁感强度方向相同，故将上式积分可得总的磁感强度为
d ln
22b+r
r
I
I
b+r
B x bx
b
r
μμ00=
=
ππ?
B 的方向垂直于纸面向里.
10-6 如图所示, 载流长直导线的电流为I . 试求通过矩形面积的磁通量.
解 以直导线上一点为原点O ，以通过点O 的垂线为Ox 轴. 则载流导线在距其x 处产生的磁感强度为 2I
B x
μ0=
π
可见导线周围各点的磁感强度并不相同，我们可以通过积分来求通过矩形面积的磁通量，即
2
1
2
1
d d ln
22d S
d I
Il
d l x x
d μμΦ00=?=?=
ππ
?
?
B S
10-7 如图, 在磁感强度为B 的均匀磁场中,有一半径为R 的半球面, B 与半球面的轴线夹角为α. 求通过该半球面的磁通量.
解 取半球面1S 和球面截圆2S 组成的闭合曲面S ，由磁场高斯定理可知
d 0S
=?
B S ?
所以穿过半球面1S 的磁通量为
I
1
2
212d d cos S S R B α=-=π?
?B S B S ??
10-8 已知210mm 裸铜线允许通过50A 电流而不致导线过热，电流在导线横截面上均匀分布. 求（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线表面的磁感强度.
解 （1）将导线看作半径210mm R =为长直圆柱体，由于电流在导体内均匀分布，它产生的磁场也呈轴对称，取同心圆环为环路L ，对于半径为r 的环路，由安培环路定理可得
2l
d B r I μ=π=∑?B l ?
在导线内，半径为r 的圆环内的电流22
2
2I Ir I r R R
=π=π∑，则半径为r 的同轴圆柱面上各点的磁感强度为 02
2Ir
B R
μ=π
在导线外，
I I =∑，所以导线外部的磁感强度为
02I
B r
μ=
π
（2）由上问可知，在导线表面的磁感强度连续，所以表面的磁感强度为 30 5.610T 2I
B R
μ-==?π
10-9 有一同轴电缆，其尺寸如图所示. 两导体
中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可以不考虑. 试计算以下各处的磁感强度：（1）1r R <；
（2）12R r R <<；（3）23R r R <<；（4）3r R >. 画出B r -图线.
解 由于电缆中电流均匀分布，其产生的磁场也呈轴对称，取不同半径的同心环为积分环路，由安培环路定理有
d 2l
B r I μ=π=∑?B l ?
当1r R <时 22
2211
I Ir I r R R =π=π∑，磁感强度为
3
0121
2Ir
B R
μ=π
当12R r R <<时
I I =∑，磁感强度为
022I
B r
μ=π
当2
3
R r R <<时 ()
()
222223
2
r
R I I I R
R
-=-
-∑，磁感强度为
()
()
220332
23
2
2I R r B r R R
μ-=
π-
当3r R >时
0I =∑，磁感强度为
40B =
其B r -分布曲线如右.
10-10 设电流均匀流过无限大导电平面，其电流密度为j . 求导电平面两侧的磁感强度.
解 导电平面内电流均匀分布，平面两侧的磁感强度大小相等，方向相反。如图所示，垂直于导电平面取矩形回路ABCD ，并且使AB 、CD 均平行于矩形与导电平面的交线OO '，AB CD L ==. 回路内包含的电流I jL =∑.
由安培环路定理，磁感强度沿回路的积分为
12340d d d d d l
AB
CD
BC
DA
I μ=+++=∑??
???B l B l B l B l B l ?????
又12B B =，BC 、DA 段路径与磁场垂直，所以上式为
0d d d 2l
AB
CD
BL jL μ=+==??
?B l B l B l ???
所以导电平面两侧的磁感强度大小为
01
2
B j μ=
10-11 设有两无限大平行载流平面，它们的电流密度均为j ，电流流向相反. 求（1
）两载流平面之间的磁感强度；
123r
（2）两面之外空间的磁感强度.
解 由上题结果可知,一无限大载流平面在两测的磁感强度大小为01
2
j μ,方向相反.设两载流平面的电流流向如右图所示. 由叠加原理得在两平面在之间磁感强度为 0002
2
j
j
B j μμμ=
+
=
其方向垂直纸面向里.
在两平面之外，由于两平面在此区域内产生的磁场大小相等、方向相反，所以磁感强度
0B =
10-12 测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源
S 产生质量为m ，电荷为q 的离子，离子初速很小，
可看作静止. 经电势差U 加速后离子进入磁感强度为B 的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口处距离x 的感光底片上. 试证明该离子的质量为 2
2
8B q m x U
=
证明 离子经电势差加速后获得一定的初速度进入磁场，在磁场中会受在洛仑兹力的作用下作圆周运动. 由动能定理
2
12
mv qU =可知，离子进入磁场的初速度为
v =
由题意可知，离子作圆周运动的半径2R x =，所以有
2
2
mv qvB x =
由上述两式可得离子质量为
22
8B q m x U
=
10-13 已知地面上空某处地磁场的磁感强度4
0.410
T B -=?，方向向北。若
U
宇宙射线中有一速率715.010m s v -=??的质子垂直的通过该处，求：（1）洛伦兹力的方向；（2）洛伦兹力的大小，并与该质子受到的万有引力相比较.
解 （1）如图，由q =?F v B 可知，洛伦兹力的方向与?v B 的方向一致.
（2）因为质子运动v 方向与磁感强度B 的方向垂直，所以质子受到的洛伦兹力的大小为 163210N F qvB -==.? 此质子受到的万有引力为26
p 1.6410N G m g -==?，
可见质子在此处受到的洛伦兹力远远大于它所受到的万有引力.
10-14 如图所示，设有一质量为e m 的电子射入磁感强度为B 的均匀磁场中，当它位于点M 时，具有与磁场方向成α角的速度v ，它沿螺旋线运动一周到达点N ，试证M 、N 两点的距离为 e 2cos m v MN eB
α
π=
证明 入射电子的速度可以分解为垂直于磁感强度方向的分量v ⊥和平行于磁感强度方向的分量v . 电子的运动可以分解成在垂直于磁感强度的平面内受到洛伦兹力所作的圆周运动和在平行于磁感强度方向以v 匀速运动. 这两个运动的叠加轨迹是一等距螺旋线.
在垂直于磁感强度方向的平面内，电子运动一周的时间、即圆周运动的周期为
e
22m R T v eB
⊥ππ=
= 在水平方向，经过时间T ，电子运动的距离为 e 2cos m v MN v T eB
α
π==
10-15 利用霍耳元件可以测量磁场的磁感强度，设一霍耳元件由一金属材料制
v
B
F
成，其厚度为0.15mm ，载流子数密度为24310m -，将霍耳元件放入待测磁场中，测得霍耳电压为42V μ，测得电流为10mA 。求此待测磁场的磁感强度.
解 由霍耳电压H IB
U nqd
=可知，待测磁感强度为 H 0.10T U nqd
B I
==
10-16 载流子浓度是半导体材料的重要参数，工艺上通过控制三价或五价掺杂原子的浓度，来控制p 型或n 型半导体的载流子浓度. 利用霍耳效应可以测量载流子的浓度和类型. 如图所示一块半导体材料样品，均匀磁场垂直于样品表面，样品中通过的电流为I ，现测得霍耳电压为H U . 证明样品载流子浓度为 H
IB
n edU =
证明 半导体中载流子在磁场中受到洛仑兹力的作用会积聚在导体两侧面(两侧面相距为b )，从而在侧面建立起电场，即霍耳电场H E ，两侧面的电压为霍耳电压H U . 当载流子受到的洛仑兹力与电场力平衡时有 H
H U evB eE e
b
== 由载流子速度v 与电流I 的关系为
I nevS nevdb == 由上两式可知样品载流子的浓度为 H
IB
n edU =
10-17 一通有电流为I 的导线，弯成如图所示的形状，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，B 的方向垂直纸面向里. 问此导线受到的安培力为多少？
解 此导线可视为两段直导线和一段半圆弧. 由安
x
培定律，两直导线受到的安培力大小相等、方向相反. 导线受到的安培力即半圆弧受到的安培力. 如右图所示，建立坐标系Oxy ，在圆弧上取一小段电流元d I l ，它所受到的安培力为
d d I =?F l B
由对称性可知，圆弧导线受到的安培力在水平面上的分量为零0x F =，所以 0
sin d 2y F F IRB BIR θθπ
==?
=
其方向沿y 轴方向.
10-18 如图所示，一根长直导线载有电流
130A I =，矩形回路载有电流220A I =. 试计算作
用在回路上的合力. 已知 1.0cm d =，8.0cm b =，
0.12m l =.
解 由安培环路定理可知，长直导线在距离其r 处激发的磁感强度为
01
2I B r
μ=
π
且在回路所在的区域磁场方向垂直纸面向里.
由安培定理可知，矩形线框中上、下两边受到的力1F 、2F 大小相等方向相反，线框左、右两边受到的安培力大小分别为 01
01232
22I I I l
F I l d
d
μμ==
ππ
01
01242
22)
I I I l
F I l d
d b μμ==
ππ(+
所以线框受到的合力为
301201234 1.2810N 22)
I I l
I I l
F F F d
d b μμ-=-=
-
=?ππ(+
其方向水平向左.
10-19 一直流变电站将电压500kV 的直流电，通过两条截面不计的平行输电
1I
4
线输向远方. 已知两输电导线间单位长度的电容为1113.010F m --??，若导线间的静电力与安培力正好抵消. 求（1）通过输电线的电流；（2）输送的功率.
解 （1）设两导线相距为d ，一导线在另一导线处激发的磁感强度为 02I
B d
μ=
π
则单位长度的导线受到的安培力大小为 2
012I f d
μ=
π
又两导线单位长度上的电容为C ，电压为U ，则单位长度上的电荷为CU λ=，一导线在另一导线处激发的电场强度为 02CU
E d
ε=
π
所以单位长度的导线受到的电场力为
22
202C U f d
ε=π
当导线受到的静电力与安培力抵消，即
2
22
012022I C U f f d d
με===
ππ 所以输电线上的电流为
34.510A I =
=?
（2）由P UI =可知输送的功率为
3
9
500 4.510kW =2.2510W P =???
10-20 如图所示，将一电流均匀分布的无限大载流平面放入磁感强度为0B 的均匀磁场中，电流方向与磁场垂直，放入后，平面两侧磁场的磁感强度分别为1B 和2B ，求该载流平面上单位面积所受的磁场力的大小和方向.
解 设载流平面内电流密度为j ，由10-10
题可知，
1B 2B
无限大载流平面在其两侧所产生的磁感强度大小为
01
2
j μ，将此平面放入磁场中，由叠加原理可知，载流平面两侧区域的磁感强度分别为
1001
2B B j μ=- 2001
2
B B j μ=+
由上两式可得
()0121
2
B B B =
+ 210
1
()j B B μ=
-
所以载流平面上单位面积所受的磁场力
()2
200210
12jB S f jB B B S μ?=
==-?
10-21 一半径为R 的薄圆盘，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，B 的方向与盘面平行. 在圆盘表面电荷面密度为σ，若圆盘以角速度ω绕通过盘心并垂直盘面的轴转动. 求证作用在圆盘上的磁力矩为 4
4
BR M σωπ=
证明 旋转的带电薄圆盘可以视为一组半径不同的同心圆电流。在圆盘上取半径为r 、宽为d r 的同心细圆环，其等效电流为
2d d d r r
I r r T
σσωπ=
=
又此圆电流的磁矩为
22
3d d d d m r I r r r r r σωσω=ππ=π=
它所受到的磁力矩为
3
d d d M B m B r r σω==π
所以作用在圆盘上的磁力矩为 4
3
d d 4
R
BR M M B r r σωσω
π==π=
??
B
10-22 在氢原子中，设电子以轨道角动量2L h =π，绕质子作圆周运动，其半径为110 5.2910m a -=?，求质子所在处的磁感强度，h 为普朗克常量，其值为
346.6310J s -??.
解 设电子运动的速度为v ，则其轨道角动量为
02a mv h =π
所以电子绕核运动的速度为 02h
v a m
=π
其等效电流为
200
24e e eh I T a v ma 2=
==ππ 则它在圆心（即质子处）的磁感强度为 002
3
12.5T 28I
eh
B a ma
μμ==
=π
10-23 如图所示是一种正在研究中的电磁轨道炮的原理图。该装置可用于发射速度高达1
10km s -?的
炮弹。炮弹置于两条平行轨道之间并
与轨道想接触，轨道是半径为r 的圆柱形导体，轨道间距为d ，炮弹沿轨
道可以自由滑动. 恒流电源E ，炮弹及轨道构成一闭合回路，回路中电流为I .（1）证明作用在炮弹上的磁场力为
201ln
2I d r
F r
μ??+= ?π?? （2）假设4500kA I =，120mm d =， 6.7cm r =，炮弹从静止起经过一段路程
40m L =的加速后速率为多大？（设炮弹质量10.0kg m =）
解 （1
）通过两轨道的电流大小相等，方向相反，它们在轨道之间产生垂直于
x
回路平面向里的磁感强度，通有电流的炮弹在磁场中受力，向右加速运动，从而获得较大的发射速度.
我们可以将轨道视为两根半无限长载流圆柱。取两轨道对称轴为Ox 轴（如图所示），则两轨道在炮弹上任一点（此点纵坐标为y ）处激发的总的磁感强度为 ()
()
4242I
I
B r d y r d y μμ00=
+
π+-π++
所以炮弹受到的磁场力为 2
2
21422d d d d I I
F IBdy dy r d y r d y μ0--??=
=
+ ?π+-++??
?
? 2
01ln 2I d r
r μ??+=
?π??
（2）炮弹从静止被加速，经过路程L 后所获得的速度为
1
2310ln 1.8210m s I L d r v m r μ--??
+===?? ?
π??
第十一章稳恒电流的磁场(一)作业解答
一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度 毕奥—萨法尔定律：3 04r r l Id B d ?=πμ 1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a I B πμ20= 半无限长载流直导线a I B πμ40=,直导线延长线上0=B 2. 圆环电流的磁场2 32220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθ μ220?=R I B 电荷转动形成的电流：π ω ωπ22q q T q I = == 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上 均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B 的大小为 (A) ) (20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) ) 2(0b a I +πμ． 解法： 【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感 强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：
第11章稳恒磁场
第十一章 稳恒磁场习题 （一） 教材外习题 一、选择题： 1．如图所示，螺线管内轴上放入一小磁针，当电键K 闭合时，小磁针的N 极的指向 （A ）向外转90? （B ）向里转90? （C ）保持图示位置不动 （D ）旋转180? （E ）不能确定。 （ ） 2 i 的大小相等，其方向如图所示，问哪些区域中某些点的磁感应强度B 可能为零？ （A ）仅在象限Ⅰ （B ）仅在象限Ⅱ （C ）仅在象限Ⅰ、Ⅲ （D ）仅在象限Ⅰ、Ⅳ （E ）仅在象限Ⅱ、Ⅳ （ ） 3．哪一幅曲线图能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ） （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） （E ） 4q 的点电荷。此正方形以角速度ω绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感应强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为： （A ）B 1=B 2 （B ）B 1=2B 2 （C ）B 1= 2 1B 2 （D ）B 1=B 2/4 （ ） x B x x B x B x B q q C
5．电源由长直导线1沿平行bc 边方向经过a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框，再由b 点沿cb 方向流出，经长直导线2返回电源（如图），已知直导线上的电流为I ，三角框的 每一边长为l 。若载流导线1、2和三角框在三角框中心O 点产生的磁感应强度分别用1B 、2B 和3B 表示，则O 点的磁感应强度大小 （A ）B =0，因为B 1=B 2， B 3=0 （B ）B =0，因为021=+B B ，B 3=0 （C ）B ≠0，因为虽然021=+B B ，但B 3≠0。 （D ）B ≠0，因为虽然B 3=0，但021≠+B B 。 （ ） 6．磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R ，x 坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上，图（A ）~（E ）哪一条曲线表示B －x 的关系？ （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） （E ） 7．A 、B A 电子的速率是B 电子速率的两倍。设R A 、R B 分别为A 电子与B 电子的轨道半径；T A 、T B 分别为它们各自的 周期。则： （A ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =2。 （B ）R A ∶R B = 2 1 ， T A ∶T B =1。 （C ）R A ∶R B =1， T A ∶T B = 2 1 。 （D ）R A ∶R B =2， T A ∶T B =1。 8．把轻的正方形线圈用细线挂在截流直导线AB 的附近，两者在同一平面内，直导线AB 固定，线圈可以活动。当正方形线圈通以如图所示的电流时线圈将 （A ）不动 c x B B x x B x B x B 电流
第十一章稳恒电流的磁场一作业答案
第十一章 稳恒电流的磁场（一） 一、利用毕奥—萨法尔定律计算磁感应强度 毕奥—萨法尔定律：3 04r r l Id B d ?=πμ 1.有限长载流直导线的磁场)cos (cos 4210ααπμ-=a I B ,无限长载流直导线a I B πμ20= 半无限长载流直导线a I B πμ40=,直导线延长线上0=B 2. 圆环电流的磁场232220)(2x R IR B +=μ，圆环中心R I B 20μ=，圆弧中心πθ μ220? =R I B 电荷转动形成的电流：π ω ωπ22q q T q I === 【 】基础训练1、载流的圆形线圈(半径a 1 )与正方形线圈(边长a 通有相同电流I ．如图若两个线圈的中心O 1 、O 2处的磁感强度大小相同，则半径a 1与边长a 2之比a 1∶a 2为 (A) 1∶1 (B) π2∶1 (C) π2∶4 (D) π2∶8 () 8 2,,22135cos 45cos 2 44, 2212 000201 02121ππμπμμ=== -?? ? == a a B B a I a I B a I B o o o o 得 由【 】基础训练3、有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上 均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b 处的P 点的磁感强度B 的大小为 (A) ) (20b a I +πμ． (B) b b a a I +πln 20μ．(C) b b a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ． 解法： b b a a I r dr a I r r dI dB dr a I dI a b b +===== =???+ln 222dI B B B ,B d B ,2P ,)(dr r P 0000πμπμπμπμ的大小为：，的方向也垂直纸面向内据方向垂直纸面向内；根处产生的它在，电流为导线相当于一根无限长的直的电流元处选取一个宽度为点为在距离 【 】自测提高2、通有电流I 的无限长直导线有如图三种形状，则P ，Q ，O 各点磁感 强度的大小B P ，B Q ，B O 间的关系为 (A) B P > B Q > B O . (B) B Q > B P > B O ． B Q > B O > B P ． (D) B O > B Q > B P ． 解法：
大学物理第10章稳恒磁场习题参考答案
第10章 稳恒磁场 10-1 由毕—沙定律3 0d 4r r l I B d ?=πμ可得 ),,(o o a 点，k a l I i j a l I B 20204d )(4d d πμπμ-=?= ),,(o a o 点，0)(4d d 20=?=j j a l I B πμ ),,(a o o 点，i a l I k j a l I B 2 0204d )(4d d πμπμ-=?= ,,( a a ,,(o a 10-2 在 B = 显然10-3 )sin (sin 4220ααπμ+= r I B 可得A 点的磁感（见图示） )T (1073.110 220310343 3 10---?=???== a I πμ B 的方向由右手定则知为垂直纸面向外。 习题10-3图 2 3326sin 2sin 60sin 400?= ??? ??+?=a I a I B πμππ πμ
解法（二） P 点的磁感应强度大小为 )cos (cos 4210ββπμ-= b I B b 为场点P 到载流直导线的垂直距离。 第1段载流直导线在A 点产生的01=B 。 第2段载流直导线在A 点产生的B 2。 a a b 2 3 60sin 180, 6021=?=? =?=ββ 则 10-4 0B 10-5 （174 21B B B + = [ ] [ ] ?? ? ????? ??-++++= 2 /3222 /32 2 20)2/(1 ) 2/(1 2 x a R x a R NIR μ （2）据题设R a =，则P 点的B 为 [ ] [ ] ?? ? ????? ??-++++= 2 /3222 /32 2 20)2/(1 ) 2/(1 2 x R R x R R NIR B μ 令 2 2222 2 )2/(,)2/(x R R v x R R u -+=++= 习题10.3图（2） 图（3）
第十三章稳恒磁场
第十三章 稳恒磁场 1． 如图1所示，截流导线在圆心处产生的磁感应强度的大小为[ ] (1)R I R I 83400μπμ+；（2）R I R I 83200μπμ+；（3）R I R I 83200μπμ?；（4）R I R I 83400μπμ?． 图1 2． 将载流导线弯成图2所示的形状，则O 点磁感应强度的大小为[ ] （1）R I 20μ；（2）R I 40μ；（3） R I 4)11(0π μ?；（3）R I 4)11(0πμ+． 图2 3.一无限长载流导线弯成图3所示的形状，若测得圆心O 处的磁感应强度为零，则半径a 与 b 的比值应为[ ] （1）ππ1+；（2）ππ1?；（3）1+ππ；（4）1?ππ ． 4．一无限长载流导线，弯成图4所示的形状，其中ABCD 段在xoy 平面内，BCD 是半径 为R 的半圆弧，DE 段平行于oz 轴，则圆心处的磁感应强度为[ ]． （1） k R I R I j R I r r ??????+?444000μπμπμ；（2）k R I R I j R I r r ??????++444000μπμπμ （3）k R I R I j R I r r ???????+444000μπμπμ；（4） k R I R I j R I r r ????????444000μπμπμ
图3 图4 5．图5中6根无限长直导线互相绝缘，通过的电流均为I ．区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等 的正方形，则指向纸面内的磁通量最大的区域为[ ]． （1）Ⅰ；（2）Ⅱ；（3）Ⅲ；（4）Ⅳ； 图5 图6 6．一根半径为R 的长直圆柱形导线中，均匀地通以稳恒电流I ，则通过图6所示的S 平面 的磁通量为[ ]． （1）πμ20ILR ；（2）202R IL πμ；（3）πμ40IL ；（4）πμ22 0ILR ． 7．载流空心圆柱导体的内、外半径分别为a 和b ，电流在导体截面上均匀分布，则空间各 点的r B ?曲线应为图7中的[ ]图． （1） （2）
第7章稳恒磁场分析
第6章恒定磁场 习题6.1 毕奥—萨伐尔定律 一.选择题 （ ）1、宽为a ，厚度可以忽略不计的无限长扁平载流金属片，如图6.1.1所示，中心轴线上方一点P 的磁感应强度的方向是 (A) 沿y 轴正向. （B ）沿z 轴负向. (B) (C) 沿y 轴负向. (D) 沿x 轴正向. （ ）2、两无限长载流导线，如图6.1.2放置，则坐标原点的磁感应强度的大小和方向分别为： (A)2μ0 I / (2 π a ) ,在yz 面内，与y 成45?角. (B)2μ0 I / (2 π a ) ,在yz 面内，与y 成135?角. (C)2μ0 I / (2 π a ) ,在xy 面内，与x 成45?角. (D)2μ0 I / (2 π a ) ,在zx 面内，与z 成45?角. （ ）3、一无限长载流导线，弯成如图6.1.3所示的形状，其中ABCD 段在x O y 平面内，BCD 弧是半径为R 的半圆弧，DE 段平行于O z 轴，则圆心处的磁感应 强度为 (A) j μ0 I / (4 π R ) + k [μ0 I / (4 π R )－μ0 I / (4R )] . (B) j μ0 I / (4 π R ) －k [μ0 I / (4 π R ) + μ0 I / (4R )] . (C) j μ0 I / (4 π R ) + k [μ0 I / (4 π R )+μ0 I / (4R )] . (D) j μ0 I / (4 π R ) －k [μ0 I / (4 π R )－μ0 I / (4R )] . （ ）4、一电流元i d l 位于直角坐标系原点，电流沿Z 轴方向,空间点P ( x , y , z )的磁感应强度沿x 轴的分量是： (A) 0. (B) –(μ0 / 4π)i y d l / ( x 2 + y 2 +z 2 )3/2 . (C) –(μ0 / 4π)i x d l / ( x 2 + y 2 +z 2 )3/2 . (D) –(μ0 / 4π)i y d l / ( x 2 + y 2 +z 2 ) . （ ）5、电流I 由长直导线1 沿垂直bc 边方向经a 点流入一电阻均匀分布的正三角形线框,再由b 点沿垂直ac 边方向流出,经长直导线2 返回电源 (如图6.1.4)，若载流直导线1、2和三角形框在框中心O 点产生的磁感应强度分别用B 1 、B 2和 B 3 表示，则O 点的磁感应强度大小 (A) B = 0，因为B 1 = B 2 = B 3 = 0 . (B) B = 0，因为虽然B 1 ≠0,B 2 ≠0,但 B 1 +B 2 = 0 ,B 3 = 0. (C) B ≠ 0，因为虽然B 3 =0，但B 1 +B 2 ≠ 0. (D) B ≠ 0，因为虽然B 1 +B 2 = 0，但B 3 ≠0 . （ ）6、如图6.1.5，边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷．此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感强度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为 (A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2． (C) B 1 = 2 1 B 2． (D) B 1 = B 2 /4． （ ）7、边长为 l 的正方形线圈中通有电流I ，此线圈在A 点(见图6.1.6)产生的磁感强度B 为 (A) l I π420μ． (B) l I π220μ (C) l I π02μ． (D) 以上均不对． （ ）8、如图6.1.7所示，电流从a 点分两路通过对称的圆环形分路，汇合于b 点．若ca 、bd 都沿环的径向， · · x y z -a a I I O 图6.1.2 y -R · · x z R I I O A B C D E 图6.1.3 1 2 O a b c I I 图6.1.4 图6.1.5 A I I 图6.1.6
第十五章 稳恒磁场自测题.doc
第十五章 稳恒磁场自测题 一、选择题 *1. 关于真空中磁场的磁力线下列描述中错误的是（ ） A. 磁力线是用来形象描述磁场的曲线，并不真实存在 B. 磁力线的疏密表示了磁场的强弱 C. 磁力线必定是闭合的曲线 D. 一般来说两磁力线是不相交的，但在有些地方可能也会相交 *2．磁场的高斯定理0=?? S S d B 说明了下面的哪些叙述是正确的？（ ） ⑴ 穿入闭合曲面的磁感应线条数必然等于穿出的磁感应线条数； ⑵ 穿入闭合曲面的磁感应线条数不等于穿出的磁感应线条数； ⑶ 一根磁感应线可以终止在闭合曲面内； ⑷ 一根磁感应线可以完全处于闭合曲面内。 A. ⑴⑷ B. ⑴⑶ C. ⑶⑷ D. ⑴⑵ *3．电荷在均匀的磁场中运动时，( ) A. 只要速度大小相同，则洛仑兹力就相同； B. 若将q 改为-q 且速度反向，则洛仑兹力不变； C. 若已知v ，B ，F 中的任意两个方向，则可确定另一量的方向； D. 质量为m 的电荷受到洛仑兹力后，其动量和动能均不变. *4．对于真空中稳恒电流磁场的安培环路定律? =?L I l d B 下列说法正确的是（ ） A. I 只是环路内电流的代数和 B. I 是环路内、外电流的代数和 C. B 由环路内的电流所激发，与环路外电流无关 D. 以上说法均有错误 *5. 对于某一回路L ，积分? =?L l d B 0 ，则可以断定( ) A. 回路L 内一定有电流 B. 回路L 内可能有电流，但代数和为零 C. 回路L 内一定无电流 D. 回路L 内和回路L 外一定无电流 *6. 在图(a )和(b )中各有一半径相同的圆形回路L 1和L 2，圆周内有电流I 1和I 2，其分布相同，且均在真空中，但在图(b )中，L 2回路外有电流I 3，P 、Q 为两圆形回路上的对应点，则( ) A Q P L L B B l d B l d B =?=???，21 B Q P L L B B l d B l d B =?≠?? ?，2 1 C Q P L L B B l d B l d B ≠?=?? ? ，2 1 D Q P L L B B l d B l d B ≠?≠?? ? ，2 1 (a ) I 3 (b )
第十五章-稳恒磁场自测题答案
第十五章稳恒磁场 一、选择题答案： 1-10 DABAB CCBBD 11-20DCABB BBDAB 二、填空题答案 1. 02.3 a x = 3. BIR 2 4. 2104.2-? 5. 0 6. I 02μ 7. 2:1 8. απcos 2B R 9.不变 10. < 11. R I 20μ 12.qB mv 13. 2：1 14. = 15 k 13108.0-? 16 4109-? 17无源有旋 18. 1.4A 19. 2 20. I a 2 B/2 三、计算题 1. 如右图，在一平面上，有一载流导线通有恒定电流I ，电流从左边无穷远流来，流过半径为R 的半圆后，又沿切线方向流向无穷远，求半圆圆心O 处的磁感应强度的大小和方向。 解：如右图，将电流分为ab 、 均在无穷远。各段在O 点产生的磁 感应强度分别为： ab 段：B 1=0 bc 段：大小：R I B 402μ= （2方向：垂直纸面向里 （1分） cd 段：大小：R I B πμ403= （2分） 方向：垂直纸面向里 （1分） 由磁场叠加原理，得总磁感应强度 )1(40321+= ++=ππμR I B B B B （2分） 方向：垂直纸面向里 （1分） 2. 一载有电流I 的长导线弯折成如图所示的形状，CD 为1/4 圆弧，半径为R ，圆心O 在AC 、EF 的延长线上。求O 点处的磁感应强度。 AC 段：CD 方向：垂直纸面向外（1分） DE 段：大小：R I R I B πμπμ2)135cos 45(cos 2 24003= -? = （2分） 方向：垂直纸面向外 （1分） EF 段：B 4=0 （1分） 由磁场叠加原理，得总磁感应强度 R I R I B B B B B πμμ28004321+ = +++=（1分）
第十五章稳恒磁场自测题答案
第十五章 稳恒磁场 一、选择题答案： 1-10 DABAB CCBBD 11-20DCABB BBDAB 二、填空题答案 1. 0 2. 3 a x = 3. BIR 2 4. 2104.2-? 5. 0 6. I 02μ 7. 2:1 8. απcos 2B R 9.不变 10. < 11. R I 20μ 12. qB mv 13. 2：1 14. = 15 k ? 13108.0-? 16 4109-? 17无源有旋 18. 1.4A 19. 2 20. I a 2 B/2 三、计算题 1. 如右图，在一平面上，有一载流导线通有恒定电流I ，电流从左边无穷远流来，流过半径为R 的半圆后，又沿切线方向流向无穷远，求半圆圆心O 处的磁感应强度的大小和方向。 解：如右图，将电流分为ab 、bc 、cd 三段，其中，a 、d 均在无穷远。各段在O 点产生的磁感应强度分别为： ab 段：B 1=0 （1分） bc 段：大小：R I B 402μ= （2分） 方向：垂直纸面向里 （1分） cd 段：大小：R I B πμ403= （2分） 方向：垂直纸面向里 （1分） 由磁场叠加原理，得总磁感应强度 )1(40321+= ++=ππμR I B B B B （2分） 方向：垂直纸面向里 （1分） 2. 一载有电流I 的长导线弯折成如图所示的形状，CD 为1/4 圆弧，半径为R ，圆心O 在AC 、EF 的延长线上。求O 点处的磁感应强度。
解：各段电流在O 点产生的磁感应强度分别为： AC 段：B 1=0 （1分） CD 段：大小：R I B 802μ= （2分） 方向：垂直纸面向外 （1分） DE 段：大小：R I R I B πμπμ2)135cos 45(cos 2 24003= -? = οο （2分） 方向：垂直纸面向外 （1分） EF 段：B 4=0 （1分） 由磁场叠加原理，得总磁感应强度 R I R I B B B B B πμμ28004321+ = +++= （1分） 方向：垂直纸面向外 （1分） 3. 如右图所示，一匝边长为a 的正方形线圈与一无限长直导线共面，置于真空中。 当二者之间的最近距离为b 时，求线圈所受合力F ? 的大小？ 解：无限长载流直导线在空间的磁场r I πμ21 0 （2分） AD 段所受的安培力大小b a I I πμ2210 （2分） 方向水平向左。 BC 段所受的安培力大小 ) (2210b a a I I +πμ （2分） 方向水平向右。 AB 段和CD 段所受的安培力大小相等方向相反。 （2分） 线圈所受的合力) (22 210b a b a I I +πμ （2分） 方向水平向左。 4. 一无限长的载流导线中部被弯成圆弧形，如图所示，圆弧形半径为cm R 3=，导线中的电流为A I 2=。求圆弧形中心O 点的磁感应强度。（m H /10470-?=πμ） I 1 2
第十章 稳恒磁场(单章答案)
习题十 稳恒电场 10-3 在同一磁感应线上，各点B 的数值是否都相等?为何不把作用于运动电 荷的磁力方向定义为磁感应强度B 的方向? 解: 在同一磁感应线上，各点B 的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电 荷的磁力方向不仅与磁感应强度B 的方向有关，而且与电荷速度方向有关，即磁力方向并不是唯一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B 的方向． 题9-2图 10-4 (1)在没有电流的空间区域里，如果磁感应线是平行直线，磁感应强度B 的大小在沿磁感应线和垂直它的方向上是否可能变化(即磁场是否一定是均匀的)? (2)若存在电流，上述结论是否还对? 解: (1)不可能变化，即磁场一定是均匀的．如图作闭合回路abcd 可证明 21B B = ∑? ==-=?0d 021I bc B da B l B abcd μ ∴ 21B B = (2)若存在电流，上述结论不对．如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线，但B 方向相反，即21B B ≠. 10-5 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场? 答: 不能，因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性，但不是稳恒电 流，安培环路定理并不适用． 10-6 在载流长螺线管的情况下，我们导出其内部nI B 0μ=，外面B =0，所
以在载流螺线管 外面环绕一周(见题9-4图)的环路积分 ?外B L ·d l =0 但从安培环路定理来看，环路L 中有电流I 穿过，环路积分应为 ?外B L ·d l =I 0μ 这是为什么? 解: 我们导出nl B 0μ=内,0=外B 有一个假设的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路L 上就一定没有电流通过，即也是 ? ∑==?L I l B 0d 0μ 外，与??=?=?L l l B 0d 0d 外是不矛盾的．但这是导 线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实际上以上假设并不真实存在，所以使得穿过L 的电流为I ，因此实际螺线管若是无限长时，只是外B 的轴向分量为零，而垂直于轴的圆周方向分量r I B πμ20=⊥,r 为管外一点到螺线管轴的距离． 题 9 - 4 图 10-7 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?如果它发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场? 解：如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转，不能肯定这个区域中没有磁场，也可能存在互相垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．如果它发生偏转也不能肯定那个区域存在着磁场，因为仅有电场也可以使电子偏转． 10-8 已知磁感应强度0.2=B Wb ·m -2 x 轴正方向， 如题9-6图所示．试求：(1)通过图中abcd 面的磁通量；(2)通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量．
大学物理第11章稳恒磁场习题参考答案
114 第十一章 电磁感应 11-1 ac 间电势差等于其电动势???=l B v d )(ε 端电势高 c V bc B bc bc ab ac V 1088.12 1 5.11.0105.260cos 32-?=? ???=? ==+=εεεε 11-2 解：l B v d )(??=?ε 先求0b ε 则 b 0ε同理 εε11-3 应电动势 R R I i i = = R 为小面积a 2的电阻，由图示可知 t Bar I t at a R i σωσσ=∴ =?=11 此电流I i 在磁场中受到磁力为 t r a B BaI f i ωσ22== 显然力f 与转速υ反向，为一磁阻力，故磁阻力矩为 t r a B rf M ωσ222== 习题11-1图 习题11-3图
115 11-4 见图示，在圆弧? ab 上取一线元d l ，由于切割磁力线产生动生电动势 l VB l B V d d cos d )(θε=??= θ为B V ?与l d 之间的夹角，由图示几何关系可知： α απ αθsin , d d ,2 R r R l === + ααωααωααεd sin d sin d sin d 2 2 BR BR r VBR ===∴ 则? ab ε11-5 设t ft ，此时， R f r B I m 22π= 11-6 设t 时刻圆形导线的法线与B 构成β角。 t NBS t N t Bs f t ωωεωπ πωωβsin d d cos 602=Φ -= =Φ=== 习题11-4图
116 V 7.16012.0105.01042442 max =??????===-πππωωεr N B N BS 11-7 解法（一） 设t 时刻时，AD 边离电流I 的距离为y ，y 是时间的函数。在矩形线圈内取面元x l S d d 1=，电流I 产生的磁场穿过d S 的磁通量 x l x I S d B d d 210πμ=?=Φ 则 l y +2 当==a y t 时刻近电流I 1ε同理，t 时刻远电流边产生的电动势为 ) (2210122a l Il l B += =πυ μυε 2ε方向向上。 故线圈中的电动势为 ??? ? ??+-= -=a l a Il 21021112πυμεεε 11-7图
第11章稳恒电流与真空中的恒定磁场习题解答和分析
第十一章 电流与磁场 11-1 电源中的非静电力与静电力有什么不同？ 答：在电路中，电源中非静电力的作用是，迫使正电荷经过电源内部由低电位的电源负极移动到高电位的电源正极，使两极间维持一电位差。而静电场的作用是在外电路中把正电荷由高电位的地方移动到低电位的地方，起到推动电流的作用；在电源内部正好相反，静电场起的是抵制电流的作用。 电源中存在的电场有两种：1、非静电起源的场；2、稳恒场。把这两种场与静电场比较，静电场由静止电荷所激发，它不随时间的变化而变化。非静电场不由静止电荷产生，它的大小决定于单位正电荷所受的非静电力，q 非 F E = 。当然电源种类不同，非F 的起因也不同。 11-2静电场与恒定电场相同处和不同处？为什么恒定电场中仍可应用电势概念？ 答：稳恒电场与静电场有相同之处，即是它们都不随时间的变化而变化，基本规律相同，并且都是位场。但稳恒电场由分布不随时间变化的电荷产生，电荷本身却在移动。 正因为建立稳恒电场的电荷分布不随时间变化，因此静电场的两条基本定理，即高斯定理和环路定理仍然适用，所以仍可引入电势的概念。 11-3一根铜导线表面涂以银层，当两端加上电压后，在铜线和银层中，电场强度是否相同？电流密度是否相同？电流强度是否相同？为什么？ 答：此题涉及知识点：电流强度d s I =?? j s ，电流密度概念，电场强度概念，欧姆定律的 微分形式j E σ= 。设铜线材料横截面均匀，银层的材料和厚度也均匀。由于加在两者上的 电压相同，两者的长度又相等，故铜线和银层的场强E 相同。由于铜线和银层的电导率σ不 同，根据j E σ= 知，它们中的电流密度j 不相同。电流强度d s I =?? j s ，铜线和银层的j 不同但相差不太大，而它们的横截面积一般相差较大，所以通过两者的电流强度，一般说来是不相同的。 11-4一束质子发生侧向偏转，造成这个偏转的原因可否是：（1）电场？（2）磁场？（3）若是电场和磁场在起作用，如何判断是哪一种场？ 答：造成这个偏转的原因可以是电场或磁场。可以改变质子的运动方向，通过质子观察运动轨迹来判断是电场还是磁场在起作用。 11-5 三个粒子，当它们通过磁场时沿着如题图11－5所示的路径运动，对每个粒子可作出什么判断？ 答：根据带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力规律，通过观察运动轨迹的不同可以判断三种粒子是否带电和带电种类。
第9章稳恒磁场
练 习 题 9-1 高压输电线在地面上空25 m 处，通过的电流为1.8×103A ，问：（1） 在地面上由该电流所产生的磁感应强度多大？（2）在上述地区，地磁场为0.6×10－4 T ，输电线产生的磁场与地磁场差多少? 解：（1）将高压输电线视为无限长，则高压电线上的电流在地面产生的磁感应强度为 73 50410 1.810 1.4410(T)2225 I B r μπππ--???===?? （2）在上述地区地磁场与输电线产生的磁场差为 55610(T)B B B .-=???-5-5地线－＝610-1.4410=4 9-2 如本题图所示，有两根长直导线沿半径方向 接到铁环的A 、B 两点，并与很远处的电源相接。求环心O 处的磁场B 。 解；两个载流圆弧在O 点 011124I l B r μπ= ；022224I l B r μπ= 其中，1l 和2l 分别是优弧和劣弧的弧长。 设弧长1l 的电阻为R 1，弧长2l 的电阻为R 2。由于 两圆弧构成并联电路，两端电压相等，则应有 2211I R I R = 由电阻公式可知，导线电阻R 与弧长l 成正比，故由上式可得 1122 I l I l = 于是， O 点的合磁感强度为 011022 1222 044I l I l B B B r r μμππ=-= -= 9-3 一个宽为a 的无限长导体薄板上通有电流I ，设电流在板上均匀分布。求薄板平面外距板的 一边为a 处的磁场B 。 解：将载流导体板视为由无数条长直载流导线组成，则导体板上的电流产生的磁场就是这些无数条长直载流导线产生的磁场的叠加。 取如图所示的坐标系，在坐标x 处取宽为d x 的区域，该区域可视为无限长直载流导线， 该区域的电流为 x a I I d d = 由无限长载流直导线的磁场规律可知，该区域的电流在距板一边为a 的O 点处产生的磁场大小为