2018高一数学函数难题汇编(含解析)
2018高一数学必修一（难）
一．选择题（共12小题）
1．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）
A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．
C．D．
2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
3．定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，
，若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，
则实数t的取值范围是（）
A．B．C．（0，1]D．（0，2]
4．对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f（x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）
A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）
5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
6．函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）
A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）7．已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B． C．+2 D．+
8．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为
（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=
的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）
A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）10．已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）
A．（0，1） B．（，）
C．（，）D．（，）
11．已知函数：，
，设函数F（x）=f（x+3）?g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11
12．已知函数，其中m＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）
A．B． C．D．
二．填空题（共7小题）
13．设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．
14．若正数x，y满足=1，则的最小值为．
15．已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为．
16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x﹣3）=f（x ﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点
（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴
（4）f（9.2）＜f（π）
则正确的是．
17．已知函数f（x）=e x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于．
18．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．
19．已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为．
三．解答题（共11小题）
20．已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；
（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．
21．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=?﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．
（1）当m=0时，求f（）的值；
（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．
（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；
（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．
23．已知函数f（x）=．
（1）求f（f（））；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．
24．已知a∈R，函数．
（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；
（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；
（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．
25．已知a∈R，函数f（x）=．
（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；
（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．
（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
26．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；
（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t?f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．
27．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．
（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；
（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时?的值；
（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．
28．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．
29．已知函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．
（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；
（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．
30．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．
（1）若F（x）=f（g（x））?g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；
（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．
2018高一数学必修一（难）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2016秋?渝中区校级期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）
A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．
C．D．
【解答】解：由题意知，f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期函数．
若x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]，
∵当x∈[﹣1，0]时，，
∴当x∈[0，1]时，，
∵f（x）是偶函数，∴f（x）=，
即f（x）=．
∵函数，
∴g（x）=，
作出函数f（x）和g（x）的图象如图：
当﹣1＜x＜0时，由=，
则，由选项验证解得x=，
即此时不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为﹣1＜x＜，
∵函数g（x）关于x=﹣1对称，
∴不等式式f（x）＜g（x）的解为﹣1＜x＜或＜x＜﹣1，
即不等式的解集为（，﹣1）∪（﹣1，），
故选：D．
2．（2016秋?通渭县期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f （x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）
【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x3，①
∴当x＜0时，﹣x＞0，
f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，
又f（x）为定义在R上的奇函数，
∴﹣f（x）=﹣x3，
∴f（x）=x3（x＜0），②
综合①②知，f（x）=x3，x∈R．
又f′（x）=3x2≥0，
∴f（x）=x3为R上的增函数，
∴不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立?﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立，
即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，
∴，解得：m＜﹣．
故选：A．
3．（2016秋?宜春期末）定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x ∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，
恒成立，则实数t的取值范围是（）
A．B．C．（0，1]D．（0，2]
【解答】解：当x∈[0，2）时，∈[﹣，0]∪[﹣1，﹣]，
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为f（）=﹣1，
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=f（x+2），
当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（）=﹣，
当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（﹣）=﹣
若x∈[﹣4，﹣2]时，恒成立，
∴﹣≥恒成立．
即≤0，则0＜t≤1，
故选：C．
4．（2016春?琅琊区校级期末）对于函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f （x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）
【解答】解：f（x）===2+，
①若t=2，则f（x）=2，此时f（x）构成边长为2的等边三角形，满足条件，
设m=tanx，则m=tanx＞0，
则函数f（x）等价为g（m）=2+，
②若t﹣2＞0即t＞2，此时函数g（m）在（0，+∞）上是减函数，
则2＜f（a）＜2+t﹣2=t，
同理2＜f（b）＜t，2＜f（c）＜t，
则4＜f（a）+f（b）＜2t，2＜f（c）＜t，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得4≥t，解得2＜t≤4．
③当t﹣2＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜2，
同理t＜f（b）＜2，t＜f（c）＜2，
则2t＜f（a）+f（b）＜4，t＜f（c）＜2，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥2，解得1≤t＜2．
综上可得，1≤t≤4，
故实数t的取值范围是[1，4]；
故选：A
5．（2015秋?菏泽期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f （x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）
A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4
【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0；
∵f（x）是定义在R上的奇函数；
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（1+x）]=x（1+x）；
由，且得：
，，，…；
∴数列{a n}是以3为周期的周期数列；
∴a2015=a671×3+2=a2=2，a2016=a671×3+3=a3=﹣1；
∴f（a2015）+f（a2016）=f（2）+f（﹣1）=2（1+2）+（﹣1）（1+1）=4．
故选：D．
6．（2015秋?吉安期末）函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）
A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）【解答】解：当0≤x≤4时，函数f（x）在[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，
则当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=，
当4≤x≤8时，0≤x﹣4≤4，
即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（6）=，
当8≤x≤12时，4≤x﹣4≤8，
即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（10）=，
作出函数f（x）的图象如图，要使当x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，
则m＞0，
设g（x）=，
则满足，即，即，即m≥3，
故选：B．
7．（2015秋?杭州校级期末）已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）
A．B． C．+2 D．+
【解答】解：∵x＞0，y＞0，
∴不等式a（x+y）≥x+等价为a≥=，
令，∴a≥，
令u=，∴u′=
令u′=0，∴t=﹣（负值舍去）
∴函数在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减
∴t=时，函数u=取得最大值为
∴a≥
∴实数a的最小值为
故选：A
8．（2016秋?沙市区校级期末）已知函数f（x）=若函数g（x）
=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（x）=．
∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．
同理可得：x∈[log23，2）时，=2，解得x=．
x∈时，=2，解得x=．
时，=2，解得x=1+．
综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．
故选：B．
9．（2016春?重庆校级期末）已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）
【解答】解：∵定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，
∴g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣g（x﹣2），
则g（x+2）=﹣g（x），即g（x+4）=﹣g（x+2）=﹣（﹣g（x））=g（x），
则函数g（x）是周期为4的周期函数，
函数f（x）=的定义域为[﹣1，1]，
若1≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤﹣1，则0≤2﹣x≤1，此时g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣，
当﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，则g（x）=g（﹣x）=﹣
则由g2（x）=a（x+1）2得，
当﹣2≤x≤﹣1时，1﹣（x+2）2=a（x+1）2，
作出函数g（x）的图象如图：
若方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，
则当a≤0时，不满足条件．
则当a＞0时，
方程等价为g（x）=±=|x+1|，
则当x=﹣1时，方程g（x）=|x+1|恒成立，此时恒有一解，
当直线y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）相切时，此时方程g（x）=
|x+1|有6个交点，不满足条件．
当y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）不相切时，满足方程g（x）=|x+1|有三个交点，
此时直线方程为x+y+=0，满足圆心（﹣4，0）到直线x+y+=0，的距离d=＞1，
即＞1，即3＞，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞，
故选：A
10．（2016秋?荆门期末）已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）
C．（，）D．（，）
【解答】解：根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，
x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，
∴f（n）=sinnπ=0，
f（）=sin=1，
f（）===，
f（）===，…；
画出图形如图所示；
当b∈（，1）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2个交点；
当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有4个交点；
当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有6个交点；…；
当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2016个交点．故选：D．
11．（2015秋?汕头校级期末）已知函数：，
，设函数F（x）=f（x+3）?g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，
∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；
当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，
∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，
故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；
∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣
＜0．
当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，
∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）?g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，
∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，
因此F（x）=f（x+3）?g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，
∴b﹣a的最小值为10．
故选：C．
12．（2015秋?衡水校级期末）已知函数，其中m ＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取
值范围是（）
A．B． C．D．
【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），
∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，
∵函数f（x）=f（x+4），∴函数的周期是4，
同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，
若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则等价为f（x）=恰有5个根，
由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，
而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2
（t＞0），
则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，
得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m，
同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得m＜，综上可知m∈（，），
故选：A．
二．填空题（共7小题）
13．（2017春?杭州期末）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．
【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，
当x=时，左边=0，右边≠0，不成立，
当x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，
设k=2x﹣1，则x=，
则===（﹣k﹣2），
∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），
∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵?a，b∈R，
∴=（﹣k﹣2），在（*）上有解，
∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，
设g（k）=（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，
解得t＞1，
故答案为：（1，+∞）
14．（2016春?沙坪坝区校级期末）若正数x，y满足=1，则的最小值为2．
【解答】解：∵正数x，y满足+=1，
∴=1﹣=，
∴（y＞1），∴x﹣1=（x＞1）．
则+=（y﹣1）+≥2=2，当且仅当y﹣1=，即y ﹣1=时取等号．
∴的最小值为2．
故答案为：2
15．（2016秋?武昌区校级期末）已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x ﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为（）∪（）．
【解答】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，
∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，
∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+，则φ=+，k∈Z．
验证φ=+，k∈Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]
=sin[（x﹣k﹣）π]+cos[（x﹣k﹣）π]=sin（πx﹣）+cos（）=
为奇函数．
∴φ=+，k∈Z．
∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，
∴满足|log aφ|＜1的φ有2个，即满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．
分别取k=0，1，2，3，得到φ=，，，，
若0＜a＜1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个；
若a＞1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．
则a的取值范围为（）∪（）．
高中数学必修一函数难题
高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。
高中数学复合函数常考题型2018高三专题复习-函数
高中数学复合函数常考题型 2018高三专题复习-函数（2） 复合函数常考的题型有： （1）求解定义域问题 （已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域；已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域； 已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域）遵循等位等效性原则。 （2）判定函数单调性问题： 已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数 )(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增 函数.遵循同增异减原则。 一、复合函数定义域问题： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01 < 数学高一函数练习题（高一升高二衔接） 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴33y x =+- ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -= + ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y =⑽ 4y = ⑾y x =6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y = ⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； ⑶x x f =)(， 2)(x x g = ； ⑷x x f =)(， ()g x ； ⑸21)52()(-=x x f ， 52)(2-=x x f 。 高一经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 2018年上海市高三一模数学考试客观题难题解析 2017.12 一. 宝山区 11. 给出函数2()g x x bx =-+，2()4h x mx x =-+-，这里,,b m x R ∈，若不等式 ()10g x b ++≤（x R ∈）恒成立，()4h x +为奇函数，且函数()() ()()() g x x t f x h x x t ≤?=? >?恰有 两个零点，则实数t 的取值范围为 【解析】根据题意，210x bx b -+++≤恒成立，∴24(1)0b b ?=++≤，即2b =-. 2 mx x -+为奇函数，∴0m =，即22,()4,x x x t f x x x t ?--≤?=?->??. 分零点讨论，如图所示，当 (,2)t ∈-∞-，1个零点；当[2,0)t ∈-，2个零点；当[0,4)t ∈，3个零点，当[4,)t ∈+∞， 2个零点. 综上，t 的取值范围为[2,0)[4,)-+∞. 12. 若n （3n ≥，*n N ∈）个不同的点111(,)Q a b 、222(,)Q a b 、???、(,)n n n Q a b 满足： 12n a a a < §1．3．1函数的最大（小）值 一．教学目标 1．知识与技能： 理解函数的最大（小）值及其几何意义． 学会运用函数图象理解和研究函数的性质． 2．过程与方法： 通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值，实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值，有利于培养以形识数的解题意识． 3．情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大（小）值，解决日常生活中的实际问题，激发学生学习的积极性． 二．教学重点和难点 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值． 三．学法与教学用具 1．学法：学生通过画图、观察、思考、讨论，从而归纳出求函数的最大（小）值的方法和步骤． 2．教学用具：多媒体手段 四．教学思路 （一）创设情景，揭示课题． 画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2 ()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈- （二）研探新知 1．函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有 ()(())f x M f x m ≤≥． 2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法． ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 （三）质疑答辩，排难解惑． 例1．（教材P 30例3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值． 解（略） 例2．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？ 解：设利润为y 元，每个售价为x 元，则每个涨（x －50）元，从而销售量减少 10(50),x -个共售出500-10(x-50)=100-10x(个) ∴y=(x-40)(1000-10x) 9000(50x +≤2=-10(x-70)＜100） ∴max 709000x y ==时 答：为了赚取最大利润，售价应定为70元． 例3．求函数2 1 y x = -在区间 上的最大值和最小值． 解：（略） 例4．求函数y x =+ 解：令201t x t =≥=-+有则 2215 1()024 y t t t t =-++=--+ ≥Q 21()02t ∴--≤ 2155 ()244 t ∴--+≤ .∴5 原函数的最大值为4 - 1 - 高一函数经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为 [a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a -1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 高一上学期数学压轴难题 汇总 Newly compiled on November 23, 2020 一．已知函数()f x 满足1 2 (log )()1 a a f x x x a -= --，其中0a >且 1a ≠，对于函数()f x ，当(1,1)x ∈-时，(1)(12)0f m f m -+-<，求实数m 的取值范围. 二．曙光公司为了打开某种新产品的销路，决定进行广告促销，在一年内，预计年销量Q （万件）与广告费x （万元）之间的函数关系式是Q= 0(1 1 3≥++x x x 已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需投入32万元，若每件售价是“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，当年产销量相等试将年利润y （万 元）表示为年广告费x 万元的函数，并判断当年广告费投入100万元时，该公司是亏损还是盈利 三．已知函数()()()()101log 1log ≠>--+=a a x x x f a a 且， （1）求()x f 的反函数()x f 1-； （2）若()3 111 =-f ，解关于x 的不等式()()R m m x f ∈<-1. 四．定义在R 上的单调增函数f(x)，对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)若f(k ·3x )+f(3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围． 五．已知圆C ：044222=-+-+y x y x . (1)写出圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且以AB 为直径的圆过原点.若存在，求出直线m 的方程; 若不存在,说明理由. 六．已知x 满足03log 7)(log 22 12 21≤++x x ，求)4)(log 2(log 2 2x x y =的最大值与最小值及相应的x 的值. 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2 f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 1.已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x),x ∈ R 且 x≠a,当 f(x) 的定义域为 [a-1,a-1/2] 时,求 f(x) 值解:由题知，已知函数 f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以， f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x) 的定义域为 [a-1,a-1/2] 时 x∈ [a-1,a-1/2] (a-x) ∈ [1/2,1] 1/(a-x) ∈ [1,2] f(x)=-1+1/(a-x) ∈ [0,1] 2.设 a 为非负数 ,函数 f(x)=x|x-a|-a. (1) 当 a=2 时,求函数的单调区间 (2)讨论函数 y=f(x) 的零点个数 解析： (1)∵函数 f(x)=x|x-2|-2 当 x<2 时， f(x)=-x^2+2x-2 ，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当 x>=2 时， f(x)=x^2-2x-2 ，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当 x∈ (-∞,1)时， f(x) 单调增；当x∈ [1,2] 时， f(x) 单调减；当x∈ (2,+ ∞)时， f(x) 单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0 时 x=0,零点个数为1； a>0 时 x>0,由①， x>=a,x^2-ax- a=0,x1=[a+ √ (a^2+4a)]/2; 0 2017-2018学年广东省肇庆市高一（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设集合A={x|0≤x≤2}，B={-1，2，3}，则A∩B=（） A. B. C. D. 【答案】B 【】 【分析】 直接利用交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，由交集的定义可得，故选B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 2.某大学随机抽取量20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，则这20个班有网购经历的人数的众数为（） A. 24 B. 37 C. 35 D. 48 【答案】C 【】 【分析】 根据茎叶图中的数据，利用众数的定义写出结果． 【详解】由茎叶图中的数据知， 这20个班有网购经历的人数最多的数字为35； 所以众数为35，故选C． 【点睛】本题主要考查利用茎叶图求众数，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题．3.已知袋中有红，白，黑三个球，从中摸出2个，则红球被摸中的概率为（） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【】 【分析】 列举出从红，白，黑三个球中摸出2个的情况总数及红球被摸中的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案． 【详解】袋中有红，白，黑三个球，从中摸出2个， 共有红白、红黑、白黑3种情况； 红球被摸中的情况有红白、红黑2种， 故红球被摸中的概率为，故选B． 【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率. 4.设函数f（x）=，则函数f（）的定义域为（） A. B. C. D. 【答案】A 【】 【分析】 求得，由根式内部的代数式大于等于0，结合指数函数的性质求解即可． 【详解】因为， 所以， 因为， 所以的定义域为，故选A． 【点睛】本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题．定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的式，则构造使式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函 难点突破 一．选择题（共18小题） 1．已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x ＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2） C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1） 2．当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（） A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞） C．（﹣∞，0]∪（1，+∞） D．（﹣∞，1）∪（1，+∞） 3．设n∈N*，函数f1（x）=xe x，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），曲线y=f n（x）的最低点为P n，△P n P n+1P n+2的面积为S n，则（）A．{S n}是常数列B．{S n}不是单调数列 C．{S n}是递增数列D．{S n}是递减数列 4．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1～9的方法的一种． 例如：163可表示为“”27可表示为“”问现有8根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（） A．48 B．60 C．96 D．120 5．已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，f'（x）是f（x）的导函数，若，且f'（2）=2，那么f（2）=（）A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6 6．函数f（x）=x﹣ln（x+2）+e x﹣a+4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0使f（x0）=3成立，则实数a的值为（） A．ln2 B．ln2﹣1 C．﹣ln2 D．﹣ln2﹣1 第八课时 函数的最值 【学习导航】 知识网络 学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念； 2．理解函数的最大值和最小值的几何意义； 3．能求一些常见函数的最值和值域． 自学评价 1．函数最值的定义： 一般地，设函数()y f x =的定义域为A ． 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =； 若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =； 2．单调性与最值： 设函数()y f x =的定义域为[],a b ， 若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ； 若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ． 【精典范例】 一．根据函数图像写单调区间和最值： 例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间． 【解】 由图可以知道： 当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-； 当3x =时，函数取得最大值为3； 函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)； 该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 二．求函数最值： 例2：求下列函数的最小值： （1）22y x x =-； （2）1()f x x = ，[]1,3x ∈． 【解】 （１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-； []1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得1. 函数()4(0)f x x mx m =-+>在(,0]-∞上的最小值（A ） ()A 4 ()B 4- ()C 与m 的取值有关 ()D 不存在 2. 函数()f x =的最小值是 ０ ，最大值是 32 ． 3. 求下列函数的最值： 精选 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 精选 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?I ，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2 f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）. 高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ） 4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈Ｒ且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值 解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数 解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈（-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 0 函数与基本初等函数 一、选择题 1．(2009·汕头金山中学月考)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 ( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin x ，x ∈R C ．y ＝x ，x ∈R D ．y ＝(1 2)x ，x ∈R 2．(2009·广东卷文)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝ ( ) A ．log 2x B.1 2 x C ．log 12 x D ．2x － 2 3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 是奇函数，则 ( ) A ．b ＝c ＝0 B ．a ＝0 C ．b ＝0，a ≠0 D ．c ＝0 4．函数f (x ＋1)为偶函数，且x ＜1时，f (x )＝x 2＋1, 则x ＞1时，f (x )的解析式为 ( ) A ．f (x )＝x 2－4x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋5 C ．f (x )＝x 2－4x －5 D ．f (x )＝x 2＋4x ＋5 5．函数f (x )＝3x 2 1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是 ( ) A ．(－13，＋∞) B ．(－1 3，1) C ．(－13，13) D ．(－∞，－13) 6．(2008·重庆)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是 ( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )为偶函数 C ．f (x )＋1为奇函数 D ．f (x )＋1为偶函数 7．(2008·全国Ⅰ)设奇函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，且f (1)＝0，则不等式 f (x )－f (－x ) x ＜0的解集为 ( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) 8．设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12 b ，(1 2)c ＝log 2c ，则 ( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c 二、填空题高一数学函数练习题及答案
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