第1章 算法概论(4-NP完全性理论)
新奥法理论要点及施工要点
新奥法理论要点及施工要点 1、新奥法与传统施工方法的区别。 传统方法认为巷道围岩是一种荷载，应用厚壁混凝土加以支护松动围岩。而新奥法认为围岩是一种承载机构，构筑薄壁、柔性、与围岩紧贴的支护结构（以喷射混凝土、锚杆为主要手段）并使围岩与支护结构共同形成支撑环，来承受压力，并最大限度地保持围岩稳定，而不致松动破坏。 新奥法将围岩视为巷道承载构件的一部分，因此，施工时应尽可能全断面掘进，以减少巷道周边围岩应力的扰动，并采用光面爆破、微差爆破等措施。减少对围岩的震动，以保全其整体性。同时注意巷道表面尽可能平滑，避免局部应力集中。 新奥法将锚杆、喷射混凝土适当进行组合，形成比较薄的衬砌层，即用锚杆和喷射混凝土来支护围岩，使喷射层与围岩紧密结合，形成围岩-支护系统，保持两者的共同变形，故而可以最大限度地利用围岩本身的承载力。 2、保护巷道围岩自身的承载能力。 新奥法施工在巷道开挖后采取了一系列综合性措施：构筑防水层、围岩巷道排水；选择合理的断面形状尺寸；给支护留变形余量；开巷后及时做好支护、封闭围岩等，都是为保护巷道围岩的自身承载能力，使围岩的扰动影响控制在最小范围内，并加固围岩，提高围筵强度。使其与人工支护结构共同承受巷道压力。
3、允许围岩由一定量的变形，以利于发挥围岩的固有强度。同时巷道的支护结构，也应具有预定的可缩量，以缓和巷道压力。 围岩的变形是控制在一定范围内的，必须避免围岩变形过大，从而导致围岩强度的削弱以致引起垮落、失稳。支护结构具有一定的变形量，允许巷道围岩产生一定的变形，以缓和来自巷道的巨大压力，更进一步减轻支护荷载。 4、新奥法施工过程中量测工作的特殊性。 由于岩体生成条件与地质作用的复杂性，施工条件的复杂性，以及对工程设计参数的精确要求，得要通过许多量测手段，在施工过程中对围岩动态和支护结构工作状态和支护结构工作状态进行监测。并用监测结果修改初步设计，指导施工。 量测的结果可以作为施工现场分析参数和修改设计的依据，因而能够预见事故和险情，以便及时采取措施，防患于未然提到施工的安全程度。 由上所述，新奥法的支护原则是：围岩不仅是载物体，而且是承载结构；围岩承载圈和支护体组成巷道的统一体，是一个力学体系；巷道的开挖和支护都是为保持改善与提高围岩的自身支撑能力服务。
arcgis空间内插值教程
GIS空间插值（局部插值方法）实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图，或是对该区域进行详细研究的时候，必须具备研究区任一点的属性值，也就是连续的属性值。但是，由于各种属性数据（如降水量、气温等）很难实施地面无缝观测，所以，我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例，我们现有一幅山东省等降雨量图，但是最终目标是得到山东省降水量专题图（覆盖全省，统计完成后，各地均具有自己的降雨量属性）。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程，即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值，我们就可以通过离散的等降雨量线，来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法：反距离权重插值 ?样条函数插值法（薄板样条和张力样条法） ?空间自协方差最佳插值方法：克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点（我们将其称为控制点）样本来估算待插值点（未知点）的值，因此控制点对该方法十分重要。 为此，第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果，我们需要着重考虑上述两点因素（横线所示）。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点；另一种方法是通过半径来选择控制点，半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 S6、按照不同方法进行空间插值，并比较各自优劣 打开ArcToolbox——Spatial Analyst 工具——插值，打开插值方法列表，如下图：
算法分析与设计习题集整理
算法分析与设计习题集整理 第一章算法引论 一、填空题： 1、算法运行所需要的计算机资源的量，称为算法复杂性，主要包括时间复杂度和空间复杂度。 2、多项式10()m m A n a n a n a =+++L 的上界为O(n m )。 3、算法的基本特征：输入、输出、确定性、有限性 、可行性 。 4、如何从两个方面评价一个算法的优劣：时间复杂度、空间复杂度。 5、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 3) 。 for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) {c[i][j]=0; for(k=1;k<=n;k++) c[i][j]= c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]; } 6、描述算法常用的方法：自然语言、伪代码、程序设计语言、流程图、盒图、PAD 图。 7、算法设计的基本要求：正确性 和 可读性。 8、计算下面算法的时间复杂度记为： O(n 2) 。 for （i ＝1；i 新奥法施工的原理和技术要点 新奥法施工的原理和技术要点 2011年09月22日 新奥法施工的原理和技术要点 赣龙项目部 摘要：以隧道新奥法的概念和设计原理为参量，推导出新奥法的施工原理和技术要点；然后根据现场的实际情况以及施工经验的总结，对新奥法施工中的难点、要点、和易错的部位予以说明，给出了自己的见解。 关键词：新奥法的概念设计原理技术要点喷射混凝土锚杆 一、概述 新奥法即新奥地利隧道施工方法的简称，原文是New Austrian Tunnelling Method，简写为NATM；新奥法概念是奥地利学者拉布西维兹(L．V．Rabcewicz)教授于1963年提出的一种新型施工“方法”（注：新奥法不单纯是一种施工方法，它的实质是一种现代先进的隧道设计与施工一体化方法）。 以往人们都认为在地下工程施工中必然要引起围岩坍塌掉块，开挖面积越大，坍塌的范围越大；因此，传统的隧道结构设计方法是将围岩看成是必然要松弛塌落，而作用于支护结构上的荷载。传统的隧道施工方法则是将隧道断面分割成若干个小块进行开挖，随开挖随用刚才或木材支护，然后，从上到下，或者从下到上砌筑刚性衬砌；但是随着岩石锚杆、喷射混凝土的机械和岩体力学方面的发展，人们对开挖隧道过程中所出现的围岩变形、松弛、坍塌等现象有了更深入的认识；因此才有了我们熟知而又常新施工方法“新奥法”。 新奥法的定义：新奥法是应用岩体力学理论，以维护和充分利用围岩的自身承载力为基点，采用锚杆和喷射混凝土为主要手段，必要时架设格栅钢 架，及时的进行支护，控制围岩的变形和松弛，使围岩成为支护体系的组成部分，并通过对围岩支护的量测、监控来指导隧道施工和地下工程设计施工的方法和原则。 从新奥法的定义中我们不难看出： ⑴围岩是隧道结构中的主要承载单元，所以我们要充分发挥围岩的自身承载力，应允许并控制岩体的松弛变形；一方面允许形变，是围岩中能形成自身的承载环，即就是自然拱的形成；另一方面又必须限制它的形变，是围岩不致过度松弛而丧失或大大降低自身的承载能力；所以在施工中，支护时间的迟早必然大大的影响围岩压力的数值，因此，一般宜尽快的施作初期支护，封闭围岩。 ⑵为了改善支护结构的受力性能，在施工中应尽快的使之闭合，而形成封闭的环形结构；另外，隧道断面要尽可能的圆顺，以避免棱角处的应力集中。 ⑶在施工的各个阶段，应进行现场围岩量测，提出准确可靠的测量信息，如隧道拱顶的下沉，周边的收敛等，并且要及时反馈用来指导地下工程的施工。 上述新奥法的定义中我们可以把新奥法的基本原则扼要的概括为：“少扰动、早喷锚、勤测量、紧封闭”。 二、新奥法要点 首先，我们要认识到新奥法不单纯是一种施工方法，也不能笼统的认为喷锚支护就是新奥法；这是极其错误的概念。新奥法是一种现代先进的隧道设计与施工一体化的方法，只有喷锚结构按照规定的方法程序进行设计与施工一体化的，我们才能认为符合新奥法。 1、施工与设计相结合 ⑴作为一名合格的地下工程技术人员我们要充分理解并掌握新奥法的设计理念，以及设计者的设计意图。新奥法的设计应以工程类比法为主，结合 常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理 其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。 利用有限差分法分析电磁场边界问题 在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。 为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。 对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。 有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 差分运算的基本概念： 有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。 对单元函数 ()x f而言，取变量x的一个增量x?=h，则函数()x f的增量可以表示为 ()x f? = ()h x f+-()x f 称为函数()x f 的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为 ()x f? = ? ? ? ? ? + 2 h x f - ? ? ? ? ? - 2 h x f 第 5 章算法与复杂性 习题 、选择题 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. B 7. D 8.B 9.C 10.A 11.A 12.C 13.A 14.A 二、简答题 1．什么是算法，算法的特性有哪些？ 答：“算法 (Algorithm) 是一组明确的、可以执行的步骤的有序集合，它在有限的时间内终止并产生结果” 。算法的特性有： (1)有穷性 (可终止性 )：一个算法必须在有限个操作步骤内以及合理的有限时间内执行完成。 (2)确定性：算法中的每一个操作步骤都必须有明确的含义，不允许存在二义性。 (3)有效性 (可执行性 )：算法中描述的操作步骤都是可执行的，并能最终得到确定的结果。 (4)输入及输出：一个算法应该有零个或多个输入数据、有 1 个或多个输出数据。2．什么是算法的时间复杂度和空间复杂度，如何表示？答：时间复杂度是与求解问题规模、算法输入相关的函数，该函数表示算法运行所花费的时间。记为，T(n)，其中，n代表求解问题的规模。 算法的空间复杂度(Space complexity)度量算法的空间复杂性、即执行算法的程序在计算 机中运行所占用空间的大小。简单讲，空间复杂度也是与求解问题规模、算法输入相关的函数。记为，S(n)，其中，n代表求解问题的规模。 时间复杂度和空间复杂度同样，引入符号“O”来表示T(n)、S(n)与求解问题规模 n之 间的数量级关系。 3．用图示法表示语言处理的过程。 答：语言处理的过程如图所示： 4.简述算法设计的策略。 答：作为实现计算机程序实现时解决问题的方法，算法研究的内容是解决问题的方法， 而不是计算机程序的本身。一个优秀的算法可以运行在比较慢的计算机上，但一个劣质的算法在一台性能很强的计算机上也不一定能满足应用的需要，因此，在计算机程序设计中， 算法设计往往处于核心地位。 要想充分理解算法并有效地应用于实际问题，关键是对算法的分析。通常可以利用实验对比分析、数学方法来分析算法。实验对比分析很简单，两个算法相互比较，它们都能解决同一问题，在相同环境下，一般就会认为哪个算法的速度快这个算法性能更好。在算法设计中，通常采用能近似表达性能的方法来展示某个算法的性能指标。例如，计算机对n2 2 和n ，2n的响应速度，当n比较大的时，没什么区别，便可直接认为后者算法的复杂度为 2 n。 基于算法复杂度简化表达的思想基础上，通常会对算法进行最坏情况分析和平均情况分析。对于一个给定的算法，如果能保证它的最坏情况下的性能依然很好，但是在某些情况下，程序的最坏情况算法的运行时间和实际情况的运行时间相差很大，在实际应用中几乎不会碰到最坏情况下的输入，那么此时进行最坏情况分析显得有些画蛇添足，特别是分析最坏情况算法会花费大量精力的时候。算法的平均情况分析可以帮助估计程序的性能，作为算法分析的基本指标之一，但是平均情况和实际情况仍然会有相差很大的时候，这时便可以使用随机法来尽量模拟现实中的情况，这样可以得到在严格的概率意义上的预测运行时间。另外，对于一个经典算法，没有必要再去对该算法进行改进，研究它的上界和下界，只需要了解该算法的特性，然后在合适的时候使用它。 5.简述并行算法研究的内容。 答：（1）并行计算模型并行算法作为一门学科，首先研究的是并行计算模型。并行计算模型是算法设计者与体系结构研究者之间的一个桥梁，是并行算法设计和分析的基础。它屏蔽了并行机之间的差异，从并行机中抽取若干个能反映计算特性的可计算或可测量的参数，并按照模型所定义的 牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。 牛顿插值法C程序 程序框图#include 插值方法在图像处理中的应用 作者： 专业姓名学号 控制工程陈龙斌 控制工程陈少峰 控制工程殷文龙 摘要 本文介绍了插值方法在图像处理中的应用。介绍了典型的最近邻插值、双线性插值、双三次插值、双信道插值、分形插值的原理。以分形插值为重点，在图像放大领域用MATLAB进行仿真，并与其它方法的结果做了比对。指出了各种方法的利弊，期待更进一步的研究拓展新的算法以及改进现有算法。 一、引言 人类通过感觉器官从客观世界获取信息，而其中一半以上的信息都是通过视觉获得的。图像作为人类视觉信息传递的主要媒介，具有声音、语言、文字等形式无法比拟的优势，给人以具体、直观的物体形象。在数字化信息时代，图像处理已经成为重要的数据处理类型。数字图像比之传统的模拟图像处理有着不可比拟的优势。一般采用计算机处理或者硬件处理，处理的内容丰富，精度高，变通能力强，可进行非线性处理。但是处理速度就会有所不足。图像处理的主要内容有：几何处理、算术处理、图像增强、图像复原、图像重建、图像编码、图像识别、图像理解等。以上这些图像处理大体上可分为图像的像质改善、图像分析和图像重建三大部分。 日常生活中，越来越多的领域需要高分辨率图像，采用图像插值技术来提高数字图像的分辨率和清晰度，从软件方面进行改进就具有十分重要的实用价值。多媒体通信在现代网络传输中扮演重要角色，因此插值放大提高图像分辨率是一个非常重要的问题。此外，图像变换被广泛用于遥感图像的几何校正、医学成像以及电影、电视和媒体广告等影像特技处理中。在进行图像的一些几何变换时，通常都会出现输出像素坐标和输入栅格不重合的现象，也必须要用到图像插值。图像插值是图像处理中图像重采样过程中的重要组成部分，而重采样过程广泛应用于改善图像质量、进行有损压缩等，因而研究图像插值具有十分重要的理论意义和实用价值。 图像插值是一个数据再生过程。由原始图像数据再生出具有更高分辨率的图像数据。分为图像内插值和图像间插值。前者指将一幅较低分辨率的图像再生出一幅较高分辨率的图像。后者指在若干幅图像之间再生出几幅新的图像。插值过程就是确定某个函数在两个采样点之间的数值时采用的运算过程．通常是利用曲线拟合的方法进行插值算法，通过离散的输入采样点建立一个连续函数，用这个重建的函数求出任意位置处的函数值，这个过程可看作是采样的逆过程。 20世纪40年代末，香农提出了信息论，根据采样定理，若对采样值用sinc函数进行插值，则可准确地恢复原函数，于是sinc函数被接受为插值函数，也称为理想插值函数。理想插值函数有两个缺点： （1）它虽然对带限信号可以进行无错插值，但实际中带限信号只是一小部分信号。 （2）sinc函数的支撑是无限的，而没有函数既是带限的，又是紧支撑的。 为了解决这个问题，经典的办法是刚窗函数截断sinc函数，这个窗函数必须在0剑l 之间为正数，在l到2之间为负数。sinc函数对应的是无限冲激响应，不适于有限冲激相应来进行局部插值。对数字图像来说，对图像进行插值也称为图像的重采样。它分为两个步骤：将离散图像插值为连续图像以及对插值结果图像进行采样。 经典的图像插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均值来计算未知像素点处的灰度值，而这种加权平均一般表现表现为信号的离散采样值与插值基函数之间的二维卷积。这种基于模型的加权平均的图像插值方法统称为线性方法。经典的插值方法有：最近邻域法，双线性插值，双三次B样条插值，双三次样条插值，sinc函数等。线性方法，它们一个共同点就是，所有这些基函数均是低通滤波器，对数据中的高频信息都具有滤除和抑制效应，因 《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握 摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数 那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。 有限元法与有限差分法的主要区别 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插 插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x , 第一章算法的基本概念 1.1 引言 算法设计与分析在计算机科学与技术中的地位 算法（Algorithm）一词的由来。 1.1.1 算法的定义和特征 欧几里德算法： 算法1.1欧几里德算法 输入：正整数m,n 输出：m,n的最大公因子 1. int euclid(int m,int n) 2. { 3. int r; 4. do { 5. r = m % n; 6. m = n; 7. n = r; 8. } while(r) 9. return m; 10. } 一、算法的定义： 定义1.1算法是解某一特定问题的一组有穷规则的集合。 二、算法的特征： 1．有限性。算法在执行有限步之后必须终止。 2．确定性。算法的每一个步骤，都有精确的定义。要执行的每一个动作都是清晰的、无歧义的。 3．输入。一个算法有0个或多个输入，它是由外部提供的，作为算法开始执行前的初始值，或初始状态。算法的输入是从特定的对象集合中抽取的。 4．输出。一个算法有一个或多个输出，这些输出，和输入有特定的关系，实际上是输入的某种函数。不同取值的输入，产生不同结果的输出。 1 5．能行性。算法的能行性指的是算法中有待实现的运算，都是基本的运算。原则上可以由人们用纸和笔，在有限的时间里精确地完成。 1.1.2 算法设计的例子，穷举法 一、穷举法，是从有限集合中，逐一列举集合的所有元素，对每一个元素逐一判断和处理，从而找出问题的解。 二、例 例1.1百鸡问题。 “鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？” a：公鸡只数，b：母鸡只数，c：小鸡只数。约束方程： b +c a（1.1.1） + 100 = b a（1.1.2） + +c 5= 100 3/ 3 c（1.1.3） %= 3 1。第一种解法： a、b、c的可能取值范围：0 ~ 100，对在此范围内的，a、b、c的所有组合进行测试，凡是满足上述三个约束方程的组合，都是问题的解。 把问题转化为用n元钱买n只鸡，n为任意正整数，则方程（1.1.1）、（1.1.2）变成：+（1.1.4） n a= + c b 3 +3/ 5（1.1.5） + c n b a= 算法1.2百鸡问题 输入：所购买的三种鸡的总数目n 输出：满足问题的解的数目k,公鸡,母鸡,小鸡的只数g[],m[],s[] 1. void chicken_question(int n,int &k,int g[],int m[],int s[]) 2. { 3. int a,b,c; 4. k = 0; 5. for (a=0;a<=n;a++) 6. for (b=0;b<=n;b++) 7. for (c=0;c<=n;c++) { 8. if ((a+b+c==n)&&(5*a+3*b+c/3==n)&&(c%3==0)) { 9. g[k] = a; 10. m[k] = b; 11. s[k] = c; 12. k++; 13. } 2 计算复杂性理论（Computational complexity theory）是计算理论的一部分，研究计算问题时所需的资源，比如时间和空间，以及如何尽可能的节省这些资源。 目录 [隐藏] ? 1 简介 ? 2 历史 ? 3 基本概念和工具 o 3.1 计算模型与计算资源 o 3.2 判定性问题和可计算性 o 3.3 算法分析 o 3.4 复杂性类 o 3.5 归约 ? 4 NP与P关系问题及相关理论 o 4.1 NP和P的定义 o 4.2 NP与P关系问题 o 4.3 NP完备理论 o 4.4 电路复杂性 o 4.5 其它NP与P关系问题相关的理论 ? 5 理论与实践 ? 6 参考 ?7 外部链接 [编辑]简介 计算复杂性理论所研究的资源中最常见的是时间（要通过多少步才能解决问题）和空间（在解决问题时需要多少内存）。其他资源亦可考虑，例如在并行计算中，需要多少并行处理器才能解决问题。 时间复杂度是指在计算机科学与工程领域完成一个算法所需要的时间，是衡量一个算法优劣的重要参数。时间复杂度越小，说明该算法效率越高，则该算法越有价值。 空间复杂度是指计算机科学领域完成一个算法所需要占用的存储空间，一般是输入参数的函数。它是算法优劣的重要度量指标，一般来说，空间复杂度越小，算法越好。我们假设有一个图灵机来解决某一类语言的某一问题，设有X个字（word）属于这个问题，把X放入这个图灵机的输入端，这个图灵机为解决此问题所需要的工作带格子数总和称为空间。 复杂度理论和可计算性理论不同，可计算性理论的重心在于问题能否解决，不管需要多少资源。而复杂性理论作为计算理论的分支，某种程度上被认为和算法理论是一种“矛”与“盾”的关系，即算法理论专注于设计有效的算法，而复杂性理论专注于理解为什么对于某类问题，不存在有效的算法。 [编辑]历史 在20世纪50年代，Trahtenbrot和Rabin的论文被认为是该领域最早的文献。而一般说来，被公认为奠定了计算复杂性领域基础的是Hartmanis和Stearns 的1960年代的论文On the computational complexity of algorithms。在这篇论文中，作者引入了时间复杂性类TIME(f(n))的概念，并利用对角线法证明了时间层级定理（Time Hierarchy Theorem）。 在此之后，许多研究者对复杂性理论作出了贡献。期间重要的发现包括：对随机算法的去随机化（derandomization）的研究，对近似算法的不可近似性（hardness of approximation）的研究，以及交互式证明系统（Interactive proof system）理论和零知识证明（Zero-knowledge proof）等。特别的复杂性理论对近代密码学的影响非常显著，而最近，复杂性理论的研究者又进入了博弈论领域，并创立了“算法博弈论”（algorithmic game theory）这一分支。 该领域重要的研究者有（不完全列表）： ?史提芬·古克 ?姚期智（Andrew Chi-Chih Yao） ?Allan Borodin ?Manuel Blum ?Juris Hartmanis ?Richard Karp ?Leonid Levin ?Alexander Razborov ?Michel Sipser ?Avi Wigderson ?Walter Savitch ?Richard Stearns ?Lance Fortnow ?V. Arvind ?Lazlo Babai [编辑]基本概念和工具 [编辑]计算模型与计算资源 新奥法的基本要点可归纳为以下7点： ①洞室开挖后，应使围岩自身承担主要的支护作用，而衬砌只是对围岩进行加固，使成为一个整体而共同发生作用。因此，须最大限度地保持围岩的固有强度，以发挥围岩的自承能力。如及时喷混凝土封闭岩壁，就能有效地防止围岩松弛，而不使其强度大幅度降低，同时也不存在因顶替支撑而使围岩变形松弛。总之应使围岩经常处于三轴应力约束状态，最为理想。 ②预计围岩有较大变形和松弛时，应对开挖面施作保护层，而且应在恰当的时候敷设，过早或过迟均不利。其刚度不能太大或太小，又必须是能与围岩密贴，而要做成薄层柔性，允许有一定变形，以使围岩释放应力时起卸载作用，尽量不使其有弯矩破坏的可能。这种支护和传统的支护不同，不是因受弯矩而是受压剪作用破坏的。由于混凝土的抗压和抗剪强度比抗拉和抗弯强度大得多，从而具有更高的承载能力。一次支护的位移收敛后，可在其光滑的表面上敷设高质量的防水层，并修筑为提高安全度的二次支护。前后两次支护与围岩之间都只有径向力作用。 ③衬砌需要加强的区段,不是增大混凝土的厚度,而是加钢筋网、钢支撑和锚杆，使 隧道全长范围采用大致相同的开挖断面。此外，因为新奥法不在坑道内架设杆件支撑，空间宽敞，从而提高了安全性和作业效率。 ④为正确掌握和评价围岩与支护的时间特性，可在进行室内试验的同时，在现场进行量测。量测内容为衬砌内的应力、围岩与衬砌间的接触应力以及围岩的变位，据以确定围岩的稳定时间、变形速度和围岩分类等最重要的参数，以便适应地质情况的变化，及时 变更设计和施工。量测监控是新奥法的基本特征，量测的重点是围岩和支护的力学特征随时间的变化动态。衬砌的做法和施作时间是依据围岩变位量测决定的。 ⑤隧道支护在力学上可看作厚壁圆筒。它是由围岩支承环和衬砌环组成的结构，且两者存在共同作用。圆筒只有在闭合后才能在力学上起圆筒作用，所以除在坚硬岩层之外，敷设仰拱使衬砌闭合是特别重要的。围岩的动态主要取决于衬砌环的闭合时间。当上半断面超前掘进过多时,就相应地推迟了它的闭合时间,在隧道纵方向形成悬臂梁的状态而产生 大弯曲的不良影响。另外，为防止引起围岩破坏的应力集中，断面应做到无角隅，最好 采用圆形断面。 ⑥围岩的时间因素还受开挖和衬砌等施工方法的影响，它对结构的安全性起着决定的作用。考虑掘进循环周期、衬砌中仰拱的闭合时间、拱部导坑的长度以及衬砌强度等变化因素，把围岩和支护作为一个整体来谋求稳定。从应力重分布角度去考虑，全断面一次开挖是最有利的；分部开挖会使应力反复分布而造成围岩受损 答案：新奥法施工的基本原则可以归纳为“少扰动、早支护、勤量测、紧封闭”。 （1）少扰动，是指在进行隧道开挖时，要尽量减少对围岩的扰动次数、扰动强度、扰动范围和扰动持续时间。 （2）早支护，是指开挖后及时施作初期锚喷支护，使围岩的变形进入受控制状态。 （3）勤量测，是指以直观、可靠的量测方法和量测数据来准确评价围岩（或围岩加支护）的稳定状态，或判断其动态发展趋势，以便及时调整支护形式、开挖方法，确保施工安全和顺利进行。 第5章算法与复杂性 习题 一、选择题 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. B 7. D 8.B 9.C 10.A 11.A 12.C 13.A 14.A 二、简答题 1．什么是算法，算法的特性有哪些？ 答：“算法(Algorithm)是一组明确的、可以执行的步骤的有序集合，它在有限的时间内终止并产生结果”。算法的特性有： (1) 有穷性(可终止性)：一个算法必须在有限个操作步骤内以及合理的有限时间内执行完成。 (2) 确定性：算法中的每一个操作步骤都必须有明确的含义，不允许存在二义性。 (3) 有效性(可执行性)：算法中描述的操作步骤都是可执行的，并能最终得到确定的结果。 (4) 输入及输出：一个算法应该有零个或多个输入数据、有1个或多个输出数据。 2．什么是算法的时间复杂度和空间复杂度，如何表示？ 答：时间复杂度是与求解问题规模、算法输入相关的函数，该函数表示算法运行所花费的时间。记为，T(n)，其中，n代表求解问题的规模。 算法的空间复杂度(Space complexity)度量算法的空间复杂性、即执行算法的程序在计算机中运行所占用空间的大小。简单讲，空间复杂度也是与求解问题规模、算法输入相关的函数。记为，S(n)，其中，n代表求解问题的规模。 时间复杂度和空间复杂度同样，引入符号“O”来表示T(n)、S(n)与求解问题规模n之间的数量级关系。 3．用图示法表示语言处理的过程。 答：语言处理的过程如图所示： 4．简述算法设计的策略。 答：作为实现计算机程序实现时解决问题的方法，算法研究的内容是解决问题的方法，而不是计算机程序的本身。一个优秀的算法可以运行在比较慢的计算机上，但一个劣质的算法在一台性能很强的计算机上也不一定能满足应用的需要，因此，在计算机程序设计中，算法设计往往处于核心地位。 要想充分理解算法并有效地应用于实际问题，关键是对算法的分析。通常可以利用实验对比分析、数学方法来分析算法。实验对比分析很简单，两个算法相互比较，它们都能解决同一问题，在相同环境下，一般就会认为哪个算法的速度快这个算法性能更好。在算法设计中，通常采用能近似表达性能的方法来展示某个算法的性能指标。例如，计算机对2n 和22n n 的响应速度，当n 比较大的时,没什么区别，便可直接认为后者算法的复杂度为2n 。 基于算法复杂度简化表达的思想基础上，通常会对算法进行最坏情况分析和平均情况分析。对于一个给定的算法，如果能保证它的最坏情况下的性能依然很好，但是在某些情况下，程序的最坏情况算法的运行时间和实际情况的运行时间相差很大，在实际应用中几乎不会碰到最坏情况下的输入，那么此时进行最坏情况分析显得有些画蛇添足，特别是分析最坏情况算法会花费大量精力的时候。算法的平均情况分析可以帮助估计程序的性能，作为算法分析的基本指标之一，但是平均情况和实际情况仍然会有相差很大的时候，这时便可以使用随机法来尽量模拟现实中的情况，这样可以得到在严格的概率意义上的预测运行时间。另外，对于一个经典算法，没有必要再去对该算法进行改进，研究它的上界和下界，只需要了解该算法的特性，然后在合适的时候使用它。 5．简述并行算法研究的内容。 答：(1) 并行计算模型并行算法作为一门学科，首先研究的是并行计算模型。并行计算模型是算法设计者与体系结构研究者之间的一个桥梁，是并行算法设计和分析的基础。它屏蔽了并行机之间的差异，从并行机中抽取若干个能反映计算特性的可计算或可测量的参数，并按照模型所定义的计算行为构造成本函数，以此进行算法的复杂度分析。新奥法施工的原理和技术要点
常见的插值方法及其原理
有限差分法
第5章算法与复杂性
牛顿插值法原理及应用
插值法在图像处理中的运用要点
插值法的原理
有限元法与有限差分法的主要区别
几种插值法的应用和比较
第一章算法的基本概念
3 计算复杂性理论
新奥法的基本要点可归纳为以下7点
第5章 算法与复杂性(答案)