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第一章全称量词与存在量词

§3全称量词与存在量词

3．1全称量词与全称命题

3．2存在量词与特称命题

学习目标 1.了解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判断全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法．

知识点一全称量词与全称命题

思考观察下列命题：

(1)所有偶函数的图像都关于y轴对称；

(2)每一个四边形都有外接圆；

(3)任意实数x，x2≥0.

以上三个命题有什么共同特征？

答案都使用了表示“全部”的量词，如“所有”、“每一个”、“任意”．

梳理

判断全称命题真假性的方法：对于全称命题“任意x∈M，p(x)”，要判断它为真，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x，使p(x)不成立，即“存在x∈M，p(x)不成立”．

知识点二存在量词与特称命题

思考观察下列命题：

(1)有些矩形是正方形；

(2)存在实数x，使x>5；

(3)至少有一个实数x，使x2－2x＋2<0.

以上三个命题有什么共同特征？

答案都使用了表示“存在”的量词，如“有些”、“存在”、“至少有一个”．

梳理

判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．

1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)

3．全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词．(×)

类型一全称命题与特称命题的辨析

例1判断下列语句是全称命题，还是特称命题．

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)矩形的对角线不相等；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

考点全称命题与特称命题的识别

题点全称命题与特称命题的识别

解(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

反思与感悟判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．

跟踪训练1 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．

(1)对任意x ∈R ，x 2>0；

(2)有些无理数的平方也是无理数；

(3)正四面体的各面都是正三角形；

(4)存在x ＝1，使方程x 2＋x －2＝0；

(5)对任意x ∈{x |x >－1},3x ＋4>0成立；

(6)存在a ＝1且b ＝2，使a ＋b ＝3成立．

考点全称命题与特称命题的识别

题点全称命题与特称命题的识别

解 (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；

(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、“存在”、“存在”．

类型二全称命题与特称命题的真假判断

例2 判断下列命题的真假．

(1)存在α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；

(2)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；

(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；

(4)存在一个实数x ，使等式x 2＋x ＋8＝0成立．

考点全称命题与特称命题的真假判断

题点全称命题与特称命题的真假判断

解 (1)真命题，例如α＝π4，β＝π2

，符合题意． (2)真命题，函数f (x )＝0既是偶函数又是奇函数．

(3)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．

(4)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解．

反思与感悟 1.判断全称命题真假的方法

(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题p(x)为真．

(2)要判断一个全称命题为假，即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．

2．判断特称命题真假的方法

(1)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题q(x)为真．

(2)要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，均使命题q(x)为假．

所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系．

跟踪训练2判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．

(1)每一个平行四边形的对角线都互相平分；

(2)存在一个x∈R，使1

x－1

＝0；

(3)存在一组m，n的值，使m－n＝1；

(4)至少有一个集合A，满足A{1,2,3}．

考点全称命题与特称命题的真假判断

题点全称命题与特称命题的真假判断

解(1)是全称命题．由平行四边形的性质可知此命题是真命题．

(2)是特称命题．不存在x∈R，使1

x－1

＝0成立，所以该命题是假命题．

(3)是特称命题．当m＝4，n＝3时，m－n＝1成立，所以该命题是真命题．

(4)是特称命题．存在A＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．

类型三全称命题、特称命题的应用

例3(1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

(2)令p(x)：ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．

考点全称命题与特称命题的应用

题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围

解(1)关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，

解得a ≥74

，∴实数a 的取值范围为????74，＋∞. (2)∵对任意x ∈R ，p (x )是真命题．

∴对任意x ∈R ，ax 2＋2x ＋1>0恒成立，

当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0不恒成立，

当a ≠0时，若不等式恒成立，

则????? a ＞0，

Δ＝4－4a ＜0，

∴a >1. 即a 的取值范围是(1，＋∞)．

反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

跟踪训练3 (1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围；

(2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．

考点全称命题与特称命题的应用

题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围

解 (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，

∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ???

?x ＋π4≥－2，又∵任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立，

∴只要m <－2即可．

∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．

(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，

∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π4∈[]

－2，2，又存在x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解，

∴只要m <2即可，

∴所求m 的取值范围是(－∞，2).

1．下列命题中特称命题的个数是( )

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有|sin x |≤1.

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

考点识别特称命题

题点识别特称命题

答案 B

解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．

2．给出下列命题：

①存在实数x >1，使x 2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使ax 2－ax ＋1＝0的根为负数．

其中特称命题的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

考点全称命题与特称命题的真假判断

题点全称命题与特称命题的真假判断

答案 C

解析由存在量词及特称命题的定义知①③④为特称命题．

3．下列含有量词的命题为真命题的是( )

A ．所有四边形都有外接圆

B ．有的等比数列的项为零

C ．存在实数没有偶次方根

D ．任何实数的平方都大于零

考点全称命题与特称

题点命题的真假判断

答案 C

解析 C 选项中存在负数没有偶次方根正确．

4．对任意的x ∈???

?0，π4，tan x ≤m 是真命题，则实数m 的最小值为________．考点全称量词与全称命题的真假判断

题点恒成立问题求参数的范围

答案 1

解析对任意的x ∈???

?0，π4，(tan x )max ＝1， ∴m ≥1，则m 的最小值为1.

5．将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题．

(1)相等的角是对顶角；

(2)sin x ＋cos x <3.

考点全称命题与特称命题

题点全称量词与存在量词的应用

解 (1)存在相等的两个角是对顶角．

(2)对任意x ∈R ，sin x ＋cos x <3.

1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．

一、选择题

1．下列命题中，是正确的全称命题的是( )

A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0

B ．菱形的两条对角线相等

C ．存在x ，x 2＝x

D ．对数函数在定义域上是单调函数

考点全称量词及全称命题的真假判断

题点识别全称命题

答案 D

解析 y ＝log a x (a >0且a ≠1)，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增加的，当0

2．下列命题为真命题的是( )

A ．对任意x ∈R ，都有cos x <2成立

B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)<0成立

C ．对任意x >0，都有3x >3成立

D ．存在x ∈Q ，使方程2x －2＝0有解

考点全称命题与特称命题的真假判断

题点全称命题与特称命题的真假判断

答案 A

解析 A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；

B 中，log 2(3x －1)<0?0<3x －1<1?13

，所以B 是假命题； C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；

D 中，2x －2＝0?x ＝2?Q ，所以D 是假命题，故选A.

3．下列特称命题是假命题的是( )

A ．存在x ∈Q ，使2x －x 3＝0

B ．存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＝0

解析对于任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1＝????x ＋122＋34

>0恒成立． 4．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x ，x >0；④对于任意实数x,2x ＋1是奇数．下列说法正确的是( )

解析 ①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．

5．下列命题中的假命题是( )

A ．有些不相似的三角形面积相等

B ．存在一个实数x ，使x 2＋x ＋1≤0

C ．存在实数a ，使函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增大而增大

解析以上4个均为特称命题，A ，C ，D 均可找到符合条件的特例；对B ，任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋1＝????x ＋122＋34>0.故B 为假命题．

6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( )

A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α

B ．存在实数x ，使得sin x ＝π2

C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin α

D ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

考点存在量词与特称命题的真假判断

题点特称命题的真假判断

答案 A

解析 ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan 45°，

∴A 为真命题，且为特称命题，故选A.

B 中对任意x ∈R ，有sin x ≤1<π2；

②对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；

③二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；

④任意x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.

8．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是(

9．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )?(x ＋a )<1对任意x 恒成立，则( )

解析应用新定义运算可得(x －a )?(x ＋a )＝(x －a )·[1－(x ＋a )]

＝－x 2＋x －a ＋a 2<1恒成立，

即x 2－x ＋a －a 2＋1>0恒成立，

a 2－a

而x 2－x ＋1＝????x －122＋34≥34

， ∴a 2－a <34，即－12

. 二、填空题

10．若对任意x >3，x >a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．

考点全称量词及全称命题的真假判断

题点恒成立求参数的范围

答案 (－∞，3]

解析对任意x >3，x >a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.

11．命题：①任意x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②存在x ∈Q ，x 2＝2；③存在x ∈R ，x 2＋1＝0；④任意x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．

考点全称命题与特称命题的真假判断

题点全称命题与特称命题的真假判断

答案 0

解析对于方程x 2－3x ＋2＝0，Δ＝(－3)2－4×2>0，

∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，

4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，

即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

12．已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“存在x >0，f (x )<0”为真，则m 的取值范围是______________．

13．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.

(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由；

(2)若至少存在一个实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围．

考点全称命题与特称命题

题点存在性问题与恒成立问题求参数的范围

解方法一 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为

m >－f (x )，

即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.

要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，

只需m >－4即可．

故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m >－4.

(2)不等式m －f (x )>0，可化为m >f (x )，

若至少存在一个实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min .

又f (x )＝(x －1)2＋4，所以f (x )min ＝4，

所以m >4.

所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．

方法二 (1)要使不等式m ＋f (x )>0对任意x ∈R 恒成立，

即x 2－2x ＋5＋m >0对任意x ∈R 恒成立．

所以Δ＝(－2)2－4(5＋m )<0，解得m >－4，

所以当m >－4时，m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立．

(2)若至少存在一个实数x ，使m －f (x )>0成立，

即x 2－2x ＋5－m <0成立．

只需Δ＝(－2)2－4(5－m )>0即可，

解得m >4.

所以实数m 的取值范围是(4，＋∞)．

四、探究与拓展

14．若命题“存在a ∈[1,3]，使ax 2＋(a －2)x －2>0”是真命题，则实数x 的取值范围是________．

考点存在量词与特称命题的真假判断

题点存在性问题求参数的范围

答案 (－∞，－1)∪???

?23，＋∞ 解析令f (a )＝ax 2＋(a －2)x －2＝(x 2＋x )a －2x －2，是关于a 的一次函数，

由题意，得(x 2＋x )－2x －2>0或(x 2＋x )·3－2x －2>0，

即x 2－x －2>0或3x 2＋x －2>0，

解得x <－1或x >23

. 15．若存在x ∈R ，使cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0，求实数a 的取值范围．考点存在量词与特称命题的真假判断

题点存在性问题求参数的范围

解依题意，若存在x ∈R ，使cos 2x ＋2sin x ＋a ＝0，

则有a ＝－cos 2x －2sin x ＝2sin 2x －2sin x －1

＝2?

???sin x －122－32，令t ＝sin x ，则a ＝2????t －122－32

，－1≤t ≤1. 由于函数a (t )在－1≤t ≤12上是减少的，在12

；当t ＝－1时，取最大值a ＝3.

所以－32

≤a ≤3. 故当－32

≤a ≤3时满足条件，所以a 的取值范围是????－32，3.

高中数学选修2-1 1.4全称量词与存在量词

组长评价：教师评价： §1.4全称量词与存在量词编者：史亚军学习目标 1. 认识常见的全称量词和存在量词；并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；掌握含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3. 激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养积极进取的精神．重点：理解全称量词与存在量词的意义．难点：全称命题和特称命题真假的判定和含一个量词的否定．学习过程使用说明：（1）预习教材P 2 ~ P 8，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。预习案（20分钟）一．知识链接下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）是整数；（2）；（3）如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）任丘一中今年所有高中一年级的学生数学课本都是人民教育出版社A 版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的；（8）对任意一个是整数。二．新知导学问题1：什么是全称量词？什么是存在量词？它们如何表示？问题2：我们如何对含有全称量词和存在量词的命题进行否定呢？它们的否定形式有何规律？问题3：请把下列日常用语，哪些表示全称量词，哪些表示存在量词？ “凡”、“所有”、“有一个”、“一切”、 “ 至多有一个”、“任意一个”、“存在一个”、“有些”、“至少有一个”。其中：全称量词的有：存在量词的有：问题4：辨别下列命题格式？并给出相应的否定形式？（1）（2）探究案（30分钟）三．新知探究【知识点一】含有全称量词和存在量词的命题结构与否定例1：用符号“”与“”表示下列含有量词的命题？并给出相应的否定形式？

高中数学全称量词与存在量词-量词

全称量词与存在量词-量词教学目标：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；课型：新授课教学手段：多媒体教学过程：一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个┅┅”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词 ①一纸；②一牛；③一狗；④一马；⑤一人家；⑥一小船 ①张②头③条④匹⑤户⑥叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x2≥0；（2）存在实数x，满足x2≥0；（3）至少有一个实数x，使得x2－2＝0成立；（4）存在有理数x，使得x2－2＝0成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s 使得s = n × n；（6）有一个自然数s 使得对于所有自然数n，有s = n × n；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。” 存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。” 含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”

全称量词与存在量词(有答案)

姓名年级性别学校学科教师上课日期上课时间课题 9.1 全称量词与存在量词知识点一、全称量词与全称命题 1．短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“_______”表示． 2．含有_____________的命题叫做全称命题，用符号表示为：“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，记为________________. 知识点二、存在量词与特称命题 1．短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做____________，用符号“_______”表示． 2．含有_______________的命题，叫做特称命题，用符号表示：“存在M 中的元素x 0，使p (x 0)成立，记为：________________”. 知识点三、含有一个量词的命题的否定类型一全称命题和特称命题的概念及真假判断例1 、指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假． (1)?x ∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1 x 0－1 ＝0； (3)对任意向量a ，|a|＞0；(4)有一个角α，使sin α＞1. 【自主解答】 (1)是全称命题，因为?x ∈N,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x 0∈R ，使1 x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是全称命题．因为|0|＝0，∴|a |＞0不都成立，因此，该命题是假命题． (4)是特称命题，因为?α∈R ，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．变式：判断下列命题的真假： (1)?x ∈R ，x 2＋2x ＋1＞0；(2)?x ∈(0，π 2 )，cos x ＜1； (3)?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝0；(4)至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3. 【解】 (1)∵当x ＝－1时，x 2＋2x ＋1＝0，∴原命题是假命题． (2)由y ＝cos x 在(0，π2)的单调性．∴?x ∈(0，π 2)，cos x ＜1为真命题． (3)由于3x ＋4＝5成立时，x ＝1 3 ?Z ，因而不存在x ∈Z ，使3x ＋4＝5. 所以特称命题“?x 0∈Z ，使3x 0＋4＝5”是假命题． (4)由于取a ＝1，b ＝1，c ＝1时，a 2＋b 2＋c 2≤3是成立的，所以特称命题“至少有一组正整数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2≤3”是真命题. 类型二含有一个量词的命题的否定例2、写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q: 存在一个实数x 0使得x 20＋x 0＋1≤0；

高中数学全称量词与存在量词教案1 新人教A版选修2-1

1．4全称量词与存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。（3）、(4)是命题且是真命题。（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题． 3．发现、归纳命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到“所有的”“任意一个”这

《全称量词与存在量词》教案全面版

《全称量词与存在量词》教案 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. 教具准备：与教材内容相关的资料。教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（三）教学过程学生探究过程：1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。（3）、(4)是命题且是真命题。（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．

全称量词与存在量词练习题

全称量词与存在量词练习题一、选择题 1．下列全称命题中真命题的个数是（） ①末位是0的整数，可以被2整除； ②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ③正四面体中两侧面的夹角相等； A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列存在性命题中假命题的个数是（） ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列命题为存在性命题的是（） A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体 C．不相交的两条直线是平行直线 D．有很多实数不小于3 4．命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（） A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数 C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数 5．命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（） A．存在一个三角形，内角和等于1800 B．所有三角形，内角和都等于1800 C．所有三角形，内角和都不等于1800 D．很多三角形，内角和不等于1800 6. 命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根； B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； C．对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根； D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根；

二、填空题 7．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ ； 8．命题“?x∈R，x2－x+3>0”的否定是______________；\ 9．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是；否命题是；三、解答题 10．用符号“?”与“?”表示含有量词的命题（1）实数的平方大于等于0 （2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立 11．写出下列命题的否定：（1）存在实数x是方程5x-12＝0的根；（2）对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0； 12. 用全称量词和存在量词符号“?”、“?”翻译下列命题，并写出它们的否定：（1）若2x>4，则x>2；（2）若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根；

《全称量词与存在量词》教学设计

课题：全称量词与存在量词（授课人：）一、教学目标 1、知识与技能通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义；掌握全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法． 2、过程与方法培养学生分析问题，总结问题的能力. 3、情感、态度、价值观在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想. 二、教学重点、难点 1、重点通过生活和数学中的丰富实例，理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法． 2、难点全称命题和特称命题的真假判定。三、教学过程一）新课学习（一）、全称量词由课本21页思考（幻灯片上思考1）引出问题，即由：（1）x>3; （2）2x+1是整数. （3）对于所有的x∈R,x>3; （4）对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 由上面例子引出：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier）,并用符号 “?”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题. 注：1、常见的全称量有:“一切”,“每一个”, “任给”,“所有的”等; 2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解总结全称命题的符号语言：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M来表示.那么，全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为 ), x(p, M x∈ ?读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. 例1：判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数（2） 2 ,11; x R x ?∈+≥ 例后小结：1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，从而提倡学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容 2、判断全称命题真假的一般方法：举反例法. 例后练习：课本23页1题。（二）、存在量词由课本22页思考（幻灯片上思考2）引出问题，即由：（1）2x+1=3 (2) x能被2和3整除；

全称量词与存在量词(学生版)

课题：全称量词与存在量词前置学案：问题1：在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的命题：（1）所有中国公民的合法权益都受到中华人民共和国宪法的保护；（2）对任意实数x，都有x2≥0；（3）存在有理数x，使220 x-=．上述命题有何不同？问题2：（1）所有的人都喝水；（2）存在有理数x，使220 x-=；（3）对所有的实数a，都有||0 a≥．尝试对上述命题进行否定，你发现有什么规律？一、数学建构（知识梳理） 1．全称量词与全称命题：（1）全称量词：用符号“?x”表示“对任意x”．（2）全称命题：．一般形式：． 2．存在量词和存在性命题：（1）存在量词：．用符号“x?”表示“存在x”．（2）存在性命题：．一般形式：． 3．全称命题的否定：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，全称命题p：?x∈M，p(x)它的否定?p：． 4．存在性命题的否定：一般地，对于含有一个量词的存在性命题的否定，存在性命题p：?x ∈M，p(x)它的否定┐p：．

二、例题选讲例1．判断下列命题的真假：（1）?x ∈R ，x 2＞x ；（2）?x ∈R ，x 2＞x ；（3）?x ∈Q ，x 2-8=0；（4）?x ∈R ，x 2+2＞0．例2．写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）01,2 >++∈?x x R x ；（3）平行四边形的对边相等；（4）01,2 =+-∈?x x R x 例3．（1）已知命题“()01,,02 >+-+∞∈?ax x x ”为真命题，则实数a 的取值范围．（2）已知命题“()01,,02 <+-+∞∈?ax x x ”为真命题，则实数a 的取值范围．（二）变式训练变式（1）已知命题“01,2 >+-∈?ax ax R x ” 为假命题，则实数a 的取值范围是_______ ．（2）命题“?x ∈R ，2x 2－3ax ＋9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为．（三）小结提炼四、课堂总结

1.4全称量词与存在量词经典教案(经典练习及答案详解)

1．4全称量词与存在量词 1.4.1全称量词1.4.2存在量词 (一)教学目标 1.知识与技能目标（1）通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词．（2）了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性． 2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力． 3.情感态度价值观通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育． (二)教学重点与难点重点:理解全称量词与存在量词的意义难点: 全称命题和特称命题真假的判定. (三)教学过程 1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数； (2) x＞３； (3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。 1．推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。（3）、(4)是命题且是真命题。（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（8）是真命题。事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．

全称量词和存在量词完美版

全称量词和存在量词教学目标 1．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义； 2．能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假教学重点及难点理解全称量词与存在量词的意义，并判断全称命题和特称命题的真假教学类型：新授课教学过程一．引入下列语句是命题吗？ ⑴3 x>； ⑵21 x+是整数； ⑶对所有的x∈R，3 x>； ⑷对任意一个x∈Z，21 x+是整数。 ⑴与⑶、⑵与⑷之间有什么关系？结论：由命题的定义出发，（1）（2）不是命题，（3）（4）是命题。分析（3）（4）分别用短语“对所有的”“对任意一个”对变量x 进行限定，从而使（3）（4）称为可以判断真假的语句。二．教授新课：

①.概念：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“?”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。例如： ⑴对任意n∈N，21 n+是奇数； ⑵所有的正方形都是矩形。常见的全称量词还有： “一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”等。通常，将含有变量x的语句用() r x表示，变量x的取 q x、() p x、() 值范围用M表示。全称命题“对M中任意一个x，有() p x p x成立”。简记为：x M ?∈，()读作：任意x属于M，有() p x成立。 ②.例1：判断下列全称命题的真假： ⑴所有的素数都是奇数； ⑵x?∈R，211 x+≥； ⑶对每一个无理数x，2x也是无理数。（学生练习——个别回答——教师点评并板书）点评：要判定全称命题的真假，需要对取值范围M内的每个元素x，证明p（x）是否成立，若成立，则全称命题是真命题，否则为假。

全称量词与存在量词

全称量词与存在量词编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】 1．理解全称量词、存在量词和全称命题、特称命题的概念； 2．能准确地使用全称量词和存在量词符号“?” “? ”来表述相关的教学内容； 3．掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法； 4.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【要点梳理】要点一、全称量词与全称命题全称量词全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词. 常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“?” 表示，读作“对任意”. 全称命题全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 一般形式：“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作：x M ?∈，()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0 的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题. 要点二、存在量词与特称命题存在量词定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词. 常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“? ” 表示，读作“存在 ”. 特称命题特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题. 一般形式：“存在M 中一个元素0x ，有0()p x 成立”，记作：0x M ?∈，0()p x （其中M 为给定的集合，()p x 是关于x 的语句）. 要点诠释：（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在,R R αβ∈∈使