数值分析第7章答案
第七章非线性方程求根
一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程
()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为
函数()f x 的零点.若()f x 可以分解为
()(*)()m
f x x x
g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有
(1)()
(*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求
得.
(二)方程求根的几种常用方法 1.二分法
设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设
()0f x =在(a,b)内仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()
2x a b =+和0()f x .若0()0
f x =则*x x =,结束计算;若00()()0
f a f x >,则令
10,1a x b b
==,得新的有根区
间
11[,]
a b ;若
00()()0
f a f x <,则令
10,1
a a
b x
==,得新的有根区间
11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001()2b a b a -=-.再令1111
()2x a b =+计算1()f x ,同上法
得出新的有根区间22[,]
a b ,如此反复进行,可得一有根区间套
1100...[,][,]...[,]
n n n n a b a b a b --????
且110011
*,0,1,2,...,()...()
22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1
lim()0,lim lim ()*
2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+=
因此,1
()
2n n n x a b =+可作为()0f x =的近似根,且有误差估计
11
|*|()2n n x x b a +-≤
- (7.2)
2.迭代法
将方程式(7.1)等价变形为 ()x x ?= (7.3)
若要求*x 满足(*)0f x =则*(*)x x ?=;反之亦然.称*x 为函数()x ?的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求()x ?的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为
1(),0,1,2...
k k x x k ?+== (7.4)
函数()x ?称为迭代函数.如果对任意
1(),0,1,2...
k k x x k ?+==,由式(7.4)产生的序
列{}k x 有极限 lim *k k x x →∞=
则称不动点迭代法(7.4)收敛.
定理7.1(不动点存在性定理)设()[,]x C a b ?∈满足以下两个条件: 1.对任意[,]x a b ∈有();a x b ?≤≤
2.存在正常数1L <,使对任意,[,]x y a b ∈,都有|()()|||x y x y ??-≤- (7.5) 则()x ?在[,]a b 上存在惟一的不动点*x .
定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设()[,]x C a b ?∈满足定理7.1中的两个条件,则对任意
0[,]
x a b ∈,由(7.4)式得到的迭代序列{
}
k x 收敛.到()x ?的不动
点,并有误差估计式
1|*|||1k k k L
x x x x L --≤
-- (7.6)
和 1|*|||
1k
k k k L x x x x L --≤-- (7.7)
定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设*x 为()x ?的不动点,'()x ?在*x 的某个邻域连续,且|'()|1x ?<,则迭代法(7.4)局部收敛.
收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程()x x ?=的根*x ,如果迭代误差
*
k k e x x =-当k →∞时成产下列渐近关系式
1
(0)k k e C C e +→≠常数 (7.8)
则称该迭代过程是p 阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收
敛,p=2时称平方收敛.
定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果
()()K x ?在所求根*x 的邻近连续,并且
(1)()'(*)''(*)...(*)0(*)0p p x x x x ????-====≠ (7.9)
则该迭代过程在点*x 的邻近是收敛的,并有
()
11lim
(*)
!p k p k k e x e p ?+→∞= (7.10)
斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于
不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为 2
1(),()
()20,1,2,...k k k k k k k k k k k
y x z y y x x x z y x k ??+==-=-
-+= (7.11)
此法也可写成如下不动点迭代式 12
(),0,1,2,...
(())()(())2()k k x x k x x x x x x x ψ?ψ???+==-=-
-+ (7.12)
定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设*x 为式(7.12)中
()x ψ的不动点,则*x 是
()x ?的不动点;设''()x ?存在,'(*)1x ?≠,则*x 是()x ψ的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为
其迭代函数为
1()
,0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=-
= (7.13)
()()'()f x x x f x ?=-
牛顿迭代法的收敛速度 当(*)0,'(*)0,''(*)0f x f x f x =≠≠时,容易证
明,'(*)0f x ≠,
''(*)
''(*)0'(*)f x x f x ?=
≠,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且
12''(*)
lim
2'(*)k k k e f x e f x +→∞=
(7.14) 重根情形的牛顿迭代法 当*x 是()0f x =的m 重根(2)m ≥时,迭代函数
()()'()f x x x f x ?=-
在*x 处的导数1
'(*)10
x m ?=-≠,且|'(*)|1x ?<.所以牛顿迭代法
求重根只是线性收敛.若*x 的重数m 知道,则迭代式
1()
,0,1,2,...'()k k k k f x x x m
k f x +==-= (7.15)
求重根二阶收敛.当m 未知时,*x 一定是函数()
()'()f x x f x μ=
的单重零点,此时迭代
式
1()()'()
'()['()]()''()
0,1,2,...k k k k k k k k k k x f x f x x x x x f x f x f x k μμ+=-
=--= (7.16)
也是二阶收敛的.
简化牛顿法 如下迭代法
10()
,0,1,2,...'()k k k f x x x k f x +=-
=
称为简化牛顿法或平行弦法.
牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法
将牛顿迭代法(7.13)中的'()
k f x 用()f x 在1k x -,k x
处的一阶差商来代替,即可得
弦截法
111()
()
()()k k k k k k k f x x x x x f x f x ++-=-
-- (7.17)
定理7.6假设
()
f x 在其零点*x 的邻域:|*|x x δ?-≤内具有二阶连续导数,且对
任意x ∈?有'()0f x ≠,又初值
01,x x ∈?
,,则当邻域?充分小时,弦截法(7.17)将
按阶
15
1.6182p +=
≈收敛到*x .这里p 是方程2
10λλ--=的正根.
5.抛物线法
弦截法可以理解为用过
11(,()),(())
k k k k x f x x f x ---两点的直线方程的根近似替
()0f x =的根.若已知()0f x =的三个近似根k x ,1k x -,2k x -用过
1122(,()),(,(
)),(,())k k k
k k
k x f x x f x x f x ----的抛物线方程的根近似代替
()0f x =的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法. 当
()
f x 在*x 的邻近有三阶连续导数,'(*)0f x ≠,则抛物线法局部收敛,且收敛
阶为 1.839 1.84p =≈.
二、知识结构图
10[1,2]1x x --=≤≤--∈3-3-6k k 32三、常考题型及典型题精解
例7-1 证明方程x 在上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|x -x*|10.若要求|x -x*|10,需二分区间[1,2]多少次?
解 设f(x)=x ,则f(1)=-1<0,f(2)=5>0,故方程f(x)=0在[1,2]上有根x*.又因f'(x)=3x -1,所以当x [1,2]时,f'(x)>0,即f (x)=0在[1,2]上有惟一实根x*.用二分法计算结果如表7-1所示.
表7-1
k
k a k
b
k
x
()k f x 的符号
1 2
1 1 1.25
2 1.5 1.5 1.5 1.25 1.375 + - +
3 4 5 6 7 8 9 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3204 1.3243 1.3243
1.375 1.375 1.13438 1.3282 1.3282 1.3282 1.3263
1.3125 1.3438 1.3282 1.3204 1.3243 1.3263 1.3253 - + + - - + +
610x e -≤≤?≤≤≤
≤≥∈-3-3
9910-6
k k k+1
01此时x =1.3253满足|x -x*|0.9771010,可以作为x*的近2
似值.
1 若要求|x -x*|,只需|x -x*|10即可,解得k+119.932,2
即只需把[1,2]二分20次就能满足精度要求.例7-2 已知函数方程(x-2)=1,(1)确定有根区间[a,b];(2)构造不动点迭代公式使之对任意初始近似x [a,b],31|10.
k x --- 1lim lim x x x x x e e e e →+∞ →-∞ ∞∞∞∈解 (1)令f(x)=(x-2)-1,由于f(2)=-1<0,f(3)=-1>0,因此区间[2,3]是方程f(x)=0的一个有根区间.又因f'(x)=(x-1),f(x)=+,f(x)=-1, f'(1)=--1<0,当x>1时f(x)单增,x<1时f(x)单减,故f(x)=0在(-,+)内有且仅有一根x*,即x*[2,3]. 2'k k x x x x x x e e e e e e e ???-----∈∈≤≤≤?∈k+100k+1(2)将(x-2)=1等价变形为x=2+,x [2,3].则(x)=2+.由于当x [2,3]时2(x)3,|(x)|=|-|<1 故不动点迭代法x =2+,k=0,1,2,...,对x [2,3]均收敛.(3)取x =2.5,利用x =2+进行迭代计算,结果如表7-2所示. 表7-2 k k x 1|| k k x x -- 0 1 2 3 4 2.5 2.082084999 2.124670004 2.119472387 2.120094976 0.417915001 0.042585005 0.0005197617 0.000622589 4 2.120094976.73cos 3120cos c k x x x x ?≈=--+=∈≤4k+10-30k+1k+1k 此时x 已满足误差要求,即x*例 考虑求解方程2的迭代公式2 x =4+,k=0,1,2,... 3 (1)试证:对任意初始近似x R,该方法收敛;(2)取x =4,求根的近似值x ,要求|x -x |10;(3)所给方法的收敛阶是多少? 2 解 (1)由迭代公式知,迭代函数(x)=4+3{}os , (,).|'sin |1 (,)x x x ???∈-∞+∞≤<-∞+∞?∈0k 022 由于(x)的值域介于(4-)与(4+)之间,且 33 22 (x)|=|-33 故根据定理7.1,7.2知,(x)在内存在惟一的不动点x*,且对x R,迭代公式得到的序列x 收敛于x*.(2) 取x =4,迭代计算结果如表7-3所示. 表7-3 k k x 1|| k k x x -- 0 1 2 3 4 5 4 3.564237587 3.391995168 3.354124827 3.348333384 3.347529903 0.435762413 0.172242419 0.037870341 0.005791443 0.000803481 此时 5 x 已满足误差要求，即5* 3.347529903 x x ≈= （3）由于'(*)0.1363231290x ?≈≠，故根据定理7 .4知方法是线性收敛的，并 且有1 lim '(*) k k k e x e ?+→∞=。 例7-4 对于迭代函数 2 ()(2)x x C x ?=+-，试讨论： （1）当C 为何值时， 1()(0,1,2,...) k k x x k ?+==产生的序列{ } k x 收敛于2； （2）C 为何值时收敛最快？ （3）分别取 12C =- ，1 22-，计算()x ?的不动点2，要求 5 1||10k k x x -+-< 解： （1） 2()(2)x x C x ?=+-，'()12x Cx ?=+，根据定理7.3，当|'(2)||122|1C ?=+<，亦即 1 02C - <<时迭代收敛。 （2）由定理7.4知，当'(2)1220C ?=+=，即1 22C =- 时迭代至少是二阶 收敛的，收敛最快。 （3）分别取 11 ,222C = - ，并取0 1.2x =，迭代计算结果如表7-4所示。 表7-4 k 1() 2C =-k x k 1 () 22C =- k x 0 1 6 12 13 1.2 1.48 1.413369586 1.414209303 1.414215327 0 1 2 3 4 1.2 1.397989899 1.414120505 1.414213559 1.414213562 此时都达到5 1||10k k x x -+-<.事实上2 1.414213562...=, 例7-5 给定初值02 0, x a ≠以及迭代公式 1(2),0,1,2,...k k k x x a x k +=-=,常数0a ≠ 证明: (1)该迭代函数是二阶收敛的;(2)该迭代产生的序列{} k x 收敛的充要条件 是 0|1|1 ax -<． 解: (1) 显然,迭代函数为()(2)x x ax ?=-,且11()a a ?= ,即1 a 是()x ?的不动点. 又'()2(1),''()2x ax x a ??=-=-,所以 1'()0a ?=, 1 ''()20 a a ?=-≠，由定理7.4知， 迭代是二阶收敛的，且1211 lim ''()2k k k e a e a ?+→∞==-． （２）因 11 (1)k k k e x ax a a =- =-，令1k k r ax =-，则 11(1),k k k k k x x r e r a +=-= 然而 112 1111(1)1 (1)(1)1k k k k k k k r ax ax r r r r -----=-=--=+--=- 故 242120 ...k k k k r r r r --=-=-==- 2011k k k e r r a a = =- 由此可知lim 0k k e →∞=等价于lim 0k k r →∞=，而lim 0k k r →∞=又等价于0||1r <，即0|1|1ax -<． 注 （１）的结论也可以直接用二阶收敛函数的定义去证明．另外，本题迭代式实际上是对1 ()f x a x =- 使用牛顿迭代法而得． 例7-6 对 3(),0x x x x ?=+=为()x ?的一个不动点,验证迭代1()k k x x ?+=对任意00 x ≠不收敛,但改用斯蒂芬森迭代却是收敛的,并说明斯蒂芬森迭代计算() x ?的不动点0x =时的收敛阶. 解 由于2 '()13x x ?=+,当0x ≠时|'()|1x ?>,且有 1|0||()0||'()(0)|k k k x x x ??ξ+-=-=-,ξ介于k x 与0之间,若00,1 x L ≠>,迭代不收 敛. 若改用斯蒂芬森迭代(7 .12),可得 142(),()33k k x x x x x x x ψψ+==- ++ 2 '(0)3ψ= ,根据定理7.3,斯蒂芬森迭代法收敛. 由于 2'(0)03ψ= ≠,故用斯蒂芬森迭代计算不动点0x =时,收敛阶1p =.(请读者 注意,这一结论与定理7.5的结论是否矛盾?) 例7-7 当R 取适当值时,曲线2y x =与222 (8)y x R +-=相切,试用迭法求切点横 坐标的近似值,要求不少于四位有效数字,且不必求R. 解 2y x =的导数'2y x =,由222 (8)y x R +-=确定的函数y 的导数满足 2'2(8)0yy x +-=,由两曲线相切的条件,可得 2222(8)0x x x ??+-= 即 3 280x x --= 令 3 ()28f x x x =--,则(1)0,(2)0,()0f f f x <>=在(1,2)内有实根.又2'()610f x x =+>,故()0f x =仅有一个根,构造迭代公式 131 8(),()(),(1,2) 2k k x x x x x ??+-==∈, 则当[1,2]x ∈时,1()2x ?≤≤. 22331811 |'()||()|()1 6263x x L ?--=-≤=< 故迭代收敛.取 0 1.5 x =,计算结果如表7-5所示. 表7-5 k k x 1|| k k x x -- k k x 1|| k k x x -- 1 1.5 1.481248 0.018752 2 3 1.482671 1.482563 0.001423 由于 3 3321 |*|||1012L x x x x L --≤ - 点的横坐标的近似值具有四位有效数字. 例7-8 曲线30.511y x x =-+与 2 2.4 1.89y x =-在点(1.6,1)附近相切,试用牛顿迭代法求切点的横坐标的近似值 1 k x +,使5 1||10k k x x -+-≤. 解 两曲线的导数分别为 2 '30.51y x =-和' 4.8y x =,两曲线相切,导数相等,故有 2 3 4.80.510x x --= 令 2 ()3 4.80.51f x x x =--,则(1)0,(2)0f f <>,故区间[1,2]是()0f x =的有根区3 10.00010810 2 - 间.又当[1,2]x ∈时,'()6 4.80f x x =->,因此()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x .对 ()f x 应用牛顿迭代法,得计算公式 213 4.80.51 ,0,1,2,... 6 4.8k k k k k x x x x k x +--=-=- 由于''()60f x =>,故取02 x =迭代计算一定收敛,计算结果如表7-6所示. 表7-6 k k x k k x 0 1 2 2.0 2.293055556 1.817783592 3 4 5 1.706815287 1.700025611 1.7 继续计算仍得 6 1.7 x =,故* 1.7x =. 注 本题也可令32 0.511 2.4 1.89x x x -+=-,解得切点横坐标满足方程 32() 2.451 2.890f x x x x =--+=,用有重根时的牛顿迭代法(7.15)式计算,此时 2m =.仍取02x =,经四步可得* 1.7x =. 例7-9(牛顿迭代法收敛定理)设()f x 在[,]a b 上具有二阶连续导数,且满足条件 (1)()()0;f a f b < (2)在[,]a b 上'()0,''()0;f x f x ≠≠ (3) 0[,] x a b ∈满足 00()''()0 f x f x >. 则由牛顿迭代法产生的序列{} k x 单调收敛于()0f x =在[,]a b 内的惟一实根*x ,并 且是平方收敛的. 证明 因()f x 在[,]a b 上连续,由条件(1)知,方程()0f x =在(,)a b 内有根*x .又由于条件(2)知'()f x 在[,]a b 上恒正或恒负,所以()f x 在[,]a b 上严格单调,因而*x 是()0f x =在(,)a b 内的惟一实根. 条件(1),(2)共有四种情形: (1)()0,()0,'()0,''()0,[,];f a f b f x f x x a b <>>>?∈ (2)()0,()0,'()0,''()0,[,];f a f b f x f x x a b <>><<>?∈ (4)()0,()0,'()0,''()0,[,].f a f b f x f x x a b ><< 000[,],()''()0 x a b f x f x ∈>可知 0()0 f x >,再由'()0f x >知()f x 单增且0* x x >. 又由牛顿迭代法知 0100 0() '()f x x x x f x =- < 又台劳展开得 2000001 ()()'()()''()()2!f x f x f x x x f x x ξ=+-+ - 其中0ξ介于x 与0x 之间.利用(*)0f x =,得 *200000* 2000000*2 1001()'()(*)''()(*)02()''() 1*(*)'()2'() ''()1(*)2'()f x f x x x f x x f x f x x x x f x f x f x x x f x ξξξ+-+ -==---= -- 由'()0,''()0f x f x >>以及前面证明的10 x x <,有 10 *x x x << 一般地,设 1 *k k x x x -<<,则必有()0 k f x >且 1() '()k k k k k f x x x x f x +=- < 同样由台劳公式 21 ()()'()()''()()2!k k k k k f x f x f x x x f x x ξ=+-+ - 及(*)0f x =,得 *2*2*2111 ()'()(*)''()(*)02 ()''() 1*(*)'()2'()''()1(*)2'()k k k k k k k k k k k k k k k k k f x f x x x f x x f x f x x x x f x f x f x x x x x f x ξξξ+++-+ -==---= --<< 根据归纳法原理知,数列{}k x 单调下降有下界*x ,因此有极限.设lim k k x l →∞=.对迭 代式 1() '()k k k k f x x x f x +=- 两端取k →∞的极限,并利用()f x .'()f x 的连续性知 ()0f l =,即*l x =. 由上述证明知,有关系式 12*1''(*) lim (*)2'(*)k k k x x f x x x f x +→∞-= -,即对于单根,牛顿迭代法是平方收敛的. 例7-10 设函数()f x 具有二阶连续导数,{}(*)0,'(*)0,''(*)0,k f x f x f x x =≠≠是 由牛顿迭代法产生的序列,证明 121''(*)lim ()2'(*)k k k k k x x f x x x f x +→∞--=-- 解 牛顿迭代法为 1() ,0,1,2,...'()k k k k f x x x k f x +=- = 故 1()'()k k k k f x x x f x +-=- 2 112 1121212122 11()'()()'()()()(*)['()][()(*)]'() '()['()](*)'()['()](*)k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f f x x x f x f x x ξξ+--------?? -=-=??-??--=---- 其中k ξ介于 k x 与*x 之间, 1k ξ-介于1k x -与*x 之间,根据式(7.14)得 211222111 '()['()]*lim lim ()'()['()](*)1''(*) 2'(*) k k k k k k k k k k k k x x f f x x x x x f x f x x f x f x ξξ+-→∞→∞-----=-=--- 例7-11 设()f x 具有连续的m 阶导数,*x 是()0f x =的m 重根{}(2),k m x ≥是由 牛顿迭代法产生的序列,证明 (1) 1*1 lim 1; *k k k x x x x m +→∞-=-- (2) 111 lim 1; k k k k k x x x x m +→∞--=-- (3)111lim . 2k k k k k k x x m x x x -→∞-+-=-+ 证明 (1)因*x 是()0f x =的m 重根,则()f x 可以表示成 ()(*)(),()0m f x x x h x h x =-≠ 所以 11'()(*)()(*)'()(*)[()(*)'()]m m m f x m x x h x x x h x x x mh x x x h x --=-+-= -+- 由牛顿迭代法 1() '()k k k k f x x x f x +=- 得 11(*)() **(*)[()(*)'()] () (*)1()(*)'()m k k k k m k k k k k k k k k x x h x x x x x x x mh x x x h x h x x x mh x x x h x +---=--= -+-??--?? +-?? 故 1*1 lim 1*k k k x x x x m +→∞-=- - (2) 1111111111 11111 1()'() ()'() (*)()(*)[()(*)'()] (*)()(*)[()(*)'()]*()()(*)*()k k k k k k k k m m k k k k k k m m k k k k k k k k k k k k x x f x f x x x f x f x x x h x x x mh x x x h x x x h x x x mh x x x h x x x h x mh x x x h x x h x +----------------== ---+-=--+-????-+- ???-????1'()()(*)'()k k k k x mh x x x h x -+- 利用(*)0h x ≠及(1)的结论得 111 lim 1; k k k k k x x x x m +→∞--=-- (3)先证明牛顿迭代函数 () ()'()f x x x f x ?=- 的导函数 1 '()1(*)x x x m ?→- → 因*x 是()f x 的m 重零点,则由假设,()f x 具有m 阶连续导数,得 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 且 () 1()1 2()2 31()()(*)!1 '()()(*)(1)!1 ''()()(*)(2)!m m m m m m f x f x x m f x f x x m f x f x x m ξξξ--= -=--=-- 其中 123,,ξξξ介于x 与*x 之间,故有 ()()132()2**2()()()''()11'(*)lim lim 1['()][()]m m m n x n x f f f x f x m x f x m f m ξξ?ξ→→-===- 而 1111111112()() 1 '()()1'() k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x ?ξ?ξ---+-+-----== -+----= -+-- 所以 11111 lim lim 121'()1(1) k k k k k k k k x x m x x x m ?ξ-→∞→∞-+-===-+--- 注 结论(1)和 1 '(*)1x m ?=- 都表明牛顿迭代法求重根时仅为线性收敛.结论(3) 可以用来计算重根数m . 例7-12 考虑下列修正的牛顿公式(单点斯蒂芬森方法) 21() (())()k k k k k k f x x x f x f x f x +=- +- 设()f x 有二阶连续导数,(*)0,'(*)0f x f x =≠,试证明该方法是二阶收敛的. 证明 将(()) k k f x f x +在 k x 处作台劳展开,得 21 (())()'()()''()()2k k k k k k f x f x f x f x f x f f x ξ+=++ 其中ξ介于 k x 与 () k k x f x +之间,于是 211 (())()'()()''()()2 ()**1 '()''()() 2 k k k k k k k k k k k f x f x f x f x f x f f x f x x x x x f x f f x ξξ++-=+-=-- + 由于*x 是()0f x =的单根,故 ()(*)(),(*)0f x x x h x h x =-≠ 所以 12'()()(*)'() (*)() **1 ()(*)'()''()() 2 () (*)11 ()(*)'()''()()21(*)'()''()()21()(*)'()2k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k f x h x x x h x x x h x x x x x h x x x h x f f x h x x x h x x x h x f f x x x h x f h x h x x x h x ξξξ+=+---=-- = +-+????--=????+-+?? ?? -+?? ??+-+''()()k f h x ξ?? ?? ?? 故 121 '(*)(*)''(*) *2lim (*)(*)k k k h x h x f x x x x x h x +→∞+-=- 即迭代法是二阶收敛的. 四、学习效果测试题及答案 1、证明方程1020x e x +-=在(0,1)内有一个实根*x ,并用二分法求这个根.若要求6 |*|10n x x --<,需二分区间[0,1]多少次? (答案:当3 |*|10n x x --<时9*0.090820313x x ≈=对分次数120k +≥.) 2、对方程230x x e -=,确定[,]a b 及()x ?,使1()k k x x ?+=对任意0[,] x a b ∈均收敛, 并求出方程的各个根,误差不超过4 10-. (答 案:(1) 2 1[,][1,0],(),*0.458962267 3 x a b x e x ?=-=- ≈-;(2) 2 1[,][1,0],(),*0.910007572 3 x a b x e x ?== ≈;(3) 2[,][3,4],()ln(3),* 3.733079028a b x x x ?==≈) 3、建立一个迭代公式计算222...+++,分析迭代的收敛性,取00 x =,计算6 x . (答案:162,0,1,2,..., 1.999397637 k k x x k x +=+==.) 4、试分别采用1()2ln x x ?=+和22()x x e ?-=的斯蒂芬森迭代法求方程ln 2 x x -=在区间(2,)+∞内的根*x ,要求8 1 | |10k k k x x x ---≤. (答案:取 03 x =,其解分别为 4 3.146193220 x ≈和 5 3.146193262 x =.) 5、由方程 42 ()440f x x x =-+=求二重根*2x =,试用牛顿法(7.13),有重根时的牛顿法(7.15),(7.16)计算*x ,要求8 1||10k k x x -+-<. (答案:三种方法均取 0 1.5 x =,分别得 24331.414213568, 1.414213562, 1.414213562. x x x ===) 6、用弦切法求Leonardo 方程32 ()210200f x x x x =++-=的根,要求 61||10k k x x -+-<. (答案:取 021,2 x x ==,用式(7.17)得 5 1.368808108 x =.) 7、用抛物线法求解方程3310x x --=在02x =附近的根,要求61||10k k x x -+-<. (答案:取 02361,2, 2.5,* 1.879385242. x x x x x ===≈=) 8、试构造一个求方程2x e x +=根的收敛的迭代格式,要求说明收敛理由,并求根 的近似值k x ,使3 11||102k k x x ---≤?. (答案:有根区间[0,1],不动点迭代式 1()ln(2) k k k x x x ?+==-,取 0140.5,*0.442671724x x x =≈=.另外,也可用牛顿迭代法求解得 3*0.442854401. x x ≈=) 9、试确定常数,,p q r ,使迭代公式 2 15 k k k a x px q x +=+ 产生的序列收敛到3 a ,并使其收敛阶尽可能高. (答案:利用定理7.4可得51,99p q r ===-,且 3 '''()0a ?≠,此时迭代法三阶收敛.) 10、 2 ()()()()()x x p x f x q x f x ?=--,试确定函数()p x 和()q x ,使求解()0f x =且以()x ?为迭代函数的迭代法至少三阶收敛. (答案:利用定理(7.4)可得311''() (),().'()2['()]f x p x q x f x f x = =) 五、课后习题全解 1、用二分法求方程2 10x x --=的正根,要求误差小于0.05. 解 设 2 ()1,(1)10,(2)10f x x x f f =--=-<=>,故[1,2]为()f x 的有根区间.又'()21f x x =-,故当 102x << 时,()f x 单增,当1 2x > 时()f x 单增.而 15 (),(0)124f f =-=-,由单调性知()0f x =的惟一正根*(1,2)x ∈.根据二分法的误差估计式(7.2)知要求误差小于0.05,只需1 1 0.052k +<,解得1 5.322k +>,故至 少应二分6次.具体计算结果见表7-7. 表7-7 k k a k b k x ()k f x 的符号 1 2 3 4 5 1 1.5 1.5 1.5 1.5625 1.59375 2 2 1.75 1.625 1.625 1.625 1.5 1.75 1.625 1.5625 1.59375 1.609375 - + + - - - - 即 5* 1.609375 x x ≈=. 2、为求3210x x --=在0 1.5 x =附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并 建立相应的迭代公式: (1) 211x x =+,迭代公式12 11k k x x +=+; (2)32 1x x =+,迭代公式123 1(1)k k x x +=+; (3) 2 11x x = -,迭代公式11 1 k k x x +=-. 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根. 解 取 0 1.5 x =的邻域[1.3,1.6]来考察. (1)当[1.3,1.6]x ∈时, 233122()1[1.3,1.6],|'()|||11.3x x L x x ??=+ ∈=-≤=<,故迭代公 式 121 1k k x x +=+ 在[1.3,1.6]上整体收敛. (2)当[1.3,1.6]x ∈时 21/322223 3 ()(1)[1.3,1.6] 22 1.6|'()|||0.5221 3 3 (1) (1 1.3) x x x x L x ??=+∈= < ≤=<++ 故123 1(1)k k x x +=+在[1.3,1.6]上整体收敛. (3) 3/2 111 (),|'()|||12(1)2(1.61)1x x x x ??-==>>---故 11 1 k k x x +=-发散. 由于(2)的L 叫小,故取(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需 3 11 |*|||1012k k k L x x x x L ---≤- 即 33 111 ||100.5102k k L x x L ----- 0 1.5 x =计算结果见表7-8. 表7-8 k k 1 2 3 1.481248034 1.472705730 1.468817314 4 5 6 1.467047973 1.466243010 1.465876820 由于3 651 ||102x x -- 3、比较求1020x e x +-=的根到三位小数所需的计算量: (1)在区间[0,1]内用二分法; (2)用迭代法 1 210k x k e x +-= ,取初值00x =. 解 (1)因*[0,1],(0)0,(1)0x f f ∈<>,故0*1x <<,用二分法计算结果见表7-9. 表7-9 k k a k b k x ()k f x 的符号 11 2k + k x k x 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 3.1证明：如果求积公式（3.4）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（3.4）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。 二 1 求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7 讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 故高斯-赛德尔法收敛的充要条件是。 9 设求解方程组的雅可比迭代格式为，其中，求证：若，则相应的高斯-赛德尔法收敛。证明由于是雅可比法的迭代矩阵，故 又，故， 即，故故系数矩阵A按行严格对角占优，从而高斯-赛德尔法收敛。 10设A为对称正定矩阵，考虑迭代格式 求证：（1）对任意初始向量，收敛； （2）收敛到的解。 证明（1）所给格式可化为 这里存在是因为，由A对称正定，，故也对称正定。 设迭代矩阵的特征值为，为相应的特征向量，则与做内积，有 因正定，故，从而，格式收敛。 第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??== 二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。 3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，， 4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端 这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵 ，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ， 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、 第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 第一章 绪 论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解： *4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 数值分析第四版习题及答案 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****1 2 3 4 5 1.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给 的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设0 28,Y =按递推公式 11 783100 n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .若取78327.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字78327.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 11N dx x +∞ +?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能 使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用 三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧 度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． ()00l x ＝0， ()111l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1，()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 1231231 220223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得 分 评卷人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数()()() 33301213,88C C C ===，那么 () 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ，所以()0f x =在区间 内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 1. 9和29 2. ()() 0101 f x f x x x -- 3. 1 8 4. ()()120 f f < 5. ()12 00.1 1.1,0,1,210.11k k y y k k y +???? ?=+? ?=+???? =??L 得 分 评卷人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数 21 1y x = +的一组数据： 求分 段线性插值函数，并计算 () 1.5f 的近似值. 计算题1.答案 1. 解 []0,1x ∈， ()1010.510.50110x x L x x --=?+?=---% []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=?+?=-+--% 第一章 绪论（12） 1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε， 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： 1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字；0031.0* 2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56* 4 =x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 （1）* 4*2*1x x x ++； [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε； （2）* 3*2 *1x x x ； 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、 ?? ??? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ? ???????? ???=????????? ?? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(, 0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求 得?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(, 1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对 1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 第三章 函数逼近与曲线拟合 1． ()sin 2 f x x π =，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解： ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时， 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时， 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ??? 3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明： 若()f x x =，则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明： 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误数值分析试题及答案汇总
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