2014年高考数学(文)试题分类汇编：专题3 三角函数
2014年高考数学（文）试题分类汇编
三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45
2．D
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ??
??
5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一： (1)f ??
?
?5π4＝2cos 5π4????sin 5π4＋cos 5π4
＝－2cos π4????－sin π4－cos π
4＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ?
???2x ＋π
4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为????k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ????2x ＋π
4＋1.
(1)f ??
?
?
5π4＝2sin 11π4＋1
＝2sin π
4
＋1 ＝2.
(2)因为T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为?
???k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
2．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )
A ．sin α＞0
B ．cos α＞0
C ．sin 2α＞0
D ．cos 2α＞0 2．C 17．[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝
6
3，B ＝A ＋π2
. (1)求b 的值；
(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33
. 又因为B ＝A ＋π
2
，
所以sin B ＝sin ???A ＋π2＝cos A ＝6
3.
由正弦定理可得，b ＝a sin B
sin A
＝
3×
63
33＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ????A ＋π2＝－sin A ＝－3
3.
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，
所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝
33×????－3
3＋63×63
＝13
. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝32
2
.
C3 三角函数的图象与性质 16．[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．
16．解： 由三角形面积公式，得 12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±
1－89＝±1
3
. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×1
3＝8，
所以a ＝2 2.
②当cos A ＝－1
3时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×????－13＝12，所以a ＝2 3.
7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π
2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，
则下列说法正确的是( )
A ．y ＝f (x )是奇函数
B ．y ＝f (x )的周期为π
C ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π
2对称
D ．y ＝f (x )的图像关于点????－π
2，0对称
7．D
图1-2
5．[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
5.π6
7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝
cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ????2x －π
4中，最小正周期为π的所有
函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③ 7．A
C4 函数sin()y A x ω?=+的图象与性质
8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直
线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π
3
，则f (x )的最小正周期为( )
A.π2
B.2π
3 C ．π D ．2π 8．C
7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )
A.π8
B.π4
C.3π8
D.3π4 7．C
13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?
???ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐
标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ????π
6＝________．
13.22
16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ?
???2x ＋π
6的部分图像如图1-4所示．
图1-4
(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间????－π2，－π
12上的最大值和最小值．
16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π
6
，y 0＝3.
(2)因为x ∈????－π2，－π12，所以2x ＋π6∈????－5π
6，0.
于是，当2x ＋π
6
＝0，
即x ＝－π
12时，f (x )取得最大值0；
当2x ＋π6＝－π
2
，
即x ＝－π
3
时，f (x )取得最小值－3.
18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．
(1)求f ??
??
5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一： (1)f ??
?
?5π4＝2cos 5π4????sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4????－sin π4－cos π
4＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ?
???2x ＋π
4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为????k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ????2x ＋π
4＋1.
(1)f ??
?
?
5π4＝2sin 11π4＋1
＝2sin π
4
＋1 ＝2.
(2)因为T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为?
???k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
9．[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，
则下列结论一定正确的是( )
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定
9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线
l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．
18．[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：
f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f (8)＝10－3cos ????π12×8－sin ???
?π
12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×
????－12－32
＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f (t )＝10－2???
?32cos π12t ＋12sin π
12t ＝10－2sin ????π12t ＋π3，
又0≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ???
?π12t ＋π
3≤1.
当t ＝2时，sin ????π12t ＋π
3＝1；
当t ＝14时，sin ???
?π12t ＋π
3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ?
???2x ＋π
3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对
应的函数( )
A ．在区间????π12，7π
12上单调递减
B ．在区间????π12，7π
12上单调递增
C ．在区间????－π6，π
3上单调递减
D ．在区间???
?－π6，π
3上单调递增
11．B 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝
cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ????2x ＋π6，④y ＝tan ?
??2x －π
4中，最小正周期为π的所有
函数为( )
A ．①②③
B ．①③④
C ．②④
D ．①③ 7．A
12．，[2014·山东卷] 函数y ＝3
2
sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π
2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ????2x ＋π4的最小正周期是( )
A.π
2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B
4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )
A ．向右平移π
12个单位
B ．向右平移π
4个单位
C ．向左平移π
12个单位
D ．向左平移π
4
个单位
4．A
3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )
A ．向左平行移动1个单位长度
B ．向右平行移动1个单位长度
C ．向左平行移动π个单位长度
D ．向右平行移动π个单位长度 3．A
17．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ?
???3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ????α3＝4
5cos ?
???α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为???
?－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为????
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ?
???α＋π4＝4
5cos ????α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45??
?
?cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，
即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2
.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2
.
C5 两角和与差的正弦余弦正切 9．[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )
A ．l 1⊥l 4
B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定 9．D
16．[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ????x ＋π3，x ∈R ，且f ????5π12＝
32
2. (1)求A 的值；
(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈????0，π2，求f ???
?π
6－θ.
18．[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函
数关系：
f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f (8)＝10－3cos ????π12×8－sin ???
?π
12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×
????－12－32
＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f (t )＝10－2???
?32cos π12t ＋12sin π
12t ＝10－2sin ????π12t ＋π3，
又0≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ???
?π12t ＋π
3≤1.
当t ＝2时，sin ??
??π12t ＋π
3＝1； 当t ＝14时，sin ???
?π12t ＋π
3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，
EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π
3
.
(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
图1-4
19．解：设∠CED ＝α.
(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，
于是由题设知，7＝CD 2
＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CD
sin α
.
于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×
3
27＝21
7，即
sin ∠CED ＝21
7
.
(2)由题设知，0＜α＜π
3
，于是由(1)知，
cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝27
7
.
而∠AEB ＝2π
3
－α，所以
cos ∠AEB ＝cos ???
?2π
3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α
＝－12cos α＋3
2sin α
＝－12×277＋32×217＝714
.
在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2
BE
，故
BE ＝2cos ∠AEB ＝2
7
14
＝47.
16．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ???
?π
4＝0，其中
a ∈R ，θ∈(0，π)．
(1)求a ，θ的值；
(2)若f ????α4＝－25，α∈????π2，π，求sin ?
???α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所
以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π
2
，
所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．
由f ???
?π
4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.
(2)由(1)得，f (x )＝－1
2
sin 4x .
因为f ???
?α4＝－12sin α＝－25，
所以sin α＝4
5，又α∈????π2，π，
从而cos α＝－3
5
，
所以有sin ?
???α＋π
3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.
18．[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝1
3
，求B .
18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝1
3，
所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝1
2
，
所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝
tan A ＋tan C
tan A tan C －1
＝－1，
所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.
17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝
6
3，B ＝A ＋π2
. (1)求b 的值；
(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33
. 又因为B ＝A ＋π
2
，
所以sin B ＝sin ????A ＋π2＝cos A ＝6
3.
由正弦定理可得，b ＝a sin B
sin A
＝
3×
63
33
＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ????A ＋π2＝－sin A ＝－3
3.
由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，
所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )
＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝
33×????－3
3＋63×63
＝13
. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝32
2
.
8．[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
图1-3
A ．240(3－1)m
B ．180(2－1)m
C ．120(3－1)m
D ．30(3＋1)m 8．C
17．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ?
???3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ????α3＝4
5cos ?
???α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为???
?－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为????
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ?
???α＋π4＝4
5cos ????α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45??
?
?cos αcos π4－sin αsin
π4(cos 2α－sin 2α)，
即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2
.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2
.
18．[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.
(1)若a ＝2，b ＝5
2，求cos C 的值；
(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A
2
＝2sin C ，
且△ABC 的面积S ＝9
2
sin C ，求a 和b 的值．
18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝7
2
.
由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c
22ab
＝
22＋????522
－????7222×2×
52
＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A
2
＝2sin C 可得
sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A
2
＝2sin C ，
化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .
因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.
由于S ＝12ab sin C ＝9
2
sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.
C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ??
??
5π4的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
18．解：方法一： (1)f ??
?
?5π4＝2cos 5π4????sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4????－sin π4－cos π
4＝2.
(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1
＝2sin ?
???2x ＋π
4＋1，
所以T ＝2π
2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为????k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x
＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ????2x ＋π
4＋1.
(1)f ??
?
?
5π4＝2sin 11π4＋1
＝2sin π
4
＋1 ＝2.
(2)因为T ＝2π
2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为????k π－3π8，k π＋π
8，k ∈Z .
14．[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________． 14.3
2
16．[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
16.43
2．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )
A ．sin α＞0
B ．cos α＞0
C ．sin 2α＞0
D ．cos 2α＞0 2．C
17．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ?
???3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ????α3＝4
5cos ?
???α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为???
?－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为????
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ?
???α＋π4＝4
5cos ????α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45??
?
?cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z .
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5
2
.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－5
2
.
C7 三角函数的求值化简与证明
16．[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ????x ＋π3，x ∈R ，且f ????5π12＝
32
2. (1)求A 的值；
(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈????0，π2，求f ???
?π
6－θ.
18．[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函
数关系：
f (t )＝10－3cos π12t －sin π
12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．
18．解：(1)f (8)＝10－3cos ????π12×8－sin ???
?π
12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×
????－12－32
＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.
(2)因为f (t )＝10－2??
?
?32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ????π12t ＋π3，
又0≤t <24，
所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ???
?π12t ＋π
3≤1.
当t ＝2时，sin ????π12t ＋π
3＝1；
当t ＝14时，sin ???
?π12t ＋π
3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π
3
的交点，则φ的值是________．
5.
π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ????2×π3＋φ＝12
，解得2
3π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或2
3π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π
(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π
6
.
15．[2014·江苏卷] 已知α∈???
?π2，π，sin α＝5
5.
(1)求sin ??
??π
4＋α的值； (2)求cos ??
?
?5π
6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈????π2，π，sin α＝5
5，
所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 5
5.
故sin ????π
4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝
22×????－2 55＋22×55＝－10
10. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×
5
5
× ?
???－2 55＝－45，
cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×????552
＝35
， 所以cos ??
?
?5π
6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ????－32×35＋12×???
?－45＝－4＋3 310.
16．[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ???
?π
4＝0，其中
a ∈R ，θ∈(0，π)．
(1)求a ，θ的值；
(2)若f ????α4＝－25，α∈????π2，π，求sin ?
???α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所
以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π
2
，
所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2
x )．
由f ???
?π
4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.
(2)由(1)得，f (x )＝－1
2
sin 4x .
因为f ???
?α4＝－12sin α＝－25，
所以sin α＝4
5，又α∈????π2，π，
从而cos α＝－3
5
，
所以有sin ?
???α＋π
3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.
17．[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC
→
＝2，cos B ＝1
3
，b ＝3.求：
(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．
17．解：(1)由BA →·BC →
＝2，得c ·a cos B ＝2，
又cos B ＝1
3
，所以ac ＝6.
由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.
联立?????ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得?????a ＝2，c ＝3或?????a ＝3，c ＝2.
因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－????132＝223
.
由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42
9
.
因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝
1－????4292＝79
. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.
21．[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x
1＋sin x
＋
2x
π
－1.证明： (1)存在唯一x 0∈?
???0，π
2，使f (x 0)＝0；
(2)存在唯一x 1∈???
?π
2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.
21．证明：(1)当x ∈????0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间?
???0，π
2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ????π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈?
???0，π2，使f (x 0)
＝0.
(2)当x ∈????π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2x
π
－1.
令t ＝π－x 则t ∈?
???0，π
2.记u (t )＝g (π－t )＝
－t cos t 1＋sin t －2
πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）
. 由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈????x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在?
???x 0，π
2上u (t )
为增函数，由u ????π2＝0知，当t ∈????x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在?
???x 0，π
2上无零点．
在(0，x 0)上u (t )为减函数，
由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.
于是存在唯一t 0∈????0，π
2，使u (t 0)＝0.
设x 1＝π－t 0∈????π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈???
?π
2，π，
使g (x 1)＝0.
由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.
12．，[2014·山东卷] 函数y ＝3
2
sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝
3
2sin 2x ＋1＋cos 2x 2
＝ sin ?
???2x ＋π6＋1
2，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .
17．[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ?
???3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ????α3＝4
5cos ?
???α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为???
?－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为????
－π4
＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ?
???α＋π4＝4
5cos ????α＋π4(cos 2α－sin 2α)．
所以sin αcos π4＋cos αsin π
4＝
45??
?
?cos αcos π4－sin αsin
π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝4
5
(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π
4
＋2k π，k ∈Z . 此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52
. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－
52
. 16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝6
6
b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；
(2)求cos ?
???2A －π
6的值．
16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C
，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝
6
6
b ，有a ＝2
c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝6
4.
(2)在△ABC 中，由cos A ＝
64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－1
4
，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝
15
4
. 所以cos ?
???2A －π
6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.
C8 解三角形
18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2
A －B
2
＋4sin A sin B ＝2＋ 2.
(1)求角C 的大小；
(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得
2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－
22
， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π
4.
(2)因为S △ABC ＝1
2
ab sin C ，
由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π
4
，得a ＝3 2.
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10.
16．[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c
＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值．
16．解： 由三角形面积公式，得
12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±
1－89＝±1
3
. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×1
3＝8，
所以a ＝2 2.
②当cos A ＝－1
3时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×????－13＝12，所以a ＝2 3.
12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝1
4，则c ＝________；sin A ＝________．
12．2
158
14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． 14．1 7．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )
A ．充分必要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．非充分非必要条件 7．A
13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π
6
，a
＝1，b ＝3，则B ＝________．
13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6
＝3sin B
，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π
3
.
19．[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，
EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π
3
.
(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．
图1-4
19．解：设∠CED ＝α.
(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，
于是由题设知，7＝CD 2
＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．
在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CD
sin α
.
于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×
3
27＝21
7，即
sin ∠CED ＝
217
. (2)由题设知，0＜α＜π
3
，于是由(1)知，
cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝27
7
.
而∠AEB ＝2π
3
－α，所以
cos ∠AEB ＝cos ???
?2π
3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α
＝－12cos α＋3
2sin α
＝－12×277＋32×217＝714
.
在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2
BE
，故
BE ＝2cos ∠AEB ＝2
7
14
＝47.
14．[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．
14.
6－2
4
[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故
cos C ＝a 2
＋b 2
－c
2
2ab
＝
a 2
＋b 2
－? ??
??a ＋2b 222ab
＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24
≥
2
34a 2·12b 2
2ab －2
4＝6－24
，
当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝2
3
时等号成立．
18．[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设
立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝4
3
.
(1)求新桥BC 的长．
历年高考数学试题分类汇编
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考数学试题分类大全
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
2018年高考数学试题分类汇编-向量
1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3
2008年高考数学试题分类汇编——函数与导数
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ．
C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，
2014年高考文科数学真题解析分类汇编：N单元 选修4系列(纯word可编辑)
数 学 N 单元 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲 15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-1所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长 ＝________． 图1-1 15．3 [解析] 本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB ＝13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ～△CDF ，∴△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝3. 21．[2014·江苏卷] A ．[选修4-1：几何证明选讲] 如图1-7所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB ＝∠D . 图1-7 证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC ， 所以∠OCB ＝∠B . 又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 所以∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B ＝∠D ，因此∠OCB ＝∠D . [2014·江苏卷] B ．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝??????－1 21 x ，B ＝???? ??1 12 －1，向量α＝??????2y ，x ，y 为实数．若＝，求x ＋y 的值． 解：由已知得，＝???? ??－1 2 1 x 错误!＝错误!)， B α＝错误! ))错误!)＝错误!)． 因为＝，所以??????－2＋2y 2＋xy )＝???? ??2＋y 4－y )． 故?????－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得?????x ＝－12，y ＝4，
2018-2020三年高考数学分类汇编
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是 导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是 （A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C 4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5 Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。 【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3 11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 2020年高考数学分类汇编：函数、导数及其应用 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()() 0.23531t K I t e --= +， 其中K 为的最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（ln19≈3） A.60 B.63 C.66 D.69 4. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()t I （t 的单位：天）的Logistic 模型：()() 0.23531t K I t e --= +， 其中K 为最大确诊病例数.当() 0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为（In19≈3） A.60 B.63 C.66 D.69 6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,- 高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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