[推荐学习]优化方案2016高中数学 第一章 三角函数章末优化总结 新人教A版必修4

章末优化总结

, )

三角函数的值域与最值

求三角函数的值域与最值的三种途径

(1)利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的值域求解． (2)将所求三角函数式变形为关于sin x (或cos x )的二次函数的形式，利用换元的思想进行转化，然后再结合二次函数的性质求解．

(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求解，同时，一般函数求值域的方法(分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用．

求y ＝sin x －2cos x －2

的值域．

[解] 将已知函数式看成单位圆上的点A (cos x ，sin x )与点B (2，

2)连线的斜率，如图所示，观察得到k AB ≤y ≤k CB . 设过点B 的圆的切线方程为y －2＝k (x －2)． 即kx －y －2k ＋2＝0.

于是|2－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝4±73.

故函数的值域为??

????4－73

，4＋73.

已知|x |≤π4

，求函数f (x )＝cos 2

x ＋sin x 的最小值．

[解] y ＝f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2

x ＋sin x ＋1.

令t ＝sin x ，因为|x |≤π

4，

所以－

22≤sin x ≤22

. 则y ＝－t 2

＋t ＋1＝－? ????t －122＋54? ??

??－22≤t ≤22，

当t ＝－22，即x ＝－π4时，f (x )有最小值，且最小值为－? ?

???－22－122＋54

＝1－22.

三角函数的性质

1．三角函数的周期在不加说明的情况下，就是指最小正周期．求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，y ＝A cos(ωx ＋φ)＋k 及y ＝A tan(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后用公式求解，另外还可以利用图像求出三角函数的周期．

2．研究函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点

对称，则当φ＝k π(k ∈Z )时，函数为奇函数；当φ＝k π＋π

2

(k ∈Z )时，函数为偶函数；

当φ≠k π

2(k ∈Z )时，函数为非奇非偶函数．

3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω＞0)的单调区间时(若ω＜0，可先利用诱导公式将x 前的系数ω变成正值)，应把ωx ＋φ视为一个整体，由A 的符号来确定单调性．

函数f (x )＝3sin ? ????2x －π3的图像为C . (1)图像C 关于直线x ＝11π

12

对称；

(2)函数f (x )在区间? ??

??－π12，5π12内是增加的； (3)由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π

3

个单位长度可以得到图像C .

以上三个论断中，正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

[解析] (1)f ? ????11π12＝3sin ?

????11π6－π3＝3sin 3π2＝－3，

所以直线x ＝11π

12为图像C 的对称轴，故(1)正确；

(2)由－π12＜x ＜5π

12

，

得－π2＜2x －π3＜π2

，

所以函数f (x )在? ????－π12，5π12内是增加的，故(2)正确； (3)f (x )＝3sin 2?

????x －π6，

而由y ＝3sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2?

????x －π3的图像，得

不到图像C ，故(3)错误．

[答案] C

三角函数的图像及图像变换

三角函数的图像是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图像的变换和解析式的确定，以及通过对图像的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求如下：

(1)用五点法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π

2

，2π.

(2)对于y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 应明确A ，ω，φ与单调性的关系，针对x 的变换，即变换多少个单位长度，向左或向右很容易出错，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．

(3)由已知函数图像求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图像求得的y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．

已知函数y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)?

????A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图像上的一个最低点为M ? ??

?

?2π3，－2，周期为π.

(1)求f (x )的解析式；

(2)将y ＝f (x )的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将

所得的图像沿x 轴向右平移π

6

个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，写出函数y ＝g (x )的

解析式；

(3)当x ∈????

??0，π12时，求函数f (x )的最大值和最小值． [解] (1)因为T ＝2π

ω

＝π，

所以ω＝2.

又因为f (x )min ＝－2，所以A ＝2.

因为f (x )的最低点为M ? ??

??2π3，－2， 所以sin ? ??

??4π3＋φ＝－1. 因为0＜φ＜π

2

，

所以4π3＜4π3＋φ＜11π6，

所以4π3＋φ＝3π2

，

所以φ＝π

6

，

所以f (x )＝2sin ?

????2x ＋π6. (2)y ＝2sin ?

????2x ＋π6――→横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） y ＝2sin ? ????12×2x ＋π6＝2sin ?

????x ＋π6 ――→沿x 轴向右平移π6

个单位长度 y ＝2sin ???????

????x －π6＋π6＝2sin x ，

所以y ＝g (x )＝2sin x .

(3)因为0≤x ≤π

12

，

所以π6≤2x ＋π6≤π3

，

所以当2x ＋π6＝π

6

，

即x ＝0时，f (x )min ＝2sin π

6

＝1；

当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )max ＝2sin π

3

＝ 3.

1．已知sin(π＋θ)＜0，cos(π－θ)＜0，则角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

解析：选A.因为sin(π＋θ)＝－sin θ＜0，所以sin θ＞0， 又因为cos(π－θ)＝－cos θ＜0，所以cos θ＞0， 所以角θ所在象限为第一象限．

2．函数f (x )＝? ??

??1－1x 2sin x 的图像大致为( )

解析：选A.函数的定义域为{x |x ≠0}，所以排除B ，C.因为f (－x )＝?

??

??1－1x

2sin(－x )

＝－?

??

??1－1x

sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图像关于原点对称，故排除D.

3．化简：1－sin 2

440°＝________．

解析：原式＝1－sin 2（360°＋80°）＝1－sin 2

80°

＝cos 2

80°＝cos 80°. 答案：cos 80°

4．若f (x )＝2sin ωx (0＜ω＜1)在区间?

?????0，π3上的最大值是2，则ω＝________．

解析：由0≤ωx ≤π2，得0≤x ≤π

2ω

，

所以y ＝2sin ωx 在????

??0，π2ω上是递增的． 又ω∈(0，1)，所以?

?????0，π3???????0，π2ω，

故f (x )＝2sin ωx 在?

?????0，π3上是递增的，

即2sin ωπ3＝2，所以ω＝3

4.

答案：34

5．已知函数y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)? ????|φ|＜π2的图像过点?

????0，－32. (1)求φ的值，并求函数y ＝f (x )图像的对称中心的坐标；

(2)当0≤x ≤π

2

时，求函数y ＝f (x )的值域．

解：(1)因为函数图像过点? ??

??0，－32， 所以sin φ＝－

32，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3， 所以y ＝sin ?

????2x －π3，令2x －π3＝k π(k ∈Z )， 得x ＝k π2＋π

6

(k ∈Z )，

所以函数f (x )的对称中心为? ??

??k π2＋π6，0(k ∈Z )．

(2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π

3

，

所以－32≤sin ? ????2x －π3≤1， 所以f (x )的值域为????

??－

32，1.

, [学生用书单独成册])

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．化简sin 600°的值是( )

A ．0.5

B ．－3

2

C.32

D ．－0.5

解析：选B.sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin

60°＝－3

2

.

2．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos

a ＋b

2

的值为( )

A ．0

B ．2

2

C ．1

D ．－1

解析：选C.由题知[a ，b ]??

?????2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos 2k π＝1.

3．函数y ＝sin x |sin x |＋|cos x |cos x ＋tan x

|tan x |

的值域是( )

A ．{1}

B ．{1，3}

C ．{－1}

D ．{－1，3}

解析：选D.当x 为第一象限角时，sin x ＞0，cos x ＞0，tan x ＞0，所以y ＝sin x sin x ＋

cos x

cos x

＋tan x tan x

＝3； 当x 为第二象限角时，sin x ＞0，cos x ＜0，tan x ＜0，所以y ＝sin x sin x ＋－cos x cos x ＋

tan x

－tan x

＝－1；

当x 为第三象限角时，sin x ＜0，cos x ＜0，tan x ＞0，所以

y ＝sin x －sin x ＋－cos x cos x ＋tan x tan x

＝－1； 当x 为第四象限角时，sin x ＜0，cos x ＞0，tan x ＜0，所以

y ＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x －tan x ＝－1. 综上可知，值域为{－1，3}．

4．函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π

2

个单位后，与函数y ＝

sin ? ????2x ＋π3的图象重合，则φ＝( ) A.56π B ．16π C.π2 D ．π3

解析：选A.y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π2个单位得到y ＝cos ????

??2（x －π2）＋φ的图象，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．

因为其图象与y ＝sin ?

????2x ＋π3的图象重合， 所以φ－π＝π3－π

2＋2k π，

所以φ＝π3＋π－π

2＋2k π，

即φ＝5π

6＋2k π.

又因为－π≤φ<π，所以φ＝5π

6.

5．要得到函数f (x )＝cos ? ????2x ＋π3的图像，只需将函数g (x )＝sin ?

????2x ＋π3的图像( ) A ．向左平移π

2个单位长度

B ．向右平移π

2个单位长度

C ．向左平移π

4个单位长度

D ．向右平移π

4

个单位长度

解析：选C.因为函数f (x )＝cos ? ????2x ＋π3＝sin ???????

????2x ＋π3＋π2＝sin ??????2? ????x ＋5π12， 所以将函数g (x )＝sin ?

????2x ＋π3的图像向左平移π4个单位长度， 即可得到函数y ＝sin ??????2?

????x ＋π4＋π3

＝sin ?

????2x ＋5π6的图像．故应选C. 6．若两个函数的图像仅经过有限次平移能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函数：

f 1(x )＝2cos 2x ，f 2(x )＝2cos ? ????x －π6，f 3(x )＝2cos ?

????x －π3－1，则( )

A ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两为“同形”函数；

B ．f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )两两不为“同形”函数；

C ．f 1(x )，f 2(x )为“同形”函数，且它们与f 3(x )不为“同形”函数；

D ．f 2(x )，f 3(x )为“同形”函数，且它们与f 1(x )不为“同形”函数．

解析：选D.由题意得f 2(x )与f 3(x )中，A ，ω相同，所以可通过两次平移使其图像重合，即f 2(x )与f 3(x )为“同形”函数，而f 1(x )中ω＝2与f 2(x )，f 3(x )中的ω＝1不同，需要伸缩变换得到，即它们与f 1(x )不为“同形”函数．

7．已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，又α、β为锐角三角形两内角，则下列结论正确的是( )

A ．f (cos α)>f (cos β)

B ．f (sin α)>f (sin β)

C ．f (sin α)>f (cos β)

D ．f (sin α)

解析：选D.由已知奇函数f (x )在[－1，0]上为减函数，知函数f (x )在[0，1]上为减函

数．当α、β为锐角三角形两内角时，有α＋β＞π2且0＜α，β＜π2，则π2＞α＞π

2

－

β＞0，所以sin α＞sin ? ??

??π2－β，即sin α＞cos β，又0＜sin α，cos β＜1，所以f (sin α)

8．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π

2

个单位长度，若所得图像与原图像

重合，则ω的值不可能为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

解析：选B.法一：将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π

2个单位后所得图像的

解析式为y ＝2sin ??????ω? ????x ＋π2＋φ＝2sin ? ??

??ωx ＋ωπ2＋φ，而平移后所得图像与原图像重

合，所以ωπ

2

＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝4k (k ∈Z )，所以ω的值不可能等于6，故选B.

法二：当ω＝4时，将函数f (x )＝2sin(4x ＋φ)的图像向左平移π

2

个单位长度所得图

像的解析式为y ＝2sin ????

??4? ????x ＋π2＋φ＝2sin(4x ＋φ)与原函数相同．当ω＝6时，将函数

f (x )＝2sin(6x ＋φ)的图像向左平移π

2

个单位长度所得图像的解析式为y ＝

2sin ????

??6? ????x ＋π2＋φ＝2sin(6x ＋3π＋φ)＝－2sin(6x ＋φ)，与原函数不相同，故选B.

9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|＜π，若f (x )≤????

??f ? ????π6对x ∈R 恒成立，且f ? ??

??π2＞f (π)，则f (x )的递增区间是( ) A.?

?????k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.?

?????k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.?

?????k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.????

??k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析：选C.因为f (x )≤??????f ? ????π6，知f ? ??

??π6是函数f (x )的最大值或最小值．函数f (x )的周期T ＝π，所以f (π)＝f (0)．又因为函数的对称轴为x ＝π6，所以f (0)＝f ? ????π3，知f ? ????π2＞f ? ????π3，所以f ? ??

??π6是函数f (x )的最小值，所以2×π6＋φ＝－π2，解得φ＝－56π.由－π2＋2k π≤2x －56π≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π

3

(k ∈Z )．

10．已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：

经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图像．根据以上数据，你认为一日(持续24小时)内，该海滨浴场的海浪高度超过1.25米的时间为( )

A ．10小时

B ．8小时

C ．6小时

D ．4小时

解析：选B.依题意得?????A ＋b ＝1.5，

－A ＋b ＝0.5，2π

ω＝12，

解得A ＝0.5，b ＝1，ω＝π

6，

则y ＝0.5cos πt 6＋1.令y ＝0.5cos πt 6＋1>1.25(t ∈[0，24])得cos πt 6>1

2.又t ∈[0，24]，

πt 6∈[0，4π]，因此0≤πt 6<π3或5π3<πt 6≤2π或2π≤πt 6<2π＋π3或2π＋5π3<πt 6

≤2π＋2π，即0≤t <2或10

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)

11．已知f (x )＝2sin ? ????2x －π6－m 在x ∈?

?????0，π2上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________．

解析：f (x )在??????0，π2上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在?

?????0，π2上有两个不同实数

解，

所以y ＝2sin ? ????2x －π6，x ∈?

?????0，π2与y ＝m 有两个不同交点． 令u ＝2x －π6，由x ∈??????0，π2得u ∈??????－π6

，5π6，

在同一直角坐标系中做出函数y ＝2sin

u 与y ＝m 的图像(如图)，可知1≤m <2.

答案：[1，2)

12．函数y ＝2sin ?

????2x ＋π6(x ∈[－π，0])的递减区间是________． 解析：令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π

3

＋k π，k ∈Z ，

令k ＝－1，得－5π6≤x ≤－π3，得函数的递减区间为??????－5π

6

，－π3.

答案：??????－5π

6

，－π3

13．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π

7

，则a ，b ，c 的大小关系为________(按由

小至大顺序排列)．

解析：a ＝sin 5π7＝sin ? ????π－5π7＝sin 2π7，b ＝cos 2π7＝sin ? ????π2

－2π7＝sin 3π14， 因为0＜3π14＜2π7＜π2，y ＝sin x 在?

????0，π2上为增函数，所以b ＜a ；又因为0＜π4＜

2π7＜π2，y ＝tan x 在?

????0，π2上为增函数，所以c ＝tan 2π7＞tan π4＝1，所以b ＜a ＜c .

答案：b ＜a ＜c

14．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)?

????ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度可得y ＝sin x 的图像，则f ? ??

??π6＝________． 解析：将y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ?

????x ＋π6的图像，保持纵

坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ? ????12x ＋π6的图像，故f (x )＝sin ? ????12

x ＋π6.所

以f ? ????π6＝sin ? ????12×π6＋π6＝sin π4＝22.

答案：

22

15．关于函数f (x )＝4sin ?

????2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ?

????2x －π6； ②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；

③函数y ＝f (x )的图像关于点? ??

??－π6，0对称； ④函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π

6

对称．

其中正确的是________．

解析：①f (x )＝4sin ? ????2x ＋π3＝4cos ? ????π2－2x －π3＝4cos ? ????－2x ＋π6＝4cos ?

????2x －π6，正确；

②T ＝2π

2＝π，最小正周期为π，错误；

③令2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，所以函数f (x )关于点? ????－π6，0对称，正确； ④令2x ＋π3＝k π＋π2，当x ＝－π6时，k ＝－1

2

，与k ∈Z 矛盾，错误．

所以①③正确． 答案：①③

三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共55分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分10分)计算3sin （－1 200°）tan 113

π

－cos 585°·tan ? ????－374π.

解：原式＝

3sin （－120°－3×360°）tan ?

????3π＋2π3－cos(225°＋360°)·tan ? ????－9π－14π＝－3sin 120°tan

2π3

＋cos 225°tan π

4

＝

－3sin 60°－tan

π3＋(－cos 45°)·tan π

4 ＝

3·323

＋? ????

－22×1＝32－22.

17. (本小题满分10分)(1)求函数y ＝1－2sin ?

????x ＋π6的最大值和最小值及相应的x 值；

(2)已知函数y ＝a cos ? ????2x ＋π3＋3，x ∈?

?????0，π2的最大值为4，求实数a 的值． 解：(1)当sin ?

????x ＋π6＝－1，

即x ＋π6＝－π

2

＋2k π，k ∈Z .

所以当x ＝－2

3

π＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最大值1＋2＝3.

当sin ? ????x ＋π6＝1，即x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z .

所以当x ＝π

3

＋2k π，k ∈Z 时，y 取得最小值1－2＝－1.

(2)因为x ∈?

?????0，π2，所以2x ＋π3∈??????π3，4π3，

所以－1≤cos ?

????2x ＋π3≤12. 当a ＞0，cos ?

????2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3. 所以1

2

a ＋3＝4，所以a ＝2.

当a ＜0，cos ?

????2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3. 所以－a ＋3＝4，所以a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1.

18．(本小题满分10分)为得到函数y ＝12sin ?

?

???2x ＋π6＋54的图像，只要把函数y ＝sin x

的图像作怎样的变换？

解：法一：①把函数y ＝sin x 的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ?

????x ＋π6的图像；

②把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin ?

????2x ＋π6的图像；

③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到函数y ＝12sin ? ?

???2x ＋π6的图像；

④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ?

?

???2x ＋π6＋54的图像．

综上得到函数y ＝12sin ?

?

???2x ＋π6＋54的图像．

法二：将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：

①把函数y ＝sin x 的图像上各点的横坐标缩短到原来的1

2

(纵坐标不变)，得到函数y ＝

sin 2x 的图像；

②把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝sin ?

????2x ＋π6的图像； ③把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的12(横坐标不变)，得到y ＝12sin ?

?

???2x ＋π6的

图像；

④把得到的图像向上平移54个单位长度，得到函数y ＝12sin ?

?

???2x ＋π6＋54的图像．

综上得到函数y ＝12sin ? ????2x ＋π6＋54

的图像．

19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一条

对称轴是直线x ＝π

8

.

(1)求φ；

(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像．

解：(1)因为x ＝π8是函数y ＝f (x )的图像的对称轴，所以sin ? ??

??2×π8＋φ＝±1.

所以π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .因为－π<φ<0，所以φ＝－3π4

.

(2)由(1)知y ＝sin ???2x －3π，列表如下：

描点连线，可得函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图像如下．

20．(本小题满分13分)已知A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是函数f (x )＝2sin(ωx ＋

φ)? ??

??ω＞0，－π2＜φ＜0图像上的任意两点，且角φ的终边经过点P (1，－3)，若|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π

3

.

(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的递增区间；

(3)当x ∈?

?????0，π6时，不等式mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立，求实数m 的取值范围．

解：(1)因为角φ的终边经过点P (1，－3)，所以tan φ＝－3，且－π

2

＜φ＜0，

得φ＝－π

3

.

函数f (x )的最大值为2，又|f (x 1)－f (x 2)|＝4时，|x 1－x 2|的最小值为π3，得周期T ＝2π

3

，

即2πω＝2π3，所以ω＝3.所以f (x )＝2sin ?

????3x －π3. (2)令－π2＋2k π ≤3x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π18＋2k π3≤x ≤5π18＋2k π

3

，k ∈Z .

所以函数f (x )的递增区间为??????－π18

＋2k π3，5π18＋2k π3，k ∈Z .

(3)当x ∈?

?????0，π6时，－π3≤3x －π3≤π6，得－3≤f (x )≤1，所以2＋f (x )＞0，

则mf (x )＋2m ≥f (x )恒成立等价于m ≥f （x ）2＋f （x ）＝1－2

2＋f （x ）恒成立．

因为2－3≤2＋f (x )≤3，所以1－22＋f （x ）最大值为1

3

，

所以实数m 的取值范围是????

??13，＋∞.

高二数学第二章章末总结

章末总结 知识点一圆锥曲线的定义和性质 对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略；应用圆锥曲线的性质时，要注意与数形结合思想、方程思想结合起来．总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用． 例1已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，求双曲线的标准方程． 知识点二直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线一般有三种位置关系：相交、相切、相离． 在直线与双曲线、抛物线的位置关系中有一种情况，即直线与其交于一点和切于一点，二者在几何意义上是截然不同的，反映在代数方程上也是完全不同的，这在解题中既是一个难点也是一个十分容易被忽视的地方．圆锥曲线的切线是圆锥曲线的割线与圆锥曲线的两个交点无限靠近时的极限情况，反映在消元后的方程上，就是一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式等于零；而与圆锥曲线有一个交点的直线，是一种特殊的情况(抛物线中与对称轴平行，双曲线中与渐近线平行)，反映在消元后的方程上，该方程是一次的．

例2 如图所示，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点． (1)求x1x2与y1y2的值； (2)求证：OM⊥ON. 知识点三轨迹问题 轨迹是解析几何的基本问题，求解的方法有以下几种： (1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x、y之间的关系式． (2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x、y来表示已知动点的坐标并代入已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x、y之间的关系式． (3)定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程． (4)参数法：当很难找到形成曲线的动点P(x，y)的坐标x，y所满足的关系式时，借助第三个变量t，建立t和x，t和y的关系式x＝φ(t)，y＝Φ(t)，再通过一些条件消掉t就间接地找到了x和y所满足的方程，从而求出动点P(x，y)所形成的曲线的普通方程． 例3设点A、B是抛物线y2＝4px (p>0)上除原点O以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，垂足为M，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？ 知识点四圆锥曲线中的定点、定值问题 圆锥曲线中的定点、定值问题是高考命题的一个热点，也是圆锥曲线问题中的一个难点，解决这个难点没有常规的方法，但解决这个难点的基本思想是明确的，定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的某个点或值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

高中数学三角函数知识点(复习)

三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）

2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：

§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

图象

定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心

1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

高中数学三角函数知识点总结(非常好用)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + —

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质

人教版(2019)高中物理必修一 第二章 2.4 章末优化总结

章末优化总结 解决匀变速直线运动问题的常用方法1．匀变速直线运动规律公式间的关系 2．常用解题方法 常用方法规律特点 一般公式法v＝v0＋at，x＝v0t＋ 1 2at 2，v2－v20＝2ax 使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负

平均速度法 v －＝x t ，对任何性质的运动都适用； v －＝1 2(v 0＋v )，只适用于匀变速直线运动 中间时刻速度法 v t 2 ＝v －＝1 2(v 0＋v )，适用于匀变速直线运动 比例法 对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解 逆向思维法 把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动 图象法 应用v －t 图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解 物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l ，到 达斜面最高点C 时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端3 4l 处的 B 点时，所用时间为t ，求物体从B 滑到 C 所用的时间． [解析] 法一：逆向思维法 物体向上匀减速冲上斜面 相当于向下匀加速滑下斜面 故x BC ＝at 2BC 2，x AC ＝a （t ＋t BC ）22，又x BC ＝x AC 4 由以上三式解得t BC ＝t . 法二：基本公式法 因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B 滑到C 所用的时间为t BC ，由匀变速直线运动的规律可得 v 20＝2ax AC ① v 2B ＝v 2 0－2ax AB ② x AB ＝34 x AC ③ 由①②③式解得v B ＝v 0 2 ④ 又v B ＝v 0－at ⑤ v B ＝at BC ⑥ 由④⑤⑥式解得t BC ＝t . 法三：比例法 对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为 x 1∶x 2∶x 3∶…∶x n ＝1∶3∶5∶…∶(2n －1)

(物理必修一)第二章知识点总结

(物理必修一)第二章知识点总结

点通传奇专用第二章知识点总结 2.2匀变速直线运动的速度与时间的关系 一、匀变速直线运动 1．定义：沿着一条直线，且不变的运动． 2．匀变速直线运动的v t图象是一条． 分类：(1)速度随着时间的匀变速直线运动，叫匀加速直线运动． (2)速度随着时间的匀变速直线运动，叫做匀减速直线运动． 二、速度与时间的关系式 1．速度公式： 2．对公式的理解：做匀变速直线运动的物体，由于加速度a在数值上等于速度的变化量，所以at就是t时间内；再加上运动开始时物体的，就可以得到t时刻物体的． 一、对匀变速直线运动的认识 1．匀变速直线运动的特点 (1)加速度a恒定不变； (2)v t图象是一条倾斜的直线．

2．分类 匀加速直线运动：速度随着时间均匀增大，加速度a与速度v同向． 匀减速直线运动：速度随着时间均匀减小，加速度a与速度v同向． 二、对速度公式的理解 1．公式v＝v0＋at中各量的物理意义 v0是开始计时时的瞬时速度，称为初速度；v是经时间t后的瞬时速度，称为末速度；at是在时间t内的速度变化量，即Δv＝at. 2．公式的适用条件：做匀变速直线运动的物体 3．注意公式的矢量性 公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a取正值；若物体做匀减速直线运动，a取负值． 4．特殊情况 (1)当v0＝0时，v＝at，即v∝t(由静止开始的匀加速直线运动)． (2)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)． 针对训练质点在直线上做匀变速直线运动，如图222所示，若在A点时的速度是5 m/s，经过3 s 到达B点时的速度是14 m/s，若再经4 s到达C点，则在C点时的速度多大？ 答案26 m/s 对速度公式的理解 1．一辆以12 m/s的速度沿平直公路行驶的汽车，因发现前方有险情而紧急刹车，刹车后获得大小为4 m/s2的加速度，汽车刹车后5 s末的速度为() A．8 m/s B．14 m/s C．0 D．32 m/s 答案 C 2．火车机车原来的速度是36 km/h，在一段下坡路上加速度为0.2 m/s2.机车行驶到下坡末端，速度增加到54 km/h.求机车通过这段下坡路所用的时间． 答案25 s 12．卡车原来以10 m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的地方立即开始刹车，使卡车匀减速前进．当车减速到2 m/s时，交通灯恰好转为绿灯，司机当即放开刹车，并且只用了减速过程一半的时间卡车就加速到原来的速度．从刹车开始到恢复原速的过程用了12 s．求： (1)卡车在减速与加速过程中的加速度； (2)开始刹车后2 s末及10 s末的瞬时速度． 12、(1)－1 m/s2 2 m/s2(2)8 m/s 6 m/s 2.3匀变速直线运动的位移与时间的关系 一、匀速直线运动的位移 做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝v t，在速度图象中，位移在数值上等于v t图象与对应的时间轴所围的矩形面积． 二、匀变速直线运动的位移 1．由v t图象求位移： (1)物体运动的速度时间图象如图232甲所示，把物体的运动分成几个小段，如图乙，每段位移≈每段起始时刻速度×每段时间＝对应矩形面积．所以整个过程的位移≈各个小矩形．

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

人教版 高中数学必修4 三角函数知识点

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+=

高中物理选修3_1第二章章末知识总结

第二章 单元复习 一、知识点回顾： 1、电源、电源电动势； 1、闭合电路的欧姆定律； 2、闭合电路欧姆定律的应用； 3、电池组； 4、电阻的测量。 二、基本知识点： （一）、电源、电源电动势： 1、电源的概念： （1）电源是把其它形式的能转化为电能的一种装置。 （2）电源供电原理：在电源部非静电力做功，其它形式的能转化为电能，在电源的外部电路，电场力做功，电能转化为其它形式的能。 2、电源的电动势： （1）电源电动势大小等于没有接入电路时两极之间的电压，（电源电动势的大小可用阻极大的伏特表粗略测出） （2）电动势的符号：E ，国际单位是伏特（符号为V ）；是一个标量，但有方向，在电源部由负极指向正极。 （3）电动势的物理意义：表征电源把其它形式的能转化为电能的本领，电动势是由电源本身的性质决定的，电动势在数值上等于在把其它形式的能转化为电能的时，1C 电量所具有的电能的数值。 3、电压和外电压： （1）闭合电路的组成：电路：电源部的电路其电阻称为电阻，电阻所降落的电压称为电压； （2）外电路：电源外部的电路，其两端电压称为外电压或路端电压。 （3）、外电压的关系：E = U + U' 。 （4）注意：在电路闭合时U < E ； （二）、闭合电路的欧姆定律： 1、闭合电路的欧姆定律的容： （1）闭合电路里的电流，跟电源的电动势成正比，跟整个电路的电阻成反比。 公式：I = r R E ；

（2）从闭合电路欧姆定律中，还可导出电路功率的表达式： EI = U I + U'I = I 2R + I 2r 。 （3）、定律的适用条件：外电路为纯电阻电路。 2、闭合电路欧姆定律的应用： 路端电压变化的讨论： （1）当R 增大时，I 减小，U'=I r 减小，U 增大；当R 时，I = 0 ，U =E （最大）； R 0 时 ，I = r E ，U = 0 ； （2）当R 减小时，U 减小，当3、闭合电路欧姆定律的应用（二） 应用闭合电路的欧姆定律分析电路中有关电压、电流、电功率的方法； （1）分析电路中的电压、电流、电阻时，一般先由闭合电路欧姆定律确定电路的总电流、路端电压，再结合部分电路的欧姆定律分析各部分电路的参数。 （2）分析电源的电动势、电阻时，可将（1）中的分析顺序逆进行。 （3）分析电路的功率（或能量）时可用公式EI = U I + U'I = I 2R + I 2r 其中EI 为电源的总功率（或消耗功率），U I= I 2R 为电源的输出功率（或外电路的消耗功率）；U'I= I 2 r 为电源部损耗功率，要注意区分。 （三）电池组： 1、串联电池组： （1）连接方法：前一个电池的负极与后一个电池的正极相连依次连接而成。 （2）串联电池组的特点： 电动势E = E 1 + E 2+E 3+………； 电阻：r = r 1 + r 2+r 3 ………..； 当用相同电池串联时：E 串= nE ；r 串 = nr ； （3）注意：串联电池组允许通过的电流跟单个电池相同；串联时，不要部分电池接反；不要新旧电池混合串联。 （四）电阻的测量： 1、伏安法测电阻： （1）原理和方法：利用电压表和电流表测出电阻两端的电压U 和通过的电流I ，用欧

第一章总结

Invitations to Linguistics 1.1 To give the barest of definition, language is a means of verbal communication. 1.3 Design Feature o Language 1.3.1 Arbitrariness Refers to the fact that the forms of linguistic signs bear no natural relationship to their meaning. Arbitrary relationship between the sound of a morpheme and its meaning. Arbitrariness at the syntactic level,by syntax we refer to the ways that sentences are constructed according to the grammar of arrangement Arbitrariness and convention :the matter of convention is the link between a linguistic sign and its meaning. 1.3.2Duality By duality is meant the property of having two levels of structures,such that units of the primary level are composed of elements of the secondary level and each of the two levels has its own principles of organization. 1.3.3 Creativity By creativity we mean language is resourceful because of its duality and its recursiveness. 1.3.4 Displacement It means that human languages enable their users to symbolize object,events and concepts which are not present at the moment of

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

2019数学人教A版选修2-2优化练习：第二章 章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．根据偶函数定义可推得“函数f (x )＝x 2在R 上是偶函数”的推理过程是( ) A ．归纳推理 B ．类比推理 C ．演绎推理 D ．非以上答案 解析：根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 答案：C 2．下面四个推理不是合情推理的是( ) A ．由圆的性质类比推出球的有关性质 B ．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180° C ．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分 D ．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的 解析：A 是类比推理，B 、D 是归纳推理，C 不是合情推理． 答案：C 3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a 2>0”，你认为这个推理( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的 解析：这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于0”，小前提是“a 是实数”，结论是“a 2>0”．显然结论错误，原因是大前提错误． 答案：A 4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1 n ，计算得 f (2)＝32，f (4)>2，f (6)>52，f (8)>3，f (10)>7 2，观察上述结果，可推测出一般结论为( ) A ．f (2n )＝n ＋22 B ．f (2n )>n ＋2 2 C ．f (2n )≥n ＋2 2 D ．f (n )>n 2 解析：观察所给不等式，不等式左边是f (2n )，右边是n ＋2 2，故选B. 答案：B

高中数学三角函数

三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入

高中数学必修三角函数知识点与题型总结

高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间．

人教版化学必修一第二章知识点总结A4 -终极版

第1页 共4页 第2页 共4页 Δ ②根据分散剂的状态划分 液溶胶 如：AgI 胶体、Fe(OH)3胶体、Al(OH)3胶体 固溶胶 如：烟水晶、有色玻璃、合金 2、Fe(OH)3胶体的制备、硅酸胶体的制备、碘化银胶体的制备 （1）Fe(OH)3胶体的制备 取一个干燥洁净的小烧杯，加入25mL 蒸馏水，将烧杯中的水加热至沸腾，向沸水中逐滴加入5～6滴FeCl 3饱和溶液 ，继续煮沸至溶液呈红褐色，停止加热，得到的分散系即为Fe(OH)3胶体。 反应的化学方程式为 FeCl 3+3H 2O=== Fe(OH)3（胶体）+3HCl （2）硅酸胶体的制备 在试管中加入3-5mL Na 2SiO 3溶液（饱和的Na 2SiO 3溶液按1:2或者1：3的体积比用蒸馏水稀释），滴入1-2滴酚酞溶液，再用胶头滴管逐滴加入稀盐酸，边加边振荡，至溶液红色变浅并接近消失。静置。 反应的化学方程式为 Na 2SiO 3+2HCl=H 2SiO 3（胶体）+2NaCl （3）碘化银胶体的制备 在碘化钾稀溶液中加入少量的硝酸银溶液，边滴入边震荡。 反应的化学方程式为 KI+AgNO 3=AgI （胶体）+KNO 3 思考：若上述（1）反应中，没有及时停止加热，会出现什么现象？若上述（2）（3）两种反应物的量均为大量，则可观察到什么现象？如何表达对应的两个反应方程式？ 提示：（1）胶体聚沉，生成红褐色沉淀 （2）Na 2SiO 3+2HCl=H 2SiO 3↓+2NaCl 生成白色沉淀 （3） KI+AgNO 3=AgI↓+KNO 3 生成黄色沉淀 3、胶体的性质与应用 （2）固溶胶不发生电泳现象；气溶胶在高压电的条件也能发生电泳现象（静电除尘）；胶体都是呈电中性的，凡是胶粒带电荷的液溶胶，通常都可发生电泳现象，胶粒不带电的不会发生电泳现象。【碘化银胶体和蛋白质胶体的胶体粒子所带的电荷的电性不同条件下是不相同的】 （3）聚沉的方法有三种：①加入电解质溶液 ②加入带相反电荷胶粒的胶体③加热或搅拌【胶体粒子不带电的胶体可以用第③方法聚沉】 （4）向氢氧化铁胶体中加入稀硫酸现象：产生红褐色沉淀，后红褐色沉淀溶解。原因：少量稀硫酸作为溶液使胶体聚沉，生成氢氧化铁红褐色沉淀，过量的稀硫酸与氢氧化铁反应，使沉淀溶解。 （5）胶体的应用 胶体的知识在生活、生产和科研等方面有着重要用途，如常见的有： ①盐卤点豆腐 ②明矾净水 ③FeCl 3溶液用于伤口止血 ④江河入海口形成的沙洲 ⑤冶金厂大量烟尘用高压电除去 ⑥土壤胶体中离子的吸附和交换过程，保肥作用 ⑦用同一钢笔灌不同牌号墨水易发生堵塞 4、胶体的提纯净化 ：利用渗析的方法，将胶体中的杂质离子或小分子除去。 四、离子反应 1、电离 ：电解质溶于水或受热熔化时解离成自由离子的过程。 2、电离方程式书写——“三句话” ①强酸、强碱、盐用等号一步到位 ②一元弱酸、所有弱碱用可逆符号一步到位 ③多远弱酸多可逆符号分步电离 例：①H 2SO 4 = 2H + + SO 42- NaOH= Na +＋OH - Ca(OH)2= Ca 2+＋2OH - BaCl 2 = Ba 2+ + 2Cl - BaSO 4 = Ba 2+ + SO 4 2- NaHSO 4 == Na ＋ + H ＋ +SO 42-（在水溶液中） NaHCO 3 == Na ＋ + HCO 3- ②HClO H + + ClO - Cu(OH)2 Cu 2+＋2OH - ③H 2CO 3 H + +HCO 3- HCO 3- H + +CO 32- 从电离的角度，我们可以对酸碱盐的本质有一个新的认识。 注意：（1） HCO 3-、OH -、SO 42-等原子团不能拆开。

七年级数学上册第二章知识点总结

第二章整式的加减 整式的概念: 单项式与多项式统称整式。（分母含有字母的代数式不是整式） 一、单项式:都是数或字母的积的式子叫做单项式。 1.单项式的系数：单项式中的数字因数。 2.单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和。 注意 ①圆周率π是常数； ②只含有字母因式的单项式的系数是1或－1，“1”通常省略不写。 例：x2，－a2b等； ③单项式次数只与字母指数有关。例：23πa6的次数为。 ④单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 ⑤单项式的系数包括它前面的符号。例：系数是。 ⑥单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身;非零常数的次数是0。 考点： 1.在代数式：，3，，，，0中，单项式的个数有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.单项式－的系数与次数分别是（） A. －2, 6 B.2, 7 C., 6 D., 7 3.的系数是_____________.

4.判断下列式子是否是单项式，是的√，不是的打X ; a ；；；；；； 0 ； ；；；；； 5.写出下列单项式的系数和次数 的系数是______，次数是______; 的系数是______,次数是______； a2bc3的系数是_____，次数是_____； 的系数是_____，次数是_____； 的系数是______，次数是______； 的系数是_____，次数是_____； 53x2y的系数是_____，次数是______； 6.如果是一个关于x的3次单项式，则b=_______；若是一个4次 单项式，则m=_____；已知是一个6次单项式，求的值。 7.写出一个三次单项式__________，它的系数是_______；写一个系数为3，含有两个字母a，b的四次单项式_______。 知识点回顾 1.单项式的定义：_________________________________叫做单项式。 2.单项式的系数：_________________________________叫做单项式的系数。 3.单项式的次数：_________________________________叫做单项式的次数

高中数学三角函数知识点

高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o

高一三角函数知识点梳理总结

高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+<