立体几何练习题

（俯视图）

（正视图）

立体几何练习题

三视图的考查特点

1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为 （A ）6（B ）9（C ）12（D ）18

2、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为（ ）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

3、正视图为一个三角形的几何体可以是 ．(写出三种)

4、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：c 2

m 为（ ）． Ａ．48+ Ｂ．48+ C ．36+ D ．36+

5、某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）．

A ．8

B ．

C ．10

D ．6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线 段，则a b +的最大值为（ ） A ．

B ．

C ．4

D ．位置关系的考查特点

1、设平面α与平面β相交于直线m ,直线a 在平面α内,直线b 在平面β内,且b m ⊥,则“αβ⊥”是“a b ⊥”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分不必要条件

2、设a 、b 为两条不同的直线，M 、N 为两个不同的平面．有下面四个命题：

①b M b M a b a ??⊥⊥,,∥M ②a ∥N a N M M ⊥?⊥,

俯视图

正主()视图侧左()视图

3

③a N M N a ?⊥⊥,∥M 或M a ? ④N M N b M a b a ⊥?⊥⊥⊥,, 其中正确命题的序号是 （ ）

（A ）①③ （B ）①③④ （C ）①②③ （D ）②③④

3、如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且EF =，则下

列结论中错误的是（ ）．

Ａ．AC BE ⊥ Ｂ．//EF ABCD 平面

C ．三棱锥A BEF -的体积为定值

D ．异面直线,A

E B

F 所成的角为定值 4、下列命题中错误的是（ ）．

A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，l αβ= ，那么l γ⊥平面

D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 与球有关的组合体

1、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的

直径，且2SC =，则此棱锥的体积为

（A （B （C （D

2、已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C ,若PA ,PB ,PC 两两互相垂直,则球心到截面

ABC 的距离为________.

3、正四面体的四个顶点都在同一个球面上，正四面体的高为4，则该球的表面积

（A ）π)31(16- （B ）π18 （C ）π36 （D ）π)31(8-

4、已知球的直径4SC =，,A B 是该球球面上的两点，AB =30ASC BSC ∠=∠=?，则棱锥S ABC

-的体积为（ ）．

A ．33

B ．32

C ．3

D ．1

5、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体 积为 ．

6、设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）．

A ．2

a π B ．2

73

a π C ．

2

113

a π D ．25a π

多面体体积的计算

1、 如图，多面体111—

C B A ABC 是由一直三棱柱被截面111C B A 所截后

得到的，底面ABC 与三条侧棱垂直，且131210111===CC ，BB ，AA

，6=?ABC

S ，则这个多面体的体积是 （ ）

（A ）80 （B ） 70 （C ）64 （D ）60

2、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形,且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥,三棱锥,三棱柱的高分别为1h ,2h ,3h ，则123::h h h =

2:2

3、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为

2，动点,E F 在棱11A B 上，动点,P Q 分别在棱,AD CD 上，若1EF =，1A E x =，DQ y =，DP z =（,,x y z 大于零），则四面体PEFQ 的体积

A ．与,,x y z 都有关

B ．与x 有关，与,y z 无关

C ．与y 有关，与,x z 无关

D ．与z 有关，与,x y 无关 解答题

1、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥. （Ⅰ）证明：1DC BC ⊥；

（Ⅱ）求二面角11A BD C --的大小.

2、 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，AC =，2PA =，E 是PC

上的一点，2PE EC =． （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；

（Ⅱ）设二面角A PB C --为90?，求PD 与平面PBC 所成角的大小．

3、如图，四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，其对角线2AC =， BD =AE ，CF 都与平

面ABCD 垂直，1AE =，2CF =. （Ⅰ）求二面角B AF D --的大小；

（Ⅱ）求四棱锥E ABCD -与四棱锥F ABCD -公共部分的体积.

4、在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角

梯形，//AB CD ，90ADC ∠=

，1AB AD PD ===，2CD =.

（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；

（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ= ，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45

.

5、如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；

(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．

A

1

C 1

B 1

A 1

D C

B

A

D F

E

第6题图

6、在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -中,E 是线段11AC 的中点,AC BD F = . (Ⅰ) 求证:CE ⊥BD ； (Ⅱ) 求证:CE ∥平面1A BD ； (Ⅲ) 求三棱锥1D A BC -的体积.

7、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB

，2AD AC DE AB ====2，且F 是CD 的中点．AF =（Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III)求此多面体的体积．

A B

C D

E F (第7题图)

8、如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=2. （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）求点E 到平面ACD 的距离.

9、如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，CP m =。 （Ⅰ）、试确定m ，使直线AP 与平面11BDD B

所成角的正切值为

（Ⅱ）、在线段11AC 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，1D Q 在平面1APD

上的射影垂直于AP ，并证明你的结论。

A B M

D E

O

C

10、如图，在三棱锥A －BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD

BD ＝CD ＝1，另一个侧面是正三角形 （1）求证：AD ⊥BC

（2）求二面角B －AC －D 的大小

（3）在直线AC 上是否存在一点E ，使ED 与面BCD 成30?角？

若存在确定E 的位置；若不存在，说明理由。

11、如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O ，且顶点

P 在底面上的射影恰为O 点，又BO=2,PO=2,PB ⊥PD. (Ⅰ)求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值； (Ⅱ)求二面角P －AB －C 的大小； (Ⅲ)设点M 在棱PC 上，且,PM

MC

λλ=问为何值时，PC ⊥平面BMD.

12、如图，在Rt AOB △中，π

6

OAB ∠=

，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上． （I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；

（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大角的正切值．

13、如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=?,E ，F 分别是BC , PC

的中点.

（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD

所成最大角的正切值为2

E —A

F —C 的余弦值. O

C

A D

B E

14、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ?

∠=，Q 为AD 的中点。 （1）若PA PD =，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；

（2）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ；

（3）在（2）的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且2PA PD AD ===，求二面角M BQ C --的

大小。

15、矩形ABCD 中，ABE AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且ACE BF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//； （Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.

B

C

16、平行四边形ABCD 中，1=CD ，

60=∠BCD ，且CD BD ⊥，正方形ADEF 和平面ABCD 成直

二面角，H G ,是BE DF ,的中点．

（Ⅰ）求证：CDE BD 平面⊥； （Ⅱ）求证：//GH 平面CDE ； （Ⅲ）求三棱锥CEF D -的体积．

17、如图，斜三棱柱111C B A ABC -，已知侧面C C BB 11与底面ABC 垂直且∠BCA =90°，∠160B BC = ，

1BB BC ==2，若二面角C B B A --1为30°

， （Ⅰ）证明C C BB AC 11平面⊥及求1AB 与平面C C BB 11所成角的正切值； （Ⅱ）在平面B B AA 11内找一点P ，使三棱锥C BB P 1-为正三棱锥，并求P 到平面C BB 1距离

D

E

A

B

C

1

1

1

A C B

18、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面ABC ，11

2AA AC AC ===， AB BC =，AB BC ⊥，O 为AC 中点．

⑴ 证明：1

AO ⊥平面ABC ； ⑵ 求直线1AC 与平面1A AB 所成角的正弦值；

⑶ 在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ?若存在，确定 点E 的位置；若不存在，说明理由.

19如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ,FE BC AD //// ，AB AD ⊥，M 为EC 的中点，

1

2

AF AB BC FE AD ====

(I)求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； (II)证明平面AMD ⊥平面CDE ； （III ）求二面角A CD E --的余弦值。

O C

B

A

C 1

B 1

A 1

立体几何空间角

D C 1 A 1 B 1 C 1 D B C A D 立体几何专题----空间角 知识点归纳 1、异面直线所成的角 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′ 与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). a b 注1：异面直线所成的角的范围( 0O , 90O ] 注2：如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b 注3：在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等) 2 、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角 （1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角 （2）一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0 ?的角 （3）直线和平面所成角的范围是[0?，90?] 3、二面角: 如右图在二面角的棱l取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则 叫做二面角的平面角. 注：①二面角的平面角的大小与O点位置_____ _。 ②二面角的平面角的范围是_______ 。 ③平面角为______的二面角叫做直二面角。 试题探究： 1、如图：表示正方体 1 1 1 1 D C B A ABCD-， 求异面直线 1 1 CC BA和所成的角。 2、空间四边形ABCD中，2 AD BC ==，,E F分别是, AB CD的中点，3 EF=， 求异面直线, AD BC所成的角。 3、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，试求直线 1 BD与平面ABCD所成的角. 4、在单位正方体 1111 ABCD A B C D -中，求直线 11 A C与截面 11 ABC D所成的角. 5、将一副三角板如图拼接,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,∠BDC=60°,且平面ABC⊥平面BCD, (1)求证:平面ABD⊥平面ACD;(2)求二面角A-BD-C的正切值;(3)求异面直线AD与BC所成角的余弦值. a′O b′ a P α O A O A B D C A 1 B 1 C 1 D A F E D B A B D B 1 A 1 C 1 D 1

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ）

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

高考数学复习-第十二讲--立体几何之空间角

第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1） 异面直线所成角 1.022.π??? ? ???????????范围：，平移相交（找平行线替换）求法：向量法??? ??20π， 2） 直线与平面所成角 1.π???????????????? 范围0，2定义2.求法向量法?? ? ? ??2,0π n m n m ??=arcsin θ 若n m ⊥则α//a 或α?a 若n m //则α⊥a 3） 二面角[]1.0.2.π??? ?????? ?? ???? ???? ?????? 范围：定义法（即垂面法）作二面角平面角的方法：三垂线定理及逆定理垂线法 直接法3.求二面角大小的方法射影面积法向量法 θcos S S =' (S 为原斜面面积,S '为射影面积,θ为斜面与射影所成锐二面角的平面 角) 当θ为锐角时，n m n m ??=arccos θ 当θ为锐角时，n m n m ??-=arccos πθ

二、例题讲解 1.在正三棱柱 111 ABC A B C -中，若 1 2, AB BB =求 1 AB与B C 1 所成的角的大小。 解：法一：如图一所示， 设O为C B 1 、B C 1 的交点，D AC 为的中点，则所求角是DOB ∠。 设 1 ,2 BB a AB a == 则，于是在DOB ?中， 1 222 1 1336 ,2, 2222 13 ,, 2 OB BC a BD a a OD AB a BD OB OD ==== ===+ 即90, DOB ∠=?∴? = ∠90 DOB 法二：取 11 A B的中点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系, xyz O-AB 2 1 的长度单位，则由

立体几何复习测试题及答案

立体几何复习测试题及答案

高一数学立体几何复习题 必修2立体几何知识点 第一章：空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相 平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫 做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线 照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、 空间几何体的表面积与体积 ⑴ 圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面；圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑵ 圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 （3）体积公式： h S V ?=柱体；h S V ?=31锥体；()h S S S S V 下下上上台体+?+=31 （4）球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直 线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平 面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂 直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑶定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 第一部分：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

[高中数学]立体几何.球专题附练习题不看后悔

E B C D A 立体几何-球-专题学案 练习 1.下列四个命题中错误．． 的个数是 （ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是 A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3 C.3π500 cm 3 D.3 π34161 cm 3 3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2. 预备 1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ． 3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长 叫 ． 4. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 5. 球面距离计算公式：__________ 典例剖析 （1）球面距离，截面圆问题 例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A.43 B.23 C.2 D. 3 练习： 球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是7 21，求球的体积． 例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCD E AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ． (1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上； (2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离．

空间向量和立体几何练习题及答案

1.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ＡBCD为正方形,平面ＰＡD⊥平面AＢＣＤ,点M在线段PB上,PＤ∥平面MAＣ,ＰA=PD=，ＡB=4． (１）求证:M为PＢ的中点； （２）求二面角B﹣ＰD﹣A的大小； （3）求直线MＣ与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1)设AC∩BD=O，则Ｏ为ＢD的中点,连接OM，利用线面平行的性质证明ＯＭ∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； (2）取AＤ中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得ＰＧ⊥平面AＢCD，则PG⊥AD，连接ＯG,则ＰＧ⊥OＧ，再证明ＯG⊥AＤ．以G为坐标原点,分别以ＧD、ＧO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PA Ｄ的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角Ｂ﹣PD﹣Ａ的大小；(3）求出的坐标，由与平面ＰBＤ的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BＤＰ所成角的正弦值． 【解答】（1）证明:如图，设AＣ∩BD=O, ∵AＢＣD为正方形，∴Ｏ为BD的中点,连接OM， ∵PD∥平面MAC,ＰＤ?平面PBD，平面PBＤ∩平面ＡMC＝OM, ∴PＤ∥ＯM,则,即Ｍ为ＰB的中点； (2)解：取AD中点Ｇ， ∵PＡ=PD，∴PG⊥AD, ∵平面PＡD⊥平面ABＣＤ,且平面PＡD∩平面ABCD=AＤ, ∴PG⊥平面ＡＢCＤ,则PG⊥AＤ,连接OG,则PＧ⊥ＯＧ, 由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥ＤＣ，则OG⊥AＤ. 以G为坐标原点,分别以GD、GO、GＰ所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PＡ=PD=,AＢ＝4,得D（2,0,０），A（﹣2，0,0),P(0,0，)，Ｃ(２,４，0），

文科立体几何面角二面角专题-带答案

文科立体几何线面角二面角专题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面； （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离． 3．（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 4．如图，在三棱柱中，点P，G分别是，的中点，已知⊥平面 ABC，==3，==2. （I）求异面直线与AB所成角的余弦值； （II）求证：⊥平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值. 5．如图，四棱锥，底面是正方形，，，，分别是，的中点.

（1）求证； （2）求二面角的余弦值. 6．如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等.，，分别为棱，，的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与直线所成角的正弦值. 7．如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠AB D=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF． （Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF； （Ⅱ）若二面角C BF D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，

，点是与的交点，点在线段上，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，， （1）求证：平面平面； （2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值. 10．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，已知，，，四边形为直角梯形，，. （1）证明：平面，平面平面；

立体几何专题训练(附答案)

立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .

空间向量与立体几何练习题

空间向量与立体几何单元检测题 一、选择题： 1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ） A 、a b b a +=+r r r r B 、() a b a b λλλ+=+r r r r C 、()() a b c a b c ++=++r r r r r r D 、b a λ=r r 2、已知向量a r =（1，1，0），则与a r 共线的单位向量（ ） A 、（1，1，0） B 、（0，1，0） C 、（ 22，2 2，0） D 、（1，1，1） 3、若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 4、设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 5、若向量(12)λ=，，a 与(212)=-，，b 的夹角的余弦值为8 9 ，则λ=（ ） Ａ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或 2 55 Ｄ．2或255 - 6、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，， 则D 的坐标为（ ） Ａ．7412 ?? - ??? ， ， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，， 7、在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ） Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ． Ｄ． 8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点，则E 到平面11ABC D 的距离是（ ） Ｃ．12 9、ABCD 为正方形，P 为平面ABCD 外一点，2PD AD PD AD ⊥==，，二面角 P AD C --为60°，则P 到AB 的距离为（ ）

立体几何大题练习题答案

立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F

（1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．

空间向量和立体几何练习题及答案.

1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． （1）求证：M为PB的中点； （2）求二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，

高考数学专题复习立体几何专题空间角

立体几何专题：空间角 第一节：异面直线所成的角 一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ?//a ，b ?//b ，相交直线a ?b ?所成的锐角（或直 角）叫做 。 2.范围： ?? ? ??∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式 （1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。 （2）向量法： 可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式b a = ><=,cos cos θ 求出来 方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出 b a ? 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量 ),,(111z y x a = ),,(222z y x b =2 2 22222 1 2 12 12 12121cos z y x z y x z z y y x x ++++++= ∴θ （3）三线角公式 用于求线面角和线线角 斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即：θθθcos cos cos 2 1= 二、例题讲练 例1、（2007年全国高考）如图，正四棱柱 1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为 例2、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1= c ，求异面直线D 1B 和AC 所成 的角的余弦值。 方法一：过B 点作 AC 的平行线（补形平移法） A B 1 B 1 A 1D 1 C C D

空间立体几何练习题(含答案)

第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图

专题一立体几何经典练习题

2 专题一 立体几何 班级： _____ 姓名： _____ 学号： _____ 一、选择题(4 分×10=40 分) 1．直线 l , l 和 α ， l // l ， a 与 l 平行，则 a 与 l 的关系是 1 2 1 2 1 2 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．以上都可能 2．若线段 AB 的长等于它在平面内射影长的 3 倍，则这条斜线与平面所成角的余弦值为 A ． 1 3 B ． 2 2 2 2 C ． D ． 3 3 3．在正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 中，B 1C 与平面 DD 1B 1B 所成的角的大小为 A ．15 B ． 30 C ． 45 D ． 60 4．有下列命题：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中 任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点 不共线，则此四点不共面．其中正确的命题是 A ．②③ B ．①②③ C ．①③ D ．②③④ 5．有一山坡，倾斜度为 300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成 450 角的直线前进 1 公里，则升高了 A ． 250 2 米 B ． 250 3 米 C ． 250 6 米 D ． 500 米 6．已知三条直线 a , b , l 及平面 α , β ，则下列命题中正确的是 A ． 若b ? α , a // b , 则a // α B ．若 a ⊥ α , b ⊥ α ，则 a // b C ． 若 a ? α ,α β = b ，则 a // b D ．若 a ? α , b ? α , l ⊥ a , l ⊥ b , 则 l ⊥ α 7．已知 P 是△EFG 所在平面外一点，且 PE=PG ，则点 P 在平面 EFG 内的射影一定在△EFG 的 A ．∠FEG 的平分线上 B ．边 EG 的垂直平分线上 C ．边 EG 的中线上 D ．边 EG 的高上 8．若一正四面体的体积是18 2 cm 3，则该四面体的棱长是 A ． 6cm B ． 6 3 cm C ．12cm D ． 3 3 cm 9．P 是△ABC 所在平面α 外一点，PA ，PB ，PC 与α 所成的角都相等，且 PA ⊥BC ，则 △ABC 是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 3 10．如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 3 的正方形，EF//AB ，EF= ，EF 2 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为 E F A ．2 B ．4 C ． 2 2 D ． 4 2 D C 二、填空题(4 分×4=16 分) A B 11．空间四边形 ABCD 中，AB=6，CD=8，E 、F 、G 分别是 BD ，AC ，BC 的中点，若异面直

立体几何复习专题(空间角)(学生卷)

专题一：空间角 一、基础梳理 1.两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ]2 π 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。 一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0?角。 直线和平面所成角范围：[0， 2 π]。 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 （3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角， 且a 上的射影c 与b 相交成?2角， 则有θ??cos cos cos 21= 。 内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直 线所成角中最小的角。 3．二面角 （1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。 （2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角 l αβ--的平面角。 说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面 角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。 ②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， 组成直二面角的两个平面互相垂直。 （3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。 （4）面积射影定理： 面积射影定理：已知ABC ?的边BC 在平面α内，顶点A α?。设ABC ?的面积为S ，它在平 ?2?1c b a θP αO A B l B' O' A' B O A βα

高一必修二立体几何练习题(含答案)

《立体几何初步》练习题 一、 选择题 1、一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( ） A 、垂直 B 、平行 Ｃ、相交不垂直 D 、不确定 ２. 在正方体1111ABCD A B C D -中, 与1A C 垂直的是( ） A ． BD Ｂ. CD C. BC D. 1CC 3、线n m ,和平面βα、，能得出βα⊥的一个条件是( ) A.βα//n ,//m ,n m ⊥ B.m ⊥n ,α∩β=m ,n ?α Ｃ.αβ?⊥m n n m ,,// D.βα⊥⊥n m n m ,,// 4、平面α与平面β平行的条件可以是( ) Ａ.α内有无穷多条直线与β平行； B ．直线a/／α，a ／/β C.直线ａα?,直线b β?,且a ／／β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 5、设m 、n 是两条不同的直线,,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α,n //α，则m n ⊥ ②若αβ//,βγ//，m ⊥α,则m ⊥γ ③若m //α,n //α,则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ 其中正确命题的序号是( ） A ．①和② B.②和③ C.③和④ D ．①和④ 6.点P 为ΔABC 所在平面外一点,P Ｏ⊥平面A ＢC ，垂足为O,若PA=PB=ＰC, 则点Ｏ是ΔＡBC 的( ) A.内心 B ．外心 Ｃ.重心 D.垂心 7. 若l 、m 、n 是互不相同的空间直线,α、β是不重合的平面,

则下列命题中为真命题的是（ ） Ａ．若//,,l n αβαβ??,则//l n B.若,l αβα⊥?,则l β⊥ C ． 若,//l l αβ⊥,则αβ⊥ D.若,l n m n ⊥⊥，则//l m 8． 已知两个平面垂直,下列命题中正确的个数是（ ) ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. Ａ.3 B.２ Ｃ.１ D ．0 9．（２013浙江卷)设ｍ.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面，?( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ? B.若ｍ∥α，m ∥β,则α∥β C ．若m ∥n,ｍ⊥α，则n ⊥α D.若m ∥α,α⊥β,则ｍ⊥β 10.(２013广东卷）设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是?( ) A ．若//l α，//l β,则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥,则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβ D.若αβ⊥，//l α,则l β⊥ 二、填空题 11、在棱长为2的正方体ABCD —A 1B １C 1D 1中,E,Ｆ分别是棱AB,BC 中点,则三棱锥Ｂ—B 1EF 的体积为 . 12．对于空间四边形ＡBCD,给出下列四个命题:①若ＡＢ=ＡC ，B Ｄ=CD 则BC ⊥AD;②若AB=CD ，AC=B Ｄ则BC ⊥A Ｄ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD 则BC ⊥AD ；④若ＡＢ⊥CD, BD ⊥AC 则BC ⊥ＡD ；其中真命题序号是 ． 13． 已知直线b ／／平面α,平面α//平面β,则直线b 与β的位置关系为 ． P

(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何(二)

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（二） 27.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 60DAB DBF ∠=∠=?，且F A =FC . （1）求证：AC ⊥平面BDEF ； （2）求直线AF 与平面BCF 所成角的正弦值. 28.如图（甲），在直角梯形ABED 中，//AB DE ，AB BE ⊥，AB CD ⊥，且 BC CD =，2AB =，F 、H 、G 分别为AC 、AD 、DE 的中点，现将ACD ?沿CD 折起，使 平面ACD ⊥平面CBED ，如图（乙）． （1）求证：平面FHG ∥平面ABE ； （2）若4 3 BC =，求二面角D -AB -C 的余弦值．

29.如图,在四棱锥P ABCD -中,平面PAB ⊥平面 ,,90,ABCD AD BC ABC ∠=o P PA = 3,1,2,3,PB BC AB AD O ====为AB 的中点. （1）证明:PO CD ⊥； （2）求二面角C PD O --的余弦值. 30.如图所示的几何体中， 111 ABC A B C -为三棱柱，且 1AA ABC ⊥平面， 四边形ABCD 为平行四边形，2AD CD =， 060ADC ∠=. （1）求证：11//C D AB C 平面； （2）若1AA AC =，求证：111AC A B CD ⊥平面； （3）若2CD =，二面角1A C D C --的余弦值为若 5 5 ，求三棱锥11C A CD -的体积．

31.如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD =6，BC =2AB =4，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF ∥AB ，现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ． （1）若BE =1，是否存在折叠后的线段AD 上存在一点P ，且AP PD λ=u u u r u u u r ，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． （2）求三棱锥A -CDF 的体积的最大值，并求此时点F 到平面ACD 的距离． F E C B A D F E C B A D 32.已知在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，且AD =2，AB =1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点. （1）证明：PF ⊥DF ； （2）在线段P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD ？若存在，确定点G 的位置；若不存在，说明理由. （3）若PB 与平面ABCD 所成的角为45°,求二面角A - PD - F 的余弦值.

立体几何练习题(含答案)

立几测001试 一、选择题： 1．a 、b 是两条异面直线，下列结论正确的是 （ ） A ．过不在a 、b 上的任一点，可作一个平面与a 、b 都平行 B ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都相交 C ．过不在a 、b 上的任一点，可作一条直线与a 、b 都平行 D ．过a 可以且只可以作一个平面与b 平行 2．空间不共线的四点，可以确定平面的个数为 ( ) Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．1或4 Ｄ．无法确定 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱1AA 、1BB 的中点，则异面直线CM 和1D N 所成角的正弦值为 ( ) Ａ． 19 Ｂ．2 3 45 25 4．已知平面α ⊥平面β，m 是α的一直线，n 是β的一直线， 且m n ⊥，则：①m β⊥；②n α⊥；③m β⊥或n α⊥；④m β⊥且n α⊥。这四个结论中，不正确．．．的三个是 ( ) Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．②③④ 5.一个简单多面体的各个面都是三角形，它有6个顶点，则这个简单多面体的面数是( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为（设地球半径为R ） ( ) A. R π42 B. R 3π C. R 2π D. 3 R 7. 直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，有下列四个命题 (1)m l ⊥?βα// (2)m l //?⊥βα (3)βα⊥?m l // (4)βα//?⊥m l 其中正确的命题是 ( ) A. (1)与(2) B. (2)与(4) C. (1)与(3) D. (3)与(4) 8. 正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成角为α，则下列不等式成立的是( ) A. 6 0π α< < B. 4 6 π απ < < C. 3 4 π απ < < D. 2 3 π απ < < 9．ABC ?中，9AB =，15AC =，120BAC ∠=?，ABC ?所在平面α外一点P 到点A 、B 、C 的距离都是14，则P 到平面α的距离为( ) Ａ．7 Ｂ．9 Ｃ．11 Ｄ．13 10．在一个45?的二面角的一个平面有一条直线与二面角的棱成角45?，则此直线与二面角的另一个平面所成角的大小为 ( ) Ａ．30? Ｂ．45? Ｃ．60? Ｄ．90? 11. 如图,E, F 分别是正方形SD 1DD 2的边D 1D,DD 2的中点, 沿SE,SF,EF 将其折成一个几何体,使D 1,D,D 2重合,记作 D.给出下列位置关系:①SD ⊥面DEF; ②SE ⊥面DEF;