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2010年江苏专转本高等数学真题

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试

高等数学

一、单项选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分)

1.设当0x →时,函数()sin f x x x =-与()n

g x ax =是等价无穷小,则常数,a n 的值为 ( ) A. 1,36a n == B. 1,33a n == C. 1,412a n == D. 1

,46

a n == 2.

线

22

34

56

x x y x x -+=-+的渐近线共有

( )

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条 3.设函数2

2

()cos t x

x e tdt Φ=?

,则函数()x Φ的导数()x 'Φ等于

( )

A. 2

2

2cos x xe x B. 2

2

2cos x xe x - C. 2cos x

xe x - D. 2

2

cos x e x - 4.下列

级数

收敛

的是

( )

A. 1

1n n

n ∞

=+∑ B.

2

1

21

n n n n ∞

=++∑ C. 1

1(1)n

n n ∞

=+-∑ D. 2

12

n

n n ∞

=∑ 5.

11

1

(,)y dy f x y dx

+??

( ) A. 1

1

01(,)x dx f x y dy +??

B. 2

1

10(,)x dx f x y dy -?

?

C. 2

1

1

1

(,)x dx f x y dy -?

?

D. 2

1

1

1

(,)x dx f x y dy -?

?

6.设

3()3f x x x

=-,

(0

( )

A. 函数()f x 单调增加且其图形是凹的

B. 函数()f x 单调增加且其图形是凸的

C. 函数()f x 单调减少且其图形是凹的

D. 函数()f x 单调减少且其图形是凸的 二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 7. 1lim(

)1

x

x x x →∞

+=-

8. 若(0)1f '=,则0

()()

lim

x f x f x x

→--=

9. 定积分31

2

11

1

x dx x -++?的值为 10. 设(1,2,3),(2,5,)a b k ==,若a 与b 垂直,则常数k = 11. 设函数2ln 4z x y =+,则10

x y dz

===

12. 幂级数0

(1)n n

n x n ∞

=-∑的收敛域为 三、计算题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分) 13、求极限20

11

lim(

)tan x x x x

→- 14、设函数()y y x =由方程2x y

y e x ++=所确定,求2

2

,dy d

y dx dx

15、求不定积分arctan x xdx ?

16、计算定积分

4

3

21

x dx x ++?

17、求通过点(1,1,1),且与直线23253x t y t z t =+??=+?

?=+?

垂直,又与平面250x z --=平行的直线的方程。

18、设2(,)x z y f xy e =,其中函数f 具有二阶连续偏导数,求2

z x y

???

19、计算二重积分D xdxdy ??,其中D 是由曲线21x y =

-,直线y x =及x 轴所围成的闭

区域。

20、已知函数x

y e =和2x

y e -=是二阶常系数齐次线性微分方程"'

0y py qy ++=的两个

解,试确定常数q p ,的值,并求微分方程"

'

x

y py qy e ++=的通解。 四、证明题(每小题9分,共18分) 21、证明:当1x >时,1

21122

x e

x ->

+ 22、设()

,0,

()1,

0,x x f x x

x ??≠?=??=?其中函数()x ?在0x =处具有二阶连续导数,且 '(0)0,(0)1??==,证明:函数()f x 在0x =处连续且可导。

五、综合题(每小题10分,共20分)

23、设由抛物线2

(0)y x x =≥,直线2

(01)y a a =<<与y 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为1()V a ,由抛物线2

(0)y x x =≥,直线2

(01)y a a =<<与直线1x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积记为2()V a ,另

12()()()V a V a V a =+,试求常数a 的值,使()V a 取得最小值。

24、设函数()f x 满足方程'()()2x

f x f x e +=,且(0)2f =,记由曲线'()()

f x y f x =与直线

1,(0)y x t t ==>及y 轴所围平面图形的面积为()A t ,试求lim ()t A t →+∞

2010年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案

1、A

2、C

3、B

4、D

5、D

6、C

7、2

e 8、2

9、

2

π

10、4- 11、dy dx 2+ 12、]1,1(- 13、原式=31

3tan lim 3sec 1lim tan lim tan tan lim 2202203020-=-=-=-=-→→→→x

x x x x x x x x x x x x x x . 14、3

22)

1(9;122)1(y x y x y x y x y

x e e dx y d e e dx dy dx dy e dx dy ++++++-=+-==++, 15、原式.arctan 2

1

21arctan 212C x x x x ++-=

16、变量替换:令t x =+12,2

1

2-=t x ,tdt dx =,

原式3

2813)2561()252(321

3312

312=+=+=?+-=??t t dt t dt t t t 17、)3,2,1(1=→

n ,)1,0,2(2-=→

n ,)4,7,2(1

0232

1

21--=-=?=→

→→k

j i n n n ,

所求直线方程为

4

1

7121--=

-=--z y x

18、)('2'12x

e f y f y x

z +=??;

''122''113'2'12223f e xy f xy yf e f y y x z x x ++=???+ 19、

6

202

12=

=?

?

??-y y

D

xdx dy dxdy x 20、特征方程的两个根为2,121-==r r ,特征方程为022

=-+r r ,从而2,1-==q p ;

1=ω是特征方程的单根,1)(=x p ,可设Ax x Q =)(,即设特解为x Axe Y =,

x x Axe Ae Y +=',x x Axe Ae Y +=2'',2,1-==q p ,代入方程"'x y py qy e ++=得 x x e e A Ax A Ax A =-+++)22(,31,13=

=A A ,通解为x e C e C y x

x 3

1221++=-

21、构造函数2

1

21)(21

--

=-x e

x f x ,x e x f x -=-1')(,01)(1''>-=-x e x f ,)('x f 在),1(∞+上单调递增,0)1('=f ,0)('>x f ,)(x f 在),1(∞+上单调递增,0)1(=f ,

0)(>x f ,即121122x e x ->

+。 22、)0(1)0(0

)

0()(lim )(lim )(lim '000f x x x x x f x x x ===--==→→→????,连续性得证;

0)0()(lim 2121)(lim )(lim 1

)

(lim 0)0()(lim )0(''0'02

000'--=-=-=-=--=→→→→→x x x x x x x x x x x f x f f x x x x x ?????)0(2

1

)(lim 21''''0??==→x x ,可导性得证。 23、502

222154])()[()(a dx x a a V a ππ=-=?,

ππ)5

4

51(])()[()(54122222a a dx a x a V a +-=-=?,

π)5

8

51()()()(5421a a a V a V a V +-=+=,

π)48()(34'a a a V -=,令0)('=a V 得21=a ,最小值为π16

3

)21(=V

24、x

x x x dx x dx Ce e C e e C dx e e e x f ---+=+=+??=?

)()2()(2,

1,2)0(==C f ,x x e e x f -+=)(,x x e e x f --=)(', 1

2112111)()(22222'+-=+-+=+-=+-==--x x x x x x x x x e e e e e e e e e x f x f y ,

????+-=+-+=+=+--=t t x x

x x x

t x t

x x d e e x d e e e dx e dx e t A 0022222020221

121112))121(1()(

2ln 1ln 2ln )1ln(ln 2ln )1ln(2)1(11222222022++=++-=++-=++-=?t t t

t t t

x x e

e e e e t e d e t

从而2ln )2ln 1(ln

lim )(lim 22=++=+∞→+∞→t

t

t t e e t A