等边三角形的性质与判定
大连学大教育培训学校2015年9月18
日初中数学组卷
一、单选题（每题x分，共8题）
1. 如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB △BDC绕B点旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为 ( ) A．AE＝CD B．AE>CD C AE 答案：A． 解析：试题分析：∵△ABC与△BDE都是等边三角形，∴AB=BC，BE=BD， ∠ABC=∠EBD=60°. ∴∠ACB+∠CBE=∠EBD+∠CBE=120°，即：∠ABE=∠CBD=120°. ∴△ABE≌△CBD. ∴AE=CD． 故选A． 考点：1.全等三角形的判定和性质；2.等边三角形的性质． 2. 如图，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM=CN，③AC=DN，④BN=EM．其中正确结论的个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 答案：C 3. 如图，在等边△ABC中，D，E分别AC，AB是上的点，且AD=BE，CE与BD交于点P，则∠BPE的度数为（） A．75°B．60°C．55°D．45° 答案：B． 解析：试题分析：∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC，∠A=∠CBE=60°， 又知BD=CE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠DBA=∠BCE， ∵∠BPE=∠BCE+∠CBP， ∴∠BPE=∠ABD+∠CBP=∠ABC=60°， 故选B． 考点：1.全等三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质． 4. 已知一个三角形的任何一个角的平分线都垂直于这个角所对的边，这个三角 形是（） A．直角三角形B．锐角三角形C．任意三角形D．等边三角形 答案：D 解析：试题分析：根据三角形的任何一个角的平分线都垂直于这个角所对的边结 合等腰三角形的性质即可得到结果. ∵三角形的任何一个角的平分线都垂直于这个角所对的边 ∴三角形任两条边相等 ∴这个三角形是等边三角形 故选D. 考点：等边三角形的判定 点评：等边三角形的判定和性质的应用是初中数学的重点和难点，是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意 5. 下列命题不正确的是 A．等腰三角形的底角不能是钝角 B．等腰三角形不能是直角三角形 C．若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形 D．两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形 答案：B 解析：试题分析：根据等腰三角形的性质及等边三角形的判定方法依次分析各项 即可判断. A、C、D、均正确，不符合题意； B、等腰直角三角形就是直角三角形，故错误，本选项符合题意. 考点：等腰三角形的性质，等边三角形的判定 点评：等腰三角形的性质的应用贯穿于整个初中学习，是平面图形中极为重要的 知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注 6. 下列叙述中不正确的是（）. A．等边三角形的每条高都是角平分线和中线 B．有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．在一个三角形中，如果两边不相等，那么它们所对的角也不相等，那么他们 所对的边也不相等 答案：C 7. 下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（） A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④ 答案：D 8. 等腰梯形一底角60°，它的两底长分别为8和20，则它的周长是（）A．36B．44C．48D．52 答案：D 二、填空题（每题x分，共5题） 9. 如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为_________． 答案：3 解析：试题分析：首先，利用等边三角形的性质求得AD=3；然后根据旋转的 性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE=AD． 试题解析：∵在等边△ABC中，∠B=60°，AB=6，D是BC的中点， ∴AD⊥BD，∠BAD=∠CAD=30°， ∴AD=ABcos30°=6×=3． 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30°，AD=AE， ∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=∠EAC+∠BAD=60°， ∴△ADE的等边三角形， ∴DE=AD=3，即线段DE的长度为3． 考点: 1.旋转的性质；2.等边三角形的判定与性质． 10. 如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形外部作等边三角形BCE，连结DE,则∠CDE的度数为 °. 答案：150. 解析：试题分析：本题考查正方形的性质.等边三角形的性质.由正方形的性质可得CD=CB，∠BCD=900，由等边三角形的性质可得CB=CE,∠BCE=600，所以△DCE 是等腰三角形且∠DCE=1500，所以∠CDE=150.故填150. 考点：1、正方形的性质.2、等边三角形的性质 11. 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为 _________． 答案：7 解析：试题分析：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC； ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6； ∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°， ∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE， 则=， 即=， 解得：CE=2， 故AE=AC﹣CE=9﹣2=7． 故答案为：7． 考点：1.相似三角形的判定与性质；2.等边三角形的性质． 12. 将两块含30°的直角三角板叠放成如右图那样，若OD⊥AB，CD交OA于E，则∠OED＝ _______° 答案：60 13. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC， ∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC= cm． 答案：8 三、解答题（每题x分，共4题） 14. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF. (1)试证明AC＝EF. (2)求证：四边形ADFE是平行四边形． 答案：见解析 解析：证明：(1)∵等边△ABE中，EF⊥AB ∴EF平分∠AEB，∴∠AEF＝∠AEB＝30° ∵∠BAC＝30°，∴∠AEF＝∠BAC 又∵∠AFE＝∠ACB＝90°，AE＝AB ∴△ABC≌△EAF∴AC＝EF (2)∵等边△ACD中，∠DAC＝60° 而∠CAB＝30°，∴∠DAF＝90°＝∠AFE ∴AD∥EF又∵AD＝AC，AC＝EF ∴AD＝EF.∴四边形ADFE是平行四边形． 15. △ABC和△ECD都是等边三角形 （1）如图1，若B、C、D三点在一条直线上，求证：BE=AD； （2）保持△ABC不动，将△ECD绕点C顺时针旋转，使∠ACE=90°（如图2），BC 与DE有怎样的位置关系？说明理由． 答案：（1）证明见解析；（2）BC垂直平分DE，理由见解析. 解析：试题分析：（1）利用等边三角形的性质和已知条件证明△ACD≌△BCE即可； （2）BC垂直平分DE，延长BC交DE于M，证明∠ECM=∠DCM，利用三线合一证明即可． 试题解析：∵△ABC和△ECD都是等边三角形，∴AC=BC，EC=DC， ∠ACB=∠ECD=60°. ∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠ACD=∠BCE. ∴△ACD≌△BCE. ∴AD=BE. （2）BC垂直平分DE，理由如下： 如图，延长BC交DE于M， ∵∠ACB=60°，∠ACE=90°，∴∠ECM=180°-∠ACB-∠ACE=30°. ∵∠DCM=∠ECD-∠ECM=30°，∴∠ECM=∠DCM. ∵△ECD是等边三角形，∴CM垂直平分DE，即BC垂直平分 DE． 考点：1.等边三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质． 16. 如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H，求证：FH∥BD. 答案：见解析 17. 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BD是中线，延长BC至点E，使CE＝CD． 求证：DB＝DE． 答案：由AB＝AC，∠A＝60°，可得△ABC是等边三角形，即可得到∠ABC＝∠2＝60°，由BD是中线，根据等边三角形的性质可得BD是∠ABC的平分线即可得到 ∠1＝30°，由CE＝CD，可得∠E＝∠3，即可得到∠E＝∠1，从而证得结果. 解析：试题分析：如图，在△ABC中， ∵ AB＝AC，∠A＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠ABC＝∠2＝60°． ∵ BD是中线， ∴ BD是∠ABC的平分线． ∴∠1＝30°． ∵ CE＝CD， ∴∠E＝∠3． ∴∠E＝∠2＝30°． ∴∠E＝∠1． ∴ DB＝DE． 考点：等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质点评：解答本题的关键是熟练掌握有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的顶角平分线、底边上的高、底边的中线重合