数学二真题答案解析 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上.
(1) 当0x +→时,若ln (12)x +α
,1
(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小,则α的取值范
围是( )
(A) (2,)+∞
(B) (1,2)
(C) 1(,1)2
(D) 1
(0,)2
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) sin y x x =+
(B)
2sin y x x =+
(C) 1
sin y x x
=+
(D) 21
sin y x x
=+
(3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( )
(A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥
(B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤
(C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥
(D) 当()0f x ''≥时,
()()f x g x ≤
(4) 曲线22
741
x t y t t ?=+?
?=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( )
(C)
(D)(5) 设函数()arctan f x x =,若()()f x xf '=ξ,则2
2
lim
x x →=ξ
( ) (A)1 (B)
23
(C)
12
(D)13
(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满
足20u x y ?≠??及22220u u x y ??+=??,则 ( )
(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得
(7) 行列式
00
00
000
a
b
a b
c d
c d
= ( )
(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a d b c -
(D) 2222b c a d -
(8) 设123,,ααα均为3维向量,则对任意常数,k l ,向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组
123,,ααα线性无关的 ( )
(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件
(D) 既非充分也非必要条件
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...
指定位置上.
((9) 121
25dx x x -∞=++?__________.
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数,且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈,则(7)f =
__________.
(11) 设(,)z z x y =是由方程227
4
yz e x y z +++=确定的函数,则11(,)22
dz
=__________.
(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ,则L 在点(,)(,)22
r =ππ
θ处的切线的直角坐
标方程是__________.
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.
(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1,则a 的取值范围为_______.
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限121
21lim
.1ln 1x
t x t e t dt x x →+∞
????--?? ?????????+ ?
??
?
(16)(本题满分10分)
已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-,且()20y =,求()y x 的极大值与极小 值.
(17)(本题满分10分)
设平面区域(){
}
22,14,0,0,D x y x y x y =
≤+≤≥≥
计算(
sin D
x dxdy x y
+??
.
(18)(本题满分10分)
设函数()f u 具有二阶连续导数,(e cosy)x
z f =满足22222(4e cos )e x x z z
z y x y
??+=+??,
若'(0)0,(0)0f f ==,求()f u 的表达式. (19)(本题满分10分)
设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续,且()f x 单调增加,0()1g x ≤≤.证明: (I)0(),[,]x
a g t dt x a x a
b ≤≤-∈?,
(II)()()d ()g()b
a a g t dt
b a
a
f x x f x x dx +
?≤?
?
.
(20)(本题满分11分)
设函数[](x),0,11x
f x x
=∈+,定义函数列121()(),()(()),
f x f x f x f f x ==,
1()(()),
n n f x f f x -=,记n S 是由曲线()n y f x =,直线1x =及x 轴所围成平面图形的
面积,求极限lim n n nS →∞
. (21)(本题满分11分)
已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?,且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.
(22)(本题满分11分)
设矩阵123401111203A --?? ?
=- ? ?-??,E 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组0Ax =的一个基础解系;
(II)求满足AB E =的所有矩阵. (23)(本题满分11分)
证明n 阶矩阵111111111?? ? ? ? ???与00100200n ??
? ?
? ???
相似.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个
选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...
指定位置上.
(1) 当0x +→时,若ln (12)x +α,1
(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小,则α的取值范
围是(
)
(A) (2,)+∞
(B) (1,2)
(C) 1(,1)2
(D) 1
(0,)2
【答案】B
【解析】由定义 1000ln (12)(2)lim
lim lim 20x x x x x x x x
-→→→+===αα
αα 所以10->α,故1>α.
当0x +→时,2
1
1
(1cos )~
2x
x -ααα
是比x 的高阶无穷小,所以
2
10->α
,即2<α.
故选B
(2) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
(A) sin y x x =+
(B)
2sin y x x =+
(C) 1
sin y x x
=+
(D) 21
sin y x x
=+
【答案】C
【解析】关于C 选项:11
sin
sin
lim
lim1lim 101x x x x x x x x
→∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==,所以1
sin y x x =+存在斜渐近线y x =. 故选C
(3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( )
(A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥
(B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤
(C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥
(D) 当()0f x ''≥时,
()()f x g x ≤
【答案】D
【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-,则
(0)(1)0F F ==,
()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.
若()0f x ''≥,则()0F x ''≤,()F x 在[0,1]上为凸的.
又(0)(1)0F F ==,所以当[0,1]x ∈时,()0F x ≥,从而()()g x f x ≥. 故选D.
(4) 曲线2
2
7
41
x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( )
(C)
(D)【答案】C 【解析】
1
1
12
'
21
12243221
2t t t t t dy t dx
t
d y dy t dx dx t
=====+=
=-
===-
()
(
)
''
3
3'22
2
1
1
,11y k R k
q y =
=
∴=
=++ 故选C
(5) 设函数()arctan f x x =,若()()f x xf '=ξ,则2
2
lim
x x
→=ξ
( )
(A)1
(B)
23
(C)
12
(D)13
【答案】D
【解析】因为
'2()1()1f x f x ==+ξξ,所以2
()()
x f x f x -=ξ 2
22
2220
00
1
1()arctan 11lim
lim
lim lim
()arctan 33
x x x x x f x x x
x x x f x x x x →→→→-
--+====ξ
故选D.
(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满
足20u x y ?≠??及22220u u
x y ??+=??,则 ( )
(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得
(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得,最大值在D 的边界上取得 【答案】A
【解析】记22222,,,0,,u u u
A B C B A C x x y y
???==
=≠????相反数 则2=AC-B 0?<,所以(x,y)u 在D 内无极值,则极值在边界处取得.
故选A
(7) 行列式
00
00
000
a
b
a b
c d
c d
= ( )
(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d -
【答案】B
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
00
00
0000
000
00
a
b
a
b
a b
a b
a c d c
b
c
d d
c d c d
=-- ()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.
(8) 设123,,a a a 均为三维向量,则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的 ( )
(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件
(D)既非充分也
非必要条件 【答案】A
【解析】()()132312
31001k l k l ??
?
++= ? ???
ααααααα.
)? 记()1323A k l =++αααα,()12
3B =ααα,1001k l ??
?= ? ???
C . 若123,,ααα线性无关,则()()()2r A r BC r C ===,故1323,k l ++αααα线性无关.
)? 举反例. 令30=α,则12,αα线性无关,但此时123,,ααα却线性相关.
综上所述,对任意常数,k l ,向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.
故选A
二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...
指定位置上.
(9) 12125
dx x x -∞=++?__________.
【答案】3
8
π
【解析】 ()111
221111arctan 2522
14132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++????=--= ?????????πππ
(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数,且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈,则(7)f =
__________. 【答案】1
【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈,且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-,
又()22f x x x c =--+且为奇函数,故=0c
()[]222,0f x x x x ∴=--∈-, 又
()f x 的周期为4,()()711f f ∴=-=
(11) 设(,)z z x y =是由方程227
4yz e x y z +++=确定的函数,则11(,)22
dz
=__________.
【答案】1
()2
dx dy -+
【解析】对227
4
yz e x y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导
22210(22)20
yz
yz z z e y x x z z e z y y y y ?????++=????
????+++=????
当11
,22x y ==时,0z =
故
1111(,)(,)22
22
11,
22
z z x
y
??=-=-??
故11(,)22
111
()()222
dz
dx dy dx dy =-+-=-+
(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ,则L 在点(,)(,)22
r =ππ
θ处的切线的直角坐标方程是__________.
【答案】22
y x =-+π
π
【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==??==?
θθθ
θθθ,
于是(),,,22r ??= ???ππθ对应于(),0,,2x y ??
= ???
π
切线斜率cos sin cos sin dy
dy d dx dx d +==
-θθθ
θθθθ
θ
0,22
dy dx ??
???
∴=-
ππ
所以切线方程为()2
02y x -=--ππ
即2=2
y x -+π
π
(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.
【答案】11
20
【解析】质心横坐标()()1
010x x dx x x dx
=??ρρ
()()()()31
1
2
2
1000
42
112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ??-++=-++= ???
??-++=-++= ???????ρρ
11
11
12=5203
x ∴=
(13) 设二次型()22
123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1,则a 的取值范
围_________. 【答案】[]2,2-
【解析】配方法:()()()2
2
222123133233
,,24f x x x x ax a x x x x =+---+ 由于二次型负惯性指数为1,所以240a -≥,故22a -≤≤.
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...
指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
求极限121
21lim
.1ln 1x
t
x t e t dt x x →+∞
????--?? ?????????+ ?
??
?
【解析】11221122d d (e 1)(e 1)lim lim 11
ln(1)x
x
t t x x t t t t t t x x x x
→+∞→+∞????----????????=+?
?? 12
lim[(e 1)]x
x x x →+∞=--
1
2000e 1e 11lim lim lim 222
t t t x
t t t t t t t t +++
=→→→---====. (16)(本题满分10分)
已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-,且()20y =,求()y x 的极大值与极小
值.
【解析】 由221x y y y ''+=-,得
22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程,解的通解为
3311
33
y y x x c +=-+
由(2)0y =得2
3
c =
又由①可得 2
21()1
x y x y -'=+
当()0y x '=时,1x =±,且有:
1,()011,()01,()0
x y x x y x x y x '<-<'-<<>'>< 所以()y x 在1x =-处取得极小值,在1x =处取得极大值
(1)0,(1)1y y -==
即:()y x 的极大值为1,极小值为0. (17)(本题满分10分)
设平面区域(){
}
22,14,0,0,D x y x y x y =
≤+≤≥≥
计算(
sin D
x dxdy x y
+??
.
【解析】D 关于y x =对称,满足轮换对称性,则:
D D
=
12D D I dxdy ∴==????
??
1
sin(2D
dxdy =
?? 220
12
1
1sin 21()cos 4d r rdr
rd r =?=-???π
θππππ
22
111cos |cos 4r r rdr ??=-?-???
??ππ
211121sin |4r ??=-+-????
ππ 34
=-
(18)(本题满分10分)
设函数()f u 具有二阶连续导数,(e cosy)x
z f =满足22222(4e cos )e x x z z
z y x y
??+=+??,
若'(0)0,(0)0f f ==,求()f u 的表达式. 【解析】由()cos ,
x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z z
f e y e y f e y e y x y
??''=?=?-?? 22
(cos )cos cos (cos )cos x x x x x
z f e y e y e y f e y e y x
?'''=??+??, ()()()22
(cos )sin sin (cos )cos x x x x x
z f e y e y e y f e y e y y
?'''=?-?-+?-? 由 ()22222+4cos x x z z
z e y e x y
??=+??,代入得,
()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''?=+
即
()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=,
令cos =,x e y t 得()()4f t f t t ''-=
特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+
设特解*y at b =+,代入方程得1,04a b =-=,特解*1
4y t =-
则原方程通解为()22121
=4
t t y f t c e c e t -=+-
由()()'00,00f f ==,得1211
,1616
c c =
=-, 则 ()22111
=16164
u u y f u e e u -=--.
(19)(本题满分10分)
设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续,且()f x 单调增加,0()1g x ≤≤,证明:(I )0(),[,]x
a g t dt x a x a
b ≤≤-∈?,
(II )()()d ()g()b
a a g t dt
b a
a f x x f x x dx +
?≤?
?
. 【解析】(I )由积分中值定理()()(),[,]x a
g t dt g x a a x =-∈?ξξ
()01g x ≤≤,()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ
()()0x
a g t dt x a ∴≤≤-?
(II )直接由()01g x ≤≤,得到
()()01=x
x
a
a
g t dt dt x a ≤≤-??
(II )令()()()()()u
a u
a g t dt
a
a
F u f x g x dx f x dx +
?=-??
()()()()(
)
()
()()()()
'u
a
u
a F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+???
=-+????
??
由(I )知()()0u a
g t dt u a ≤≤-? ()u
a
a a g t dt u ∴≤+≤?
又由于()f x 单增,所以()()(
)
0u
a
f u f a
g t dt -+≥?
()()'0F u F u ∴≥∴,单调不减,()()0F u F a ∴≥= 取u b =,得()0F b ≥,即(II )成立. (20)(本题满分11分)
设函数[](x),0,11x
f x x
=
∈+,定义函数列
1211()(),()(()),,()(()),
n n f x f x f x f f x f x f f x -===,记n S 是由曲线()n y f x =,直线
1x =及x 轴所围成平面图形的面积,求极限lim n n nS →∞
.
【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x f x f x f x f x x x x nx
=
===++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx
+-∴===++??? 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++?? 211
ln(1)n n n
=-+ ln(1)ln(1)1
lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x →∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足
2(1)f
y y
?=+?,且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.
【解析】因为
2(1)f
y y
?=+?,所以2(,)2(),f x y y y x =++?其中()x ?为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--?,从而
()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.
令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-,当1y =-时,1x =或2x =,从而所求的体积为
()()2
2
2
1
1
22
1
12ln ln 22V y dx x xdx
x xd x =+=-??=- ?
?
????
πππ
2
22112
21ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dx
x x ????
=--- ??????
??
?=--
=-?=- ??
??πππππππ
(22)(本题满分11分)
设矩阵123401111203A --?? ?
=- ? ?-??,E 为三阶单位矩阵.
(I)求方程组0Ax =的一个基础解系;
(II)求满足AB E =的所有矩阵B . 【解析】
()123410012341000111010011101012030010431101A E ----????
? ?
=-→- ? ? ? ?---????
1234100100126101110
10010213100131410013141---???? ? ?
→-→--- ? ? ? ?------????
, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T
=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1T
T
T
e e e ===
1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T
T
x k k k k k =+--=--+-+ξ
2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T T
x k k k k k =+--=--+-+ξ 3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T
T
x k k k k k =+-=--++ξ
123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----?? ?-+-++
?∴= ?-+-++ ? ???
(123,,k k k 为任意常数)
(23)(本题满分11分)
证明n 阶矩阵11111111
1?? ? ? ? ???与00100200n ??
? ?
? ???
相似.
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 (word 版) 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) )若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续,则( ) (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. (2)设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >,则( ) 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件,此时01 10()()f x dx f x dx -=??,排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件,则()112112()2103 f x dx x dx --=-=-?,选B. (3)设数列{}n x 收敛,则( ) ()A 当limsin 0n n x →∞=时,lim 0n n x →∞= ()B 当lim(0n n x →∞+=时,lim 0n n x →∞ = ()C 当2lim()0n n n x x →∞+=时,lim 0n n x →∞= ()D 当lim(sin )0n n n x x →∞+=时,lim 0n n x →∞ =
【答案】D 【解析】特值法:(A )取n x π=,有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==,A 错; 取1n x =-,排除B,C.所以选D. (4)微分方程的特解可设为 (A )22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ (B )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (C )22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ (D )22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为:2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为:***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. (5)设(,)f x y 具有一阶偏导数,且对任意的(,)x y ,都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??,则 (A )(0,0)(1,1)f f > (B )(0,0)(1,1)f f < (C )(0,1)(1,0)f f > (D )(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??>??是关于x 的单调递增函数,是关于y 的单调递减函数, 所以有(0,1)(1,1)(1,0)f f f <<,故答案选D. (6)甲乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:m )处,图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:/m s ),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =,三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为0t (单位:s ),则( ) (A )010t = (B )01520t << (C )025t = (D )025t >
2006年数学(二)考研真题及解答 一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . (2)设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续,则a = . (3)广义积分 22 (1) xdx x +∞=+? . (4)微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定,则0 A dy dx == . (6)设矩阵2112A ?? = ?-?? ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = . 二、选择题 (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在0x 处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则 (A )0.dy y < (B )0.y dy < (C )0.y dy ?<< (D )0.dy y < 【 】 (8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则 ()x f t dt ? 是 (A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数 (C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】 (9)设函数()g x 可微,1() (),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于 (A )ln31-. (B )ln3 1.-- (C )ln 2 1.-- (D )ln 2 1.- 【 】 (10)函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 (A )23.x y y y xe '''--= (B )23.x y y y e '''--= (C )23.x y y y xe '''+-= (D )23.x y y y e '''+-= (11)设(,)f x y 为连续函数,则 1 40 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθ? ?等于
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 当0x +→时,若ln (12)x +α ,1 (1cos )x -α 均是比x 高阶的无穷小,则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1 (,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sin y x x =+ (B) 2 sin y x x =+ (C) 1 sin y x x =+ (D) 21sin y x x =+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数,()(0)(1)(1)g x f x f x =-+,则在区间[0,1]上 ( ) (A) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时,()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时,()()f x g x ≤ (4) 曲线2 2 7 41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 ( ) (A) 50 (B) 100 (C) (D)(5) 设函数()arctan f x x =,若()()f x xf '=ξ,则2 2 lim x x →=ξ ( ) (A)1 (B) 2 3 (C) 12 (D) 13 (6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续,在D 的内部具有2阶连续偏导数,且满足20 u x y ?≠??及22220u u x y ??+=??,则 ( ) (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得 (C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得,最小值在D 的边界上取得
1..【分析】 本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或取对数后转化为隐 函 数 求 导 . 【详解】 方法一: x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +,于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x x x e y x x +? ++?='+, 从而 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 方法二: 两边取对数, )sin 1ln(ln x x y +=,对x 求导,得 x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1++ +=', 于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x x x x y x +? ++?+=',故 π =x dy = .)(dx dx y ππ-=' 【评注】 幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函数,而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为a= ,1) 1(lim )(lim 2 3=+=+∞→+∞ →x x x x x f x x []23)1(lim )(lim 2 32 3 = -+=-=+∞ →+∞ →x x x ax x f b x x , 于是所求斜渐近线方程为 . 23 +=x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这里应注意两点:1) 当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当∞→x 时,极限x x f a x ) (lim ∞ →=不存在,则应进 一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形,即在右或左侧是否存在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只 考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】 作三角代换求积分即可. 【详解】 令t x sin =,则
2017考研数学二真题及答案解析 一、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分) (1)若函数?? ? ??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax x x f 在0=x 处连续,则( ) )(A 21= ab 。 )(B 2 1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。 【答案】)(A 【解】a ax x f x 21 cos 1lim )00(0=-=++→,b f f =-=)00()0(, 因为)(x f 在0=x 处连续,所以)00()0()00(-==+f f f ,从而2 1 = ab ,应选)(A 。 (2)设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ,1)0(-=f ,且0)(>''x f ,则( ) ) (A ? ->1 10)(x f 。 ) (B ? -<1 1 0)(x f 。 )(C ??->10 1 )()(dx x f x f 。 )(D ??-<1 1 )()(dx x f x f 。 【答案】)(B 【解】取12)(2 -=x x f ,显然 ? -<1 1 0)(x f ,应选)(B 。 (3)设数列}{n x 收敛,则 ( ) )(A 当0sin lim =∞ →n n x 时,0lim =∞ →n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞ →n n n x x 时,0lim =∞ →n n x 。 )(C 当0)(lim 2 =+∞ →n n n x x 时,0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时,0lim =∞ →n n x 。 【答案】)(D 【解】令A x n n =∞ →lim ,由0sin )sin (lim =+=+∞ →A A x x n n n 得0=A 。 (4)微分方程)2cos 1(842x e y y y x +=+'-''的特解可设为=* y ( ) )(A )2sin 2cos (22x C x B e Ae x x ++。 )(B )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。 )(C )2sin 2cos (22x C x B xe Ae x x ++。)(D )2sin 2cos (22x C x B xe Axe x x ++。
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析 一、选择题 1.当0→x 时,若x x tan -与k x 是同阶无穷小,则=k A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.)(π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点 A.??? ? ?2,2ππ B.()2,0 C.()2,π D.??? ? ?-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是() A.dx xe x ?+∞ -0 B.dx xe x ? +∞ -02 C. dx x x ? +∞ +0 2 1arctan D. dx x x ? +∞ +0 21 4.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+'' 的值为( ) A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 5.已知积 分区域???? ?? ≤+=2πy x |y ,x D ) (,dxdy y x I D ??+=221, dxdy y x I D ??+=222sin ,(dxdy y x I D )cos 1223??+-=,试比较321,,I I I 的大小 A.123I I I << B.321I I I << C.312I I I << D.132I I I << 6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续,请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是 0)() ()(lim 2 =--→a x x g x f a x 的什么条件 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 7.设A 是四阶矩阵,* A 是A 的伴随矩阵,若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量,则* A 的秩是
1..【分析】本题属基本题型,幂指函数的求导(或微分)问题可化为指数函数求导或 取 对 数 后 转 化 为 隐 函 数 求 导 . 【详解】方法一:x x y )sin 1(+==)sin 1ln(x x e +,于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1ln(x x x x e y x x +? ++?='+, 从而 π =x dy =.)(dx dx y ππ-=' 方法二:两边取对数,)sin 1ln(ln x x y +=,对x 求导,得 x x x x y y sin 1cos )sin 1ln(1+++=', 于是 ] sin 1cos )sin 1[ln()sin 1(x x x x x y x +? ++?+=',故 π =x dy =.)(dx dx y ππ-=' 【评注】幂指函数的求导问题,既不能单纯作为指数函数对待,也不能单纯作为幂函数,而直接运用相应的求导公式. 2..【分析】本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】因为a= ,1) 1(lim )(lim 2 3=+=+∞→+∞ →x x x x x f x x []23)1(lim )(lim 2 32 3= -+=-=+∞ →+∞ →x x x ax x f b x x , 于是所求斜渐近线方程为 . 23 +=x y 【评注】如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这 里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当∞→x 时,极限 x x f a x ) (lim ∞ →=不存在,则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形,即在右或左 侧是否存在斜渐近线,本题定义域为x>0,所以只考虑+∞→x 的情形. 3..【分析】作三角代换求积分即可. 【详解】令t x sin =,则
2017年考研数学二真题 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1 .若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续,则 (A )12ab = (B )1 2 ab =- (C )0ab = (D )2ab = 【详解 】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足11 22 b ab a =?=.所以应该选(A ) 2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=,(0)1f =-,且()0f x ''>,则( ) (A )1 1()0f x dx ->? (B )1 1 ()0f x dx - (C ) 11 ()()f x dx f x dx ->? ? (D )01 1 ()()f x dx f x dx -? 【详解】注意到条件()0f x ''>,则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的,根据凹凸性的定义,显然当[]1,0x ∈-时,()21f x x ≤--,当[]0,1x ∈时,()21f x x ≤-,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导.所以 1 01 1 1 ()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=? ??.所以选择(B ). 当然,如果在考场上,不用这么详细考虑,可以考虑代一个特殊函数2 ()21f x x =-,此时 11011 (),()33 f x dx f x dx -=-=-??,可判断出选项(A ),(C ),(D )都是错误的,当然选择(B ).希望同学们在复习基础知识的同时,掌握这种做选择题的技巧. 3.设数列{}n x 收敛,则 (A )当limsin 0n n x →∞ =时,lim 0n n x →∞ = (B )当lim(0n n x →∞ + =时,lim 0n n x →∞ = (C )当2 lim()0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞ = (D )当lim(sin )0n n n x x →∞ +=时,lim 0n n x →∞ = 【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则,只有(D )是正确的. 其实此题注意,设lim n n x A →∞ =,则 2 2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞ →∞ →∞ →∞ ==+=++=+ 分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时,发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯
推荐:考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α ,α 1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( ) (A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2 11 21 1x x ~)cos (-是α2阶无穷小,由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是 (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1sin += (D )x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y = 应该选(C ) 3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹 的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D ) 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当
2014年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分. 1.当+→0x 时,若)(ln x 21+α ,α1 1)cos (x -均是比x 高阶的无穷小,则α的可能取值范围是( ) (A )),(+∞2 (B )),(21 (C )),(121 (D )),(2 10 【详解】α ααx x 221~)(ln +,是α阶无穷小,ααα2 11 211x x ~)cos (-是α2阶无穷小,由题意可知?????>>121 α α 所以α的可能取值范围是),(21,应该选(B ). 2.下列曲线有渐近线的是 (A )x x y sin += (B )x x y sin +=2 (C )x x y 1sin += (D )x x y 12 sin += 【详解】对于x x y 1sin +=,可知1=∞→x y x lim 且01 ==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ,所以有斜渐近线x y = 应该选(C ) 3.设函数)(x f 具有二阶导数,x f x f x g )())(()(110+-=,则在],[10上( ) (A )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≥ (B )当0≥)('x f 时,)()(x g x f ≤ (C )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≥ (D )当0≥'')(x f 时,)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法. 【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断. 显然 x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程.故当0≥'')(x f 时,曲线是凹 的,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D ) 【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话,可令 x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=,则010==)()(F F ,且)(")("x f x F =,故当0≥'')(x f 时,曲线是凹的,从而010==≤)()()(F F x F ,即0≤-=)()()(x g x f x F ,也就是)()(x g x f ≤,应该选(D )
1997年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 已知2 (cos ), 0, (), x x x f x a x -?≠?=? =??在0x =处连续,则a = . (2) 设y =则0x y =''= . (3) = . (4) 2 48 dx x x +∞=++? . (5) 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)t ααα=-==--的秩为2,则t = . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设0x →时,tan x x e e -与n x 是同阶无穷小,则n 为 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (2) 设在区间[,]a b 上()0,()0,()0,f x f x f x '''><>记12(),()()b a S f x dx S f b b a = =-? , 31 [()()]()2 S f a f b b a =+-,则 ( ) (A) 123S S S << (B) 231S S S << (C) 312S S S << (D) 213S S S << (3) 已知函数()y f x =对一切x 满足2()3[()]1x xf x x f x e -'''+=-,若00()0(0),f x x '=≠ 则 ( ) (A) 0()f x 是()f x 的极大值 (B) 0()f x 是()f x 的极小值 (C) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点 (D) 0()f x 不是()f x 的极值,00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点 (4) 2sin ()sin ,x t x F x e tdt π += ? 设则()F x ( )
https://www.wendangku.net/doc/9512421017.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ; ; ; , 因此(D)是收敛的。 综上所述,本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限,直接有 , 在处无定义, 且所以是的可去间断点,选B。 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数, ().若在处连续,则 (A) (B) (C) (D)【答案】A
https://www.wendangku.net/doc/9512421017.html,/ 【解析】易求出 , 再有 不存在,, 于是,存在,此时. 当时,, = 不存在,, 因此,在连续。选A 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续,其 二阶导函数的图形如右图所示, 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续,除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个,如上图所示,A点两侧恒正,对应的点不是拐点,B点两侧 异号,对应的点就是的拐点。 虽然不存在,但点两侧异号,因而() 是的拐点。 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性,曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足,则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2 (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫x 2 =2√x|2+∞ =+∞; ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx) =1 2(lnx)2 | 2 +∞=+∞; ∫1xlnx +∞ 2dx =∫1 lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞; ∫x e x +∞2 dx =?∫x +∞ 2 de ?x =?xe ?x |2+∞ +∫e ?x +∞2 dx =2e ?2?e ?x |2 +∞ =3e ?2, 因此(D)是收敛的。 综上所述,本题正确答案是D 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2 t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+ sin t x ?1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义, 且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点,选B 。 综上所述,本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={ x αcos 1x β ,x >0, 0,x ≤0 (α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续,则 (A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0<α?β≤2 【答案】A 【解析】易求出 f′(x )={αx α?1cos 1 x β+βx α?β?1sin 1 x β,x >0, 0,x ≤0 再有 f +′(0 )=lim x→0 + f (x )?f (0) x =lim x→0 + x α?1 cos 1 x β={0, α>1, 不存在,α≤1, f ?′(0)=0 于是,f ′(0)存在?α>1,此时f ′(0)=0. 当α>1时,lim x→0 x α?1cos 1 x β=0, lim x→0 βx α?β?1 sin 1 x β={0, α?β?1>0, 不存在,α?β?1≤0, 因此,f′(x )在x =0连续?α?β>1。选A 综上所述,本题正确答案是C 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念,函数的左极限和右极限
中业考研数学二真题及答案解析-精品 2020-12-12 【关键字】条件、领域、矛盾、充分、统一、研究、位置、需求、关系、满足 2016年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1 )设( ) ( 1231,1,1a x a a ===.当0x +→时,以上3个无穷小量按照从低阶到高 阶的排序是 (A )123,,a a a (B )231,,a a a (C )213,,a a a (D )321,,a a a (2)已知函数()()21,1 ln ,1 x x f x x x -?=? ≥??,则()f x 的一个原函数是( ) ()()()()()()()()()()()()()()()()22 22 1,11,1 ln 1,1ln 11,1 1,11,1 ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ??-<-?==?? -≥+-≥??????-<-?==?? ++≥-+≥???? (3)反常积分①1 21,x e dx x -∞?②1 201x e dx x +∞?的敛散性为 (A )①收敛②收敛 (B )①收敛②发散 (C )①收敛②收敛 (D )①发散②发散 (4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续,其导函数的图形如图所示,则 (A )函数()f x 有2个极值点,曲线()y f x =有2个拐点 (B )函数()f x 有2个极值点,曲线()y f x =有3个拐点 (C )函数()f x 有3个极值点,曲线()y f x =有1个拐点 (D )函数()f x 有3个极值点,曲线()y f x =有2个拐点
2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析 一、选择题:(本题共10小题,每小题4分,共40分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1- [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式,尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量,再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x + → 时,有1(1)~-=-- 1~ ; 211 1~ .22 x -= 利用排除法知应选(B). (2) 函数11()tan ()() x x e e x f x x e e += -在[,]ππ-上的第一类间断点是x = (A) 0. (B) 1. (C) 2 π - . (D) 2 π . [ A ] 【分析】 本题f (x )为初等函数,找出其无定义点即为间断点,再根据左右极限判断其类型。 【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点,即间断点为x =0,1,.2 π± 又 111 10 ()tan tan lim lim 1(1)1() x x x x x x e e x x e e x x e e e e - - →→++=?=?-=---, 111 10 ()tan tan lim lim 111() x x x x x x e e x x e e x x e e e e + + →→++=?=?=--, 可见x =0为第一类间断点,因此应选(A). (3) 如图,连续函数y =f (x )在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0 ()(). x F x f t dt =? 则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =- -. (B) 5 (3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4 5 )3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义,应注意f (x )在不同区间段上的符号,从而搞清
考研数学二真题及答案 解析 Revised as of 23 November 2020
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题:(1~8小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是 符合题目要求的。) (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2 (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1 xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。 【解析】题干中给出4个反常积分,分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x 2 =2√x|2 +∞ =+∞; ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx)=1 2(lnx)2| 2 +∞=+∞; ∫1xlnx +∞2dx =∫1 lnx +∞2 d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞; ∫x e x +∞2 dx =?∫x +∞ 2 de ?x =?xe ?x |2+∞+∫e ?x +∞2 dx =2e ?2?e ?x |2 +∞ =3e ?2, 因此(D)是收敛的。 综上所述,本题正确答案是D 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限,直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+ sin t x ?1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义, 且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点,选B 。 综上所述,本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1 x β,x >0, 0,x ≤0 (α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续,则
2020考研数学二真题及解析完整版 来源:文都教育 一、选择题:1~8小题,第小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.0x + →,下列无穷小量中最高阶是( ) A.( ) 2 0e 1d x t t -?B.(30 ln d x t t ?C.sin 20 sin d x t t ? D. 1cos 30 sin d t t -? 答案:D 解析:A.( ) 2 32001~3 x x t x e dt t dt -= ??B.(3 5 322002ln 1~5 x x t dt t x =??C.sin 223001sin ~3 x x t dt t dt x =??D.2 3 1 1cos 3220 sin ~x tdt t dt -??2512 20 25 x t =5 225 2152102 x ??== ???2.11 ln |1| ()(1)(2) x x e x f x e x -+=--第二类间断点个数() A.1 B.2 C.3 D.4 答案:C 解析:0,2,1,1x x x x ====-为间断点
1111 0000ln |1|ln |1|ln |1|lim ()lim lim lim (1)(2)222x x x x x e x e x e x e f x e x x x ----→→→→+++===-=----0x =为可去间断点1 1 2 2ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→→+==∞ --2x =为第二类间断点11 1 1 ln |1| lim ()lim 0 (1)(2)x x x x e x f x e x -- -→→+==--11 1 1 ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x ++ -→→+==∞--1x =为第二类间断点111 1ln |1| lim ()lim (1)(2) x x x x e x f x e x -→-→-+==∞ --1x =-为第二类间断点 3. 1 (1) x x x x = -? A. 2π4B.2π8C.π4D.π8 答案:A 解析: 1 (1) x x x x -? 令u x =,则 原式= 1 2 2 d (1) u u u u -?
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上.) (1) 已知当0x →时,()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则( ) (A) 1,4k c ==. (B) 1,4k c ==-. (C) 3,4k c ==. (D) 3,4k c ==-. (2) 已知()f x 在0x =处可导,且()00f =,则()()23302lim x x f x f x x →-=( ) (A) ()20f '-. (B) ()0f '-. (C) ()0f '. (D) 0. (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+. (B) ()x x ax e e λλ-+. (C) ()x x x ae be λλ-+. (D) 2()x x x ae be λλ-+. (5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数,满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==,则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''>< (6) 设40ln sin I x dx π=?,4 0ln cot J x dx π =?,40ln cos K x dx π=?,则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<. (B) I K J <<. (C) J I K <<. (D) K J I <<. (7) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵,记11001 10001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ?= ? ??? ,则A =( ) (A) 12PP . (B) 112P P -. (C) 21P P . (D) 121P P -. (8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T 是方程组
2006年数学(二)考研真题及解答 一、填空题 (1)曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . (2)设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续,则a = . (3)广义积分 22 (1)xdx x +∞=+? . (4)微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . (5)设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定,则0 A dy dx == . (6)设矩阵2112A ?? = ?-?? ,E 为2阶单位矩阵,矩阵B 满足2BA B E =+,则B = . 二、选择题 (7)设函数()y f x =具有二阶导数,且()0,()0f x f x '''>>,x ?为自变量x 在0x 处的增量,y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则 (A )0.dy y < (B )0.y dy < (C )0.y dy ?<< (D )0.dy y < 【 】 (8)设()f x 是奇函数,除0x =外处处连续,0x =是其第一类间断点,则 ()x f t dt ? 是 (A )连续的奇函数. (B )连续的偶函数 (C )在0x =间断的奇函数 (D )在0x =间断的偶函数. 【 】 (9)设函数()g x 可微,1() (),(1)1,(1)2g x h x e h g +''===,则(1)g 等于 (A )ln31-. (B )ln3 1.-- (C )ln 2 1.-- (D )ln 2 1.- 【 】 (10)函数212x x x y C e C e xe -=++满足一个微分方程是 (A )23.x y y y xe '''--= (B )23.x y y y e '''--= (C )23.x y y y xe '''+-= (D )23.x y y y e '''+-=