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复数的有关概念_0

复数的有关概念

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教学目标

（1）掌握，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学建议

（一）教材分析

1、知识结构

本节首先介绍了，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的

概念．

2、重点、难点分析

（1）正确复数的实部与虚部

对于复数，实部是，虚部是．注意在说复数时，一定有，否则，不能说实部是，虚部是，复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住这一标准形式以及是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

（2）正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

①设，则为实数

②为虚数

③且。

④为纯虚数且

（3）不能乱用复数相等的条件解

题．用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

（4）在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数都可以由一个有序实数对( )唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对( )叫做复数的．

②复数用复平面内的点Z( )表示．复平面内的点Z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是．由于=0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者就是纵轴的单位长度．

③当时，对任何，是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数．但当时，是实数．所以，纵轴去掉原点

后称为虚轴．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

④复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．要学生注意．

（5）关于共轭复数的概念

设，则，即与的实部相等，虚部互为相反数（不能认为与或是共轭复数）．

教师可以提一下当时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当时，与互为共轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行．

（6）复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘是二维数，其几何意义是一个点，因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．

教学目标

1．了解复数的实部，虚部；

2．掌握复数相等的意义；

3．了解并掌握共轭复数，及在复平面内表示复数．

教学重点

复数的概念，复数相等的充要条件．

教学难点

用复平面内的点表示复数Ｍ．

教学用具：直尺

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习提问：

1．复数的定义。

2．虚数单位。

二、讲授新课

1．复数的实部和虚部：

复数中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。

2．复数相等

如果两个复数与的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等。

即：的充要条件是且。

例如：的充要条件是且。

例1：已知其中，求x与y。

解：根据复数相等的意义，得方程组：

∴

例2：m是什么实数时，复数，

(1) 是实数，(2)是虚数，（3）是纯虚数。

解：

(1) ∵时，z是实数，

∴，或。

(2) ∵时，z是虚数，

∴，且

(3) ∵且时，

z是纯虚数。∴

3．用复平面（高斯平面）内的点表示复数

复平面的定义

建立了直角坐标系表示复数的平面，叫做复平面．

复数可用点来表示．（如图）其中

x轴叫实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴，表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x 上，不在虚轴上．

4．复数的几何意义：

复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的．

5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。（虚部不为零也叫做互为共轭复数）

（2）复数z的共轭复数用表示．若，则：；

（3）实数a的共轭复数仍是a本身，纯虚数的共轭复数是它的相反数．

（4）复平面内表示两个共轭复数的点z与关于实轴对称．

三、练习1，2，3，4。

四、小结：

1．在理解时应注意：

（1）明确什么是复数的实部与虚部；

（2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求；

（3）弄清复平面与复数的几何意义；

（4）两个复数不全是实数就不能比较大小。

2．复数集与复平面上的点注意事项：

（1）复数中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。

（2）复平面内的点Z的坐标是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是i。

（3）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上。

（4）复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应：

五、作业1，2，3，4，

六、板书设计：

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负数知识点

负数知识点集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）

负数知识点整理 1、0℃表示淡水开始结冰的温度，不是表示没有温度。 2、比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前加负号“—”。如，—3℃表示零下3摄氏度，表示比0℃低3℃，读作负三摄氏度。比0℃高的温度叫零上温度，在数字前加正号“+”，一般情况下可省略不写。如，+3℃表示零上3摄氏度，表示比0℃高3℃，读作正三摄氏度，也可以写成3℃，读作三摄氏度。 3、0℃是零上温度和零下温度的分界点。 4、正数：我们以前所学的15，1000，，8.7，…这样的数叫做正数。正数前面也可以加“+”号，也可省去。+8.75读作：正八点七五；+ 读作：正八分之五；正八十写作：+80；八十写作：80。正数包括正整数、正分数、正小数。 5、负数：为了表示相反意义的量，我们引入了一种新的数——负数，如：—14，—400，—， —0.8…。—读作：负九分之五；—8.5读作：负八点五；负八十写作：—80。负数包括负整数、负分数、负小数。 6、0既不是正数，也不是负数。它是正数与负数的分界点。 7、正数和负数是表示相反意义的两个量。通常把上升、增多、提高、收入、零上温度等记作正数，如：上升4m，记作：+4m.。而把下降、减少、降低、支出、零下温度等记作负数，如：支出300元，记作：—300元。 8、在直线上表示数时要规定起点或原点（用0表示）、正方向（用向右的箭头表示）和单位长度。用有正数和负数的直线可以表示距离和相反的方向。 9、任何一个数都可以用直线上的一个点表示，反过来，直线上任何一点都表示一个数。

复数的知识点总结与题型归纳

复数的知识点总结与题型归纳一、知识要点 1．复数的有关概念我们把集合C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位．全体复数所成的集合C 叫做复数集．复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．对于复数z ＝a ＋b i ，以后不作特殊说明都有a ，b ∈R ，其中的a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部．说明： (1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a ＋b i(a ，b ∈R)的形式，其中0＝0＋0i. (2)复数的虚部是实数b 而非b i. (3)复数z ＝a ＋b i 只有在a ，b ∈R 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 2．复数相等在复数集C ＝{}a ＋b i|a ，b ∈R 中任取两个数a ＋b i ，c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，我们规定：a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d . 3．复数的分类对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i 可以分类如下：复数z ????? 实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数). 说明：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

4．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b ) (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→. 5．复数的模 (1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)．说明：实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数． 6．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i. 7．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 8．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为OZ 1――→，OZ 2――→，则复数z 1＋z 2是以OZ 1――→，OZ 2――→为邻边的平行四边形的对角线OZ ――→ 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量OZ 1――→与OZ 2――→ 的终点并指向OZ 1――→ 的向量所对应的复数．它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．

高考数学复数知识点、公式

数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: 它的平方等于-1，即21 i=- 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实 a bi a b R 部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,) =+∈ z a bi a b R 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b a bi a b R ∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 即使是3,62 ++也没有大小。 i i 如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 10.复数z1与z2的乘法运算律：z1·z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

《复数》知识点总结

《复数》知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

《复数》知识点总结 1、复数的概念形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+ （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算（1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++；（2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++；（3）除法运算：2222 ()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++；（4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈ （5）22||||z z z z == 3、规律方法总结（1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b （2）复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数

复数的概念5

复数的概念 1、复数1z ＝3＋i ，2z =1－i,则21z z z ?=在复平面内对应的点位于（） A 第一象限内 B 第二象限内 C 第三象限内 D 第四象限内 2、若复数z 满足i z z 2110||-=-，则z ＝（） A －3＋4i B －3－4i C 3－4i D 3＋4i 3、设z 为复数，则“|z|=1”是“z z 1 +∈R ”的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 不充分不必要条件 4、复数)2(sin cos 1παπαα<

高中数学复数专题知识点整理

专题二复数【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+ （1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 【3】复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=?≠+，当c d a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解

(完整版)数系的扩充与复数的引入知识点总结,推荐文档

数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念 (1)复数:形如的数叫做复数，和分别叫它的实部和虚部. (,)a bi a R b R +∈∈a b (2)分类:复数中,当,就是实数; ,叫做虚数;当时,叫做 (,)a bi a R b R +∈∈0b =0b ≠0,0a b =≠纯虚数. (3)复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. 即：如果：，那么：，特别地: . ,,,a b c d R ∈=+=+b=d a c a bi c di ????(4)共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. 即：=+=-(,) z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义（１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法. （２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）；向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即.３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设则 12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈ 12()()z z a c b d i ±=±+± 12()()z z ac bd ad bc i ?=-++

复数的概念人教版

1 复数的概念【学习目标】 1．理解复数的概念． 2．掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件． 3．掌握复数相等的概念及其应用，了解不全是实数的两个复数不能比较大小．【学习障碍】 1．对虚数单位i 的理解不深导致概念理解不透． 2．应用复数概念时，没有掌握好数集的结构． 3．应用复数相等，联立方程组求解变量时，没有注意变量的取值范围、取舍等问题．【学习策略】 1．在处理复数有关判断问题时，通常采用特例法，帮助理解复数概念． 2．在应用复数相等的条件时，思维过程要严密，要保证实部、虚部有意义，充分掌握好数集结构．对于复数f (m )＋g (m )i 有如下判断： (1)表示实数：g (m )＝0 (2)表示纯虚数：f (m )＝0且g (m )≠０ (3)虚数：g (m )≠０ 3、要注意变量取值范围，比如：对数式中应真数大于0；分式分母不为0；无理式中开偶次方根的被开方数大于等于0．【例题分析】［例1］判断各式的对错． (1)若z ∈C ，则z 2≥0 (2)若a >b ，则a ＋i >b ＋i (3)若z 1，z 2∈C ，且z 1－z 2>0，则z 1>z 2 分析：虚数与实数的一个重要区别：虚数不能比较大小，因此，不等式的性质在复数集中部分不适用．方法：特例法——除解决复数问题，在解决不等式、三角函数等有关问题，也常采用特例法．解：(1)z 2≥0，当且仅当z ∈R 时成立．如设z ＝i ，则z 2＝－1<0，故(1)错 (2)因a >b ，故a 、b ∈R ，故a ＋i 与b ＋i 都是虚数，不能比较大小，故(2)错 (3)反例：设z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，满足z 1－z 2>0，但z 1，z 2不能比较大小，故(3)错［例2］已知复数z ＝(1＋i )m 2＋(5－2i )m ＋6－15i ，实数m 分别为何值时， ①z 是实数；②z 是虚数；③z 是纯虚数分析：本题直接考查数集的分类：复数a ＋bi (a ，b ∈R )?? ??????≠=≠=非纯虚数纯虚数虚数实数 0 0 0 0a a b b 在判断一个复数类型时，首先一定要分清所给复数的实部和虚部．方法：如学习策略2，联立方程组或不等式组．解：z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ∵m ∈R ，∴z 的实部m 2＋5m ＋6，虚部m 2－2m －15 (1)由m 2－2m －15＝0(m ∈R )∴m ＝5或m ＝－3，∴当m ＝5或m ＝－3时，z 为实数 (2)由m 2－2m －15≠0(m ∈R )∴m ≠5且m ≠－3， ∴当m ≠5且m ≠－3时，z 为虚数

(完整版)复数知识点归纳

精心整理页脚内容复数【知识梳理】一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x = 2（1①a z =（2例题：注意：三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==? bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_ b a z z +=? 四、复数的几何意义 1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

精心整理页脚内容 2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点 ①位于第三象限；②位于直线x y =上（2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数 3、复数的模：向量OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算（1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2221)()()()())(())(d c i a d bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 六、常用结论（1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i 求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i （2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=- （3）1)2321(3=±-i ，1)2 321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )

人教版六年级数学下册第一单元负数知识点

负数一、负数的定义 1、以前所学的所有数（0除外）都是正数，也就是说正数前面的“+”是可以省略不写的！ 2、负数的定义：在正数前面加上“-”就是负数。 3、负数前面必定有“-”如果前面不是“-”（可能没有符号或者是“+”）都是正数（0除外）。 4、0既不属于正数，也不属于负数，它是正数和负数的分界。二、负数的作用 1、负数是在人为规定正方向的前提下出现的。 2、负数常用来表示和正数意义相反的量。 3、在选择用正数还是负数表示时，首先看是否规定了正方向。 4、一般含有褒义的量用正数表示，含有贬义的量则用负数表示。例：零上5°用+5℃表示；零下5°用-5℃表示。收入2000元用+2000元表示；支出500元用-500元表示。练习： 1、如果﹢20%表示增加20%，那么﹣20%表示什么？ 2、某日傍晚，黄山的气温由上午的零上2摄氏度下降了7摄氏度，这天傍晚黄山的气温是_摄氏度。 3、正常水位为0，水位高于正常水位0.2记作____________，低于正常水位0.3米记作_____________。正常水位为5米，现在水位为6.3m记作，低于正常水位2.5m记作。 4、按照要求回答：一个学生演示，教师提出要求规定向前走为正。（1）向前走2步记作_________________。（2）向后走5步记作________________。 5、看图答题与北京时间相比，东京时间早1小时，记为+1时；巴黎时间晚7个小时，记为－7时。以北京时间为标准，表示出其他时区的时间。悉尼时间：____________ 伦敦时间：_____________ 6、判断题（1）0可以看成是正数，也可以看成是负数（）（2）海拔－155米表示比海平面低155米（）（3）如果盈利1000元，记作＋1000元，那么亏损200元就可记作－200元（）（4）温度0℃就是没有温度（） 7、常见负数的意义（1）地图上的负数：中国地形图上，可以看到我国有一座世界最高峰—珠穆朗玛峰，图上标着8848，在西北部有一吐鲁番盆地，地图上标着－155米，你能说说8848米，－155米各表示什么吗？这两个高低是以谁为标准的？（2）收入与支出收入：2600元，（）教育支出：300元（）娱乐支出：500元（）。（3）电梯间的负数－3层是什么意思？是以谁为标准的？ 8、以学校为起点，往东走为正，往西走位负，小明从学校走了+50m，又走了-100m，这时小明离学校的距离是（）。

1-1复数的基本概念

§1.1 复数的基本概念授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系 1、复数的定义：设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++ 乘法：()(),,(,) a b c d ac bd ad bc =-+ 则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b 其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为 a =Re α， b =Im α 纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有 α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1）其中(0，1)即为虚数单位，常记为i. 2、复数的相等与大小两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等. 复数不能比较大小！这一点可用反证法证明：假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即 20i > 即 -1>0，这显然是错误的！ 3、几个特殊的复数： (0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=??=? (1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b = (0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1 (0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1) 4、共轭复数：(,)a b α=，* (,)a b α=-互为共轭复数性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）

*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα?=+，为非负实数（α的模方） 5、复数的减法、除法减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d ++-+-==+++-++ ↑“分母实数化” 6、复数的几何表示：（1）任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一矢量（如右图所示）（2）加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则） γαβ=+ （3）减法的几何表示：

(完整版)复数知识点总结

复数一、复数的概念 1. 虚数单位i （1）它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式． 2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部 3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等 4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-．性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ?=?； );0()( 22121 ≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示 1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴． 2. 复数的坐标表示点(,)Z a b 3. 复数的向量表示向量OZ uuu r ． 4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ u u u r 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算

1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义：设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ，则 12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++u u u u r u u u u r ．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释． 2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义：设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =u u u u r ，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =u u u u r ，则 12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--u u u u r u u u u r u u u u r ． 12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z u u u u r 的模． 3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±. 4. 乘方 m n m n z z z +?= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ?=? 5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+= ==++-+. 6. 复数运算的常用结论（1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+ （2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=- （3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i -=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ?=?， 1122z z z z ??= ???，z z =．（5） 2 z z z ?=， z z = （6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ?=?，1212z z z z ?=?，n n z z = 四、复数的平方根与立方根

高中数学必备知识点复数知识点的归纳

2013高中数学必备知识点复数知识点的归纳复数在数学领域中起着举足轻重的地位，学好复数，自然而然也变得尤为重要。以下是关于复数的一些基本知识，让我们一起来了解下吧。定义数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数（complex number)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a，b是任意实数）我们将复数z=a+bi中的实数a 称为复数z的实部（real part)记作Rez=a 实数b称为复数z的虚部（imaginary part）记作 Imz=b. 已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。运算法则加法法则复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。即 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = ?1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。即（a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 除法法则复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，即 (a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则若z^n=r(cosθ+isinθ），则 z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3……n-1）用心爱心专心- 1 -

复数的定义

第十四章复数一、复数的概念 1. 虚数单位：i 规定：（1）21i =-；（2）虚数单位i ，可以与实数进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法，乘法运算律仍然成立。 2. 复数:形如a bi +，,a R b R ∈∈的数叫做复数，a 叫实部，b 叫虚部。 3. 复数集：所有复数构成的集合，复数集{},,C x x a bi a R b R ==+∈∈. 4. 分类：0b =时为实数；0b ≠时为虚数，0,0a b =≠时为纯虚数，且R üC . 5. 两个复数相等：a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈ 例1 下面五个命题 ①34i +比24i +大； ②复数32i -的实部为3，虚部为2i -； ③1Z ,2Z 为复数，120Z Z ->，那么12Z Z >；④两个复数互为共轭复数，则其和为实数； ⑤两个复数相等：a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈. 例2 已知：(1)(1),Z m m i m R =++-∈求Z 为（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数时，求m 的值。例3 已知2226()x y i y x i +-=+-，求实数,x y 的值。二、复数的几何意义：,,,Z a bi a R b R =+∈∈与点(,)a b 一一对应。 1.复平面：x 轴叫实轴；y 轴叫虚轴。x 轴上点为实数，y 轴上除原点外的点为纯虚数。 2.Z a bi =+；连接点(,)a b 与原点，得到向量OZ ,点(,)Z a b ，向量OZ ，Z a bi =+之间一一对应。 3.模：2Z a bi OZ a =+== 注：Z 的几何意义：令(,)Z x yi x y R =+∈,则Z =Z 的点到原点的距离就是Z 的几何意义；12Z Z -的几何意义是复平面内表示复数1Z ，2Z 的两点之间的距离。

学习知识资料讲解复数(基础学习知识)

高考总复习：复数【考纲要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件； 2.了解复数的代数表示形式及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对的复数用代数形式表示。 3.会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体相加、相减的几何意义. 【知识网络】【考点梳理】考点一、复数的有关概念 1.虚数单位i : （1）它的平方等于1-，即2 1i =-；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；（3）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（4）i 的周期性：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-（*n N ∈）. 2. 概念

形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部。说明：这里,a b R ∈容易忽视但却是列方程求复数的重要依据。 3.复数集全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 4.复数与实数、虚数、纯虚、0的关系：对于复数z a bi =+（,a b R ∈），当且仅当0b =时，复数z a bi a =+=是实数；当且仅当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当且仅当0a =且0b ≠时，复数z a bi bi =+=叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，复数0z a bi =+=就是实数0. 所以复数的分类如下: z a bi =+（,a b R ∈）?(0)(0)00b b a b =?? ≠?=≠?实数；虚数当且时为纯虚数 5.复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。即：如果,,,a b c d R ∈，那么a bi c di a c b d +=+?==且. 特别地: 00a bi a b +=?==. 应当理解: （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样. （2）复数相等的充要条件是将复数转化为实数解决问题的基础. 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。 6.共轭复数：两个复数的实部相等，而且虚部相反，那么这两个复数叫做共轭复数。即：复数z a bi =+和z a bi a bi =+=-（,a b R ∈）互为共轭复数。考点二：复数的代数表示法及其四则运算 1.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即a bi +（,a b R ∈），把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式。 2.四则运算

复数知识点精心总结

复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.

数系的扩充和复数的概念

《数系的扩充和复数的概念》教学设计 1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念以及符号表示； 3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念； 4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．【教学难点】复数概念的理解．【教学过程】 1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数整数有理数无理数实数 2．提出问题我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 3．组织讨论，研究问题我们说，实系数一元二次方程没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1． 4．引入新数，并给出它的两条性质根据前面讨论结果，我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：（1）；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．有了前面的讨论，引入新数，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是）． 5．提出复数的概念根据虚数单位的第（2）条性质，可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成这样，数的范围又扩充了，出现了形如的数，我们把它们叫做复数．全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有： N* N Z Q R C．【巩固练习】下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数，由复数z＝a＋bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值．

复数的基本概念与基本运算

复数的基本概念与基本运算一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）；(2)复数的代数表示与向量表示；(3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方；(4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。二、考试要求（1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换；（2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义；（3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法．（4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力．（5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育．三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三

角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1．知识体系表解 1 1/16页2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：．abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页复数 z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，，向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，），，，，1313?,,,，i、,,,,i