第四章流体动力学

第四章 流体动力学

2、为何提出“平均流速”的概念？

3、举例说明连续性方程的应用。

本次课内容引出

§4-1流体的运动微分方程

一、理想流体的运动微分方程

讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。

如图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。

在x 轴方向 x x

ma F

=∑

可得

x x ma dydz x p p dydz dx x p p dG =??? ?

?

??+-??? ????-+2121

因为 dt

du a dt u

d a x x ==, ，dt du a dt du a z z y y ==, 图3.4.1 微元六面体流体质点

所以流体微元沿x 方向的运动方程为

dt

du dxdydz dxdydz x p

Xdxdydz x ρρ=??-

整理后得

dt

du x p X x

=

??-

ρ1 同理，y 轴方向 dt

du y p Y y

=??-ρ1 z 轴方向 dt

du z p Z z

=??-

ρ1 ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。

如果流体处于平衡状态，则 0===dt

du dt du dt du z

y x

欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。

一、 粘性流体的运动微分方程

与欧拉方程的推导类似，这里要考虑作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。

如图所示，在流体中取一六面体微团，其边长分别为dx ，dy ，dz 。

作用于该微元体上的力: 1.表面力：法向应力，

切向应力。

每一侧面上的切应力可沿两座标轴方向分解，因而在每个侧面上的面力有三个分力： 一个法向应力，两个切向应力，构成点的应力张量，共有九个分量：

第一个下标：切应力所处于的坐标面，第二个下标：切应力的方向 上列九个应力分量，并不完全是独立的。其中六个切向应力，两两相等，即

实际上应力张量中只有六个分量是独立的.

2.质量力

ｘ方向的平衡方程：

稍加整理，消去ρdxdydz 得ｘ方向的方程式，同理可得ｙ方向和ｚ方向的方程式

这就是应力形式的粘性流体运动微分方程

讨 论

1、方程中未知函数:三个速度分量和六个应力分量，加上连续性方程，只有四个方程，

方程组不封闭。 2.若要求解，需补充方程。

3.应力与变形速度之间是否有某种关系？

流体力学中实验证明，流体微团上的应力与微团的变形速度成正比。例如由最简单的牛

??

??

?

?????z zy

zx yz y

yx xz xy

x p p p ττττττ?

?

??

?

===xz zx zy yz yx xy ττττττk Z j Y i X F

++=

顿平板剪流试验得知：

Ｎ－Ｓ方程的矢量形式：

可压缩流体：

讨论

1.方程的求解：三个速度和压力，加上连续性方程，方程封闭。但由于数学上的困难，至今不能求得解析解。

2.方程为偏微分方程，求解时应给定边界条件和初始条件。

3.与理想流体不同，在物面上为无滑移条件（法向速度为零，切向速度为零）。

§4-2 元流伯利努方程

一、伯利努方程的推导

积分的前提条件：

（1）流体是均匀不可压缩的，即 c =ρ

（2）定常流动，即0=??=??=??t u t u t u z y x

0=??t p

（3）质量力定常而有势，设W =W （x 、y 、z ）是质量力的势函数，则 x W

X ??=

y W Y ??= z W Z ??=

Zdz Ydy Xdx dz z

W

dy y W dx x W dW ++=??+??+??=

（4）沿统线积分，由于是定常流动，流线与迹线重合，则

dt dx

u x =

dt dy u y =

dt

dz u z = 在上述四个条件的限制下，将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以dx 、dy 、dz ，然后相加，

进行整理并沿一条流线进行积分，最后可得

c u p

W =--2

2

ρ ★★★

——理想流体运动微分方程的伯努利积分。 它表明：对于不可压缩的理想流体，在有势质量力的作用下作定常流动时，处于同一流线上

的所有流体质点，其函数)2

(2

u p

W --ρ之值均是相同的。对于不同流线上的流体质点来说，

图3.4.2 不同流线上的)2

(2

u p

W --

ρ值 伯努利积分函数)2

(2

u p

W --ρ的值一般是不同的，如图所示。 伯努利方程：表示流体运动所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。 两种情况：（1）流体所受质量力只有重力； （2）流体所受质量力为重力和离心力。 1、质量力只有重力

此时 g

Z Y X -===,0,0 则 gdz Zdz Ydy Xdx dW -=++=

积分得 gz W -=

代入★式，对单位重量流体而言，可得到常数=++2

2

u p

z γ

对于同一流线上的任意两点1、2，有

2

22

2

22211

1u p z u p z ++=++γγ=常数

——理想流体微小流束的伯努利方程， 遵循能量守衡与转换定律。 当流体处于静止状态时，u =0。则 常数=+

γ

p

z

所以，流体静力学基本方程是伯努利方程的一个特例。

另外，理想流体微小流束的伯努利方程还可简单地利用理论力学或物理学中的动能定理推导得出。

二、伯努利方程的意义

1、物理意义（能量意义）理想流体微小流束伯努利方程中的三项g

u p z 22

、、γ分别表示单位重量流体的三种不同形

式的能量。

Z ——比位能；γp ——比压能；g u 22——比动能；γ

p

z +——比势能；g u p z 22++γ—

—总比能。

由伯努利方程可知：单位重量的理想流体沿流线运动时，其携带的总能量在所流经的路程上任意位置时总是保持不变的，但其位势能、压力势能和动能是可以相互转化的。

2、几何意义

z ——位置水头；曲线AB ——位置水头线；

γ

p

——压强水头；曲线CD ——测压管水头线。 g

u 22

——速度水头。 直线EF ——总水头线。

理想流体伯努利方程式的几何意义——理想流体沿流线运动时，其位置水头、压强水头、速度水头可能有变化或三个水头之间相互转化，但其各水头 图 3.6.1 理想流体伯努利方程的几何意义

之和总是保持不变，即理想流体各过水断面上的总水 头永远是相等的。

如果用H 表示各项水头之和，即总水头，则

g

u p

z H 22

++=γ

§4-3总流伯努利方程

讨论实际流体的伯努利方程，前提：运动流体所受 图3.7.1 实际流体伯努利方程的几何意义

质量力只有重力，流体的运动是定常流动。

一、实际流体伯努利方程式的建立

1、 实际流体微小流束的伯努利方程

微小流束见图3.7.1。设'

l h 为单位重量流体从断面1—1流动到断面2—2所损耗的机械能，即能量损失，称水头损失。则

'2

2

22211

122l h g

u p z g u p z +++=++γγ ★★★

——实际流体微小流束的伯努利方程。

实际流体的总水头线沿着流体的流动路程是一条下降的曲线。而不象理想流体水头线是一条水平线。

2、实际流体总流的伯努利方程 区别：微小流束：dA 很小，在

同一dA 上，各流体质点的z 、p 、

u 等物理量可以看作是相同的;总

流：A 为有限大，在同一A 上，各流体质点的z 、p 、u 等物理量之值变化较大。 微小流束→总流

①急变流和缓变流

急变流——流线的曲率半径r 很小， 图3.7.2 急变流与缓变流 流线之间的夹角β很大的流动。

缓变流——流线的曲率半r 无限大，流线之间的夹角β无限小，即流线接近于平行直线流动。

在缓变流段中，过水断面上压强的分布遵循重力场中流体静力学规律，即

c =+

γ

p

z （证明略）

所以，应将伯努利方程中的过水断面取在缓变流段中。

在不同的缓变流过水断面上γ

p

z +

有不同的常数值，即

图3.7.3 缓变流断面

1

1

1c p z =+

γ

22

2c p z =+

γ

② 实际流体总流的伯努利方程

讨论如何把实际流体微小流束的伯努利方程→总流的缓变流断面上→实际流体总流的伯努利方程。

假定：流体是不可压缩的实际流体，并且作定常流动，其中任一微小流束的伯努利方程为

'2

2

22211

122l h g

u p z g u p z +++=++γγ

——单位重量流体能量的变化关系。

如图所示，假设单位时间内流过微小流束断面1—1和2—2的流体重量为γdQ ，用γ

dQ 乘上式各项，得其能量关系为

'22

22211

122l dQh dQ g

u dQ p dQ z dQ g u dQ p dQ z γγγγγγγγγ+++=++

将上式沿总流相应的过水断面1A 和2A 对流量进行积分，

??

?

??

??+++=++g

l g

g

g

g

g

g

dQh dQ g

v dQ p dQ z dQ g

v dQ p dQ z '

2

2

22

22

111

122γγαγγ

γγαγγ

γ

即

?????++

+

=+

+

2

22'22

32222

22

11

31111

11

2)(2)(A l A A A A dA u h dA u g dA u p z dA u g dA u p z γγ

γ

γγ

γ

γ

（a ）因为c p

z =+

γ

=常数，所以

Q p

z udA p

z udA p

z A

A

γγ

γ

γγ

γ

)()()(+

=+

=+

??

(b)

Q g

v A v g

dA u g A

γααγ

γ

2223

2

3

=

=?----单位时间内通

过总流过水断面的流体动能的总和。

α——动能修正系数

A

v dA u E E A

v u 3

3?==α

图3.7.4 微小流束和总流

α取决于u 在A 上的分布。α一般大于1，如果流速分布较均匀时10.105.1-=α。在圆管层流动动中2=α。工程实际中的紊流运动常取1=α。

γ

l A

l Qh udA h γ=?

'——流体由1A 流至2A ，因克服摩擦阻力而损失的机械能。

Q

udA

h h A

l l γ?

=

' ——单位重量流体的平均能量损失，

将上面三项积分分别代回原式, 两边同时除以

Q γ，就得出总流的伯努利方程为

l h g

v p z g

v p z ++

+

=+

+

2222

22

22

111

1αγ

αγ

——重力场中实际流体总流的伯努利方程，是工程流体力学中最重要的方程之一。 总流伯努利方程的限制条件：

a 流体为不可压缩的实际流体；

b 流体的运动为定常流动；

c 流体所受质量力只有重力；

d 所选取的两过水断面必须处在缓变流段中；

e 总流的流量沿程不变； g 除L h 了外，总流没有能量的输入或输出。 使用伯努利方程时的注意事项：

a 方程中1z 、2z 的基准面可任选，但必须选择同一基准面，一般使0≥z ;

b 1A 、2A 必须取在缓变流段中，在1A 、2A 之间是否为缓变流，则无关系；

c 方程中的压强1p 和2p ，即可用绝对压强，也可用相对压强，但等式两边的标准必须一致；

d 当0=l h 时，方程变为理想流体总流的伯努利方程。

当流体为气体时，由于气体在流动时，重度γ是个变量，如果不考虑内能的影响，伯努利方程为 l h g

v p z g

v p z ++

+

=+

+

222

2

22

2

22

111

1

1αγαγ

☆☆矿井中的通风过程就属于这种情况，如果γ变化不大，也可直接使用原式。 当在两个过水断面之间通过泵、风机或水轮机等流体机械，有机械能的输入或输出时，伯努利方程变为

l h g

v p z E g

v p z ++

+

=±+

+

2222

22

22

111

1αγ

αγ

E ——输入或输出的能量，使用泵或风机对系统输入能量时，E 前冠以正号；使用水轮机，由系统输出能量时，E 前冠以负号。☆

例题3－1 由一高位水池引出一条供水管路AB ，如图所示。已知：流量Q ＝0.034m 3/s ；管路直径D ＝0.15m ；压力表读数P b ＝4.9×104N/m 2；高度H ＝20m ，试计算水流在管路AB 段的水头损失。

图3.7.5 高位水池及供水管路 图3.7.6 气体集流器

例题3－2如图所示为测量风机流量常用的集流器装置示意图。其入口为圆弧形或圆锥形，已知直管内径D ＝0.3m ，气体重度γa ＝12.6N/m 3，在距入口直管段D/2处（即过水断面2－2位置）安装静压测压管，测得Δh ＝0.25m 。试计算此风机的风量Q 。

本次课小结： 4—5微小流束的伯努利方程及其总流的伯努利方程公式形式 ；定常流动

0=dt

u

d ，为什么伯努利方程成立？ 4—6 理想流体运动微分方程的形式及其伯努利积分的具体条件；

4—7画图说明理想流体微小流束的伯努利方程的表达式及其物理意义和几何

意义；实际流体微小流束伯努利方程的表达式及其物理意义和几何意义；实际流体总流伯努利方程的表达式及其物理意义和几何意义；伯努利方程的实质是什么？

课后思考题：1、定常流动0=dt

u

d ，为什么伯努利方程成立？

2、伯努利方程的实质是什么？

作业 习题：4—13、4—14 思考题：4—6 2、伯努利方程在日常生活中有哪些应用，举例说明？ 3、孔口管嘴在日常生活中的应用？ 本次课内容引入

§4-5恒定流动总流的动量方程

☆☆讨论运动流体与固体边界面上的相互作用力，例如：流体在弯曲管道内流动，弯管

的受力情况；水力采矿时，高压水枪射流对水枪、对矿床的作用力；火箭飞行过程中，从火箭尾部喷射出的高温高压气体对火箭的反推力等等。这类问题，需应用运动流体的动量

方程来分析。 一、动量方程

从物理学知，运动物体的动量为 v m

根据质点系动量定理：

用符号

表示动量，即

，则

——流体作定常流动时的动量方程。

图示一弯管，其中的流体作定常流动，在总流中任意取一微小流束1－2，并取过水断面1－1、2－2间的流束段进

行研究。 图3.8.1 流束动量变化

即

'

'1122---=K K

对不可压缩流体

，则微小流束的动量方程为

将上式推广到总流中去，则得

由定常流动总流的连续性方程，有

因为u 在A 上分布难以确定，所以用v 代换u ，有

式中

、

——动量修正系数，其实验值为1.02~1.05，工程计算上取

＝

＝1。

整理可得 ——理想流体定常流动总流的动量方程。其物理意义是：作用在所研究的流体上的外力矢量和等于单位时间内流出与流入的动量之差。

作用在流体上的外力：流束段1－2的重力G

，两过水断面1－1、2-2上的压力

、

，边界面上所受表面压力的总值

。上式也可写为

其分量式为：

确定流体与固体边界之间的作用力，上述方程是一个重要方程。

二、动量方程的应用

图3.8.2 流体作用于弯管上的力

（1）流体作用于弯管上的力

图示一弯管，沿x 轴、y 轴的动量方程为

∑∑-=+--=-=--=)

(sin )(cos 1222122211y y y y

x x x x v v Q R G A p F

v v Q R A p A p F ρθρθ

所以

θ

ρθθρθsin sin )cos (cos 222122211Qv G A p R v v Q A p A p R y x ++=---=

则 j

R i R R R R R y x y

x +=+=2

2

R 的方向为 x

y

R R arctg =α 流体对弯管的作用力，与R 是一对作用力和反作用力，大小与R 相等,方向与R

相反。

（2

）射流作用在固定平面上的冲击力

流体从管嘴喷射出而形成射流。如射流在同一大气压强之下，并忽略自身重力，则作用在流体上的力，只有固定平面对射流的阻力，它与射流对固定平面的冲击力构成一对作用力和反作用力。

图示固定平板与水平面成θ角，流体从喷嘴射出，射流的动量为

dt )(d 002211R v m v m v m

=-+

x 轴方向的动量方程为 dt )sin (d 0R mv -=-θ

即 θρθsin sin 2

00

0v A mv R ==

射流对平板的冲击力 /

R =-R

当θ＝900

时 2

00/v A R ρ-=

如果平板不固定，沿射流方向以速度u

运动，则射流对移动平板的冲出力为

200/)(u v A R --=ρ

（3）射流的反推力我们知道，火箭飞行的根本动力是火箭内部的燃料发生爆炸性燃烧，产生大量高温高压的气体，从尾部喷出形成射流，射流对火箭有一反推力，使火箭向前运动。下面我们具体讨论反推力的计算。

图示装有液体的容器测壁开一小孔，流体便从小孔流出形成射流，则射流速度为

gh v 2=

图3.8.3 射流对固定平面的冲击力 图3.8.4 射流反推力在x 轴方向上，

流体动量对时间的变化率为

2Av Qv dt

dK

ρρ== 则射流给容器的反推力x F （其大小与x R 相等，方向与x R

相反）为

2Av F x ρ-=

如果容器与底面间无摩擦，可沿x 轴自由运动，那么容器在反推力x F 的作用下，将沿与射流相反的方向运动，这就是射流的反推力。火箭、喷气式飞机、喷水船等都是借助这种反推力而工作的。

二、动量矩方程

要确定运动流体对固体边界面或某点的力矩时用动量矩方程。例如离心式水泵、风机、

汽涡轮机及水轮机等流体机械，其叶轮流道中的流体，由于随叶轮转动，所以流体对转轴的力矩必须用动量矩方程解决。

为了说明问题的方便，先简单介绍控制体及流体系统等概念。

从物理知，作用在物体上的力F

对某一点或某一转轴的力矩为

其中

为转动中心到作用力F 的距离。当质量为m 的物体以速度 运动时具有动量为v m ，该物体对某点或某一转动轴的动量矩（也称角动量）为

其中 为转动中心到物体的距离。并且力矩 等于该物体对同一转动中心或转轴的

动量矩对时间的变化率，即

——动量矩定理。

动量矩定理在运动流体中的推广应用：

由上节的动量方程

得

即

——定常流动微小流束的动量矩方程。 总流的动量矩方程

这就是说，外界作用在流体系统上的力对某一点

的力矩矢量和，等于单位时间内从控制面流出的动量矩与流入的动量矩之差。

动量矩方程的一个最重要的应用：导出叶片式

流体机械（泵、通风机、水轮机、及涡轮机等）的基本方程。现以离心式水泵或风机为例进行推导。

图示流体从叶轮的内边缘流入，经叶片流道从外

缘流出。流体质点的绝对速度 等于其相对速度w

与牵连速度c 的矢量和，则 c w u

+= 图 叶轮进出口速度图

离心式水泵或风机的进出口处速度u 、w 、c

三者之间的关系如图a 所示。

利用动量矩方程式得∑-=)cos cos (111222ααρr u r u Q M

设叶轮转动的角速度为ω，1

1

22r c r c ==ω，单位时间内叶轮对流体做的功（输入功率）为

∑-==)cos cos (111222ααρωc u c u Q M N

则单位重量流体获得的能量为 )cos cos (1

111222ααc u c u g

H -=

如用1t u 、2t u 表示进出口处流体质点的切向速度，111cos αu u t =，222cos αu u t =，则

)(1

1122c u c u g

H t t -=

这就是离心水泵与风机等涡轮机械的基本方程，它首先是欧拉在1754年得到的，因此也称欧拉方程。

如果流体从叶轮外缘流入内缘流出，则其基本方程为

)cos cos (1

222111ααc u c u g

H -=

或 )(1

2211c u c u g

H t t -=

作业： 4—13、4—14

思考题：4—6、总流的动量方程为

()∑-=1012

02v αv α

ρQ F ，试问：

（1）∑F 中包括那些力？（2）在水平面xoy 坐标中和在铅垂面xoz 坐标中，∑F 是否相等？（3）

如果由总流动量方程求得的力为负值，说明什么问题？

流体动力学基础复习思考题

第四章 流体动力学基础 复习思考题 1. 在 流动中，伯努利方程不成立。D (A) 恒定 (B) 理想流体 (C) 不可压缩 (D) 可压缩 2. 在总流伯努利方程中，速度 v 是 速度。B (A) 某点 (B) 断面平均 (C) 断面形心处 (D) 断面上最大 3. 文透里管用于测量 。D (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 4. 毕托管用于测量 。A (A) 点流速 (B) 压强 (C) 密度 (D) 流量 5. 密度 ρ = 800kg/m 3 的油在管中流动，若压强水头为2m 油柱，则压强为 N/m 2。C (A) 1.96×104 (B) 2×103 (C) 1.57×104 (D) 1.6×103 6. 应用总流能量方程时，两断面之间 。D (A) 必须是缓变流 (B) 必须是急变流 (C) 不能出现急变流 (D) 可以出现急变流 7. 应用总流动量方程求流体对物体合力时，进、出口的压强应使用 。B (A) 绝对压强 (B) 相对压强 (C) 大气压强 (D) 真空值 8. 伯努利方程中 g v p z 22 αγ++表示 。B (A) 单位质量流体具有的机械能 (B) 单位重量流体具有的机械能 (C) 单位体积流体具有的机械能 (D) 通过过流断面的总机械能 9. 粘性流体恒定总流的总水头线沿程变化规律是 。A (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 10. 粘性流体恒定总流的测压管水头线沿程变化规律是 。D (A) 沿程下降 (B) 沿程上升 (C) 保持水平 (D) 前三种情况都有可能 11. 动能修正系数α = 。C (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 12. 动量修正系数α0 = 。B (A) A v u A A ??d 1 (B) A v u A A ????? ??d 12 (C) A v u A A ????? ??d 13 (D) A v u A A ????? ??d 14 13. 描述不可压缩粘性流体运动的微分方程是 。D (A) 欧拉方程 (B) 边界层方程 (C) 斯托克斯方程 (D) 纳维—斯托克斯方程 14. 恒定水流运动方向应该是： 。D (A) 从高处向低处流 (B) 从压强大处向压强小处流 (C) 从流速大的地方向流速低的地方流 (D) 从单位重量流体机械能高的地方向低的地方流 15. 欧拉运动微分方程式 。D (A) 适用于不可压缩流体，不适用于可压缩流体 (B) 适用于恒定流，不适用于非恒定流 (C) 适用于无旋流，不适用于有旋流 (D) 适用于上述所提及的各种情况下的流动。 16. 两艘平行行驶的船只，为什么不能靠得太近？ 17. 理想流体运动微分方程的伯努利积分和欧拉积分有何区别？ 18. 粘性流体运动微分方程和理想流体微分方程主要差别是什么？ 19. N-S 方程适用范围是什么？各项的物理意义是什么？

李玉柱流体力学课后题答案-第四章

第四章 流体动力学基础 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为1/7 max /2/2u B y u B -??= ??? ，0y ≥ 总流的动能修正系数为何值? 解：1 7 2max max 012728 2B A A B y v ud u dy u B A B ??- ?=== ????? 因为31.0A A u d A v α???≈+ ??? ? u u v ?=-所以 1 7 22 33821.0 1.01 1.0572B B A A B y u v d dy B A v B α-????-- ??? ?≈+ =+?-= ? ? ??? ????? ?? 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度00.03m δ=，平均流速V 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。试求(1)在倾斜角45θ=o 处的平均流速V ；(2)该处的水股厚度δ。 解：（1）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V=? 45sin 8 =11.31m/s （2）水股厚度由流量守恒可得：VD D V δδ=000，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以00 0.038 0.02111.31 V V δδ?= = =m 。 4-3 如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V 2=20m/s ，管径d 1＝0.1m ，管嘴出口直径d 2＝0.05m ，压力表断面至出口断面高差H ＝5m ，两断面间的水头损失为210.5(/2)V g 。试求此时压力表的读数。

解：取压力表处截面为截面1-1，收缩管嘴处截面为截面2-2，选择两截面包围的空间为控制体，由实际流体的恒定总流能量方程得：

工程流体力学答案(陈卓如)第四章

［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。试证明所测流速 ρ ρρ-=12gh v ［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程： g p g V z g p g V z ρρ2222121122++=++ （1） 其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。 因流体在点1处滞止，故：01=V 又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v = 将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得： ()??????-+-=g p p z z g v ρ21212 （2） 再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121 将以上条件代入（2）式得：ρρρ-= 12gh v 证毕。 ［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。不计损失，求2d 。 ［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g p g v z g p g v z ρρ2222121122++=++ （1） 题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得： 2211A v A v = （2）

其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积： 4211d A π=，4222d A π= （3） 方程（1）可改写为： ()g p p g v z z g v ρ2121212222-++-= （4） 根据题意：021=-p p ，h z z =-21 （5） 将（5）代入（4），得：g v h g v 222122+= （6） 再由（2）和（3）式可得：44 2222 11d v d v ππ= 所以：222112d d v v = （7） 将（7）式代入（6）得：g v h g d d v 2221424121 += 整理得：2 12142412v v gh d d += 14212122d v gh v d += （8） 将m m 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h ，2m 8.9=g 代入（8）式，得： ()mm 236m 236.03.036 8.96364 2==?+?=d ［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式()22211y h y y h =+。（此题陈书2y 的标注有误） ［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为： 112gh v =

第4章流体动力学基础

第四章 流体动力学基础 本章在流体运动学的基础上，加进动力学因素，对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程 — N-S 方程。对理想流体运动微分方程 —— 欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程 —— 伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量方程。 §4—1运动流体的应力状态 ● 在静止流体里，无论是理想还是粘性流体，流体质点只能承受压应力，即静水压强。 任一点上的静水压强与作用方向无关，只是位置的函数。这说明静止流体的应力状态可由一个静压强（数量场）来描述。 ● 在运动的流体中，既可能有压应力又可能有切应力。把流体在运动状态下的压应力叫 做动水压强，以示与静水压强的区别。 ● 在运动的理想流体里，由于没有粘滞性的作用，虽有质点的相对运动，也不会有切应 力，因此理想流体中只有动水压强，而且可用分析静水压强特性的同样方法推证：任一点的动水压强在各方向上的大小都相等，和静水压强有同样的特性。 ● 在运动的实际流体中，由于粘滞性作用，既有压应力又有切应力。任意一点处的应力 是矢量，而且还与作用面方向有关。所以把法向为n 的作用面上的应力矢量表示为 ),,,(t z y x p n ，这里我们定义法线的正方向为受力面的外法向，即法向应力为正表示流体 受拉。应力矢量的分量形式为),,(nz ny nx p p p ，其中每一个分量的两个脚标的含义是：前一个表示作用面方向；后一个表示应力分量之投影方向。由此，也可知 xy p 等的含义。 ● 由如下九个量组成的二阶张量，称为应力张量，记为 ??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx p p p p p p p p p ][P 主对角线上的三个元素是法应力分量，其它是切应力分量。可以证明这个张量是对称的，所以它只有六个独立的分量。 ● 有了应力张量[P ]，任意方位作用面上的应力都可知道，为：][P ?=n p n ，如法向为n 的 作用面上应力的y 方向的分量为 z zy y yy x xy ny n p n p n p p ++= ● 运动流体中的每一点都对应一个应力张量，有了这个应力张量，即可知道该点处任意方位作用面上的应力，可见运动流体的应力状态可由应力张量来描述。 ● 应力张量主对角线上三个元素之和 zz yy xx p p p ++ 是坐标变换中的不变量，即其值不随 坐标轴的转动而改变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之和都是相同的。于是可定义 )(3 1 zz yy xx p p p p ++-= 为流体的动压强。它由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意p 并非任意方位作用面上真正的压应力nn p -. ● 各向同性的不可压缩牛顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系：

工程流体力学(孔珑版)第四章_题解

第四章 流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设， 222,y x y y x v x ， 2 22,y x x y x v y 代入流线的微分方程 t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x x y y x d d y y x x d d y y x x d d C y x 222 1 21'22C y x 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v 32 3 1 （1）问属于几维流动（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为 k y x v j y x v i y x v v z y x ,,, (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设， 2,xy y x v x (2) 33 1 ,y y x v y (3) xy y x v z , (4) 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x (5)

5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y (6) 3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z (7) 将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得 31621313144 xy a x 332 2313155 y a y 31621323233 xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 式。 图4-28 习题4-15示意图 【解】 列1-1、2-2断面的能量方程： w a a h g p z g v g p z g v 222 2 21121 122 (1) 不计损失，h w =0，取α1=α2=1，则 g p z g v g p z g v 222 2112122 (2)

第4章 流体动力学基础

第4章 流体动力学基础 4.1 重度γoil =8.82kN/m 3的重油，沿直径d =150mm 输油管路流动，现测得其重量流量Q G =490kN/h ，问它的体积流量Q V 及平均流速v 各为若干？ 解：体积流量33 490kN/h 55.56m /h 8.82kN/m G v Q Q γ = = =, 平均流速2 2155.561 0.873m/s 36000.15/43600 4 v Q v d ππ= ? =?= 4.2 如图所示，水流过长直圆管的A 、B 两断面，A 处的压头比B 处大45m ，试问：(1)水的流动方向？(2)水头损失f h ？设流动不可压，一维定常流，H =50m 。（压头为p /γ） 解：（1）假定流体从A 到B ，伯努利方程22 1 122 1222f p u p u z z h g g γγ++=+++ 流动不可压缩，一维定常流，则1 2 12f p p z z h γ γ + =+ + 水头损失1 2 125m<0f p p h z z γ γ =-+- =-，则表明流体的流动是从B 到A （2）水头损失f h =5m 4.3 水银压差计连接在水平放置的汾丘里流量计上，如图。今测得其中水银高差h =80mm,已知D =10厘米，d =5厘米，汾丘里流量计的流量系数μ=0.98。问水通过流量计的实际流量为若干？ 题4.2图 题4.3图 解：由文丘流量计流量公式2 111 2 1 2(1)1d g h Q Au A γαγ?==--得 2 3 2212 2 11 22(1)(1)0.0201m /s 14 1d d g h D g h Q A γγπαγαγ??=-=-=-- 其中2 212()4d A D A d α= ==，22211113.613.61 g g γρργρρ====

李玉柱流体力学课后题答案第四章

第四章 流体动力学基础 u B / 2 y 1/ 7 4-1 设固定平行平板间液体的断面流速分布为 ， y 0 u max B / 2 总流的动能修正系数为何值 ? B 1 1 B y 7 7 解： A ud A 2 2 2 u max dy u max v B 0 B 8 A 2 因为 1.0 3 u d u u 所以 A A A v v 1 3 u v 3 8 B 7 B y 2 1.0 A d A 1.0 2 1 dy 1.05 v B B 7 B A 2 2 4-2 如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度 0.03m ，平均流速 0＝8m/s ，假设此射流受重力作用而向下弯曲， 但其水平分速保持不变。 试求 (1) V 在倾斜角 45 处的平均流速 V ；(2)该处的水股厚度 。 解：（1）由题意可知：在 45 度水流处，其水平分速度仍为 8m/s,由勾股定理 可得： V= 8 =11.31m/s sin 45 （ 2）水股厚度由流量守恒可得： 0V 0 D 0VD ，由于缝狭长，所以两处厚 度近似相等，所以 V 0.03 8 V 0.021m 。 11.31 4-3 如图所示管路， 出口接一收缩管嘴， 水流射人大气的速度 V 2=20m/s ，管 径 d 1＝0.1m ，管嘴出口直径 d 2＝ 0.05m ，压力表断面至出口断面高差 H ＝ 5m ，两断面间的水头损失为 0.5(V 12 / 2g ) 。试求此时压力表的读数。

第四章流体动力学

第四章 流体动力学 2、为何提出“平均流速”的概念？ 3、举例说明连续性方程的应用。 本次课内容引出 §4-1流体的运动微分方程 一、理想流体的运动微分方程 讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。 如图所示，根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。 在x 轴方向 x x ma F =∑ 可得 x x ma dydz x p p dydz dx x p p dG =??? ? ? ??+-??? ????-+2121 因为 dt du a dt u d a x x ==, ，dt du a dt du a z z y y ==, 图3.4.1 微元六面体流体质点

所以流体微元沿x 方向的运动方程为 dt du dxdydz dxdydz x p Xdxdydz x ρρ=??- 整理后得 dt du x p X x = ??- ρ1 同理，y 轴方向 dt du y p Y y =??-ρ1 z 轴方向 dt du z p Z z =??- ρ1 ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。 如果流体处于平衡状态，则 0===dt du dt du dt du z y x 欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。 一、 粘性流体的运动微分方程 与欧拉方程的推导类似，这里要考虑作用于流体微团上的力有：质量力、压力，粘性切应力。 如图所示，在流体中取一六面体微团，其边长分别为dx ，dy ，dz 。 作用于该微元体上的力: 1.表面力：法向应力， 切向应力。 每一侧面上的切应力可沿两座标轴方向分解，因而在每个侧面上的面力有三个分力： 一个法向应力，两个切向应力，构成点的应力张量，共有九个分量：

流体力学习题及答案-第四章

第四章 流体动力学基本定理及其应用 4-1 欧拉运动微分方程和伯努利方程的前提条件是什么，其中每一项代表什么意义？ 答：（1）欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用，其矢量表达式为： ()p f v v t v ?-=??+??ρ 1ρρρρ 其物理意义为：从左至右，方程每一项分别表示单位质量理想流体的局部惯性力、迁移惯性力、质量力和压力表面力。 （2）伯努利方程的应用前提条件是：理想流体的定常运动，质量力有势，正压流体，沿流 线积分。单位质量理想流体的伯努利方程的表达式为： C gz p =++ρ 2V 2，从左至右方程每项分别表示单位质量理想流体的动能、压力能和位能，方程右端常数称流线常数，因此方程表示沿流线流体质点的机械能守恒。 4-2 设进入汽化器的空气体积流量为s m /15.0Q 3 =，进气管最狭窄断面直径D=40mm ，喷油嘴直径d=10mm 。试确定汽化器的真空度。又若喷油嘴内径d=6mm ，汽油液面距喷油嘴高度为50cm ，试计算喷油量。汽油的重度3 /7355m N =γ。 答：（1）求A 点处空气的速度： 设进气管最狭窄处的空气速度为1v ，压力为1p ，则根据流管的连续方程可以得到： () Q v d D =-1224 1 π， 因此：() 2 214d D Q v -= π。 （2）求真空度v p 选一条流线，流线上一点在无穷远处F ，一点为A 点；并且： 在F 点：0F p p =，0F =v ； 在A 点：?1A ==p p ，1A v v =。 将以上述条件代入到伯努利方程中，可以得到：

g v p p 202 11 +=+γγ 因此真空度为： ()() 222222221101 842121d D Q d D Q v p p p v -?=??????-==-=πρπρρ 若取空气的密度为3 /226.1m kg =ρ，那么计算得到： () Pa p v 32 22221095.901.004.01 14.315.0226.18?=-???=。 （3）求喷油量： 设喷油嘴处汽油的速度为2v ，并设空气的密度为1ρ，重度为1γ，汽油的重度为2γ。选一条流线，流线上一点为上述的A 点，另一点为汽油液面上的B 点；并且： 在A 点：2 101A 2 1v p p p ρ- ==，?2A ==v v ，m cm h z 5.050A ===； 在B 点：0B p p =，0B =v ，0B =z ； 代入到伯努利方程中，可以得到： 002211202 2 2102++=++ ??? ??-γργp h g v v p ； 整理得到： gh v v 22 12 122-= γγ； 因此汽油喷出速度为： gh v v 22 12 12-= γγ； 其中空气重度3 11/1281.9226.1m N g =?==ργ；() 2 214d D Q v -=π，并注意到喷油嘴的 直径是6mm ，而不是原来的10mm ，则计算得到： () s m v /817.381 .9366.245.081.92006.004.014.315.016735581.9226.12 222 2=-=??--????=

流体力学第四章习题答案

第四章习题答案 选择题（单选题） 4.1等直径水管，A-A 为过流断面，B-B 为水平面，1、2、3、4为面上各点，各点的流动参数有以下关系：（c ） （a ）1p =2p ；（b ）3p =4p ；（c ）1z + 1p g ρ=2z +2p g ρ；（d ）3z +3p g ρ=4z +4p g ρ。 4.2伯努利方程中z +p g ρ+2 2v g α表示：（a ） （a ）单位重量流体具有的机械能；（b ）单位质量流体具有的机械能；（c ）单位体积流体具有的机械能；（d ）通过过流断面流体的总机械能。 4.3水平放置的渐扩管，如忽略水头损失，断面形心点的压强，有以下关系：（c ） p p 2 （a ）1p >2p ；（b ）1p =2p ；（c ）1p <2p ；（d ）不定。 4.4黏性流体总水头线沿程的变化是：（a ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。 4.5黏性流体测压管水头线的沿程变化是：（d ） （a ）沿程下降；（b ）沿程上升；（c ）保持水平；（d ）前三种情况都有可能。 4.6平面流动具有流函数的条件是：（d ）

无黏性流体；（b ）无旋流动；（c ）具有速度势；（d ）满足连续性。 4.7一变直径的管段AB ，直径A d =0.2m ，B d =0.4m ，高差h ?=1.5m ，今测得A p =302 /m kN ，B p =402/m kN ， B 处断面平均流速B v =1.5s m /.。试判断水在管中的流动方向。 解： 以过A 的水平面为基准面，则A 、B 点单位重量断面平均总机械能为： 4 2 323010 1.0 1.50.40 4.89210009.80729.8070.2A A A A A p v H z g g αρ???? =++=++?= ?????（m ） 232 4010 1.0 1.51.5 5.69210009.80729.807 B B B B B p v H z g g αρ??=++=++=??（m ） ∴水流从B 点向A 点流动。 答：水流从B 点向A 点流动。 4.8利用皮托管原理，测量水管中的点速度v 。如读值h ?=60mm ，求该点流速。

第四章 流体动力学

3－22 管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D ＝100mm 和d ＝30mm ，如通过的流量为0.02m 3/s ，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。 已已知知：：D=100mm ，d=30mm ，Q=0.02m 3/s ，p m2=0。 解析：由连续性方程，得 m /s 55.21.014.302 .0442 21=??== D Q u π

m /s 31.2803 .014.32 22=?== d u π 列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 2 221m12121u u p ρρ=+ 22221222122m1 N/m 8.397476)55.231.28(10002 1)(212121=-??=-=-=u u u u p ρρρ 3－23 水管直径50mm ，末端的阀门关闭时，压力表读数为21kN/m 2，阀门打开后读数降至5.5kN/m 2，如不计管中的压头损失，求通过的流量。 已已知知：：d=50mm ，p 0=21kN/m 2，p=5.5kN/m 2。 解析：列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 2 02 1u p p ρ+= 则 m /s 568.510 10)5.521(2) (23 3 0=?-?=-=ρ p p u 流量为 /s m 011.0568.505.014.34 1 41322=???== u d Q π 3－24 用水银压差计测量水管中的点速度u ，如读数Δh ＝60mm ，求该点流速。 已已知知：：Δh=60mm 。 解析：根据题意，由流体静力学方程，得 h g h p p ?ρρ?γγ)()(0-=-=-汞汞 列伯努利方程，基准面取在管轴线上，得 2 02 1u p p ρ+= 则 m /s 85.310 06.01081.9)16.13(2)(2) (23 30=???-?=-= -= ρ ?ρρρ h g p p u 汞 3－25 流量为0.06m 3/s 的水，流过如图所示的变直径管段，截面①处管径d 1＝250mm ，截面②处管径d 2＝150mm ，①、②两截面高差为2m ，①截面压力p 1＝120kN/m 2，压头损失不计。试求： (1)如水向下流动，②截面的压力及水银压差计的读数； (2)如水向上流动，②截面的压力及水银压差计的读数。 已已知知：：Q=0.06m 3/s ，d 1=250mm ，d 2=150mm ，H=2m ，p 1=120kN/m 2。 解析：(1) 由连续性方程，得 m /s 223.125.014.306 .0442 211=??== d Q u π

工程流体力学(孔珑版)第四章-题解

工程流体力学(孔珑版)第四章-题解

第四章 流体运动学和流体动力学基础 【4-2】 已知平面流动的速度分布规律为 j y x x i y x y v 2 22222+++-=πΓπΓ 式中Γ为常数。求流线方程并画出若干条流线。 【解】 由题设，()222,y x y y x v x +-=πΓ，()2 22,y x x y x v y +=πΓ 代入流线的微分方程 ()() t z y x v y t z y x v x y x ,,,d ,,,d = 得 2 22 22d 2d y x x y y x y x += +- πΓπΓx y y x d d -=y y x x d d -=??-=y y x x d d C y x +-=222 1 21'22C y x =+ 【4-4】 已知流场的速度分布为 k xy j y i xy v +-=32 3 1 （1）问属于几维流动？（2）求（x , y , z ）=（1, 2, 3）点的加速度。 【解】 （1）由于速度分布可以写为 ()()()k y x v j y x v i y x v v z y x ,,,++= (1) 流动参量是两个坐标的函数，因此属于二维流动。 （2）由题设， ()2,xy y x v x = (2) ()331 ,y y x v y -= (3) ()xy y x v z =, (4)

()()()() 43222232223 10 23 1 031d d xy xy y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a x z x y x x x x x =+?-+=??+??-??+??=??+??+??+??== (5) () 5233333233 10 31 003131313131d d y y y y z xy y y y y x xy y t z v v y v v x v v t v t v a y z y y y x y y y =+-?-+=??? ??-??+??? ??-??-??? ??-??+??? ??-??= ??+??+??+??= = (6) ()()()()3 32323 20 3 1 031d d xy x y y xy xy z xy xy y y xy x xy xy t z v v y v v x v v t v t v a z z z y z x z z z =+?-?+=?? +??-??+??=??+??+??+??== (7) 将x =1，y=2，z =3代入式(5)(6)(7)，得 31621313144=??== xy a x 332 2313155= ?==y a y 31621323233=??==xy a z 【4-15】 图4-28所示为一文丘里管和压强计，试推导体积流量和压强计读数之间的关系 式。