四年级奥数详解答案 第4讲 幻方

四年级奥数详解答案第4讲

第四讲幻方

一、知识概要

1. 幻方是一种特殊的数阵图，就是把一个正(长)方形平均分成若干格，要求把若干个连

续的自然数填入方格中，且使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。这个“相等的和”就叫幻和。9个方格(3×3个)的叫三阶幻方，16个方格(4×4)的叫四阶幻方，25个方格(5×5)的就叫五阶幻方，依此类推。

2. 三阶幻方的特点：①幻和二九个数之和÷3②幻和二中心数×3③九个连续的自然数中，

第五个数是中心数，第一、三、七、九是中心数四角上的数(注意：最大数和最小数填在相对的位置上)

二、经典例题精讲

1. 将1～9九个数字填在图中的方格中，使每行、每列、每条对角线上的数的和都相等。

分析指导：这是一个三阶幻方，中心数(5)填中间，第一、三、七、九四个数就中心数四角上的数。如图所示：

(这里我们不难看出一个特点：最大数都填在最小数的相对位置上。如：8?2 1?9)

2. 将1～16这十六个数分别填在四阶方阵的各个小格中，使其构成一个四阶幻方。

分析指导：这是一个四阶幻方。四阶幻方有个特殊的方法—保持两条对角线上的数不变(先按从左到右、从上到下的顺序把1～16填好)，然后，1列和4列、

2列和3例互相对换，最后，再将1行和4行、2行和3行对调。这样两

次对换后，四阶幻方就成了。如下图所示。

这种方法，也可以这样理解：除了两条对角线上的数，剩下的四列、四行的

数就构成两个重叠的矩形，8个数字就在8个顶点位置，然后按矩形对角线

方向交换位置即成。如下图所示：

3.将1～9这九个自然数填入图中的方格内，使每行、每列及对角线上的三个数中，两

端之和减去中间数所得差都相等(差阵图)。

分析指导：这是个特殊的数阵图，叫差阵图。这里有个数的方法—从1～9这九个自然数中选数，按照口诀“二四为足，六八为肩，左三右七，上九下一，五

居中间”，把数填入每个方格中即成。结果如下图所示：

4.将1～13中的12个数字，填入图中的空格中，使每一横行四个数之和相等，每竖列

三数之和也相等。

分析指导：设每行的和为S，每列的和为A，1～13中没选入的那个数为a，则依题意有：3S=4A=(1+2+3+…+13)-a=91-a 3和4互为质数∴(91-a)一定是

12的整数倍 12的整数倍有：12、24、36、48、60、72、84 ∴a=7

从而可知：S=(91-7)÷3=28，A=80÷4=21；四数之和为28的有：13+10+4+1

12+11+3+2 9+8+6+5 ；三数之和为21的有：13+6+2 12+5+4 11+9+1

10+8+3。结果填法，如图所示

三、练习巩固与拓展

1.把3～11这九个数填入图中的方格中，使它构成一个九宫差阵(即每行、每条、每条

对角线上的数，两端之和减去中间数差都相等。)

2.在图中的空格内各填入一个数字，使得每行、每列、每条对角线上方格中的四个数

都是1、2、3、4

3.在下列各图的空格里，填上适当的数，使横行、竖行及两条对角线上三个数的和都

相等。(数字不能重复)

4.将4、5、6、10、11、16、17、18这九个数填入九宫格中，使每行、每列及每条对

角线上三个数的差都相等。见下图：

5.将21～29这九个数填入下图中，使每行、每列、每对角线上三个数的差都相等。

6.将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入九宫格里，使每行、每列及每

条对角线上三个数的和都相等。

7.将2～17这十六个数填入下面各方格里，使每行、每列及每对角线上四个数的和都

相等。

8.将1、3、5、7、9……29、31这十六个奇数填入图中的方格里，使每行、每列及每

对角线上四个数的和都相等。

9.将1～16这些自然数填入图中的○内，使五个正方形的四个顶点上的○内的数之和

都等于34.

10.将1～9这九个数填入图中的空格中，使每二行组成的三位数是第一行的2倍，第

三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍。

第四讲 <练习巩固与拓展>答案

1.根据3、4、5、6……11的顺序，按照“二四为足，六八为肩，左3右7，上九下一，

五层中部”的口诀填即成。

2.这道题有两个突破口：其一是第一行，因为两端为1、2，加上第三列有个“3”，所以

可以确定第二格为4，第三格为3，其二是第四列，由于第三行有个“3”，因而，第四列中间上格填“3”无疑，下格是4。

3.(提示：幻和要为3的倍数)

4.提示： 4+5+6+10+11+12+16+17+18=99

幻和=33

5.提示： 21+22+…+29=(21+29)×9÷2=225

∴幻和=225÷3=75

6.提示： 3+6+9+12+15+18+21+24+27=135

∴幻和=135÷3=45

7.提示： (2+3+…+17)=152

∴幻和=152÷4=38 见图：

8. 1+3+5+…+31=256

∴幻和=256÷4=64

9. (1+2+3+…+16)=136

∴四个顶点上的数的和为136÷4=34(初步确定后再作调整，使中间那个重复的正方形的四数之和也等于34。

10.提示： (1+9)×9÷2=45

∴幻和=45÷3=15

基本确定位置再适当调整，考虑倍数关系，第一行的“个位”有两种可能：2或3，相应第二行的“个位”是6或4，第三行的“个位”是9或6，经尝试，2、4、6合符要求。

四年级奥数详解答案 第6讲 面积的计算

四年级奥数详解答案 第6讲 第六讲 面积的计算 一、知识概要 1. 面积：面积是围成的平面图形的大小。 2. 各种图形的计算公式 1. 三角形 面积=底×高÷2 用字母表示为：S=ah ÷2 (注：高，就是从三角形的顶点向它的对边所做的那条垂线段) } 是特殊的平行四边形为：用字母表示边长边长面积正方形为：用字母表示宽长面积长方形2a S . 3.ab S .2=?==?= 4. 平行四边形 面积=底×高 用字母表示为：S=ah 5. 梯形 面积=(上底+下底)×高÷2 用字母表示为：S=2 h b)a ?+（ {注： 解梯形应用题常用到梯形的中位线。中位线就两腰的中立的连线。中位 线等于两底边之和的一半，即，中位线=(a+b)÷2}} 二、典型题目精讲 1. 用同样大小的长方形纸片摆成下图，已知每张小纸片的宽是4厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？ 分析：(如图)5个长方形的长等于3个长十3个宽即5a=3a+3b,则2a=3b,a=3×4÷2=6(cm) 图中阴影部分是三个相等的小正方形，其一个正方形的边长为长-宽，即6-4=2(cm), 这样，全部阴影部分面积就是(2×2×3)cm 2了。 解：①3×4÷2=6(cm)②6-4=2(cm)③2×2×3=12(cm 2) 答：阴影部分的面积是12 cm 2。 2. 下图是一个边长为20厘米的正方形和一个长方形的组合图形，求阴影部分的面积。 分析：作二条辅助线，交于正点使EF=20cm ，EG=10 cm(如图)则阴影面积=上、下两个 长方形面积之和-?ABC 的面积-?ADE 的面积 解：①S ?ABC=(20+10+4)×14÷2=238(cm 2) ②S ?ADE=(20+10)×(20+14)÷ 2=510(cm 2) ③34×14+30×20=1076(cm 2) ④1076-(238+510)=328(cm 2)

小学四年级奥数笔记之幻方

第一讲 幻方 【知识要点】 在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。 如果在44×（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44×方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。 一般地，在n×n（n 行n 列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n 个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n 个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的数的图形叫做n 阶幻方。 中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。 任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！ 幻方的幻和等于 n (n 2 +1) ÷2 。 幻和=总和÷阶数 幻积=中间数的3次方。 二、幻方的特征： 1、对称性 2、轮换性 三、幻方的种类： 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 1、奇数阶幻方 2、偶数阶幻方 （1）单偶数阶幻方，阶数是2的倍数，形如：2n+2 （2）双偶数阶幻方，阶数是4的倍数，形如：2n+4 四、幻方的构造方法 1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方） 早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：

九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出 戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足 2、罗伯法 适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。 口诀： 1居下行正中央，依次斜填切莫忘； 下出框时往上写，左出框时往右放； 排重便往上格填，左下排重一个样。 3、巴舍法(平移补空法)（适合奇数阶幻方） 要点，构造五阶具体操作： (1)画图:构造楼梯 (2)按顺序填数（数字按顺序斜排） (3)平移补空:把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：几阶幻 方就平移几个格。 4、对称交换法（对角线法）——适用于四阶幻方 总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。但因为四阶阶数 不大，作为拓展， 补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。

小学奥数四年级-幻方与数阵图教学内容

小学奥数四年级-幻方 与数阵图

幻方与数阵图扩展 [内容概述] 本讲有两部分主要内容： 1、幻方的概念和性质，简单幻方的编制； 2、把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。大致分为三类：封闭 型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 幻方的概念： 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各 数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。 幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方 的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井 有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是 “河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中 浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈 45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。幻方问题主要方法： 一、累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累 加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过 程中注意从特殊的数字和位置入手。 三、比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的 “幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。 四、掌握好3阶幻方中的规律。 本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 [思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1.如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你

四年级奥数-找规律(教案含答案)

第一讲：规律性问题 教学目标 1、学会从简单问题入手找规律 2、能够利用数论、几何等专题解周期性问题 3、归纳找规律问题的解题思想 知识点拨 一、知识点说明 同学们在探索某一类事物的性质或它们之间的关系的时候，经常从观察具体事物入手，通过分析、猜测、验证，找出这类事物的一般属性。这种“从特殊到一般的推理方法”，叫做归纳法，或者称之为找规律，很多人也称之为周期问题。 二、考点总结 找规律问题在小升初考试中几乎每年必考，但考题的分值较低，多以填空题型是出现。这是为了考验我们是否能在最短时间里找到数字间的奥秘，即是在考察我们的数感和归纳能力，这种能力不是与生俱来的，是和我们日常积累分不开的，正所谓见多识广吧。所以找规律这类题目，需要同学们养成细观察、勤思考的习惯，不断提高归纳能力。 找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力. 三、提炼思想 找规律是奥数里最重要的思想之一，很多难题都是靠这种方法解决的，要求我们能够观察数列或数表中每一个数自身的特征（如奇偶性，整除性，是否为质或者合数等等）、相邻数之间的差或商的变化特征（常见的有等差数列，等比数列，斐波那契数列，复合数列等

等），有时候还需要考虑连续多个数之间的和差倍关系，甚至对于某个自然数的余数数列等等，所以同学们要好好的体会这种思想方法，争取在奥数的学习中能够克服难题，取得进步。 例题精讲 模块一、数论部分 【例 1】下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）3，5，7，11，15，19，23，…… （2）6，12，3，27，21，10，15，30，…… （3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… （4）2，3，5，8，12，16，23，30，…… 【解析】这四个与众不同的数依次是：15，10，5，16。因为：（1）除了15其余都是质数；（2）除了10其余都是3的倍数；（3）除了5其余都是偶数；（4）相邻两数 之间的差依次是1，2，3，4，5，6，……，成等差数列。注：本题答案不唯一， 只要学生说明白道理就算正确。 【例 2】在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数字之和的个位数字，那么在这串数中，能否出现相邻的四个数依次是2，0，0，8 ？ 1，9，9，9，8，5，1，3，7，6，7，3，3，9，2，7，1，9，9，6，……【解析】运用奇偶性进行分析，这些数的奇偶性依次是：奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，奇，奇，奇，奇，偶，……四个奇数一个偶数循环 出现，而2，0，0，8均为偶数，必定不会出现在相邻的位置上。 【例 3】数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，……一共2005项，其中共有多少个是6的倍数？ 这串数从第三个起，每个数都是它前面两个数的和，所以这是一个菲波那契数列，这串数除以6的余数依次是：1，1，2，3，5，2，1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，……，注意：计算余数的时候不用把原数计算出来，可以直接用菲波那契数列的规律计算余数，如前两个数是5，2，则下一个数是（5+2）÷6的余数为1 。余数数列从第一个起，每24个循环一次，每一次循环中有两个数是6的倍数，而2005

四年级奥数详细讲解答案第5讲图形的切拼分解

四年级奥数详解答案第5讲 第五章图形的切拼 一、知识概要 1.图形的切拼就是按照所给的条件把一个图形切分成若干个小图形，然后再把这些小图 形拼会成一个指定的新图形。 2. 图形的切拼，有的单凭直觉判断，有的靠数字计算，有的则要求充分发挥想象力，特 别是空间想象力。 3. 图形的切拼是一种科学的技巧，它可以帮助我们简化解题的思路，是解题的一种良好 方法。 二、典型题目精讲 1. 右图是由两个正方形组成的长方形，请你剪两刀，把它拼成一个正方形。 解法一：如图所示，先划两条线对角线，然按对角线，2刀可以切成3块，3块拼成一个正方形。 解法二：(如图将长方形的一半，即其中一个正方形按对角线2刀剪开成4块，然后把4块拼成一块 2. 把下面的图形分割成三块，再把拼成一个正方形。 解：如图所示，图形底部是个梯形，在梯形下底取一中点，然后分别连接上面两个顶点，沿这两条连线2刀剪下两个三角线(全等)，旋转贴于中部的两侧即成。

3. 下图是由三个正三角形组成的梯形，请你把它分割成四块形状相同，大小相等的图 形。 解：①把下底四等分②取梯形中们线(高的一半)，且把中位三等分，③连接顶点和中 位线的两个等分点④连接中位线的两个等分点和下底的1、3等分点。(如图所示) 4. 沿格子线把下面的图形分成形状相同，大小相等的两块. 解：这六个图形，大小一样，意思是用六各不同的方法分切同一样图形，方法一(见 图A)：从底边左端数三格处一线剪开；方法二(见图B)：从左上顶点向右数三格，然后再向下折一格，再向右折三格直顶角。方法三(见图C)：从底边右端点向上一格，然后向左折一格，再向上折一格，接着又向左折一格，最后向上一格至顶点。方法四(见图D)：从左端那条竖边的中点向右数三格，然后向上折一格，再向右折三格至边。方法五(见图E)：从底边的左端向右数二格，然后向上折一格，再向右折一格，再向上折一格，又向右折一格，最后向上折一格至边。方法六(见图F)：从底边左端向右数一格，然后向上折一格，接着向右折二格，再向上折一格，再向右折二格，最后向上折一格至边。 5. 把右图分切成形状相同，大小相等的四块。 解：分析： 整个图形由相等的6个小正方形所成，其中有一格已平分成两个半格。 6÷4=1.5，即平均每块一格半。具体切法如图所示：

小学四年级奥数知识点自己整理综合

小学四年级奥数知识点总复习 1.常用特殊数的乘积 25×4＝100 125×8＝1000625×16＝10000 25×8＝200 125×4＝500 125×3＝375 7×11×13＝1001 37×3=111 2.加减法运算性质： 同级运算时，如果交换数的位置，应注意符号搬家。加、去括号时要注意以下几点：括号前面是加号，去掉括号不变号；加号后面添括号，括号里面不变号；括号前面是减号，去掉括号要变号；减号后面添括号，括号里面要变号。 100+（21+58）=100+21+ 58 100-（21+58）=100-21- 58 3.乘除法运算性质 乘法中性质：（1）乘法交换律（2）乘法结合律（3）乘法分配律（4）乘法性质（5）积的变化规律：一扩一缩法。 除法中性质：当被除数为几个数字之和或者差时才可以用除法分配律。积的变化规律：同扩同缩法。同级运算时，如果有交换数的位置，应该注意符号搬家。加、去括号时注意以下几点：括号前面是乘号，去掉或加上括号不变号；括号前面是除号，去掉或加上括号要变号。 100×（4×5）=100×4×5 100÷（4÷5）=100÷4÷5 4.最大最小 1、解答最大最小的问题，可以进行枚举比较。在有限的情况下，通过计算，将所有情况的结果列举出来，然后比较出最大值或最小值。 2、运用规律。（1）两个数的和一定，则它们的差越接近，乘积越大；当它们相等（差为0）时，乘积最大。 3、考虑极端情况。如“连接两点间的线段最短”、“作对称点”、“联系实际考虑问题”等。 5.比较大小 估算最常用的技巧是“放大缩小”，即先对某个数或算式进行适当的“放大”或“缩小”，确定它的取值范围，再根据其他条件得出结果，调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段），并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种方法是按近似数乘除法计算法则，比要求的精确度多保留一位，进行计算。 6.平均数

四年级奥数题及答案解析

四年级奥数题及答案解析 1、某工厂为了表扬好人好事核实一件事，厂方找了 A , B, C, D四人。A说：“是B做的。” B说：“是 D做的。” C说：“不是我做的。” D说：“ B说的不对。”这四人中只有一人说了实话。问：这件好事是_______ 做的。 2、小明在计算两个数相加时，把一个加数个位上的6错写成9，把另一个加数百位上的8错写成3,所得 的和是637。原来两个数相加的正确结果是多少？ 3、甲车在东村、乙车在西村，甲乙两车同时从东西两村相向而行，第一次在距东村10km的地方相遇，相 遇后两车又各自向对方岀发点驶去，甲到西村后又立即返回，乙到东村后也立即返回，两车又在距西村6km的地方第二次相遇，求东西村相距多少千米？ 4、黑板上写着一个形如8888……88的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘2,然后再加上刚才擦掉的数，对所得的新数继续操作，最后得到的数是多少？ 5、用大豆榨油，第一次用去大豆1264千克，第二次用去大豆1432千克，第二次比第一次多岀油21千克，两次共岀油多少千克？ 答案： 1、好事应该是C做的。 ①假设A说的是实话，则C说的也属实话，不符合题意，所以A说的是假话； ②假设B说的是实话，那么好事应该是D做的，C说的应该是实话，显然这与“只有一个人讲了实话”相 矛盾，所以B说的是假话； ③假设C说的是实话，即好事不是C做的，也因①、②已分别说明B和D未做，则只剩下A做，那么D 说的也是真话，这与题设相矛盾，所以C说的也是假话； ④假设D说的是实话，那好事应该不是D做的，是C做的。符合题设条件。 所以，好事应该是C做的。 2、原来两个数相加的正确结果是684。 3、解：第一次相遇时，甲、乙两车合行一个全程，甲车行10千米。第二次相遇时，又合行了两个全程， 共三个全程（如图）。甲车在一个全程中行了10千米，三个全程就行了三个10千米，即30千米。甲车行了一个全 程又6千米（如图），他行了30千米，去掉6千米，就是一个全程，即24千米。 4、黑板上写着一个形如8888……88的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘2，然后再加上刚才擦掉的

四年级奥数详解答案乘法原理

四年级奥数详解答案 第九讲乘法原理 一、知识概要 如果要完成一件任务需要分成几个步骤进行做，第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……，做第n步有m n种方法，即么，按这样的步骤完成这件任务共有N= m1×m2×…×m n种不同的方法。这就是乘法原理。 乘法原理和加法原理的区别是：加法原理是指完成一件工作的方法有几类，之间不相关系，每类都能独立完成一件工作任务；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一类中的几个不同步骤，互相关联，缺一不可，共同才能完成一件工作任务。 二、典型例题精讲 1. 从甲地到乙地有两条路可走，从乙地到丙地有三条路可走，试问：从甲地经乙地到丙 地共有多少种不同的走法？ 分析：如图，很明显，这是个乘法原理的题目。要完成“从甲到丙的行走任务”必须分两步完成。第一步：甲分别通过乙的三条路线到达丙，故有3种走法。第二步： 甲从第二条路线出发又分别通过乙的三条路线到达丙，故又有3种走法。这两种 走法相类似，共同完成“从甲到丙”的任务。 解：3×2=6(种) 答：共有6种不同的走法。 2. 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行、 每列只能出现一个棋子，共有多少种不同的放法？ 分析：(如图二)摆放四个棋子分四步来完成。第一步放棋子A，A可任意摆放，有16种摆放；第二步摆B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9 种放法；第三步摆C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格 可任意放，故有4种放法；第四步，只剩一格放D子，当然只有一种放法。

解：16×9×4×1=576(种) 答：共有576种不同的放法。 3. 有五张卡片，分别写有数字1，2，4，5，8。现从中取出3张片排在一起，组成一个 三位数，如□1□5□2，可以组成个不同的偶数。 分析：分三步取出卡片：1.个位，个位只能放2、4、8；故有3种放法；2.百位，因个位用去1张，所以百位上还有四张可选，故有4种放法；3.十位，因个位和百位 共放了两张，所以还有3张可选放，有3种放法。 解：3×4×3=36(个) 4. 兴趣小组有7名男生，5名女生，现要从这些同学选出4名参加数学竞赛，其中至少 要有2名女生，共有种不同的选法。 分析：分三类选出(加法原理)：第一类：2名学生，先从5名女生中选2名，有5×4÷2=10(种)选法，再从7名男生中选2名有7×6÷2=21(种)，共有10× 21=210(种)；第二类：3名女生，先从5名女生中选3名，(其实等于选出2名 不比赛)有10种选法；再从男生中选1人，有7种选法。共有10×7=70(种)选 法。第三类：4名学生，即从5名选1人不比赛，有5种方法。 解：10×21+10×7+5=285(种) 5. 有4名男生，2名女生，排成一行录像，要求2名不站在两边，且2名女生站在相邻 位置，共有多少种不同的排法？ 分析：分两步考虑，第一步，先确定女生排法，2名女生不站两边，有6种站法。第二步，确定男生的站法，4名男生4个位置可选择，故有4×3×2×1=24(种)站法。 解：6×24=144(种) 答：共有144种不同的排法。 6. 地图上a、b、c、d四个国家(如下图)，现有红、黄、绿、蓝四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同。有种不同的染色方法。 分析：着色分四步，在图A中，第一步给a着色，有四种方法；第二步给b着色，因a：b相邻，故有3种色选着，方法有3种；第三步给c着色，有2种着法；第四步， 给d着色，有2种着法。在图B中，a着色后可将b、d的着色分为相同与不同 两类去考虑，染色的顺序为a、b、d、c.

(完整版)四年级奥数变化规律

第9讲变化规律（一） 一、知识要点 和、差的规律 二、精讲精练 【例题1】两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？ 练习1： 1.两个数相加，一个数减8，另一个数加8，和是否变化？ 2.两个数相加，一个数加 3.另一个数也加3.和起什么变化？ 3.两个数相加，一个数减6，另一个数减2.和起什么变化？ 【例题2】两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？ 练习2： 1.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和增加15，另一个加数应有什么变化？ 2.两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？ 3.两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？ 【例题3】两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？ 练习3： 1.两数相减，被减数减少6，减数也减少6，差是否起变化？ 2.两数相减，被减数增加12.减数减少12.差起什么变化？

3.两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？ 【例题4】两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？ 练习4： 1.两数相乘，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大4倍，和是否起变化？ 2.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？ 3.两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？ 【例题5】两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？ 练习5： 1.两数相除，被除数扩大30倍，除数缩小5倍，商将怎样变化？ 2.两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？ 3.两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化？ 第10讲变化规律（二） 一、知识要点 我们学习了和、差、积、商的变化规律，这一周，我们利用这些规律来解决一些较简单的问题。 二、精讲精练 【例题1】两数相减，被减数减少8，要使差减少12.减数应有什么变化？ 练习1：

小学四年级奥数试题及答案

小学四年级奥数试题及答案-真题 一、按规律填数。 1)64，48，40，36，34，( ) 2)8，15，10，13，12，11，( ) 3)1、4、5、8、9、( )、13、( )、( ) 4)2、4、5、10、11、( )、( ) 5)5,9,13,17,21,( ),( ) 二、等差数列 1.在等差数列3，12，21，30，39，48，…中912是第几个数? 2.求1至100内所有不能被5或9整除的整数和 3.把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少? 4.把从1开始的所有奇数进行分组，其中每组的第一个数都等于此组中所有数的个数，如(1)，(3、5、7)，(9、11、13、15、17、19、21、23、25)，(27、29、……79)，(81、……)，求第5组中所有数的和 5.将自然数如下排列， 1 2 6 7 15 16 …

3 5 8 1 4 17 … 4 9 13 18 … 10 12 … 11 … … 在这样的排列下，数字排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列? 三、平均数问题 1.已知9个数的平均数是72,去掉一个数后,余下的数平均数为78,去掉的数是______ . 2.某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班级中考平均分是_______ . 3.今年前5个月,小明每月平均存钱 4.2元,从6月起他每月储蓄6元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元? 4.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数. 23, 26, 30, 33 A、B、C、D 4个数的平均数是多少?

最新四年级奥数题附答案

精品文档 小学四年级奥数题：统筹规划 1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？ 4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。 5、甲、乙、丙、丁四个人过桥，分别需要1分钟，2分钟，5分钟，

10分钟。因为天黑，必须借助于手电筒过桥，可是他们总共只有一精品文档． 精品文档 个手电筒，并且桥的载重能力有限，最多只能承受两个人的重量，也就是说，每次最多过两个人。现在希望可以用最短的时间过桥，怎样才能做到最短呢？你来帮他们安排一下吧。最短时间是多少分钟呢？ 6、小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛需2分钟，丙牛需5分钟，丁牛需6分钟，每次只能骑一头牛，赶一头牛过河。要过河时间最少？是多少？ 四年级奥数题：速算与巧算（一） 1.【试题】计算9＋99＋999＋9999＋99999 2【试题】计算199999＋19999＋1999＋199＋19 3【试题】计算(2+4+6+…+996+998+1000)－－(1+3+5+… +995+997+999) 4【试题】计算9999×2222＋3333×3334

四年级奥数详解答案 第10讲 和倍问题

四年级奥数详解答案第10讲 第十讲和倍问题 一、知识概要 1. 概念：已知几个数的和，以及几个数之间的倍数关系，求这几个数是多少的问题，我们 称之为和倍问题。 2. 基本公式：和÷(倍数+1)=小数 二、典型题目精讲 1．小红和妈妈的年龄加在一起是40岁,妈妈的年龄是小红的4倍,小红和妈妈各是多少岁？ 分析：和倍问题应用题，关键是先确定标准数(即一倍数)。一般以数量中的小数为标准数。本题因为小红的年龄小。所以，小红的年龄是标准数，妈妈的年龄是小红的4 倍，即为四位数，则年龄和(40)正好对应的是五倍数(如图所示)求出一倍数，故一 除即得。 解：40÷(4+1) =40÷5 =8(岁)……(小红) 8×4=32(岁)……(妈妈) 答：小红和妈妈分别是8岁、32岁。 2. 某汽车场共有大、小货车115辆，大货车比小货车的5倍还多7辆，大货车和小货车各 有多少辆？ 分析：如图所示，大货车减去7辆后就成为5倍数。这7辆可以从总数(115辆)中减去，这样，这个题就转化成跟上题一样的了。 解：(115-7)÷(5+1)=108÷6=18(辆)……(小货车) 18×5+7=90+7=97(辆) ………(大货车)

答：大货车和小货车分别有97辆、18辆 3. 在悉尼奥运会上，中国队与荷兰队共获金牌40枚，中国队的金牌总数比荷兰的3倍少8 枚。中国队、荷兰队各获金牌多少枚？ 分析：这个题例题相仿佛，只要给中国队添加8枚，中国队就成为三倍数，相应地，和也增加8枚。 解：(40+8)÷(3+1)=48÷4=12(枚) 12×3-8=36-8=28(枚) (或40-12=28(枚)) 答：中国队、荷兰队分别获金牌28枚、12枚。 4. 已知两数之和是649，其中一个数的个位数是0，如果把这个数个位的0去掉，则与另 一个数相等，求这两个数。 分析：一个数末尾去掉一个“0”，就等于把这个数缩小10倍。题目中，一个数末尾去掉一个“0”后就与另一个数相等，这说明，那个数没去“0”时就是另一个数的10倍。 解：小数=649÷(10+1)=649÷11=59 大数=59×10=590 (或649-59=590) 答：这两个数分别是590和59。 5. 在一道除法算式里，被除数、除数、商与余数的和是541，已知商是13，余数为5，求 被除数和除数各是多少？ 分析：从四个数的总数541里减去已知的商和余(13+5)，差就是被除数与除数的和。由于商是13，如果被除数减去余数(5)，那么，被除数就是除数的13倍。因此，运用和倍原理可求其解。 解：除数=(523-5)÷(13+1)=518÷14=37 被除数=37×13+5=486 (或523-37=486)

小学奥数四年级幻方与数阵图

幻方与数阵图扩展 [内容概述] 本讲有两部分主要内容： 1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制； 2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 幻方的概念： 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。 幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。 幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起， 再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关 系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。 四、 掌握好3阶幻方中的规律。 本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 [思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1. 如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你 一共可以得到多少种填法？ 「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道， 第1题

四年级奥数详解答案-第24讲-方阵问题

四年级奥数详解答案第24讲 第二十四讲方阵问题 一、知识概要 方阵，就是人或物排成的正方形。方阵有实心方阵和空心方阵之分。其基本特点是： 1、方阵在同一层里每条的数量相等，向里向外，每边依次增加2，每层总数就依次减 少8。 2、每层数=（每边数－1）×4 每边数=每层数÷4＋1 二、典型题目精讲 1、有正方形的小花圃，四个角上都栽了1棵小白杨树，在两棵白杨树再均栽上8棵小松树。 四边一共栽了__________棵小树。 解：这些树构成一个方阵，所以，四边一共栽树：（8＋2－1）－4=36（棵） 2、一个正方形的队列，若横竖方向各减少一行，则就减少了13人。 这个正方形队列原来是__________人。 解：（如图）“横竖各减少一行”刚好13人，说明原正方形的 “边长”是7（人）。所以这个正方形队列共有7×7=49（人） 3、同学们排成一个三层空心方阵（如图），外层每边10人，这个 方阵共有______人。 解：最外层人数=（10－1）×4=36（人）。因为由外向内每层依 次减少8，所以三层共有36＋（36－8）＋（36－8×2）=84(人)， 或者用“大实心方阵”－“小实心方阵”亦可。大实心方阵有： 10×10=100(人);小实心方阵有4×4=16(人),100－16=84（人） 4、新华小学四年级学生排成一个实心方阵还多9人，如果横竖各 增加一排，成为大一点的实心方阵又差24人。 四年级有学生______人。 解：①原实习方阵每边数为（9＋24－1）÷2=16（人）； ②四年级共有学生16×16＋9=265（人）（如图） 5、甲、乙两队种树，要把树种成正方形。第一次每队种10棵，第二次每队又种10棵，这 样一直种下去，最后一次甲队所种10棵，而乙队种的不足10棵。收工后，老师问他们

四年级奥数幻方与数表

知识要点 幻方与数表 二、 如果一个n n ?的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方 阵称为n 阶幻方。 三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。 对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2 n 个数的和；所以，幻和2n S n =个数 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2 n n n n ++++= ……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13) 1532 ++++++++?+==。 四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中 心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。 中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平 均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数2 2 n S n =个数n =幻和 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212 n +。 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为2 1352 +=。 五、 在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++==== ，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2 b d i +=。 i h g f e d c b a

幻方 【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自 然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种） 一、 若一个n n ?的方阵 1111 n n nn a a a a 是n 阶幻方，则方阵 1111n n nn a b c a b c a b c a b c ?+?+?+?+也是n 阶幻方。 数表 中心数 幻和 三阶幻方的性质 幻方的构造 幻方 幻方与数表 （本讲）

四年级奥数题及答案解析四

四年级奥数题及答案解析四 1、某工厂为了表扬好人好事核实一件事，厂方找了A，B，C，D四人。A说：是B做的。B说：是D做的。C说：不是我做的。D说：B说的不对。这四人中只有一人说了实话。问：这件好事是______做的。 2、小明在计算两个数相加时，把一个加数个位上的6错写成9，把另一个加数百位上的8错写成3，所得的和是637。原来两个数相加的正确结果是多少？ 3、甲车在东村、乙车在西村，甲乙两车同时从东西两村相向而行，第一次在距东村10km的地方相遇，相遇后两车又各自向对方出发点驶去，甲到西村后又立即返回，乙到东村后也立即返回，两车又在距西村6km的地方第二次相遇，求东西村相距多少千米?

4、黑板上写着一个形如8888 88的数，每次擦掉一个末位数，把前面的数乘2，然后再加上刚才擦掉的数，对所得的新数继续操作，最后得到的数是多少？ 5、用大豆榨油，第一次用去大豆1264千克，第二次用去大豆1432千克，第二次比第一次多出油21千克，两次共出油多少千克？ 1、好事应该是C做的。 ①假设A说的是实话，则C说的也属实话，不符合题意，所以A说的是假话； ②假设B说的是实话，那么好事应该是D做的，C说的应该是实话，显然这与只有一个人讲了实话相矛盾，所以B说的是假话； ③假设C说的是实话，即好事不是C做的，也因①、②已分别

说明B和D未做，则只剩下A做，那么D说的也是真话，这与题设相矛盾，所以C说的也是假话； ④假设D说的是实话，那好事应该不是D做的，是C做的。符合题设条件。 所以，好事应该是C做的。 2、原来两个数相加的正确结果是684。 3、解：第一次相遇时，甲、乙两车合行一个全程，甲车行10千米。第二次相遇时，又合行了两个全程，共三个全程(如图)。甲车在一个全程中行了10千米，三个全程就行了三个10千米，即30千米。甲车行了一个全程又6千米(如图)，他行了30千米，去掉6千米，就是一个全程，即24千米。 4、黑板上写着一个形如8888 88的数，每次擦掉一个末位数，

最新部编人教版四年级数学有趣经典的奥数题及答案解析

四年级数学有趣经典的奥数题及答案解析 【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。 【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。共需要1+10=11分钟。 【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？ 【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×27+5×1=275(公升) 【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需

要几分钟？ 【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？ 我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。 四年级奥数题：统筹规划问题（二） 【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。 【分析】：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水时间是固定的，所以只能想办法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的人先用。

四年级奥数第三讲-数阵图含答案

第三讲 数阵图 一、知识点： 一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字：要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力，思维的灵活性和严密性。 二、典例剖析： 例（1） 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和都等于9. 分析： 因为 1＋2＋3＋4＋5＋6 = 21 ，而每条边上的三个数的和为9，则三条边上的和为 9×3 = 27 ， 27－21 = 6 ， 这个 6 就是由于三个顶点都被重复算了一次。所以三个顶点的和为 6 ，在 1-----6中，只能选1、2、3 填入三个顶点中，再将4、5、6填入另外的三个圈即可。 解： a b . c . d . e . f . 练一练： 把1~8个数分别填入○中,使每条边上三个数的和相等 . 答案:

例（2 ）把1~7填入下图中,使每条线段上三个○内的数的和相等. 分析： 中心圆填入的数设为x ，x 参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意： 1+2+3+…+7+2x=3S 即28+2x=3S 或28+2x ≡0（mod 3） 借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x 应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x ≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x ≡1（mod3），回复到x 取值范围为1，2，…，7.有x 1=1，x 2=4，x 3=7， 得到：x 1=1，S 1=10；x 2=4，S 2=12；x 3=7，S3=14； 由此看出关键在求S （公共和）及x （参与相加次数最多的圆中值）. 解： a . b 练一练： 把1~11填入图中,使每条线上三个数的和相等. 答案:

四年级奥数教师版第六讲幻方与数阵图

第六讲 幻方及数阵图 知识导航 三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3； 2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数； 3.中心数两头的数等于中心数的2倍。 例1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？ 解析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是45÷3=15。 接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。 同学们可能会说，中间一定填5，因为1到9的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。 看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。 下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含 E 的四条直线：因为A +E +I =15, B +E +H =15, C +E +G =15, D +E + F =15, 所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I ）+3×E=60, 而A+B+C+D+E+F+G+H+I 不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是 第1题