不等关系导学案2
会宁县华峰初中高效课堂
华峰初中数学学科导学案
知识改变命运，智慧书写人生年级：七年级主备人：何占荣审核人：姜汉斌学生姓名:
课题 1 ?不等关系课型新授
目标①理解不等式的意义?
②能根据条件列出不等关系
重点通过探寻实际问题中的不等关系，认识不等式。
难点实际问题中怎样建立量与量之间的不等关系
教学过程
预习案
1、已知止方形的边长为a,则正方形的面积为
2、已知圆的半径为r,则该圆的面积为
3、不等关系在日常生活中十分常见，你能举出一些关于不等关系的例子吗？
探究案
活动一：用适当的符号表示下列关系：
2
（1）a是正数：（2）a是非负数：
（3）a与6的和不小于5:
（4）x的4倍不大于7:
（5）直角三角形的斜边c比它的两直角边a, b都长:
（6）
地球上海洋的面积S1大于陆地面积S2 : （7）铅球的质量m铅比篮球的质量m篮大: 个性空间
编号：使用日期：2014年3月活动二：（我能行）1.判断下列各式哪些是不等式：
2
①x+y ② 3x > y ③ 3+2=5 ④ x > 5 ⑤2x—3y=1 ⑥—1< 0
2
⑦a+1 > b —3;⑧ x+2.
解：不等式有_________________
2?做一做：通过测量一棵树的树围（树干的周长），可以计算出它的树龄，通常规定以树干离地面 1.5m的地方作为测量部位。某树栽种时的树围为 5 cm,以后树围每年增加约 3 cm,这棵树至少生长多少年其树围才能超过 2.4m?（只列关系式）
活动三：（能力提升）
a, b两个实数在数轴上的对应点如图 1 —2所
示:
图1 — 2
用“<”或“〉”号填空：
(1) a _________ b; (2) |a| ____________ |b|; (3) a+b
(4) a—b _________ 0; (5) a+b ______ a—b; (6) ab
0;
活动四：（随堂练习）
如图，用两根长度均为I cm的绳子，分别围成一个正方形和圆
试列出S正方形和S圆的不等关系
会宁县华峰初中高效课堂知识改变命运，智慧书写人生
分析：(1 )因为绳长I为正方形的周长，所以正方形的边长为
为 ____
______ ，其面积
(2)因为圆的周长为I，所以圆的半径为 ________________ ，面积为
(3)________________ 因为分子都是__ 相等、分母v ,根据分数的大小比
较，
分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论I取何值，都有 ___________ > _______
活动五、我的收获:
训练案
1、在下了式子中，哪些是不等式。
① a —2v 0; ②—4v 0; ③ 3x+4y》0; ④x—2y —仁
0;
⑤ a-b > 3 ⑥ x2+2X
不等式有
2、用适当的符号表示下列关
系。
(1) a与6的和小于5; (2) x与2的差小于一1;
3、某厂工人王师傅4月份计划生产零件176个，前10天平均每天生产5个零件，后来
改进技术，提前3天并且超额完成。若王师傅10天后平均每天生产x个零件，试写出
x满足的关系式。
我的
收获
(3) x的4倍大于7; (4) y的一半小于3.
不等关系与不等式导学案
不等关系与不等式导学案 【学习目标】能用不等式（组）正确表示出不等关系, 掌握不等式的基本性质； 【重点难点】作差法比较两实数大小. 【学习过程】 1、用不等式表示不等关系 例1某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，写成不等式组就是——用不等式组来表示. 变式训练1： （1）b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再加入m克糖（m＞0），则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式 . （2）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不 等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 例2 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？变式训练2： 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式． 2、不等式的基本性质 （1）, a b b c a c >>?>（2）a b a c b c >?+>+ （3）,0 a b c ac bc >>?>（4）,0 a b c ac bc >>?+>+；（6）0,0 a b c d ac bd >>>>?>； （7）0,,1n n n n a b n N n a b a b >>∈>?>> 3、两代数式比较大小 a b a b ->?>0 a b a b -=?=0 a b a b -
八年级数学下册2.1 不等关系导学案北师大版
2.1 不等关系 本课时学习要点：不等关系 本课时学习目标： 【知识与技能】1.理解不等式的意义。2.能根据条件列出不等式。 【过程与方法】能根据条件列出不等式，增强学生的符号感，发展其数学化的能力。 【情感、态度与价值观】通过观察、分析、猜想、独立思考的过程感受不等式这个重要的过程，发展学生归纳、猜想能力。 本课时学习安排： 课前复习： 一般地，用符号“<”（或“≤”）和“＞（或“≥”）连接的式子叫作 常见的不等号有 常见表示不等关系的词语及所对应的不等号 少于、不足： ；多于、高出： ；不多于、不超过、至多： 不少于、不低于、至少： ；不相等： 常见不等式表示的基本语言意义 x 是正数： ；x 是负数： ；x 是非负数： ；x 是非正数： a 大于b: ;a 不大于b ： ；a 不小于b ： ； ab>0，可以说明 ；a 、b 异号： ； 课中学习： 活动一：不等式的概念 情景：如图，用两根长度均为l cm 的绳子，分别围成一个正方形和圆， （1）如果要使正方形的面积不大于25cm 2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于100 cm 2，那么绳长l 应满足怎样的关系式？ （3）当l =8时，正方形和圆的面积哪个大？l =12呢？ （4）你能得到什么猜想？改变l 的取值再试一试？ 归纳：一般地，用符号“ ”（或“ ”），“ ”（或“ ”）连接的式子叫做不等式。 例1、下列式子中，哪些是不等式 ；哪些不是 (1) –2 < 0 ； (2) 2a > 3-a ； (3)3x +5； (4)2 (-1)a ≥0； (5) s = vt ； (6)223x x +≠； (7) 3 > 5； (8) 5x ≤4x -1. 活动二：根据条件列不等式 例2、 用不等式表示： （1）x 小于-6 （2）x +1大于0 （3）x 大于或等于5 （4）x 小于或等于-8 （5）x 不大于6 （6）x 不小于-2 (7) x 与5的和大于2 （8）x 与a 的差小于2 （9）x 与y 的差是负数 （10）x 与y 的和是非负数
人教a版必修5学案：3.1不等关系与不等式(含答案)
第三章 不等式 §3.1 不等关系与不等式 材拓展 1．不等式的基本性质 对于任意的实数a ，b ，有以下事实： a>b ?a －b>0； a ＝ b ?a －b ＝0； ab>0，m>0，要比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，就可以采用以下方法： a ＋m b ＋m －a b ＝bm －am b (b ＋m )＝m (b －a )b (b ＋m ) . ∵m>0，a>b>0，∴b －a<0， ∴m (b －a )b (b ＋m )<0，∴a ＋m b ＋m b ，b>c ?a>c. (2)a>b ，c>d ?a ＋c>b ＋d. (3)a>b ，c>0?ac>bc. (4)a>b ，c<0?ac 2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：3-1不等关系 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.体会用数学模型刻画不等关系等实际问题的方法． 知识点一不等关系 思考1限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？ 思考2试用不等式表示下列关系： (1)a大于b a________b (2)a小于b a________b (3)a不超过b a________b (4)a不小于b a________b 梳理(1)不等式的定义 用数学符号“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式以表示它们之间的________________，含有这些不等号的式子叫做不等式． (2)关于a≥b和a≤b的含义 ①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a＞b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确． ②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a＜b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确． 知识点二作差法 思考x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？ 梳理依照下列性质， (1)a－b＞0?a________b； (2)a－b＝0?a________b； (3)a－b<0?a________b. 把比较两实数a，b的大小问题转化为实数a－b的正负问题叫作差法． 因为作差法集中了原来不等号两端的信息，更便于抵消、变形，所以是比较大小的基本方法． 类型一用不等式(组)表示不等关系 命题角度1用不等式表示单个约束条件 例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本．若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范． 跟踪训练1将下列问题转化为数学模型(不求解)． 不等式与不等关系 考纲要求 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用 是命题的热点． 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的判断交汇命题，体现了化归转化思想，难度中、 低档． 3.考查题型多为选择、填空题. 教学过程 基础梳理 一、实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0? ；a －b ＝0? ； a －b ＜0? . 二、不等式的基本性质 1.对称性a >b ? 2.传递性a >b ，b >c ? 3.可加性a >b ? 4.可乘性 a >b c >0? ， ? ?? a > b c <0? 5.同向可加性 ? ?? a > b c > d ? 6.同向同正可乘性 ? ?? a > b >0 c > d >0? 7.可乘方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2) 8.可开方性a >b >0? (n ∈N ，n ≥2) 两条常用性质 ① a ＞b ，ab ＞0?1a ＜1 b ② 若a ＞b ＞0，m ＞0，则b a ＜b ＋m a ＋m ； 双基自测 1．若x ＋y >0，a <0，ay >0，x －y 的值为 ( ) A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不确定 2．(教材习题改编)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2 不等关系与不等式 【学习目标】 1．了解不等式(组)的实际背景． 2．掌握比较两个实数大小的方法． 3．掌握不等式的八条性质． 【学法指导】 1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言” 转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可． 2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论． 3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形． 一、知识温故 a－b＞0?； a－b＝0?； a－b＜0?. 3．常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b a(对称性)； (2)a>b，b>c?a c(传递性)； (3)a>b?a＋c b＋c(可加性)； (4)a>b，c>0?ac bc；a>b，c<0?ac bc； (5)a>b，c>d?a＋c b＋d； (6)a>b>0，c>d>0?ac bd； (7)a>b>0，n∈N，n≥2?a n b n； (8)a>b>0，n∈N，n≥2? 二、经典例 问题探究一实数比较大小 问题1(实数比较大小的依据) 在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a－b是正数，那么； 如果a－b是负数，那么； 如果a－b等于零，那么. 以上结论反过来也成立，即a－b＞0?a＞b；a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b. 问题2(作差法比较实数的大小) 向一杯a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论． 问题探究二不等式的基本性质 问题3在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面的性质推证后续的性质． 请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd. 学案29：不等关系与不等式 知识梳理： 一．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a － b ＞0?a >b ；a －b ＝0?a ＝b ；a －b ＜0?a b ?ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)． [试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3 2. 12－1 ________3＋1(填“>”或“<”)． 四.方法：1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0?1a <1b ；(2)a <0b >0,0 (1)真分数的性质：b a b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)． [练一练]若00，则 b ＋ c a ＋c 与a ＋c b ＋c 的大小关系为________． 1.已知a 1，a 21212 ) A ．M 《不等关系与不等式》教案 【教学目标】 1．掌握比较两个实数大小的方法——差值比较法，理解不等关系的传递性，能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小 2．通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学生代数变形的能力，提高学生解决实际问题的能力 3．通过问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动。通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立的优良心理品质。通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度 【重点难点】 重点：比较实数大小的方法． 难点：1.比较实数大小方法中的代数变形； 2.比较实数大小方法的实际应用 【教学方法】体验法、合作讨论法 【教学过程】 (一)创设情境 泰山旺季门票原价为180元，现推出两套优惠方案(两人以上集体购票时可选择以下任一种方案) 优惠方案A：买全票一张，则其余票可享受八折优惠； 优惠方案B：按团体购票，一概优惠30元. 为了使门票花费最少，请各位同学发动你们的智慧想一想该选择哪种方案？ 教师：5-7人，由学生先对多种情况进行讨论。 合作交流：同桌讨论合作完成下列表格（作业纸） （学生思考演算并请学生回答结果） 由此我们知道在实际的生活中经常会碰到比较大小的问题，这就是我们这节课所要学习的1.2节比较大小（板书课题同时幻灯片出示课题）继续就上述情境提问：对于人数确定的情况，两个具体的实数我们很容易比较大小，如果人数不确定呢，又该如何比较大小？ 若设人数为n，记采用方案A的费用为) f，采用方案B的费用 (n 为) n g150 (= n ) f，n g，则36 =n 144 (n ) (+ 接着我们要比较就是这两个代数式子的大小，我们该怎么办呢？（学生思考） 对于这两个式子来说，它们有以下的三种大小关系： g n n >n ? n - f g n f ) ( ) > 6 ( ? ) ) (< ( n g n =n ? g - f n n f ( ( ) = ) 6 ) (= ? ( ) g n 不等关系与不等式 导学案 命制学校：沙市五中命制教师：王旭俐 学习目标： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 学习重点：比较两实数大小． 学习难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 学法指导： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 知识： 在日常生活中，我们经常看到下列标志： 问题1：你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ 提示：①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G不得超过10 t； ③限制高度：装载高度h不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a不得超过3米； ⑤时间围：t∈． 问题2：你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？ 提示：①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10. 自主学习： 不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 1．不等关系强调的是关系，可用符号“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示，而不等 式则是表示两者的不等关系，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的。 2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少， 不低于 小于等于，至多， 不多于，不超过 符号语言＞＜≥≤ 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大． 问题1：怎样判断两个实数a、b的大小？ 提示：若a－b是正数，则a＞b；若a－b是负数，则a 不等关系与不等式（第一课时） 一、教学任务分析 1、感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、利用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 师：多媒体出示情景：（1）交通标志(限速、限高、限宽)；（2）商家打折海报（一折起、低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。 设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。 学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。 设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。 师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若……。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。 师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生思路，进一步总结作差法中变形结果的形式： 教学设计 课题: 教师：长沟中学柴生艳 教学目标1.通过具体情境，了解不等式（组）的实际背景，借助数轴，能从“数”和“形”两方面来认识不等式，掌握比较两个代数式（实数）的大小的基本方法--作差比较法； 2.通过较典型的问题，教师引导，学生自主探究，学生与教师进行交流，分析，抽象出数学模型，激发学生学习兴趣和积极性； 3.通过具体情景，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合的重要方法，学生体会到学好数学对日常生活的重要作用。 教学重点比较实数（代数式）大小的基本方法：作差比较法 教学难点判断差的符号 教学方法启发引导式 教学过程 教学步骤教师行为学生行为 设计意 图 新课引入现实世界中存在着等量关系，也存在着大量的不等关系， 例如：（1）天气预报说：今天最低温度为22℃， 最高温度为30℃，若用t表示今天气温， 那么怎么用数学表达式表示t？ （2）上一章学习的等比数列中公比q什学生在纸上写出并 回答： （1）22℃≤t≤30℃ （2） q≠0 (3)a≥0 (4)根据实际情况回 通过具体 情境，了解 不等式的 概念。 么范围 （3）根号a中，a的取值范围是什么？ （4）提问两同学的身高问题，让全体同 学比较其大小关系。如A＞B 又如：课本P61 速度与手机话费问题，这些问题即是我们今天要研究的问题（板书 课题）——不等关系与不等式。 答 小组合作探究请学生思考并回答以下问题： 问题一：不等式的定义 （强调“≥、≤”的读法中的“或”引 出问题二） 问题二：2≥2，这样写正确吗？（“≥“的 含义是什么？） 这样写是对的，因为“＞”和“=”只要 一个满足就可以了，即a≥b表示a＞b或 a=b ，同样a≤b即为a＜b或a=b。 问题三：实数与数轴上的点有怎样的对应 关系？右边的点表示的实数与左边的点表示 的实数谁大？ 问题四：数轴上两点A、B有怎样的位置 关系？两实数有怎样的大小关系？ 点的关系： 点A在点B右侧 学生思考并回 答：用不等号连接两 个解析式（以表示它 们之间的不等关系） 所得的式子，叫做不 等式． 不等号的种类： ＞、＜、≥、≤、 ≠． 学生回答 学生回答 与数轴上的点是一 一对应的,右边的点 表示的实数比左边 的点表示的实数大 通过具体 情境，了解 不等式 （组）的实 际背景，借 助数轴，能 从“数”和 “形”两方 面来认识 不等式，掌 握比较两 个代数式 （实数）的 大小的基 本方法-- 作差比较 A a B b 3.1.1 不等关系与不等式 （一）.生活中的不等关系 (1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速度不小于第一宇宙速度,且小于第二宇宙速度; (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免费携带物品------杆状物不超过200cm,重量不得超过20kg; (3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的高度。 问题1:上面的不等关系是用什么不等式表示的? （二）.用不等式(组)表示不等关系 (1)限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h . 2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度( V )不小于第一宇宙速度( 记作V1 ),且小于第二宇宙速度(记V2 ). (3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%. 问题2:什么是不等式? 问题3. 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d与AB 的关系怎么表示？ 问题4、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？ 思考： (1 )销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少? 问题5.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。 请思考: (1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式（组）表示上述不等关系. 课堂练习：书本：P74，练习1、2 思考：不等式a ≥b 或b ≤a 的含义。 问题6：有什么特点？观察不等式"","",""f e d c b a <<< 知识探究(二)：比较实数大小的基本原理 思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a ，b ，其大小关系有哪几种可能？ 思考2：任何一个实数都对应数轴上的一个点，那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何？ 思考3：如果两个实数的差是正数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？ 思考4：如果两个实数的差是负数，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？ 思考5：如果两个实数的差等于零，那么这两个实数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语言描述这个原理？ 问题7：判断两个实数大小的依据是什么？ 例1．比较x 2－x 与x －2的大小. 例1-2：比较下面两式的大小： ））与（（与与与与6756)5(64 )9)(7)(4(224)3(33)2(4 2232)1(42222222--+++++++++++x x x y x y x x x x x x x 不等关系与不等式 课题：不等关系与不等式（二） 课型：新授课 1．知识与技能 （1）使学生掌握常用不等式的基本性质； （2）会将一些基本性质结合起来应用. （3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系； 教学目标 2．过程与方法 以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等 式的有关基本性质研究不等关系； 3.情感、态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情 境、实际背景的的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学 生学习方式，提高学习质量。 教学重点理解不等式的性质及其证明 教学难点利用不等式的基本性质证明不等式 批注教学过程： 一、复习提问 1．比较两实数大小的理论依据是什么？ 2．“作差法”比较两实数的大小的一般步骤. 3．初中我们学过的不等式的基本性质是什么? 基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的 方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. 其数学含义： （1）若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c； （2）若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ， c a ＞c b ；（3）若a ＞b ， c ＜0，则ac ＜bc ，c a ＜c b ..二、新授 常用的不等式的基本性质 （1）a b b a , （对称性） （2）c a c b b a >?>>, （传递性） （3）c b c a b a +>+?>, （可加性） （4）,0a b c ac bc >>?>；,0a b c ac bc >?>>>>0,0（同向不等式的可乘性） （6）n n n n b a b a n N n b a >>?>∈>>,1,,0 （可乘方性、可开方性）例1：已知0,0,a b c >><求证：c c a b >例2：如果30＜x ＜42，1６＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y 及 y x 的取值范围.∵30＜x ＜42，1６＜y ＜24 ∴－4８＜－2y ＜－32， ∴30＋1６＜x ＋y ＜42＋24 即4６＜x ＋y ＜６６； ∴30－4８＜x －2y ＜42－32 即－1８＜x －2y ＜10； .8 2145,16 422430<<< 不等关系与不等式（第一课时） 、教学任务分析1感受不等关系的普遍存在 通过一系列的具体情境，使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系。 2、禾U用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 通过具体问题情境，让学生学习如何利用不等式（组）研究及表示不等关系，进一步理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 3、初步掌握运用作差比较法比较实数和代数式的大小。 二、教学重点和难点 重点：用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题，理解不等式（组）刻画不等关系的意义和价值。 难点：用不等式（组）正确表示出不等关系。 三、教学基本流程 四、教学情景设计 1、引入：章头图及古诗《题西林壁》引入，介绍不等量关系也是自然界中存在的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中也起着重要的作用，也正是实际问题的需要我 们要研究不等量关系。介绍本章将要研究表示不等量关系的不等式的基本知识。 设计意图：使学生体会不等关系的普遍存在，了解学习不等式的意义。 2、创设情境，让学生感受生活中的不等关系。 低至几折）；（3）产品含量指标。问：表示什么含义？怎么表示其中的不等关系？ 生：分析各种不等关系，口答并尝试用不等式（组）表示。 师：引导学生准确表述，给出不等式定义，板书学生口答的各问题中不等式（组）。设计意图：进一步让学生感受生活中的不等关系，知道用不等式（组）表示这种不等关 系。 3、知识探究一：具体情境中如何用不等式研究及表示不等关系。 师：多媒体出示问题1（销售收入问题）、2（实际安排生产问题）。学生：独立思考后，与本组同学交流讨论结果。完成后交流展示，小组代表板书结果，并说明式子的含义。 师：点评学生结果，找有不同结果的小组讲解不同方法或补充，引导学生分析比较。设计意图：问题方式给出，强化学生的问题意识，使学生在具体问题情境中经历如何利用不等式研究及表示不等关系。小组合作探究，使学生交流对于问题的认识。展示不同结果，使学生认识思考问题严谨性和不同角度。师最后介绍两问题中反映的生产要求如何解决，是本章后续章节会解决的问题。激发学生学习欲望，体会数学知识与生活的密切相关。 4、知识探究二：比较实数和代数式大小的方法——作差法。 生：结合学案上知识探究二中所填结果，与同组学生交流结论。师：提问引导学生表述：要比较两数或代数式大小，可以让两数或两式相减，比较结果和0的大小。若结果大于0，则前者大于后者；若。 设计意图：让学生分析作差法具体做法，明确这种比较大小的方法如何运用。 5、课堂练习：作差法比较代数式的大小。 生：可独立完成，也可与同组同学交流，在规定时间完成。师：巡视，指导学生疑难处，找完成好的两生板演结果，并让板演学生讲解。点评学生 思路，进一步总结作差法中变形结果的形式：①化成非负或非正式子的和②因式相乘（除）, 强调变形中配方法、因式分解的方法。并引导学生总结作差法步骤并板书。 设计意图：让学生动手练习具体题目，掌握作差法比较代数式大小的方法和步骤，特别 注意变形的结果及用到的方法。 6、课堂小结：学生反思学到了什么知识、方法？ 第七章不等式 知识点 最新考纲 不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质. 一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式. 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题. 基本不等式 ab≤a＋b 2 (a，b＞0) 掌握基本不等式ab≤ a＋b 2 (a，b＞0)及其应用. 绝对值不等式 会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式． 了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a ②a <0b >0，0 《1 不等关系》教案 教学目标 （一）教学知识点： 1、理解不等式的意义． 2、能根据条件列出不等式． （二）能力训练要求： 通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力． （三）情感与价值观要求： 通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用，并以此激发学生学习数学的信心和兴趣． 教学重难点 教学重点：用不等关系解决实际问题． 教学难点：正确理解题意列出不等式． 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 ［师］我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题．同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题．本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用． 二、新课讲授 一）［师］既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？［生］可以．举身边的例子． ［师］很好．那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题．如图，正方形的边长和圆的直径都是a cm． （1）如果要使正方形的周长不大于25 cm，那么正方形的边长a应满足怎样的关系式？（2）如果要使圆的周长不小于100 cm，那么圆的直径a应满足怎样的关系式？ （3）当a=8时，正方形和圆的周长哪一个较长？a=12呢？ （4）你能得到什么猜想？改变a的取值，再试一试． ［师］本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的周长计算公式，另一个是了解“不大于”、“大于”等词的含意． ［生］正方形的周长等于边长的4倍． 圆的周长是πR，其中R是圆的半径． 两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于． 二）［师］下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答． ［生］（1）正方形的边长为a，所以正方形的周长为4a，要使正方形的周长不大于25 cm，就是4a≤25． （2）因为圆的直径为a，所以圆的周长为πa，要使圆的周长不小于100 cm，就是πa≥100．（3）当a=8时，正方形的周长为4x8=32cm．圆的周长为π8≈25.12cm． ∵25.12＜32． ∴此时正方形的周长较长． 当a=12时，正方形的周长为12x4=48cm．圆的周长为π12≈37.68cm．此时还是正方形的周长较长． （4）我们可以猜想，对于边长为a的正方形和直径为a的圆，无论a取何值，圆的周长总小于正方形的周长，即πa＜4a． 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄．通常规定以树干离地面1.5 m 的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约为 3 cm．这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m？（只列关系式）． ［师］请大家互相讨论后列出关系式． ［生］设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4 m，得 3x+5＞240． 【议一议】 观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？一般地，用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）． 例：你会用式子表示下面的数量关系吗？ （1）下图为公路上对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行使的速度不得超过40Km/h，用v（km/h）表示汽车的速度，怎样表示v和40之间的关系？ 陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学 3.1不等关系及不等式导学 案 北师大版必修5 【学习目标】1．知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简单的不等式； 2．过程与方法：通过解决具体问题，学会依据具体问题的实际背景分析问题、 解决问题的方法； 3．情态与价值：通过讲练结合，培养学生转化的数学思想和逻辑推理能力. 【学习重点】知识与技能：掌握不等式的基本性质，会用不等式的性质证明简 单的不等式 【学习过程】 （一） 基础学习 在初中，我们已经学习过不等式的一些基本性质。 请同学们回忆初中不等式的的基本性质。 （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等号的方向不改变； 即若a b a c b c >?±>± （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个（ ）数，不等号的方向不改变； 即若,0a b c ac bc >>?> （3）不等式的两边同时乘以或除以同一个（ ）数，不等号的方向改变。 即若,0a b c ac bc >><求证： c c a b >。（温馨提示：构造1 1 a b ab ab ?>?） 2、(B)比较(a ＋3)（a －５）与（a ＋2）（a －4）的大小。 （温馨提示：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可 以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至 于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)。根据实数运算的符号法则来得出两个 代数式的大小。比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题。） 个 性 笔 记 1、 (A)比较大小： （1）（x ＋５）（x ＋７）与（x ＋６）2 （2）2256259x x x x ++++与 （3）251 - 561 -；2019-2020学年度最新苏教版高中数学苏教版必修五学案：3-1 不等关系
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