合情推理与演绎推理题型整理总结讲解

用归纳推理发现规律
1： 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
3135sin75sin15sin020202；23150sin90sin30sin020202；
3165sin105sin45sin020202；23180sin120sin60sin020202.
3)60(sinsin)60(sin02202
=2002200)60sincos60cos(sinsin)60sincos60cos(sin
3)cos(sin2322=右边
1）结构的一致性,（2）观察角的“共

1）先猜后证是一种常见题型
2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三
（周期性）
用类比推理猜想新的命题
2：已知正三角形内切圆的半径是高的1
，把这个结论推广到空间正四面体，
______.
hrarahS
121321，类比问题的解
hrSrShV
131431即正四面体的内切球的半径是高
1
（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与

3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；
点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。
4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂

利用“三段论”进行推理
3 某校对文明班的评选设计了edcba,,,,五个方面的多元评价指标，并通过经
dcbaS1来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好，若
abedc0，则下阶段要把其中一个
1个单位，而使得S的值增加最多，那么该指标应为 ．（填
dcba,,,,中的某个字母）
edcba,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S的值越大，而在分
1的前提下，分母越小时，S的值增长越多，abedc0，所
c增大1个单位会使得S的值增加最多
S值的变化规律 ；此题的大前提是隐含的，需要经过

下列说法正确的是
）
类比推理是由特殊到一般的推理
演绎推理是特殊到一般的推理
归纳推理是个别到一般的推理
合情推理可以作为证明的步骤
答案： C
已知
(1,2,,)
ain，考察下列式子：1
1()1iaa；121211()()()4iiaaaa；
23
23111()()()9iiiaaaaaa. 我们可以归纳出，对12,,,naaa也成立的类似不

2
2111()()nnaaanaaa
现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是
的正方
a．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的
．
解析]解法的类比（特殊化）
3a
已知ABC的三边长为
ba,,，内切圆半径为r（用的面积表示ABCS
），
S)(
1cbar；类比这一结论有：若三棱锥BCDA的内切球半径为R，
AV
[解析] 1
ABCABDACDBCDRSSSS
在平面直角坐标系中，直线一般方程为
CByAx，圆心在),(
0yx的圆的
22
20)()(ryyxx；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的
般方程为____

____________,球心在),,(
00zyx的球的一般方程为
AxByCzD；2222
00()()()xxyyzzr
（1）已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前
那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的

比等差数列的定义给出“等和数列”的定
；
2） 已知数列
a是等和数列，且21a，公和为5，那么18a的值为
．
（1）在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么

2）3
a；
对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：
13 23135 241357
35 337911 3413151719
2513579, 若3*()mmN的分解中最小的数是
，则m的值为

9m
全国I卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
B城市；
C城市；
.
.
、小王、小刘、小张参加了今年的高考，考完后在一起议论。
“我肯定考上重点大学。”
“重点大学我是考不上了。”
“要是不论重点不重点，我考上肯定没问题。”
三人中考取重点大学、一般大学和没考上大学的各有一个，并且他们三
（ ）
A）小王没考上，小刘考上一般大学，小张考上重点大学
B）小王考上一般大学，小刘没考上，小张考上重点大学
C）小王没考上，小刘考上重点大学，小张考上一般大学
D）小王考上一般大学，小刘考上重点大学，小张没考上
、给出下列三个命题：①若
baaba11,1则；②若正整数nm和满足nm，
)(nmnm；③设9:),(22111yxOyxP为圆上任意一点，圆2O以),(baQ为
1。当1)()(2
21ybxa时，圆21OO与圆相切。
的个数是（ ）
A） 0 （B ） 1 （C）2 （D）3

、设函数
21)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求
(5)(0)(5)(6)ffff的值为 .

1）由推理知识，可知应选（C）
3）由不等式的基本性质以及圆方程的性质，可知应选（B）

4）分析 此题利用类比课本中推导等差数列前n项和公式的倒序相加法，观察每一个因
)1()(xfxf：
21)(xxf，
xxxxxf
22212222221)1(1，
2
22211)1()(xxxfxf，
)1()(xfxf正好是一个定值， 12
22S，23S.

1：（1）迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王
8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通
（ ）
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
C。解析：观察可知：
1(2,,6,4,2
342312naaaaaaaann

)1(2)222)(1()1(2421nnnnnaan，
41
22nnan验证可知1681符合此式，且41×41=1681。
2）下面给出了关于复数的四种类比推理：

a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
),,(02Rcbacbxax有两个不同实数根的条件是042acb可以类比
),,(02Ccbacbzaz有两个不同复数根的条

件是042acb；
.
其中类比错误的是 ( )
.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
D 。解析：由复数的性质可知。
3）定义ADDCCBBA,,,的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那
A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
.DADB, B.CADB, C.DACB, D.DADC,
B。
3：在△ABC中，若∠C=90°，AC=b,BC=a，则△ABC的外接圆的半径
22bar，把上

。考虑到平面中的图形是一个直角三角形，
3个面两两垂直的四面体来考虑。
A—BCD，且AB=a，AC=b，AD=c，
222cbar。
4： 请你把不等式“若
1,aa是正实数，则有21
22221aaaaaa”推广到一般情形，并

推广的结论：若
aaa,,,21都是正数，
n
naaaaaaaaaaa211212322221
∵
aaa,,,21都是正数 ∴ 12
212aaaa，211222aaaa
212nn
naaaa，nnaaaa2112
n
naaaaaaaaaaa211212322221

．给定集合A、B，定义},,|{BnAmnmxxBA，若A={4,5,6},B={1,2,3},
BA中的所有元素之和为 （ ）

A 。 解析：}5,4,3,2,1{BA，1+2+3+4+5＝15。
．观察式子：
7
131211,3531211,23211222222，…，则可归纳出式子为（ ）
、
211
1211222nn B、121131211222nn
、
n
12131211222 D、122131211222nnn
C。解析：用n=2代入选项判断。
．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
，直线a平面，直线b∥平面，则直线b∥直线a”的结论显然是错误
（ ）
大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律性，第30
28个三角数的差为 。
59。解析：记这一系列三角数构成数列
a，则由,4,3,2
42312aaaaaa归
,30
292930aaaa，两式相加得592830aa。或由321,21,1321aaa，
a
21。
．数列}{
a是正项等差数列，若
naaaabnn32132321，则数列}{nb也为等差
. 类比上述结论，写出正项等比数列}{
c，若nd= ，则数列{nd}
.
nn
cccc321133221)(。
．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提
。

．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由
颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形,
28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图
所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件

上,按照这种规律增加一定数量的珠
,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝;则
n件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用n表示)
答案：66, 1416nnn。解析：利用归纳推理知。 8．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形， 按图所标边长，由勾股定理有：.222bac 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用321,,sss表示三个侧面面积，4s表示截面面积，那么你类比得到的结论是 .
2
232221SSSS。
．已知椭圆C：
222
yax具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭
C上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K
、KPN时，那么KPM与KPN之积
P位置无关的定值。试对双曲线
222
yax写出具有类似特性的性质，并加以证明。
。类似的性质：若M、N是双曲线
222
yax上关于
P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K
、
时，那么KPM与KPN之积是与点P位置无关的定值。证明如下：
,(),,(nmNnmM则，其中
222
nam 图1 图2 图3 图4
,(yxP，由
xnyKmxnyKPNPM,，
222
xnymxnymxnyKKPNPM
22
2222222,bm
bnbxaby代入得22abKKPNPM。
．观察下面由奇数组成的数阵，回答下列问题：

20行的第一个数．
20行的所有数的和．
（Ⅰ）第六行的第一个数为31
n行的最后一个数是21nn，第n行共有n个数，且这些数构成一个等差数
n行的第一个数是
na ∴2112(1)nnnan ∴211nann
∴第20行的第一个数为3
20行构成首项为381，公差为2的等差数列，且有20个数
20行的所有数的和为
S则2020(201)3812028000
S

组
．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为 （ ）
．25 B．6 C．7 D．8
C。解析：对于(1)
nn中，当n＝６时，有6721,2所以第２５项是７。
．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当FBAB时,其离心率为51
,此类椭圆被称
”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ）
A.51
B.512
C.51 D.51
A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率e等于51
.事实上对直角△ABF应用勾
,得222AFBFAB,即有22222()()()acbcab,
222bca,ce
,变形得210,eee从而51
. O x A B F y 191715131197531
．下面几种推理过程是演绎推理的是 （ ）
、两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠
°
、由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
、某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过
人
、在数列
a中，)2)(1(
1,1
1

1naaaannn，由此推出na的通项公式
A。解析：B是类比推理，C、D是归纳推理。
．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据
。
①。解析：②是大前提，③是小前提，①是结论。
．公比为4的等比数列
b中，若nT是数列nb的前n项积，则有
4020301020,,TTTTTT也成等比
1004；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列
a中，若nS是na
n项和，则数列 也成等差数列,且公差为 。
20SS，2030SS，3040SS；300。解析：采用解法类比。
．二十世纪六十年代，日本数学家角谷发现了一个奇怪现象：一个自然数，如果它是偶数
2除它，如果是奇数，则将它乘以3后再加1，反复进行这样两种运算，必然会得到什

6，按角谷的作法有：6÷2=3，3×3+1=10，3×5+1=16，16÷2=8，8÷2=4，
÷2=2，2÷2=1，其过程简记为6→3→10→5→16→8→4→2→1。
7，则有7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→……→1。
100，则100→50→25→76→38→19→58→29→88→44→22→……→1。
1。
．圆的垂径定理有一个推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，这一性质能推广到椭
AB是椭圆
0(1
222ba
yax的任一弦，M是AB的中点，设OM与AB的斜率都
K
、KAB，则KOM与KAB之间有何关系？并证明你的结论。
K
·KAB=
2
b。证明：设),(),,(),,(002211yxMyxByxA，
212122121
22222221221))(())((11byyyyaxxxx
yaxbyax=0
2
12100021021,2,2abxxyyxyyyyxxx
K
·KAB=
2
b，而ba，即KOM·KAB≠－1
OM与AB不垂直，即不能推广到椭圆中。
组
．为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解
),已知加密规则为:明文,,,abcd对应密文2,2,23,4abbccdd,例如,明文
2,3,4
5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为（ ）
．4,6,1,7 B．7,6,1,4 C．6,4,1,7 D．1,6,4,7
C。解析：本题考查阅读获取信息能力,实则为解方程组21429
323
28abbccdd，解得6417abcd，
6,4,1,7。
．平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成
(nf块
)3(,4)2(,2)1(fff，则)(nf的表达式为 （ ）
、n
B、22nn C、)3)(2)(1(2nnnn D、410523nnn
B。解析：由
nfnfffffff2)()1(,6)3()4(,4)2()3(,2)1()2(猜测，利用累
)(2nnnf。
．设
21)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得
6()5()0()4()5(fffff的值为 （ ）
、
B、22 C、32 D、42
C。解析：
2)1()(xfxf。
．考察下列一组不等式：
525252,525252,52525232235533442233

使以上的不等式成为推广不等式的
___________________.
答案：0,,,0,nmbababababamnnmnmnm（

或nmbaba,,,0,为
。解析：填mnnmnmnm525252以及是否注明字母的取值符号和关系，也行。
．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正四边形
.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为
a，
a ；
45991111aaaa＝ .
42；
97。
．指出下面推理中的大前提和小前提。
1）5与2
可以比较大小； （2）直线cabcbacba//,//,//,,,则若。
（1）大前提是实数可以比较大小，小前提是5与
2是实数。
（2）大前提是平行于同一条直线的两直线互相平行，小前提是
cba//,//。
．已知函数
(xfy，对任意的两个不相等的实数
1,xx，都有)()()(2121xfxfxxf成立，
)0(f，求)2006()2005()2005()2006(ffff的值。
()0()0(,,0
1xffxfxxx时，由1)0()()(,1)0(,0)0(fxfxfff，
2006()2005()2005()2006(ffff=
)0()0()0()0()2005()2005()2006()2006(ffffffff
．已知数列{a
}满足Sn＋an＝2n＋1,
写出a
, a2, a3,并推测an的表达式；
证明所得的结论。
(1) a
＝
3, a2＝47, a3＝815, 猜测 an＝2－n
1
①由（1）已得当n＝1时，命题成立；
n＝k时,命题成立，即 a
＝2－
1,
当n＝k＋1时, a
＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a
＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－a
＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2a
1＝2＋2－
1, ak＋1＝2－121k, 即当n＝k＋1时,命题成立.
n∈N+ , a
＝2－
1都成立

2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：
52的“分裂”中最大的数是___________，若3m的“分裂”中最小的数是211，则m
___________.
Q为有理数集，R为实数集，C为复数集）；
①",,0,"abRabab若则类比推出",,abC若0";abab，则
②",,,,,,"abcdRabicdiacbd若复数则类比推出
,,,abcdQ
若22,,";abcdacbd则
",,0,"abRabab若则类比推出",,0,";abCabab若则
_____________（写出所有正确结论的序号）
1111()
2fnnnnn，则()fn中共有 项．
()()()()fxxaxbxc(,,abc是两两不等的常数),则
//
)()()abcfafbfc
______________.

”此推理类型属于
．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理
“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以2a＞0”，你认为这个
）
．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的
l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：1
S底高，可
）
21
r Ｂ．212l Ｃ．12rl Ｄ．不可类比
）
Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形
1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，
）
25 Ｂ．66 Ｃ．91 Ｄ．120
114113112log1log1log1log1P，则（ ）
A．10P B．21P C．32P D．43P
16进1的计数制，采用数字09和字母AF共16个计

0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5

6 7
8 9 A B C D E F
8 9 10 11 12 13 14 15
1EDB,则BA（ ）
．6E B．72 C．5F D．0B
bababa则,62,,22R的最小值是（ ）
A．22 B．
35 C．－3 D．27

)(
1(12tnNnna 记)1()1)(1()(21naaanf试通过计算
3(),2(),1(fff
)(nf的值。
abc，，，使得等式222222421(1)2(2)()nnnnnanbnc对
n都成立？若存在，求出abc，，的值；若不存在，说明理由．
11...122...2()nnn是正整数
)(),0)(2sin()(xfxxf图像的一条对称轴是
x.
1）求的值； （2）求)(xfy的增区间； （3）证明直线025cyx与函
)(xfy的图象不相切。
1.
，152. ①②3. 21nn4. 0 解析：
'
)()()()()()(),()()()fxxbxcxaxcxaxbfaabac

''()()(),()()()fbbabcfccacb，
//
)()()()()()()()()abcabcfafbfcabacbabccacb
()()()0
)()()abcbaccababacbc
5.
6. A7. Ｃ8. Ｃ9. Ｃ10. B 解析：令10,10xy，"1"xy不能推
22"1"xy；反之222211121
xyxyxyxy
解析：
11111111log2log3log4log5log120P，
11111log11log120log1212，即21P
解析：1011110166146ABE14. C 解析：令
cos,3sin,3sin()3abab

：（1）
31)1(1af…6432)911)(1()2(ff…
5)1611)(2()3(ff…得出猜想
1(22)(nnnf………16. 解析：假设存在abc，，，

123n，，代入等式得01643
918abcabcabc，，，解得1414
abc，，，以下用数学归纳法证明等式
222224211
1)2(2)()
4nnnnnnn对一切正整数n都成立．
1）当1n时，由以上可知等式成立；
2）假设当nk时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()
4kkkkkkk，
1nk时，
2222222
[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]kkkkkkkk
22222
1)2(2)()(21)2(21)(21)kkkkkkkkk
24211(1)11
1)(1)(1)
4244kkkkkkk·．
1）（2）知，等式结一切正整数
都成立．
11...122...211...11011...122...2nnnnnn
1011...111...1(101)nn
nn
911...1311...133...3
nnn
（1）由对称轴是
x，得sin()1,,4424kk，
0，所以3
（2）33()sin(2),2224242fxxkxk
5
8kxk，增区间为5[,],()88kkkZ
3）'33()sin(2),()2cos(2)2
4fxxfxx，即曲线的切线的斜率不大于2，
025cyx的斜率52
，即直线025cyx不是函数)(xfy的切线。