新疆奎屯市第一高级中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试卷 含解析

奎屯市第一高级中学2018----2019学年第二学期第一次

月考试卷高二数学（文科）

一：选择题。

1.设集合A＝{(x，y)|

22

1

416

x y

+= }，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是( )

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 【答案】D

【解析】

集合A表示椭圆

22

1

416

x y

+=上的点组成的集合，集合B表示函数3x

y=上的点组成的集合，则A∩B表示两图像的

交点组成的集合，绘制图像如图所示，观察可得，交点个数为2个，结合子集个数公式可得：A∩B的子集的个数是2

24

=.

本题选择D选项.

2.设复数

34

12

i

z

i

+

=

-

，(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z在复平面上对应的点位于( )

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

【答案】C 【解析】 【

分析】

先利用复数的除法法则得到复数的代数形式，再利用共轭复数的概念得到z ，再利用复数的几何意义进行求解． 【详解】因为34i (34i)(12i)510i

12i 12i (12i)(12i)5

z +++-+=

===-+--+，所以12i z =--，则z 在复平面上对应的点(1,2)--位于第三象限．故选C ． 【点睛】本题主要考查复数的除法运算、复数的几何意义和共轭复数，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题．

3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，如果()0'0f x =，那么0x x =是函数()f x 的极值点．因为函数()3

f x x =在0x =处的导数值()'00f =，所以0x =是函数()3

f x x =的极值点．以上推理中（ ）

A. 小前提错误

B. 大前提错误

C. 推理形式错误

D. 结论正确

【答案】B 【解析】

大前提：如果f ′(x 0)＝0，那么x ＝x 0是函数f (x )的极值点，错误．

4.下列说法正确的是（ ）

A. 在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法

B. 线性回归方程对应的直线y b x a ∧

∧

∧

=+至少经过其样本数据点中的()11,x y ，()22,x y ，()33,x y

(),n n x y 一个点

C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高

D. 在回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比相关指数2R 为0.80的模型拟合的效果差 【答案】C 【解析】

分析：首先对每个选项一一进行分析，需要明确独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，回归直线可能不过任何一个样本数据点，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模拟精度越高，相关指数越大，拟合效果越好的结论，就可以正确选出结果.

详解：对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，所以A 错； 对于B ，线性回归方程对应的直线y b x a ∧

∧

∧

=+可能不过任何一个样本数据点，所以B 错误； 对于C ，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以C 正确；

对于D ，回归分析中，相关指数2R 为0.98的模型比相关指数2R 为0.80的模型拟合的效果好，所以D 错误. 故选C.

点睛：根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数2R 的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

5.淮北一中艺术节对摄影类的A ，B ，C ，D 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下： 甲说：“是C 或D 作品获得一等奖”； 乙说：“B 作品获得一等奖”；

丙说：“A，D 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是C 作品获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（ ）. A. A 作品 B. B 作品

C. C 作品

D. D 作品

【答案】B 【解析】

根据题意，A ，B ，C ，D 作品进行评奖，只评一项一等奖，

假设参赛的作品A 为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意； 假设参赛的作品B 为一等奖，则甲、丁的说法都错误，乙、丙的说法正确，符合题意； 假设参赛的作品C 为一等奖，则乙的说法都错误，甲、丙、丁的说法正确，不符合题意； 假设参赛的作品D 为一等奖，则乙、丙、丁的说法都错误，甲的说法正确，不符合题意； 故获得参赛的作品B 为一等奖； 故选：B ．

6.已知向量(,1),(2,),,a x z b y z a b =-=+⊥且若变量,x y 满足约束条件 1325x y x x y ≥-??

≥??+≤?

，则z 的最大值为( )

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

【答案】B

【解析】 【分析】

先利用平面向量的数量积为0得到,,z x y 的关系式，作出可行域和目标函数基准直线，由图象得出最优解． 【详解】因为(,1),(2,),a x z b y z a b =-=+⊥，所以2()0x z y z -++=，即2y x z =-+，作出可行域和目标函数基准直线2y x =-（如图所示），当直线2y x z =-+向右上方平移时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距z 增大，由图象得当直线2y x z =-+经过点(1,1)A 时，z 取得最大值，即max 3z =．故选B ．

【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算、简单的线性规划问题，意在考查学生的数形结合思想的应用能力、基本运算能力，属于中档题．在作可行域和目标函数基准直线时，要注意可行域边界直线的实虚之分、目标函数基准直线和可行域边界直线的倾斜程度.

7.等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，若3895,45a a S +==，则11S =( ) A. 0 B. 10

C. 20

D. 25

【答案】A 【解析】 【分析】

设出等差数列的首项和公差，利用通项公式和前n 项和公式得到关于首项和公差的方程组，再利用前n 项和公式进行求解．

【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为389

545a a S +=??

=?，所以11295

93645a d a d +=??+=?，

即1129545a d a d +=??+=?，解得1255a d =??=-?

，则111110

2511502S ?=?-

?=．故选A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，意在考查学生的基本运算能力，属于基础题．

8.已知实数,6,9m -构成一个等比数列，则圆锥曲线2

21x y m

+=的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

先根据等比中项公式求出m 值，再判定圆锥曲线的形状，进而求出离心率．

【详解】因为,6,9m -成等比数列，所以936m -=，解得4m =-，则22

14x y -=的离心率为1

e ==．故

选D ．

【点睛】本题主要考查等比数列、圆锥曲线的标准方程和离心率，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于基础题．

9.如图，点,M N 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1111,A B A D 的中点，用过点,,A M N 和点1,,D N C 的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（ ）

A. ①③④

B. ②④③

C. ①②③

D. ②③④

【答案】D 【解析】

由正视图的定义可知：

点A. B . 1B 在后面的投影点分别是点D. C . 1C ，

线段AN 在后面的投影面上的投影是以D 为端点且与线段C 1C 平行且相等的线段，即正视图为正方形，

另外线段AM 在后面的投影线要画成实线,被遮挡的线段D 1C 要画成虚线， 故几何体的正视图为②，左视图为③，俯视图为④； 故答案为：②、③、④ 选D

点睛：直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可

10.已知A 、

B 、

C 在球心为O 的球面上，△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a,b,c 且222a b c bc,==++

球心O ，则该球的表面积为（ ）

A. 12π

B. 10π

C. 9π

D.

【答案】A 【解析】 【分析】

根据余弦定理和正弦定理，求出△ABC 的外接圆（截面圆）的半径，进而结合球心O 到截面ABC 的距离为们可以求出球半径，代入球的表面积公式，即可求出答案．

【详解】解：由已知中a 2＝b 2+c 2

+bc ，

易得cos ∠A 2221

22

b c a bc +-==-

则∠A 23

π=

则sin ∠A =

则△ABC 的外接圆半径有：2r a

sinA

==2 即△ABC 的外接圆半径r ＝1

又∵球心O 到截面ABC

故球的半径为R =则该球的表面积S ＝4?π?R 2

＝12π 故选：A

【点睛】本题考查的知识点是球的表面积与正弦定理及余弦定理，其中根据已知条件计算出球的半径是解答本题的

11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，33()()22f x f x +=-，且3,02x ??

∈- ???

时，2()log (31)f x x =-+，

则(2020)f =( ) A. 4 B. 2log 7

C. 2

D. 2-

【答案】D 【解析】 【分析】

先利用3

3()()22

f x f x +=-得到函数的周期性，再利用函数的奇偶性和对数运算进行求解．

【详解】因为函数()f x 满足33()()22

f x f x +=-，所以(3)()f x f x +=，即函数()f x 是以3为周期的周期函数，又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且3,02x ??

∈-

???

时，2()l o g (31)

f x x =-+，所以2(2020)(1)(1)

l o g 42

f f f ==--

=-=-．故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用以及对数运算，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力，属于中档题．本题的易错点在于“正确根据3

3()()22

f x f x +=-判定函数()f x 是以3为周期的周期函数，而不是图象关于直线3

2

x =

对称”，在处理函数的周期性和对称性时，要注意以下结论：若函数()f x 满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称；若函数()f x 满足()()f x a f x a +=-或(2)()f a x f x +=，则函数()f x 是以2a 为周期的周期函数.

12.已知函数2

()x x f x e

=，下列关于()f x 的四个命题；

①函数()f x 在[]01，上是增函数 ②函数()f x 的最小值为0

③如果[]0,x t ∈时max 24

()f x e

=，则t 的最小值为2 ④函数()f x 有2个零点 其中真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

∵函数()2

x x f x e

=

∴()(2)x f x x x e -=-'

∴令()0f x '>，得02x <<，即函数()f x 在,2（0）上为增函数；

令()0f x '<，得0x <或2x >，即函数()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞上为减函数.

∵函数2

()0x x f x e

=≥在R 上恒成立

∴当0x =时，min ()(0)0f x f ==，且函数()f x 的零点个数只有一个. 当0x >时，max 24()(2)f x f e ==，则要使[]0,x t ∈时()2max

4

f x e

=，则t 的最小值为2，故正确. 综上，故①②③正确. 故选C.

二．填空题。

13.观察下列等式：332333233332123,1236,123410,+=++=+++=根据上述规律写出第六个等式为 ． 【答案】33333332123456728++++++= 【解析】 【分析】

根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23＝（1+2）2＝32，13+23+33＝（1+2+3）2 ＝62，13+23+33+43

＝（1+2+3+4）2

＝102

，进而可得答案．

【详解】解：根据题意，分析题干所给的等式可得： 13+23＝（1+2）2＝32， 13+23+33＝（1+2+3）2 ＝62， 13+23+33+43＝（1+2+3+4）2 ＝102，

则13+23+33+43+…+n 3＝（1+2+3+4+…+n ）2

＝（

()12

n n +）2

，

故答案为：13+23+33+43+…+n 3

＝（

()12

n n +）2

故第六个等式为

33333332123456728++++++=

【

点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是发现各个等式之间变化的规律以及每个等式左右两边的关系．

14.定义某种运算?，a b ?的运算原理如图所示：设()(0),f x x x =?则()f x 在区间[]22-,

上的最小值为_________

【答案】4- 【解析】 【分析】

先根据程序框图的功能得出a b ?的意义，再求出函数()f x 的解析式，进而求出最小值．

【详解】由程序框图，得,,b a b

S a b a a b ?≥=?=??

，易知()f x 在区间[]22-,

上的最小值为(2)4f -=-． 【点睛】本题主要考查新定义题目、程序框图，意在考查学生的逻辑思维能力，属于基础题．

15.给出下列命题： ①若α ，β 是第一象限角且αβ< ，则tan tan αβ< ；

②函数sin 2y x π?

?=- ??

? 在[0]π，

上是减函数； ③8

x π=

是函数5sin 24

y x π?

?

=+

??

?

的一条对称轴；

④函数sin 23y x π??

=+

??

?

的图象关于点012π??

???， 成中心对称；

⑤设4

x π

≤

，则函数2

()cos sin f x x x =+ 的最小值是

12

，其中正确命题的序号为 __________． 【答案】③⑤ 【解析】 对于①，13,6

6π

παβ=

=

时，αβ<，而tan tan αβ=，故①错误；对于②，sin cos 2y x x π?

?=-=- ??

?在[]0,π上

递增，故②错误；对于③，8

x π

=

时，53242x ππ+

=，8x π=是524y sin x π?

?

=+

??

?

的对称轴，故③正确；对于④，12

x π

=

时，2,,03

212x π

ππ?

?+

=

?

??不是23y s i n x π?

?=+ ??

?的对称中心，故④错误；对于⑤，

()2

2511sinx sin sin 42f x x x x ??=-+=-- ???

，设sin ,x t =因为4x π≤ ，所以t ≤≤

,则()()g t f x = ，

()g t 在21,2??????上递增，在12,2?????? 上递减，因为22g g ????-< ? ? ????

可得2t =-时，()min g t =，

即函数()2

cos sin f x x x =+ ，故⑤正确，故答案为③⑤. 【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，综合考查三角函数的单调性、三角函数的奇偶性、三角函数的图象与性质，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

16.如图，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若||2||BC BF =，且||3AF =，则此抛物线的方程为 ．

【答案】23y x = 【解析】

试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，作,AM BN 垂直准线于点,M N ，设准线与x 轴交于M ，则BN BF =，又

||2||BC BF =，得2B C B N =，∴30NCB ∠=?，所以26AC AM ==，又||3AF =，所以F 为AC 的中点，

所以13

22

p FK AM ==

=，所以此抛物线的方程为23y x =．所以答案应填：23y x =． 考点：抛物线的标准方程．

【思路点睛】根据过抛物线2

2(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，作,AM BN 垂直准线于点

,M N ，设准线与x 轴交于M ，根据||2||BC BF =，且||3AF =和抛物线的定义，可得30NCB ∠=?，易知FK 为

Rt AMC ?的中位线，而可求得13

22

p FK AM ==

=，即求得抛物线的方程．本题考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．属于中档题．

三．解答题。

17.已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】(Ⅰ)22n a n =+；(Ⅱ)128. 【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写

出等差数列的通项公式即可；（Ⅱ）先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =. 又因

1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =.

所以42(1)22n a n n =+-=+(1,2,)n =.

（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.

所以61

642128b -=?=.

由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列

的

通项公式.

【此处有视频，请去附件查看】

18.设函数()22

sin 2sin cos 6f x x x x π??=++- ??

?.

（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若角A 满足()1f A =，a =

ABC △b c +的值. 【答案】(1) ,63k k ππππ??

-++?

???

，k Z ∈；(2) 3b c +=. 【解析】 【分析】

（1）将函数化成()26f x sin x π??

=-

??

?的形式，

再根据正弦函数的单调增区间求解．（2）结合条件及（1）得到3

A π

=，

由面积可得2bc =，然后根据余弦定理经变形后可得3b c +=．

【详解】（1）由题意得()1cos2cos22f x x x x =+- 1cos2sin 226x x x π?

?=-=- ??

?， 令2222

6

2

k x k π

π

π

ππ-+≤-≤

+，k Z ∈，

得6

3

k x k π

π

ππ-

+≤≤

+，k Z ∈.

所以函数()f x 的单调递增区间为,63k k ππππ??

-

++????

，k Z ∈．

（2）由条件及（1）得()sin 216f A A π?

?

=-= ??

?

， ∵02

A π

<<，

∴526

6

6

A π

π

π-

<-

<

， ∴26

2

A π

π

-

=

，

解得3

A π

=

．

又133

sin 2S bc A =

==

， ∴2bc =．

由余弦定理得2222cosA a b c bc =+-， ∴()()2

2

22

32cos 363

b c bc b c bc b c π

=+-=+-=+-，

∴()2

9b c += ∴3b c +=．

【点睛】在应用余弦定理解题时，要注意公式的常见变形，即2

2

2

()2a b a b ab +=+-，这一变形往往与三角形的面积公式结合在一起，体现了知识间的联系和综合．

19. 天水市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析， 规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后， 得到如下的

列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为

3

11

.

（1）请完成上面的列联表；

（2）根据列联表的数据，若按

99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；

（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽到9号或10号的概率。 参考公式与临界值表：

。

【答案】（1）

（2）按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”

（3）7 36

．

【解析】

试题分析：

思路分析：此类问题（1）（2）直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论。（3）是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值。

解：（1）4分

（2）根据列联表中的数据，得到K2= ≈7.487＜10.828．因此按99.9%的

可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 8分

（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6）共36个．事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、

（4，6）（6，4）共7个．所以P(A)=7

36

，即抽到9号或10号的概率为

7

36

．12分

考点：“卡方检验”，古典概型概率的计算。

点评：中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论。古典概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏。

20.如图所示的多面体中,四边形ABCD 是菱形、BDEF 是矩形，ED ⊥面ABCD ，3

BAD π

∠=

.

（1）求证：平面//BCF 平面AED ；

（2）若BF BD a ==，求四棱锥A BDEF -的体积. 【答案】（1）见解析. （2

）3

V =. 【解析】 试题分析：（1）由是菱形知//BC AD ，推出//BC ADE 面；

由

是矩形得//BF DE 推出//BF ADE 面，从而可得//BCF ADE 面面；

（2）连接AC ，AC BD O ?=由是菱形，及ED ⊥面ABCD ,得到ED AC ⊥，AC BD ⊥

证得AO 为四棱锥A BDEF -的高 由

菱形，3

BAD π

∠=

，得到ABD ?为等边三角形，

根据BF BD a ==；得到,AD a AO ==，从而可计算几何体的体积. 试题解析：证明：（1）由

是菱形//BC AD ∴

,BC ADE AD ADE ??面面//BC ADE ∴面3分

由

是矩形//BF DE ∴

,BF ADE DE ADE ??面面//BF ADE ∴面

,,BC BCF BF BCF BC BF B 面面???=//BCF ADE 面面∴6分

（2）连接AC ，AC BD O ?=由是菱形，AC BD ∴⊥

由ED ⊥面ABCD ,AC ABCD ?面ED AC ∴⊥

,,ED BD BDEF ED BD D ??=面AO BDEF 面∴⊥， 10分

则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由

是菱形，3

BAD π

∠=

，则ABD ?为等边三角形，

由BF BD a ==；则,AD a AO ==

2

BDEF S a =，2313A BDEF V a -=?=14分 考点：1.空间垂直关系；2.几何体的体积.

21.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为6

3

，焦距为2．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的

交点A ，B ．

（1）求椭圆M 的方程；

（2）若1k =，求||AB 的最大值；

（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点

7142Q ??

- ???

,共线，求k ．

【答案】（1）2

213

x y +=；

（2；（3）1k = 【解析】 【分析】

（1）利用椭圆的离心率和焦距确定,,a c b 即可；（2）设出直线方程，联立直线和椭圆方程，得到关于x 的一元二次方程，利用弦长公式进行求解；（3）设出有关点的坐标，利用,A B 在椭圆上得到,A B 的坐标和直线AB 斜率的关系，

再设出直线AB 的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于x 的一元二次方程，得出11117124747x y C x x ??

--

?++??

,，同理得出点D 坐标，再利用,,C D Q 三点共线进行求解． 【详解】（1

）由题意得2c =

，所以c =

又3

c e a =

=

，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2

213

x y +=．

（2）设直线AB 的方程为y x m =+，

由22

13

y x m x y =+???+=??消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()

222

36443348120m m m ?=-?-=->，即24m <，

设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，21233

4

m x x -=，

则

2

1264m AB x ?-=-=， 易得当20

m =时，max ||AB

，故AB ． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，

则221133x y += ①，222

233x y += ②， 又()2,0P -，所以可设1

112

PA y k k x ==

+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122

213

y k x x y ?=+??+=??消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2

1312

11213k x x k =-

-+， 又1112y k x =

+，代入可得13171247

x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以11117124747x y C x x ??--

?++??,，同理可得22227124747x y

D x x ??-- ?++??

,．

故3371,44QC x y ??=+- ???uuu r ，447144QD x y ??=+- ??

?uuu r ,，

因为Q ，C ，D 三点共线，所以3443717104444x y x y ?

???????+--+-= ??? ???????????，

将点C ，D 的坐标代入化简可得

12

12

1y y x x -=-，即1k =． 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的综合问题，意在考查学生的逻辑思维能力、综合分析解决问题的能力，属于难题．处理三点共线时，往往有三种方法： 如：证明,,A B C 三点共线，可采用以下方法：

方法一：写出直线AB 的方程，再证明点C 再直线AB 上； 方法二：利用斜率相等，即AB AC k k =； 方法三：利用向量共线，即AB 与AC 共线.

22.已知函数f(x)＝e x ＋ax －a(a∈R 且a≠0)。

(1)若函数f(x)在x ＝0处取得极值，求实数a 的值；并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a 的取值范围。 【答案】（1）最大值为21

3.e

+；（2）实数a 的取值范围是20e a -<<。 【解析】

【试题分析】(1)求得函数定义域和函数导数,将0x =代入函数的导数,利用导数值为0解方程求得a 的值.再根据函数的单调性求出函数在区间[]2,1-上的最大值.(2)对函数求导后,对a 分成,0,0a a ><两类讨论函数的单调区间,利用不存在零点来求得a 的取值范围. 【试题解析】

解：（1）函数()f x 的定义域为R ，()x

f x e a '=+，

()000f e a '=+=，∴1a =-

在(),0-∞上()0f x '<，()f x 单调递减，在()0,+∞上()0f x '>，()f x 单调递增， 所以0x =时()f x 取极小值.所以()f x 在[)2,0-上单调递增，在(]

0,1上单调递减；

又()2

1

23f e -=

+，()1f e =，()()21f f ->. 当2x =-时，()f x 在[]2,1-的最大值为21

3e

+

（2）()x

f x e a '=+由于0x e >

①当0a >时，()0f x '>，()f x 是增函数， 且当1x >时，()()10x

f x e a x =+->

当0x <时，()()()1110x

f x e a x a x =+-<+-<，

11x a <-

+，取1x a =-，则11110f a a a a ????

-<+--=-< ? ?????

， 所以函数()f x 存在零点

②0a <时，()0x

f x e a ='+=，()ln x a =-.在()()

,ln a -∞-上()0f x '<，()f x 单调递减，

在()()

ln ,a -+∞上()0f x '>，()f x 单调递增，

所以()ln x a =-时()f x 取最小值.()()()

min ln 0f x f a =-<解得20e a -<< 综上所述：所求的实数a 的取值范围是20e a -<<.

【点睛】本小题主要考查利用函数的导数研究函数的极值和最值,考查利用导数研究函数的零点,以此求得参数的取值范围.根据函数在某点处取得极值,可转化为在这点的导数为零,要注意验证在导数零点左右两侧的调性,若两边单调性相同,这该点不是函数的极值点.函数的极值点必须满足左减右增或者左增右减.