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矩阵计算技巧及其应用

北方民族大学学士学位论文

论文题目：矩阵高次方幂的计算及其应用

院(部)名称：信息与计算科学学院

学生姓名：马玉福

专业：数学与应用数学学号：20100589

指导教师姓名：王婧

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北方民族大学教务处

矩阵高次方幂的计算及其应用

摘要

矩阵是解决高等代数问题的一个重要工具，在所给矩阵的阶数较高时，计算量也就很大，本文就针对该问题，结合具体例子，介绍了数学归纳法、二项式展开法、乘法结合律方法、分块对角矩阵法、Jordan标准形法、最小多项式法及特殊矩阵法等多种方法求解矩阵的高次方幂，在许多实际问题、科学计算中也常常涉及到矩阵问题，尤其是矩阵的计算问题，结合具体实例介绍了矩阵计算在实际中的应用。通过做论文对矩阵的高次方幂的计算及其应用提供一个参考。

关键词：高次方幂，相似矩阵，分块矩阵，Jordan标准形，数学归纳法，Hamilton 定理，最小多项式，科学计算，相似矩阵，应用

Cayley

The matrix calculation and application of high power

Abstract

Matrix is an important tool to solve the problem of higher algebra, the order of the given matrix is higher, the amount of calculation is very big also, in this paper, aiming at the problem, combined with concrete examples, this paper introduces the mathematical induction, the binomial expansion method, method of associative law, block diagonal matrix method, the normal form method, minimal polynomial method, and a variety of methods, such as special matrix method is used to solve the matrix of high power, in many practical problems, often involved in the scientific computing matrix problem, especially the calculation problem of matrix, combining with specific examples this paper introduces the application of matrix calculation in the actual. By doing papers on the high power of matrix calculation and its application to provide a reference.

Key words: high power, similarity matrix and block matrix, standard form, mathematical induction, the theorem of minimum polynomials, scientific computing, similar matrix, the applicatio

引言 (1)

第一章矩阵的定义计算及其性质 (2)

1.1 矩阵及其方幂的定义 (2)

1.2 矩阵的基本运算性质 (2)

1.3 方阵幂及其转置的相关性质 (3)

1.4逆矩阵 (4)

1.41逆矩阵的判定及计算方法 (4)

1.42方阵及逆矩阵的相关性质 (4)

1.5分块对角阵及其性质 (5)

第二章矩阵高次方幂的计算技巧 (7)

2.1 利用方阵的可交换性计算矩阵的高次方幂 (7)

2.2 利用数学归纳法计算矩阵的高次方幂 (7)

2.3 利用二项式的展开法计算矩阵的高次方幂 (8)

2.4 利用矩阵乘法结合律计算矩阵的高次方幂 (9)

2.5 利用分块对角矩阵计算矩阵的高次方幂 (10)

2.6 利用Jordan标准形计算矩阵的高次方幂 (11)

2.7 利用最小多项式计算矩阵的高次方幂 (13)

2.8 利用特殊矩阵计算矩阵的高次方幂 (14)

2.8.1 对合矩阵 (14)

2.8.2 幂等矩阵 (15)

2.9 利用图论算法计算矩阵阵的高次方幂 (15)

2.9.1 邻接矩阵 (15)

2.9.2

个

n A

A 的元素的意义 (16)

第三章矩阵计算在实际中的具体应用 (18)

3.1矩阵计算在在实际生活中的应用 (18)

3.2矩阵计算在企业设备更新中的应用 (18)

3.3矩阵计算在人口流动问题中的应用 (21)

3.4矩阵计算在调配问题中的应用 (22)

3.5矩阵计算在密码问题中的应用 (23)

3.6矩阵计算在企业成本分类问题中的应用 (24)

参考文献 (27)

致谢 (28)

矩阵是解决高等代数问题的一个重要工具。矩阵理论和方法对于科学计算的研究起了很重要的推动作用，同时也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。掌握矩阵的计算及它们的运算规律是学习矩阵知识的一个重要环节。矩阵的幂运算以矩阵的乘法运算为基础，而矩阵的幂运算是比较麻烦的，因此，不断寻找简便的算法便成为矩阵幂运算方面的重要课题。

目前，对于矩阵高次幂的运算问题，有许多人进行过研究，本文在此基础上，以分类讨论的思想，系统全面地介绍了一般高阶矩阵及一些特殊矩阵的高次方幂的计算方法。对简单矩阵的低次幂的求解可直接按矩阵乘法的定义求解，对秩为1的高阶矩阵可考虑用矩阵乘法结合律方法求解，另外还有二项式展开法、分块对角矩阵法、一般的高阶矩阵可采用Jordan标准形法、最小多项式等求解方法，以及特殊矩阵法（如：对合矩阵、幂等矩阵的高次幂求法）、图论算法。

诸方法为高阶矩阵的幂运算提供一个参照。在实际应用中，可根据方阵的不同特征采用不同的计算方法以简化计算。

第一章矩阵的定义计算及其性质

1.1 矩阵及其方幂的定义 1矩阵的定义

[8]

定义由sn 个数排成的s 行（横的）n 列（纵的）的表

????? ??a a

a a

a a a a a sn s s n n

222

2111211 称为一个s ?n 矩阵例如

???? ??2461是一个2?2矩阵（1） ????

?456102157787850i i i i i 是一个44?矩阵（2）数a ij ，,,...,2,1,,...,2,1n j s i ==称为矩阵（1）的元素，i 成为元素a ij 的行指标，j 称为列指标。当一个矩阵的元素全是某一数域中的数时，它就称为这一数域上的矩阵，在上面所举的例子中，第一个是有理数域上的矩阵，第二个是复数域上的矩阵。 2方幂的定义

[1]设A 是n n ?矩阵（n 阶方阵），m 是正整数，则

个

m m A AA A =称为A 的m 次幂。

1.2 矩阵的基本运算性质（1）相等

()

n j m i b a ij ij .,3,2,1,,,2,1 ===

A B B A =?=(交换律）（传递律）C A C B B A =?==,

（2）加法

()

()()n

m ij ij n m ij n

m ij b a b a ???+=+

A B B A +=+ (交换律）

()()C B A C B A ++=++(结合律)

()A O A

A A O +=+-= ()O

A A A

O A =-+=+(零矩阵的作用)

（3）减法

????? ??----=-=-?mn mn m m n n n

m ij ij b a b a b a b a b a B A 11111111)(

(4)数乘法

()()n

m ij n m ij ka a k ??=

()kB

kA B A k lA kA A l k lA k A kl A

A +=++=+==)()()

(1（分配律）

(5)乘法

()()

())

∑=??==p

k kj ik ij n m ij pn

ij p

m ij b a c c b a 其中

)()(BC A C AB =（结合律） )()()(kB A B kA AB k ==（结合律） AC AB C B A +=+)(（左分配律） BC AC C B A +=+)(（右分配律）

m n m m n n m A A E E A ???==（单位矩阵的乘法作用）

1.3 方阵幂及其转置的相关性质

A A A k k 1-= A A A k k 1-= m k m k A A A += m k m k A A +=)(

k k k B A AB BA AB ==),则有（若（以上k 与m 皆为正整数）矩阵的转置m n ji T n m ij a A a A ??=?=)()(

T T T

T T T T T A B AB kA

kA B A B A A

A ==+=+=)()()()(

1.4逆矩阵

1.41逆矩阵的判定及计算方法 1. 判定矩阵可逆的几个条件 (1)矩阵A 可逆的充要条件是0≠A .

(2)矩阵A 可逆的充要条件是, 存在矩阵B , 使得E BA E AB ==或者. 2. 逆矩阵的计算方法

(1)伴随矩阵法当0≠A 时, *

11A A

A =-. (2)初等变换法()()

1-→A E E A 1.42方阵及逆矩阵的相关性质 1.方阵行列式及其性质方阵行列式 A A ?

运算性质 T

A A =

A BA A

B A

k kA A A A n .)0(1

1===≠=--

2.伴随矩阵及其性质

伴随矩阵 T

nn n n n n A A A A A A

A A A A A A ??

??=?? 2

22221

11211

* 运算性质 E A A A AA ==**

()()

***1**

*0---===≠==n n n T T

A A

B AB k A k kA A A 3. 逆矩阵及其性质

若存在矩阵B , 使得E BA AB ==, 则称矩阵A 可逆, 称B 为A 的逆, 并记

1-=A B .

性质: 1)逆矩阵唯一.

2)若B A ,是同阶可逆矩阵, 则B A ,也是可逆矩阵, 且111)(---=A B AB . 3)矩阵A 可逆的充要条件是0≠A .且0≠A 当时,*

11A A

A =- 4)若A 可逆,数0≠k , 则kA A A A T ,,,*1-都可逆, 且

11*11*11111)(1)()()()()(--------=

====A k

kA A A

A A A

A A A T

5)若A 可逆, 则

皆为正整数）

以上l k A A A A A A A A E

A kl l k l

k l k k k k ,()()()(110=====+---

1.5分块对角阵及其性质

分块对角阵 ????

?=n A A A A

1 , 其中),,2,1(n i A i =是方阵分块对角阵的性质: (1) n A A A A 21.=;

(2) 若),,2,1(0n i A i =≠, 则??????

?=----112

111n A A A A .

第二章矩阵高次方幂的计算技巧

2.1 利用方阵的可交换性计算矩阵的高次方幂

该方法是在熟练掌握高阶方阵可交换性的基础之上，做一些简单的推广，对于一些特殊方阵高次方幂的求解起到事半功陪的效果。

例2.1 ???

? ??=100020101A 求),3,2( =n A n ．

C B A +=???

??+????? ??=????? ??=000000100100020001100020101

?=CB BC n n n n C C nB B C B +++=+- 1)( ?=O C 2C nB B C B A n n n n 1)(-+=+=

????? ??????? ??+?????

??=-00000010010002000110002000

11n n

???

??=????? ??+?????

?=10

002001000000100100020001n

n n 2.2 利用数学归纳法计算矩阵的高次方幂

数学归纳法是通过求解第一项以及后面的几项来发现其中的规律，猜测出通项公式，然后利用数学归纳法进行证明。

例2.2 A=????

??100010101,试求A λ

解：因为 A=????? ??100010101,A A A ?=2=????? ??100010101????? ??100010101=???

?? ??100010201

=?=A A A 2

?????

??100010201????? ??100010101=?????

??100010301

通过上面的计算结果可以猜测所给矩阵的通项为A λ

= ???

? ??10001001λ

下面用数学归纳法进行证明

（1）当1=λ时,有???

??==1000101011A A ,即结论是成立的。

（2）当λ=k 时，假设原结论是成立的，则有A k

=?????

??10001001k

（3）那么A A A k

k ?=+.1=????? ??10001001k ????? ??100010101=????

??+10001

0101k

这就是说当1+=k λ时，猜测的结论也是成立的.

综上所述可得：A λ=????

??10001001λ

所以由假设归纳法得知上述结论是正确的．

评注本方法的关键在于通过矩阵较低次方幂的计算结果，正确的归纳出通项公式，但是显而易见这并非是普遍可行的，只有形式结构较为特殊的一些简单矩阵才能用数学归纳的方法计算。

2.3 利用二项式的展开法计算矩阵的高次方幂

如果高阶的矩阵A 可以分解成H F A +=,并且矩阵F 和H 的高次幂是容易计算的，如果有 HF FH =（也就是说F 与H 是可以交换的，否则二项式的展开公式是不成立的），那么就有

k k k k k k k k k k k H FH C H F C H F C F H F A +++++=+=---12221

1)( ．

注：如果高阶矩阵A 的主对角线元素都相同，那么该高阶的矩阵A 就可以用为一个纯量矩阵kE 和另外一个矩阵H 的和来表示，也就有H kE A +=，并且

H 的高次幂是容易计算的，那么借助于这种方法计算矩阵的高次方幂是比较简

洁的．

例2.3 ???

?=ββ

010

A ，

试求n A

解：对于所给的矩阵可以分解成

????? ?

?=ββ

β0

010

A =G E +=???

??+????? ??ββ

β00010001000

显然就有???

??=000100010G

所以G G G ?=2????? ??000100010????? ??0001000100

000000100=?????

??=

那么矩阵由G 满足00000001002

=?????

??=G ，也可以得到032=== G G ，

并且())(E G G G E βββ==,也就是说E β和G 是可以交换的，利用二项式的展开公式就可以得到：

()()()()22

G E C G E C E G E A k k k k

k --++=+=ββββ

??????

?-=-++=-----k

k k

k k k

k k k k k k k G k k G k E ββββββ

βββ0

2)1(2)1(121

221

．

2.4 利用矩阵乘法结合律计算矩阵的高次方幂

[]2如果一个高阶的矩阵

A ，它的秩为1，也即1)(=A r ，如果矩阵A 至少有

一行的元素都不为零，并且其他各行的元素都是它的倍数，那么秩为1的n n ?阶矩阵就可以表示为

??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2

2221

21211

1，如果设??????? ??=n a a a 21α， ????

??=n b b b 21β),,2,1(,n i b a i i =

为非零的实数，那么就有()T A αβ=，记αβT n n b a b a b a A tr a =+++== 2211)(，

也就有A a A k T k T k T k T T

T k 111))())((---====αβαβαβααβαβαβ（个

．

该种方法就称之为矩阵的乘法结合律[]2．

例2.4 已知矩阵 ????

???

?=12

333212

31211A ,求为自然数）n A n (．解：给所给矩阵A 作初等变换，得1)(=A r ，所以根据矩阵的乘法结合律：

记：()T T

1,21,1(,,3,2,1==βα，那么就有T A αβ=，并且有

()3T a t r A βα===3)(===A tr a T αβ，

所以就有：

???????

==--12

333212

31211311n n n A A α． 2.5 利用分块对角矩阵计算矩阵的高次方幂

如果一个矩阵的阶数很大时，我们直接计算起来就显得很麻烦，也比较困难，于是我们就可以通过划分的手段，把该矩阵划分成若干个小块，这些小块的矩阵就称之为该矩阵的子矩阵。如果给出的高阶矩阵可以分成分块对角阵的形式，那么就可以将该高阶矩阵的高次幂的计算问题转化为简单子矩阵的高次幂的计算问题，进而达到简化计算的目的．也就是说对于分块对角的矩阵

???

?=n A A A A

1，??????

? ?

?=k n k

k k

A A A A 2

1，其中),,2,1(n i A i =都是方阵 [3] ．

例2.5 已知矩阵??

???

??=240002000021

0042A ，试求n

A （其中n 是自然数）．解：对于给出的矩阵A 可以分块成????

??=Q P A 00，

通过和所给的矩阵对比，可得：???? ??=2142P ???

? ??=2402Q ，那么所给的矩阵就可以表示为???

? ?

?=n n

n Q P A 0

0，接下来求n P 和n Q ，

因为()T

P αβ=?

? ??=???? ??=2,1122142，通过对比可知：???? ??=???? ??=21,12βα，那么(

)

???

??===----2.4442.44

1111

n n n n n n

T n

P P αβ

又因为H E Q +=????

??=22402,

通过对比得：???

??=0400H ，

并且()()E H H E H 22,02==，由二项式的展开公式容易得：

()()()

???? ?

?=+=+=+=---n n n

n n n n

n H n E H E C E H E Q 22.4022

22221

所以??????

??=???? ?

?=----n n n n n n n n n

n Q P A 22.4000200

002.440042.40

0111

1． 2.6 利用Jordan 标准形计算矩阵的高次方幂

我们知道，如果矩阵A 与高阶对角阵D 是相似的，那么就可以求出一个高阶的可逆阵P ，使：D AP P =-1,于是1-=P PD A n n ；如果A 不与n 阶对角阵相似

（也就是说A 不可对角化），那么就可以用Jordan 标准形法来求解．

定理（Jordan 定理）[4] 设n n C A ?∈，则 A 与一个Jordan 矩阵J 相似，这个Jordan

矩阵J 除去其中Jordan 块的排列次序外是被矩阵A 唯一确定的，称J 为A 的Jordan 标准形．

（即存在n 阶可逆矩阵P ，使：),,,(211s J J J diag J AP P ==-，其中()s i J i ,,2,1 =为i m 阶Jordan 块，则1-=PJP A ，故有1-=p PJ A n n ．此时要用到Jordan 求块的方幂的如下结果：

i m m i i

i J ?????

?=λλλ11

i i i m m k i k i

k k

i m k i m k k i k k i C C C ?-+---?????

??=λλλλλλ1

1111

．其中()()!

11l l k k k C l

k +--=

，且规定()k l C l

k >=0．i λ为A 的特征根．

可见该方法更具有一般性，应用它可计算任何n 阶矩阵的高次幂．

例2.6 设矩阵????

? ??-----=411301621A ，求k A （为自然数k ）

．解：因为 ()????

??--→????? ??---+=-2100

0100

41131

621λλλλλλA E ，从而A 的初等因子为()2

1,1--λλ，所以A 是相似似于Jordan 标准形的

????

??=110010001J ．

下面求矩阵P ，使：J AP P =-1,设()321,,ααα=P ，有()()J A 321321,,,,αααααα=,经计算得：

()()()T T T 1,1,2,0,0,1,1,0,3321=-==ααα,

则有()????

??-==101100213,,3

21αααP ，并且有1

-=PJP A ，

故有

????

? ??+------=????? ??=????? ??=--k k k k k k k k

k p k p p P A k

k 313162211001000111001000111．

2.7 利用最小多项式计算矩阵的高次方幂

定理（Cayley Hamilton -定理）[5]

设n 阶矩阵A 是其特征多项式的根（零点），

即()n n n n a x a x a x A xE x f ++++=-=--111 则()0111=++++=--E a A a A a A A f n n n n ．

由以上定理知，以A 为根的多项式有很多，但把首项系数为1、次数最小且以A 为根的多项式，称为A 的最小多项式，常用()λA m 表示．

这说明A 的最小多项式()λA m 是其特征多项式()λf 的因式，该事实有一般性，且有以下结论：

①()λA m 可整除以A 为根的任何首项系数为1的多项式，且()A m λ是唯一的；

②()λA m 与()λf 有相同的根（不计重数）； ③两相似矩阵的最小多项式相同；

④()()λλn A d m =，其中()λn d 是A 的第n 个不变因子．

例： 2.7设???

??---=363353

6127A ，计算300A ．解：由于A 的特征多项式为：

()()()212

127

-+=------+=-=λλλλλλλA E f ，而()(),02,02,0=-+≠-≠+E A E A E A E A ,故：()()()21-+=λλλA m ，当()300λλ=g ，设()()()()λλλλr q m g A +=.，（其中()()()()()λλλA m r r ?

()()???+=-=-1010221b b g b b g 也即???=+=-3001010221

b b b b 解得()()

???-=+=1

231223120013000b b ，于()????

? ??-----+-+-+-=+==300

301300300

30130030130230110300

22212121212224232A b E b A g A ．

2.8 利用特殊矩阵计算矩阵的高次方幂 2.8.1 对合矩阵

定义[1] 设A 为n 阶矩阵，若有E A =2，则称A 为对合矩阵．

性质[6] (1)???=为偶数

为奇数

n E n A A n ,,；

(2)如果满足E A =2一切二阶的方阵形式为???

??-±a c b a E 以及，

其中12=+bc a ．

推广性质[6]

如果有E A 22λ=，那么就有???=-为奇数

为偶数

n A n E A n n n

,,1λλ．

例2.81 已知???

? ??=p q

q p

A ，求n A （其中n 为自然数）．解：设???? ??=0110H ，那么H H H ?=2

???? ?????? ??=01100110E =???? ??=1001，

所以H 为对合的矩阵，

所以就有,42E H H === H H H === 53，又因为qH pE A +=

()

()()()()H

q p q p E q p q p H q p C q p C E q p C q p C p H q H q p C qH p C E p p q q p A n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n

n 2

2)(3

3311444222222211--++-++=++++++=++++=???

? ??=------

()()()()()()()()?

?-++--+--+-++=n n n n n n n

q p q p q p q p q p q p q p q p 21 ．

当1,1==q p 时，带入上式得???

??=???? ?

?=???? ??----1111

22222222211111n n n n n n

n n

；当1,1-==q p 时，带入上式得 ???

??--=???? ?

?--=???? ??------1111

222222211111n n n n n n

n n

；当1,1=-=q p 时，带入上式得()???

?---=???? ??------11

2222

11111n n n n n n

． 2.8.2 幂等矩阵

定义[1] 假设高阶的矩阵A ，如果存在A A =2，那么就可以将A 称之为幂等的矩阵．

性质[6] (1)),4,3,2( ==n A A n ；(2)如果满足A A =2的一切二阶的方阵有：

,,0E

那么其形式如下

???

?-+--??

????

?---+2411241124112411bc c b

bc bc c b

或者．

推广性质[6] 如果有kA A =2，那么就有A k A n n 1-=．

例2.82 ????

??--=212

1212

A ,求n A 解：因为??????

??--=?=2121212

2A A A ?????? ??--212

12121=????

? ??--21212121=A ．所以A 为幂等矩阵

所以由上面的性质可知 n

A =A =?????

? ??--212

1212

1． 2.9 利用图论算法计算矩阵阵的高次方幂

若图,G V E =是结点集合V 和边的集合E 所组成的一个系统，A 是由0和1为元素组成的n 阶矩阵． 2.9.1 邻接矩阵

定义[7]

设一有向图,G V E =，其中{}{}1212,,,,,,,n m V v v v E l l l == ，

假定各结点从1v 到n v 排列，定义一个n n A ?矩阵，A 中的元素为

1,0,i j ij i j v v a v v ∈??=????如果（，）

E 如果（，）E ，称A 为图G 的邻接矩阵，称图G 为A 的相关图．

显然任意一个n 阶矩阵都有一个相关图．

2.9.2 个

n n

A AA A =的元素的意义

当11==ij a n 时，表示存在一条边()j i v v ,，或者说从i v 到j v 存在一条长度为1的通路；2

2A B n ==时，令，B 中的元素∑==n

k kj ik ij a a b 1，据图论知识：ij b 表示从

结点i v 到结点j v 长度为2的路径的数目，（0=ij b ，则长度为2的路径不存在），

ii b 表示长度为2的回路数目．一般地，()

k ij A c C k n ===时，令，ij c 表示从结点i v 到结点j v 长度为k 的路径的数目，同理0=ij c 表示长度为k 的路径不存在，ii

c 表示长度为k 的回路数目[7]．

据此，可得到n 阶矩阵幂运算的图论算法步骤：

第一步：据所给的n 阶矩阵()ij a A =，画出其相关图E V G ,=，

{}{}m n l l l E v v v V ,,,,,,,2121 ==；

第二步：在图E V G ,=上逐步找出从结()()n j v n i v j i ,,2,1,,2,1 ==到结点长度为k 的路径数目ij c ；

第三步：写出n 阶矩阵ij C=(c )，便得到所求的幂矩阵()n n ij k c A ?=．

例2.92 设()???

?==?0100010000000100010100010

5ij a A ,试求3A ．

解：先画出矩阵A 的相关有向图G 如右图所示： 4v 1v 从图可算出：从结点i v 到(,1,2,3,4,5)j v i j = 5v 3v 2v