数列易错点解析
数列的“遗传”与“变异”
１．遗传
若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则由此构造出的以下数列是等差数列．如： （１）
{}n a 去掉前面几项后余下项组成的仍为公差为d
的等差数列．
（２）所有的奇数项组成的是公差为d 2的等差数列； 所有的偶数项组成的是公差为d 2的等差数列； 形如{}k n a +（其中k 是常数，且N k ∈）的数列都是等差数列．由此可得到的一般性结论是： 凡是项的序号成等差数列（公差为k ）的项依次组成的数列一定是等差数列，公差为kd ． （３）数列{}n a c ?（其中c 是任一个常数）是公差为cd 的等差数列． （４）数列{}c a n +（其中c 是任一个常数）是公差为d 的等差数列．
（５）数列{}k n n a a ++（其中k 是常数，且N k ∈）是公差为d k )1(+的等差数列．
（６）若{}n b 是公差为1d 等差数列，且q p ,为常数，则数列{}n n b q a p ?+?一定是公差为1qd pd +的等差数 （７）等差数列{}n a 中，任意连续k 项的和是它前面连续k 项的和与它后面连续k 项的和的等差中项，也就是说这些连续k 项的和也构成一个等差数列．
若{}n a 是公比为q 的等比数列，则由此构造出的以下数列是等比数列．如：
（１） {}n a 去掉前面几项后余下项组成的仍是公比为q 的等比数列．
（２）项的序号成等差数列（公差为k ）的项依次取出并组成的数列一定是等比数列，公比为k
q ． （３）数列{}n
a 是公比为q 的等比数列．
（４）数列{}n a c ?（c 是任一常数且0≠c ）是等比数列，公比仍为q ． （５）{}m
n
a （m 是常数，且K m ∈）是公比为m
q
的等比数列．
特殊地：若数列{}n a 是正项等比数列时，且m 是任一个实常数，则数列{}m
n
a 是公比为m
q
的等比数列．
（６）
{}k n n a a +?（其中k 是常数，且N k ∈）是公比为1
+k q
的等比数列．
（７）若{}n b 是公比为1q 的等比数列，，则{}n n b a ?是公比为1q q ?的等比数列．
（８）等比数列{}n a 中，若任意连续k 项的和不为0，则任意连续k 项的和是它前面连续k 项的和与它后面
连续k 项的和的等比中项，也就是说这些连续k 项的和也构成一个等比数列． ２．变异
若数列{}n a ，{}n b 均为不是常数列的等差数列时，则有： （１） 当数列{}n a 中的项不同号时，则数列{}n a 一定不是等差数列．数列{}k n n
a a
+?不是等差数列
（２） {}m
n
a （m 是常数，且K m ∈，1≠m ，0≠n
a
）不是等差数列．数列{}n n b a ?不是等差数列．
若数列{}n a 为不是常数列的等比数列时，则有：
（１） 数列{}c a n +（其中c 是任一个不为０的常数，）不是等比数列．
（２） 数列{}1++n n a a 不一定是等比数列．如n
n a )1(-=时，则01=++n n a a ，所以{}1++n n a a 不是
等比数列．
（３） 若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则{}n
a c
（其中c 是正常数）一定是公比为d
c
的等比数列．
（４） 若{}n a 是公比为q 的正项等比数列，则{}n c
a log （其中c 是不等于１的正常数）是公差为q c
log
的
数列易错题分析
例题选讲
1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题：
例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n
3－2；
2、忽视等比数列的前n 项和公式的使用条件： 例2、求和：(a －1)＋(a 2－2)＋(a 3－3)＋…＋(a n －n ) .
3、 忽视公比的符号
例3、等比数列}{n a 中，若93-=a ，17-=a ，则5a 的值 （A ）3或－3 （B ）3 （C ）－3 （D ）不存在
4、缺乏整体求解的意识
例4、一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，求7a
例5、设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .
5、整式的转化
例6、 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=－13，62212-=+-++n a a a n n n
（Ⅰ）设}{,1n n n n b a a b 求数列-=+的通项公式； （Ⅱ）求n 为何值时，n a 最小（不需要求n a 的最小值）
例7、 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c 关于点(1,1)成中心对称，且f '(1)=0． （Ⅰ)求函数f (x )的表达式；（Ⅱ)设数列{a n }满足条件：a 1∈(1,2)，a n +1=f (a n )求证：(a 1－ a 2)·(a 3－1)+(a 2－ a 3)·(a 4－1)+…+(a n － a n+1)·(a n +2－1)＜1
例谈数列知识在解题中的应用
数列是高中数学的重要内容，更是高考的命题重点，但有关知识点却有不少同学掌握得不怎么好，甚至时间长了对数列试题产生恐惧心理，见到与数列有关的试题就觉得心里没底。本文针对一部分同学学习数列时存在的弄不懂、记不住、易出错、用不活等问题，结合近几年来高考试卷中出现过的一些典型数列例题，给出了若干常规处理办法，供同学们参考。 症状一 基本问题耗时太多
【表现】对一些有特殊结构的等差（等比）数列基本题，做不对或能做对但耗时太多。如：在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列{}n a 前n 项的和，则9S 等于（ ）
A.48
B.54
C.60
D.66
例1 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453
n n
A n
B n +=
+，则使得
n n
a b 为整数的正整
数n 的个数是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
症状二 迁移运用能力不强
【表现】 对教材中的内容形式稍加变化的试题不知如何做。
如：在数列{}n a 中112,n n a a a cn +==+（c 是常数，1,2,3n = ），且123,,a a a 成公比不为1的等比数列，（1）求c 的值，（2）求{}n a 的通项n a .
例2 已知数列{}n a 满足13a =，1(2)n n a a n n --=≥，试求数列的{}n a 的通项n a .
症状三 递推关系题入手难
【表现】对形如“已知1a ，且1n n a pa q -=+，求通项?n a =”的数列问题不知该如何求解 【症结】 对高考试题中的一些典型数列问题（如差等比数列）缺乏系统的求解方法 例3 已知数列{}n a 满足15a =，126n n a a +=-+，求数列{}n a 的通项n a .
症状四 缺乏n S 与n a 的辩证思考
【表现】 对以()n n S f a =或()n n a g S =型给出的递推关系试题不知如何下手，
如：设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有的自然数n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中项。（1）写出数列{}n a 的前3项；（2）求数列{}n a 的通项公式（写出推理过程）；（3）令
11
1()()
2n n n n n a a b n N a a +
++=
+∈，求12lim ()n n b b b n →∞+++- 【症结】 对适用于任意数列的重要关系式未掌握和灵活运用之。
【突破之道】 对于任意数列{}n a 有111,(2)n n n S a S S a n -=-=≥（适用于任意数列的重要关系式），这表明
123()n n S a a a a n N +
=++++∈ 构成了一个新的数列{}n S ，它的通项n S 表示相应数列{}n a 的前n 项和，
它的第一项1S 表示数列{}n a 的第一项1a ，当2n ≥时，数列{}n S 相邻项的差1n n n S S a --=，这就是数列{}n a 与其和数列{}n S 之间的辩证关系。另外，某些特殊数列可以通过适当的变化（如裂项相消）以后求和。
例4 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和n S 满足11S >，且6(1)(2)n n n S a a =++，n N +
∈，
（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足(2
1)1n
b n a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：
231log (3)n n T a +>+，n N +
∈.
对于一般数列{}n a ，若已知条件为()n n S f a =，求通项n a 的方法，除了用“尝试——猜想——探求——发现”（最后用数学归纳法严格证明）思维模式外，还有其他的处理方法，由()n n S f a =首先推出111()S a f a ≡=，解除11=S a 的大小，接着常有两个思考方向：
高考数学易错点总结精编版
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高考数学易错点总结 收集整理了数学的一些易考易错点，帮助复习到现阶段的你做一次集中排查。 在看这些易错点之前，先说一下这些易错点的具体使用步骤与方法。 下面已列出高考数学易考易错知识点，请认真逐条阅读，每读一条，请在脑海中寻找该点对应的知识及相应题型。 第1 步 如以下第一条：指数、对数函数的限制条件你注意了吗（真数大于零，底数大于零且不等于1）它们的函数值分布情况是如何的当我们看完这一条后，脑中应该想到指、对函数的标准方程，对应的图像，可以的话在草稿纸上写一写、画一画！再想一想这类问题常考题型：如给出几个函数在一个图中的图像，判断字母a,b,c,d的大小等。 第2 步 逐条去看列出的易错点，将自己不清楚和确实自己易错的点记录下来。 第3 步 去寻一本专题复习书，仔细查看你记录下的易错点对应的知识，给出的例题怎样避开这些错误的，标注、总结、自我强调。 第4 步 再去寻一本专题练习的书（上面那本专题复习书上也许就有哦），实战检验一下你是否真正掌握了这些易错点。 ↓ · 高考数学易考易错点·
1.指数、对数函数的限制条件你注意了吗(真数大于零，底数大于零且不等于1)它们的函数值分布情况是如何的 2.利用换元法证明或求解时，是否注意“新元”的范围变化是否保证等价转化 3.利用放缩法证明或求解时，是否注意放缩的尺度及方向的统一? 4.图像变换的时候是否清楚任何变换都是对“变量本身”进行的? 5.对于集合，你是否清楚集合中的元素(数、点、符号、图形等)是什么及元素的特性(确定性、互异性、无序性)在集合运算时是否注意空集和全集 6.命题的否定(只否结论)与否命题(条件、结论全否)的区别你知道吗? 7.求一个函数或其反函数的解析式的时候你标明函数的定义域了吗? 8.映射的概念你了解吗对于映射f:A→B，是否注意到集合A中元素的任意性和集合B中与它对应元素的唯一性(B中可有多余元素) 9.根据定义证明函数的单调性时的一般步骤是什么(取值规定大小、作差化连乘积、判断符号下结论) 10.判断一个函数的奇偶性时是否注意到定义域关于原点对称这个必要非充分条件了? 11.“三个二次”的关系你清楚吗(二次函数的图像与轴的交点的横坐标即二次方程的根;不等式的解集为二次函数图像上方或下方的点的横坐标的集合)含有参数的二次型你是否注意对二次项系数、对称轴、定义域、判别式、根的大小等的讨论 12.数列也是一种特殊的函数你忽视了吗是否能利用数列性质解题
数列中的常见错误
数列中的易错问题分析 11,1 12,22n n S n n n S S n k b -=?==≥?-≥?=+n n n n n+1n n n+1 n n n+1n n 一、数列基础知识上的常见错误在数列概念考察上常见题型有： （1）已知a 与S 的关系，求通项a ，a 注意分清与两种情况的讨论。 （）形如a -a =f(n)的递推数列可用迭代法或累加法，求通项a a 形如 =f(n)的递推数列可用累乘法，求通项a a 形如a a 的递推数列可构造等差或等比数列求通项a （一） 概念理解错误 例题1：两个数列 {}n a 与{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，且 :(513):(45)n n S T n n =++，则1010:a b =（ ） 易错警示：(513),(45)n n S n k T n k =+=+则 115,4n n n n n n a S S k b T T k --=-==-= 所以1010:a b =4:3，故选C ， 从:(513):(45)n n S T n n =++可知，比值:n S (513)n +=n T :(45)n +随着项数 n 的变化而变化，不能设为常数k ，这里忽略了项数n 的可变性而致错。 解析：设(513),(45)n n S n nk T n nk =+=+，则 1(108)n n n a S S n k -=-=+ 1(81)n n n b T T n k -=-=+，其中2n ≥ :n n a b ∴=(108):(81)n n ++ 所以1010:a b =4:3，故选D 。 例题2：已知等差数列{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和分别为23,,m m m S S S ， 若230,90m m S S ==，求3m S 。 易错警示：由{}n a 为等差数列，得出23,,m m m S S S 为等差数列的结论是错误的。 解析：设数列的公差为d ，则 123......m m S a a a a =++++ 212312...........m m m m S a a a a a a +=+++++++
数列知识点及常用解题方法归纳总结
数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===
高中数学】高中数学18个易错知识点e
【高中数学】高中数学18个易错知识点汇总，看完拿高分！ Part 1 集合与简单逻辑 01易错点：遗忘空集致误 错因分析：由于空集是任意非空集合的真子集，因此，对于集合B，就有B=?，B≠?两种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B=?这种情况，导致解题结果错误。尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或解题不全面。 02易错点：忽视集合元素的三性致误 错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围，再具体解决问题。 03易错点：四种命题的结构不明致误 错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A 则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。这里面有两组等价的命题，即“原命题和逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”。
04易错点：充分必要条件颠倒致误 错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。 05易错点：逻辑联结词理解不准致误 错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，p∨q假<=>p假且q 假(概括为一真即真);p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假(概括为一假即假) Part 2 函数与导数 06易错点：求函数的定义域时忽视细节致误 错因分析：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。 在求一般函数定义域时要注意下面几点： (1)分母不为0; (2)偶次被开放式非负; (3)真数大于0;
平面向量知识点易错点归纳定稿版
平面向量知识点易错点 归纳精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
§5.1 平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念 2.向量的线性运算
减法求a与b的相反 向量－b的和的 运算叫做a与b 的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘求实数λ与向量 a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时， λa的方向与a的方向相同；当 λ<0时，λa的方向与a的方向相 反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋ μa；λ(a＋b)＝ λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 方法与技巧 1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”． 2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB→∥CD→且AB与CD不共线，则AB∥CD；若AB→∥BC→，则A、B、C三点共线． 失误与防范 1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性． 2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. §5.2 平面向量基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x ＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， 1 λa＝(λx ，λy1)，|a|＝x21＋y21. 1 (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12. 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b x1y2－x2y1＝0. 方法与技巧 1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同．
等比数列高考重点题型及易错点提醒 百度文库
一、等比数列选择题 1．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项的和为n S ，且满足() * 122n n a S n N ++=∈，则满 足 2100111 1000 10 n n S S 的n 的最大值为（ ）. A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 2．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12 B ．18 C ．24 D ．32 3．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45 B ．54 C ．99 D ．81 4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a +++= （ ） A ．3 B ．505 C ．1010 D ．2020 6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 7．在数列{}n a 中，12a =，对任意的,m n N * ∈，m n m n a a a +=?，若 1262n a a a ++???+=，则n =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35 124 a a a ++的取值范围为（ ） A ．73, 2?? ???? B ．()3,+∞ C ．73, 2? ? ??? D ．[ )3,+∞ 9．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ． 14 B ．1 C ． 12 D ． 13
数列知识点总结及题型归纳---含答案(新)
数列 一、等差数列 题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a 题型二、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 例：1.2. 3.题型三 a ，A 例：1） A ．2.A ． 题型四（1（2（3（4题型五1122 n n 221(),(2 为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 ) 递推公式：2 )(2)()1(1n a a n a a S m n m n n --+=+=
例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 3.已知{}n a 数列是等差数列，1010=a ，其前10项的和7010=S ，则其公差d 等于( ) 12 -- ．．B A C.1 D.2 4.5. ） 6.7.8. 9. 1011n 项和，求T n 12. 13.在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和； (3)已知3151740,a a S +=求
数列的概念高考重点题型及易错点提醒 百度文库
一、数列的概念选择题 1．数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，则10a =（ ） A ．511 B ．513 C ．1025 D ．1024 2．在数列{}n a 中，11a =，11n n a a n +=++，设数列1n a ?? ? ??? 的前n 项和为n S ，若n S m <对一切正整数n 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．[ )3,+∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞ 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知( )* 123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若 23a <，则n 的最大值为（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=，则20201a a -=（ ） A ．20201010? B ．20191010? C ．20202020? D ．20192019? 5．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j = 6．数列23451,,,,,3579 的一个通项公式n a 是（ ） A ． 21n n + B ． 23 n n + C ． 23 n n - D ． 21 n n -
7．数列{}n a 满足11 1n n a a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ． 13 D ．13 - 8．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ） A ．()2 1n a n n =-- B ．2 1n a n =- C ．()12 n n n a += D ．() 12 n n n a -= 9． 3 … … ，则 ） A ．第8项 B ．第9项 C ．第10项 D ．第11项 10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ． 123111121 n n a a a a n +++?+=+ 11．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343 a =，454a =，56 5a =，可归纳得 数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1 += n n a n B ．2 1 n n a n += + C ．3132 n n a n -=- D ．221 n n a n = - 12．已知数列{}n a 的通项公式为()()2 11n n a n =--，则6a =（ ） A ．35 B ．11- C ．35- D ．11 13．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．174 B ．184 C ．188 D ．160 14．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时， 12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被 4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24 B ．26 C ．28 D ．30 15．已知数列{}n a 满足11a =，12 2 n n a a n n +=+ +，则10a =（ ）
【高考数学一轮复习易错知识点总结】
【高考数学一轮复习易错知识点总结】 一、集合与函数 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解。 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道否命题与命题的否定形式的区别。 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则。 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域。 9.原函数在区间[-a，a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值，作差，判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和或单调区间不能用集合或不等式表示。 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题)。这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.实系数一元二次方程有实数解转化时，你是否注意到：当时，方程有解不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 二、不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：一正;二定;三等。 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用根轴法解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键，注意解完之后要写上：综上，原不等式的解集是。 22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示。 23.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能相乘，即同向同正可乘;同时要注意同号可倒即a》b》0，a 三、数列 24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗? 25.在已知，求的问题中，你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目
高三数学培优补差辅导专题讲座-数列单元易错题分析与练习
数列单元易错题分析 赵玉苗整理 1、如何判断等差数列、等比数列？等差数列、等比数列的通项公式和求和公式如何推导？ 2、解决等差（等比）数列计算问题通常的方法有哪两种？ ① 基本量方法：抓住)(,1q d a 及方程思想； ②利用等差（等比）数列性质）. [问题]：在等差数列{}n a 中，369181716-==++a a a a ，其前n S n 项的和为，()求1n S 的最小值；()n n a a a T +++= 212求 3、解决一些等比数列的前n 项和问题，你注意到要对公比1=q 及1≠q 两种情况进行讨论了吗？ 4、在“已知n S ，求n a ”的问题中,你在利用公式1--=n n n S S a 时注意到2≥n 了吗？(1=n 时，应有11S a =) 5、解决递推数列问题通常有哪两种处理方法？（①猜证法；②转化为等差（比）数列问题） [问题]：已知:.,32,111n n n n a a a a 求+==- 6、你知道n n q ∞ →lim 存在的条件吗？（)11≤<-q ,你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗？ 你知道无穷数列}{n a 的前n 项和与所有项的和的不同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在？ 7、数列的求和问题你能够找到一些办法吗?(倒序相加法、错位相减法、拆项裂项法) *8数学归纳法证明问题的基本步骤是什么？你注意到“用数学归纳法证明中，必须用上归纳 假设”吗？ 1、自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是：（1）验证命题对于第一个自然数n ＝n 0 (k ≥n 0)时成立；(2)假设n=k 时成立，从而证明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论. 2、.(1)、（2）两个步骤在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论. 例题选讲 1、不能正确地运用通项与前n 项和之间的关系解题： 例1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项公式a n ：（1）S n ＝5n 2＋3n ；（2）S n ＝n 3－2； 【错解】由公式a n =s n －s n －1得：（1）a n =10n －2; （2）1 23n n a -=? 【分析】应该先求出a 1，再利用公式a n =s n －s n －1()2n ≥求解.
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《数列》图文答案
高考数学《数列》练习题 一、选择题 1．设函数()m f x x ax =+的导数为()21f x x '=+，则数列()()2N n f n * ????∈?????? 的前n 项 和是（ ） A ． 1 n n + B ． 21 n n + C ． 21 n n - D ． () 21n n + 【答案】B 【解析】 【分析】 函数()m f x x ax =+的导函数()21f x x '=+，先求原函数的导数，两个导数进行比较即可 求出m ，a ，利用裂项相消法求出()() 2N n f n * ????∈?????? 的前n 项和即可． 【详解】 Q 1()21m f x mx a x -'=+=+， 1a \=，2m =，()(1)f x x x ∴=+， 11 2()()(1)221 f n n n n n ==-++， ∴111111122[()()()]2(1)1223111 n n S n n n n =-+-++-=-=+++L ， 故选：B ． 【点睛】 本题考查数列的求和运算，导数的运算法则，数列求和时注意裂项相消法的应用． 2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=，选B. 3．数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈．则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的（ ） 条件． A ．必要而不充分 B ．充要 C ．充分而不必要 D ．即不充分也不必要
数列知识点总结和题型归纳总结
高三总复习----数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…
数列易错题带答案
1．若数列{}{},n n a b 、的通项公式分别是a a n n ?-=+2007)1(，n b n n 2008 )1(2+-+=，且n n b a <，对任意n N *∈恒成立，则常数a 的取值范围是（ ） A.[)1,2- B. [)+∞-,2 C. []1,2- D. ()1,∞- 2．已知等差数列{a n }的前n 项和是n a n S n 2 2182--=，则使2006-
数列知识点总结及题型归纳
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=? -?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116 a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或
等差数列及其前n项和易错点 2019高考绝密资料
等差数列及其前n 项和易错点 主标题：等差数列及其前n 项和易错点 副标题：从考点分析等差数列及其前n 项和在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。 关键词：等差数列，等差数列前n 项和，等差数列的性质，易错点 难度：3 重要程度：5 内容： 【易错点】 1．对等差数列概念的理解 (1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×) (2)等差数列的公差是相邻两项的差．(×) (3)(教材习题改编)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) 2．等差数列的通项公式与前n 项和 (4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (5)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(√) (6)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(×) 3．等差数列性质的活用 (7)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝20.(√) (8)已知关于d ＞0的等差数列{a n }，则数列{a n }，{na n }，? ?????n a n ，{a n ＋3nd }都是递增数列．(×) 剖析：一点注意 等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性，如(1)、(2)． 等差数列与函数的区别 一是当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数，当公差d ＝0时，a n 为常数，如(3)；二是公差不为0的等差数列的前n 项
和公式是n的二次函数，且常数项为0；三是等差数列{a n}的单调性是由公差d 决定的，如(8)中若a n＝3n－12，则满足已知，但na n＝3n2－12n并非递增；若 a n＝n＋1，则满足已知，但a n n＝1＋ 1 n是递减数列；设a n＝a1＋(n－1)d＝dn＋m， 则a n＋3nd＝4dn＋m是递增数列. 【练习】 1．在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝() A．58B．88 C．143 D．176 解析：选B∵a4＋a8＝16， ∴a6＝8，∴S11＝11a6＝88. 2．已知{a n}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，S n为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________. 解析：因为{a n}为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 答案：64 导数在研究函数中的应用 主标题：导数在研究函数中的应用备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。 关键词：导数，极值，最值，备考策略 难度：4 重要程度：5 内容 考点一利用导数研究函数的单调性 【例1】设函数f(x)＝(x－1)e x－kx2. (1)当k＝1时，求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围． 解(1)当k＝1时，f(x)＝(x－1)e x－x2， ∴f′(x)＝e x＋(x－1)e x－2x＝x(e x－2)． 令f′(x)>0，即x(e x－2)>0， ∴x>ln 2或x<0.
最全数列知识点归纳
最全数列知识点归纳 注意：（1）数列与集合的差异；（2）数列中只有很少一部分是等差或者等比数列，只是我们高中阶段仅仅研究与等差、等比相关联的特殊数列而已。 等差（等比）数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。 注：常数，即与n 无关的数 等差数列判断方法： （1）1n n n a a d +-=≥（2） （2）112n n n a a a +-+= （3）An+B n a =（4）2n S An Bn =+ 等比数列判断方法： （1） 1(0)n n n a q q a +=≠≥（2） （2）2 11n n n a a a +-?=（3）n-1n 1q kq (0)n n a a a q ==≠或 （4）n k+kq q n S =-（不为0或1） 数列的通项公式研究的是数列的通项n a （代表项）与序号n 之间的函数关系()f n n a =。 类型一：. eg8：若给出一般数列的某几项或无穷项111 11234 --（），，，...； 类型二：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型三：已知数列n S 与n 一个函数关系。递推法 （注意n a 的表示形式，思考是否需要分类表示） 11 , 1, 2n n n a n a s s n -=?=?-≥? 类型四：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）()1n n a a f n +=+的形式，求n a 。 累加法 类型五：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）为()1n n a a f n +=?的形式，求n a 。 累乘法 类型六：已知此数列的递推关系为1()n n a pa f n p q +=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 1(1) 32;n n a a +=+1(2) 321;n n a a n +=+-1(3) 33;n n n a a +=+1(4) 3321;n n n a a n +=++- 类型七：已知此数列的递推关系为11n n n n ka a pa qa p q ++=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n ka a pa qa p q ka a pa qa k a a a a a a a a ++++++++=+?=+?=+ 类型八：已知此数列的递推关系为111n n n n n n n pa m ka a pa qa m a ka t ++++=++?=+等的形式，求n a 。 特征方程 {}112200(); (1),,1(2), (3),n n n n a x px m x x kx t px m x x kx t a x x a a x ??-+=?+=+??+-??????-?? 令方程有两根 则是等比数列 方程有两相等根 则是等差数列方程无实数根则是周期数列 类型九：已知此数列的递推关系为1n n n pa a ka m +=+等的形式，求n a 。取倒数法 11111n n n n n n n pa ka m m k a ka m a pa a a p ++++=?=?=++ ()123f n n n a a a a =+++ +=。 若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型二：. 若出现“等差、等比加减组合型”的通项，分组求和法 类型三：若出现“等差、等比乘除组合型”的通项，错位相减法 类型四：n a =分式可以使用裂项相消：如：111n(n+1)n (n+1)=-= 裂项相消法 类型五：12-1n n a a a a +=+= 可以使用倒序相加： 类型六：既非等差也非等比但正负相间求和可以使用并项法求和。如：1123456(1)n n +-+-+-+ +- 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A +=或 b a A +=2
(完整版)高中数学易错重点知识点梳理
高中数学知识易错点梳理 一、集合、简易逻辑、函数 1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y= 2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈ R},N={y ｜y=x 2 +1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3． 集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的 子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成 立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次 为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+== 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A =I A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、 否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.