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数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题

一叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集

2 函数项级数的逐项求导定理

3 Riemann 可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分）

1、

-9

31dx x x

2、求)0()(2

b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积

3、求幂级数

n n x n ∑∞

=+1

2)11(的收敛半径和收敛域 4、1

1lim

2220

0-+++→→y x y x y x

5、2

),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求f l (P 0) 三讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

1、已知??

???==≠+++=0

,0001sin )(),(222

2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原

点不连续，但它在该点可微

2、讨论级数∑∞

=-+1

2211

ln n n n 的敛散性。

3、讨论函数项级数]1,1[)1(

-∈+-∑∞

=+x n x n x n n n 的一致收敛性。

四证明题：（每小题10分，共20分）

1 若

+∞

dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞

→x f x

2 设二元函数),(y x f 在开集2

R D ?内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足

Lipschitz 条件：'

'''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('

∈为常数证

明),(y x f 在D 内连续。

参考答案

一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

2 设函数项级数

∑∞

)(n n

x u

满足（1）),2,1)((Λ=n x u n 在[a ，b]连续可导

∑∞

=1)(n n

x u

在[a ，b]点态收敛于)(x S

∑∞

')(n x u n 在[a ，b]一致收敛于)(x σ 则)(x S =∑∞

=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞

=∞==11)()(n n n n

x u dx

x u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当

0)(max 1→?=≤≤i n

i x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等

二、1、令31x t -=（2分）

468

)1(312

339

=--=-??

-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：

b a dx y y a

a 2222212)(ππ=-?-（5分） 3、解：由于e n n n n n n n

n 1])1

11(1))111()1

1(lim[(1

1=++?+++++∞

→收敛半径为e 1(4分），当

e x 1=

时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n

n n ，所以收敛域为)1,1(e

e - (3分）

4、2)11(lim )11)(11()

11)((lim

1lim 220

22222220

22220

0=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7

分）

5、解：设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）

6)2,1,2(=

-l f （3分）

三、1、解、??

???

=+≠+++-+=0

00)1cos 11(sin 222222

22222y x y x y

x y x y x x f x （4分）由于

2221

cos 1y

x y x ++当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的y f 也不连续，（2分） 2、解：11211

ln lim 2

22=--+∞→n n n n （5分）∑∞

=-121

2n n 收敛，所以原级数收敛（5分）

3、解：部分和1)(1+-=+n x x x S n n （3分），,0>?ε 取??

???=ε1N ，N n >时有

ε<≤+=-+n

n x x x S n n 1

1)(1，所以级数一致收敛（7分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：用反证法

若结论不成立，则X x a X >??>?00,.,0ε ，使得00)(ε≥x f ，（3分）又因为在f （x ）

在[a ,∞）上一致连续函数，a x x >?∈?'

''0,),1,0(δ，只要0'''δ<-x x ，有

)()(0

'''ε<

-x f x f ，（3分）于是1,00+=≥?A X a A 令，取上述使00)(ε≥x f 的点

,0X x >，不妨设0)(0>x f ，则对任意满足00δ<-x x 的x ，有

)()(0

0>≥

>εεx f x f 取A 和A

‘

分别等于2

0δ-

x 和2

0δ+

x ，则

)('

δε>

A A

dx x f 有，由Cauchy 收敛定理，?

+∞

dx x f )(不收敛，矛盾（4分）

2、证明：D y x ∈?),(00，由Lipschitz 条件

)

,(),(),(),(),(),(000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f -+-≤-),(),(0000y x f y x f y y L -+-≤（1）

，（6分）又由二元函数),(y x f 在开集2

R D ?内对于变量x 是连续的，（1）式的极限为0，),(y x f 在),(00y x 连续，因此),(y x f 在D 内连续（4分）

（二十二）数学分析期末考试题

一叙述题：（每小题5分，共15分）

2 无穷限反常积分的Cauchy 收敛原理

3 Euclid 空间二计算题：（每小题7分，共35分）

1、

n n

n !

lim

+∞

→ 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积

???==2

222x

y x

y 3、dx x e I n x n ?

+∞

(n 是非负整数）

4、设f xyz z y x f u ),,(2

++=具有二阶连续偏导数，求x

z u

???2

5、求x

e x

f =)(的幂级数展开式

三讨论与验证题：（每小题10分，共20分）

1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例

2、讨论级数

)0(cos 1

π<<∑∞

=x n nx

n p

的绝对和条件收敛性。四证明题：（每小题10分，共30分）

1 f （x ）在[0，+∞）上连续且恒有f （x ）>0，证明??=x x

t f dt t tf x g 0

0)()()(在[0，+∞）上

单调增加

2 设正项级数

∑∞

n n

收敛，{}n x 单调减少，证明0lim =∞

→n n nx

3 y

x y

y x f +=2),(，证明：),(lim 0

0y x f y x →→不存在

参考答案

一、1、有界函数)(x f 定义在],[b a 上，给一种分法P

，b x x x a n =<<<=Λ10和

记

{}{}

],[),(inf ,],[),(sup 11i i i i i i x x x f m x x x f M --==，

则

∑∑==?=?=n

i i i n

i i i x m P S x M P S 1

)(,)(分别称为相应于分法

的Darboux 大和和

2、a N >?>?.0ε使得N n m >>?，成立

dx x f )(

3、n R 向量空间上定义内积运算n n y x y x ++=Λ11y x,构成Euclid 空间

二、1、由于1ln 1ln lim )ln )ln ((1lim !ln lim 101

1-===-=?∑∑=∞→=∞→∞→xdx n n i n n i n n n n i n n i n n

n （7

分）

2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2分）

所求的面积为：3

)22(2

02=-

?dx x x （5分） 3、解：dx x e I n x n ?+∞

-=0

=+∞

--0

x +dx x

e n

n x ?

+∞

--0

-n nI dx x e

?-1

+dx x e n x ?+∞

-1

（6分）

!n I n =(1分）

4、：x

??=212yzf x f +（3分）

)2()2(22221212112xyf zf yz yf xyf zf x x z u ++++=???（4分）

5、解：由于余项)(0)!

1()(1

∞→→+≤+n x n e x r n x

n ，

（3分）所以ΛΛ++++=!

!212n x x x e n

（4分）

三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分），可偏导不一定连续和可微

例子可看课本135页（6分）

2、解：当1>p 时，级数绝对收敛，（4分）当10≤

但

p p p p n nx n n nx n nx 22cos 21cos cos 2+=≥，所以∑∞

|cos |n p

n nx 发散，即级数条件收敛（4分），当0≤p 时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2分）四、证明题（每小题10分，共30分） 1 证明：0)

)(())()(()()

)(()()()()()(2

>-=

?????x

x x

dt t f dt

t tf t xf x f dt t f dt

t tf x f dt t f x xf x g （8分）

所以函数单调增加（2分）

2 证明：m n m >?,，有m n m x x x m n <+<-+Λ1)(由此得m n x m

n n

nx -<，

（4分）由级数收敛，故0>?ε可取定0m 使得ε<0m x ，又1lim 0

=-∞→m n n

n ，故0n ?使得0n n >时，

有

2<-m

n n

，

（4分）于是当0n n >时，有ε20<

1lim ),(lim 200=+=→=→x x x

y x f x x

y x 21lim ),(lim 222002

=+=→=→x x x y x f x x

y x ，所以),(lim 0

0y x f y x →→不存在（10分）

（二十三）数学分析期末考试题

一叙述题：(每小题5分，共15分）

1 微积分基本公式

2 无穷项反常积分

3 紧几合

二计算题：(每小题7分，共35分）

1、]11[214042??+++x dx

dt dx d x 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积

??==+2

x y x y 3、求

∑∞

=+1

)2(n n

n n 的收敛半径和收敛域

4、设y e xe

u z yz

++=-，求偏导数和全微分

5、xy

xy y x 1

1lim 0

0-+→→

三讨论与验证题：(每小题10分，共30分）

1 讨论2

2222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限

2 讨论

e p x

x dx

ln 的敛散性

3、讨论函数项)10()(1

≤≤-=+x x x x f n n n 的一致收敛性。

四证明题：(每小题10分，共20分） 1 设f （x ）连续，证明

{}d u

dx x f du u x u f x

u x

=-0

)())((

2 证明)(2

y x y u -=?满足u y

x y u x x u y =??+??

参考答案

一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立

)()()(a F b F dx x f b

-=?

。

2、设函数)(x f 在),[+∞a 有定义，且在任意有限区间],[A a 上可积。若极限

∞→A

A dx x f )(lim

存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散

3、如果S 的任意一个开覆盖{}αU 中总存在一个有限子覆盖，，即存在{

}αU 中的有限个开集{}

i i

U 1

=α，满足S U i k

i ?=α1

Y ，则称S 为紧集

二、1、]11[214042??+++x dx t dt dx d x =8041212x

t dt dx d x +=+?（7分） 2、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2分）所求的面积为：

)2(1

--?

-dx x x （5分） 3 ：

1)2(lim =+∞

→n n n n ，收敛半径为1（4分），由于1±=x 时，级数不收敛，

所以级数的收敛域为（-1，1）（3分）

4：

x u ??=yz e y u ??=1+yz

xze z

u ??=z yz e xye -+（4分）

dz e xye dy xze dx e du z yz yz yz )()1(-++++=（3分）

5、解：21

)

11()11)(11(lim 11lim

0=++++-+=-+→→→→xy xy xy xy xy xy y x y x （7分）三、1、解、由于沿kx y =趋于（0，0）时，???=≠=-+→1

110)(lim 2

222

2)0,0(),(k k y x y x y x kx x ，所以

重极限不存在（5分）

0)(lim lim ,0)(lim lim 2

222

2002222200=-+=-+→→→→y x y x y x y x y x y x x y y x ，

（5分） 2：10<

1+→→+x x

x x

p p 故?e p x x dx 1

0ln 收敛（4分）；1>p ，由于)(ln 12

1+∞→+∞→+x x x x

p p

（4分）故?e p x

x dx 1

0ln 收敛，1=p ，-∞=?e x x dx 1

0ln ，发散（2分）。

3、)(0)(lim x f x f n n ==∞

→（3分），

0)1

1()1(

lim sup lim )()(sup lim 1=+-+=-=-∞

→+∞

→∞

→n n

n n x x x f x f n n n n x

n n n ，所以函数列一致收敛（7分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1 证明：

{}

d u dx x f x u

)(=????-=-x

x x x

du u uf du u f x du u uf dx x f u 0

)()()()(=

-x

du u x u f 0

))((（10分）

2、证明：

)(222'y x xy x

-=??φ，)(2)(22'222y x y y x y u ---=??φφ（6分）u y

y x x y u x x u y

=-=??+??)(22'φ（4分）

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 1、函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、下列广义积分中，收敛的积分是（） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（）

欧阳光中数学分析答案

欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限 2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数 3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］ 9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的

数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)

; 二、数列极限 1. 已知2lim >=∞ →A a n n ,则正确的选项是( B ). (A) 对+N ∈?n ,有2>n x ; (B) + N ∈?N ,当N n >时,有2>n a ; (C) N N N >?N ∈?+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈?+n a n . 2. 设+ N ∈?N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞ →lim ,B b n n =∞ →lim .则正确的选项是: ( A ). (A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若() 0tan 1 lim 1cos 1≠=---∞→a n e k n n π ,则 ( A ) (A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21 =a ; (C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π 21 -=a ; 4. 设32lim 1kn n e n -→∞ ?? += ??? ,则k =( C ) (A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3. 5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞ =,则下列命题正确的是( D ) (A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ?? ???? 为无穷小量,则{}n y 必为无穷小量. ( 数. 三、函数极限 1. 极限=+-∞→3 3 21 213lim x x x ( D ). (A) 3 2 3 ; (B) 3 2 3 - ; (C) 3 2 3 ± ; (D) 不存在.

数学分析1-期末考试试卷(A卷)

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ，则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是，第二类间断点是。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（）。（A ）若n x 发散，则n y 必发散。（B ）若n x 无界，则n y 必无界。（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。（D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（）。（A ） 1。（B ）不存在。（C ） 0。（D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（）。（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（）。（A ）() )(x f e f e x x ----。（B ）() )(x f e f e x x +---。（C ） () )(x f e f e x x --- 。（D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（）。（A ）)3(,1πf a =是极小值。（B ）)3 (,1π f a =是极大值。（C ）)3(,2πf a =是极小值。（D ）)3 (,2π f a =是极大值。三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。

北航数学分析期末考试卷

A 一、填空题（每题5分，共30分） 1．设向量场),,(222xyz z xy yz x A =，求=divA =rotA 2．求=+?→x x dx ααcos 12100lim 3．设),(y x f 在原点领域连续，求极限=??≤+→dxdy y x f y x ),(12222 0lim ρρπρ 4．设为自然数，n z y x z y x D },10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤= 求=+++???dxdydz z y x y x n n n n n D 5．设,)(2)1(cos sin dt e x f t x x +?= 求=)('x f 6．)为右半单位圆设L (,sin cos :???==θ θy x L 求=?ds y L || 二、（本题满分１0分）设Ω为椭球体,1222222≤++c z b y a x 计算dxdydz xy z I )2(2+=???Ω

三（本题满分１0分）计算曲面积分,)(dS z y x ++??∑ 其中∑是平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分。四（本题满分3０分，每题10分） 1．计算曲线积分 ?-+-+-=L dz y x dy x z dx z y I ,)()()(02222=++=++z y x a z y x L 与平面是球面其中取逆时针方向。轴正向看去的交线，从L z

2．计算曲面积分.zdxdy ydzdx xdydz ++??∑ 其中)0(:22h y z x y ≤≤+=∑，方向取左侧。 3．计算,4)4()(.22y x dy y x dx y x L +++-?其中L 为单位圆周,.122=+y x 方向为逆时针方向。

数学系一年级《数学分析》期末考试题

（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题学号姓名一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，则（） A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ? ???>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在点00=x 必（） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、' 'f （0x ）在点00=x 必（） A. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（） A. ∈?ξ（b a ,），使0)(' =ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)(' ≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)(' x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ；

数学分析期末考试试卷

中央财经大学2014—2015学年数学分析期末模拟考试试卷（A 卷）姓名：学号：学院专业：联系方式：一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ，则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是，第二类间断点是。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（）。（A ）若n x 发散，则n y 必发散。（B ）若n x 无界，则n y 必无界。（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。（D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（）。（A ） 1。（B ）不存在。（C ） 0。（D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（）。（A ）() )(x f e f e x x ----。（B ）() )(x f e f e x x +---。（C ） () )(x f e f e x x --- 。（D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（）。（A ）)3(,1πf a =是极小值。（B ）)3 (,1π f a =是极大值。（C ）)3(,2πf a =是极小值。（D ）)3 (,2π f a =是极大值。三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。

数学分析(2)期末试题

数学分析（2）期末试题课程名称数学分析（Ⅱ）适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、下列级数中条件收敛的是（）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1 n n ∞ = C ． 21 (1)n n n ∞ =-∑ D ． 1 1 (1)n n n ∞ =+∑ 2、若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在它的间断点x 处（）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2 f x f x -++ C ．发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 0 (0)1dx k kx +∞>+?收敛于1，则k =（） A ． 2π B ．22π C ． D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛，则（） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<< 二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得，10 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+? ? 的聚点为． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为．

上海财经大学数学分析测试题 (大一)

《数学分析》考试题一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ，（） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数）函数 )(x f 在点00=x 必（） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必（） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；

数学分析3期末测试卷

2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三）一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是（） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是（） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是（） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是（） . A B C D 1 ．2　．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是（） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是（） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数（） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于（） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（）绝对收敛，则p 的取值范围是； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号一二三四五总分复核人分值 20 20 10 32 18 100 得分评卷人得分得分得分

(汇总)数学分析3试卷及答案.doc

数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分) 1、设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。二、计算题(每题8分，共56分) 1、讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题一叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求f l (P 0) 三讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。四证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

第三学期数学分析(3)试卷

一、填空题(每空3分，共24分) 1、设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、在xy 面上，若圆{} 122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2_______。二、计算题(每题8分，共56分) 1、讨论y x y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、设),(2x y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。 3、求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

数学分析期末考试题

数学分析期末考试题一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =，求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>? b a dx x f 2、设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu

参考答案一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ（6分） 2、、所求的面积为：220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? （8分） 3、解：π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分） 4、解：11 lim 2=∞ →n n x ，r=1（4分）由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???（5分）三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k +11 所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π （4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1

13数学分析期末复习题03

数学分析(三)复习题一、计算题 1．求二重极限y x x a y x x +→∞→? ?? ?? +2 11lim ； 2．求椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1,-2,3)处的切平面与平面z=1的交角； 3．求函数z=xy 在条件x+y=1下的极值点。 4．求函数z=x 2+xy+y 2-4lnx-10lny 的极值。 5. 求函数z=4(x-y)-x 2-y 2的极值。 6．求函数z=x 4+y 4-x 2-2xy-y 2的极值。 7. 求函数z=x 3y 2(6-x-y)，(x>0，y>0)的极值。 8．求函数z=x 2+(y-1)2的极值。 9. 设u(x,y)=e 3x-y ，x 2+y=t 2，x-y=t+2，求 =t dt du 。 10．求e z -z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面与法线方程。 11. 设f(x,y,z)=x+y 2+xz ，求f 在(1,0,1)点沿方向C =(2,-2,1)的方向导数。 12．求函数u=xyz 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数。 13. 求函数u=x 2+y 2-z 2在点M(1,0,1)及P(0,1,0)的梯度之间的夹角。 14．在椭球面2x 2+2y 2+z 2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 15．设函数f(x,y,z)=cos 2(xy)+2z y ，试问它在点(0,2,1)处的什么方向上的变化率最大？求出这个方向上的单位向量及函数在点(0,2,1)的最大变化率。 16．求函数z=arctg x y 在位于圆x 2+y 2-2x=0上一点(21 ,2 3)处沿这圆周切线方向的方向导数（设切线的倾角α 的范围为：0≤α<π）。 17. 设数量场u= 2 2 2 z y x z ++，试求：（1）gradu ；（2）在域1

数学分析下册》期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、已知u =则u x ?=? ，u y ?=? ，du = 。 2、设22L y a +=2：x ，则L xdy ydx -=? 。 3、设L ???x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ?22L （x +y ）= 。 4、改变累次积分32dy f dx ??3 y （x ，y ）的次序为。 5、设1D x y +≤：，则1)D dxdy ??= 。二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。 ( ) 2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。 ( ) 3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则必有 0000(,)(,)x y y x f x y f x y =。 ( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =??。 ( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ）在D 上可积。( ) 三、计算题（每小题9分，共45分） 1、用格林公式计算曲线积分 (sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =-+-? ，其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。、计算三重积分 22()V x y dxdydz +???，是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。、计算第一型曲面积分

13数学分析期末复习题01

13数学分析(三)复习范围一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题 2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数 4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值 6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算 10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分) 15. 利用余元公式B(p,1-p)=ππ p sin ，计算?+∞+01n x dx 类积分值二、解答与证明题(第小题10分，共30分) 1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性 3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明

例题一、计算题 1. 全微分计算题公式：du=u x ??dx+u y ??dy+u z ??dz 。例1：求函数u=22 22 z x x y -+的全微分；例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x 2+y 2+z 2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数例3：设z y e z x +=，求y x z ???2。例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e -(x+y+z)，求dx dy ，dx dz 。 3. 求抽象函数的二阶偏导数例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求z x u ???2，22u y ??其中f 具有二阶连续的偏导数；例6：设u=f(x 2-y 2，xy e )，求y x u ???2，其中f 具有二阶连续偏导数。 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线例7：求曲线：x 2+y 2+z 2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。例8：求曲线?? ???=-+-=-++045320 3222z y x x z y x 在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。例9：求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值例10：求f(x,y)=e 2x (x+2y+2y 2)的极值。例11：求抛物线y=x 2和直线x-y-2=0之间的最短距离。 6. 计算第一型曲面积分例12：计算??++S dS zx yz xy )(，其中S 为锥面22y x z +=被曲面x 2+y 2=2ax 所截得的部分。例13：计算：xyzdS ∑ ??，∑是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。 7. 计算第二型曲面积分例14：求I=??-++S dxdy yz x dydz xy z )()2(22，其中S 是圆柱面x 2+y 2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。例15：计算??∑ +-yzdxdy dzdx y xzdydz 24，其中∑是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表面的外侧。 8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 例16：计算曲线积分[][] ? -'+-AmB x x dy m e y dx my e y )()(??，其中?(y)和?/(y)为连续函数，AmB 为连接点A(x 1,y 1) 和点B(x 2,y 2)的任何路径，但与线段AB 围成的区域AmBA 的面积为已知常数S 。

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