所以f (x )在[0,1]上是增函数，则对任意的x 1，x 2∈[0,1]，不等式|f (x 1)－f (x 2)|≤a ln a ＋e －4恒成立，只需f (x )max －f (x )min ≤a ln a ＋e －4，
因为f (x )max ＝f (1)＝a ＋e －1－ln a ，
f (x )min ＝f (0)＝1＋1＝2，
所以a ＋e －1－ln a －2≤a ln a ＋e －4，
即a －ln a ＋1－a ln a ≤0，
即(1＋a )(1－ln a )≤0，所以ln a ≥1，
从而有a ≥e ，而当a ≥e 时，①式显然成立．故选C.
易错提醒 利用导数研究函数的极值、最值应注意的问题
(1)不能忽略函数f (x )的定义域．
(2)f ′(x 0)＝0是可导函数在x ＝x 0处取得极值的必要不充分条件．
(3)函数的极小值不一定比极大值小．
(4)函数在区间(a ，b )上有唯一极值点，则这个极值点也是最大(小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．
跟踪演练3 (1)若x ＝1e
是函数f (x )＝ln x －kx 的极值点，则函数f (x )＝ln x －kx 有( ) A ．极小值－2
B ．极大值－2
C ．极小值－1
D ．极大值－1
答案 B
解析 由题意得f ′(x )＝1x
－k ， ∴f ′????1e ＝e －k ＝0，∴k ＝e.
由f ′(x )＝1x －e ＝0，得x ＝1e
， 当x ∈???
?0，1e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈????1e ，＋∞时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，
∴函数f (x )的极大值为f ????1e ＝ln 1e －e ×1e
＝－2. (2)已知点M 在圆C ：x 2＋y 2－4y ＋3＝0上，点N 在曲线y ＝1＋ln x 上，则线段MN 的长度的最小值为________．
答案 2－1 解析 由题意可得C (0,2)，圆C 的半径r ＝1.
设N (t,1＋ln t )(t >0)，
令f (t )＝|CN |2，则f (t )＝t 2＋(1－ln t )2(t >0)，
所以f ′(t )＝2t ＋2(1－ln t )????－1t ＝2(t 2＋ln t －1)t
. 令φ(t )＝t 2＋ln t －1(t >0)，
易知函数φ(t )在(0，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝0，
所以当01时，f ′(t )>0，
所以f (t )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f (t )min ＝f (1)＝2.
因为|MN |≥|CN |－1＝2－1，
所以线段MN 的长度的最小值为2－1.
专题强化练
一、选择题
1．(2020·全国Ⅰ)函数f (x )＝x 4－2x 3的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )
A ．y ＝－2x －1
B ．y ＝－2x ＋1
C ．y ＝2x －3
D ．y ＝2x ＋1
答案 B
解析 f (1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，
f ′(x )＝4x 3－6x 2，
所以切线的斜率为k ＝f ′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即y ＝－2x ＋1.
2．函数f (x )＝ln x x
的单调递增区间是( ) A ．(0，e)
B ．(e ，＋∞)
C ．(0,1)
D ．(1，e) 答案 A 解析 由f ′(x )＝????ln x x ′＝1－ln x x 2>0(x >0)，可得?????
1－ln x >0，x >0，
解得x ∈(0，e)． 3．设函数f (x )定义在区间(0，＋∞)上，f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (x )＋x ln xf ′(x )>0，则不
等式ln x f (x )
>0的解集是( ) A.????13，＋∞
B ．(1，＋∞) C.???
?0，13 D ．(0,1) 答案 B
解析 构造新函数g (x )＝ln xf (x )，
则g (1)＝0，g ′(x )＝1x
f (x )＋ln xf ′(x )． 因为f (x )＋x ln xf ′(x )>0，又x >0，
所以1x
f (x )＋ln xf ′(x )>0， 所以
g ′(x )>0，所以函数g (x )＝ln xf (x )在(0，＋∞)上单调递增．
而ln x f (x )
>0可化为ln xf (x )>0， 等价于g (x )>g (1)，解得x >1，
所以不等式ln x f (x )
>0的解集是(1，＋∞)． 4．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在????12
，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0]
B ．[－1，＋∞)
C ．[0,3]
D ．[3，＋∞) 答案 D
解析 由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在????12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在????12，＋∞上恒成立，∵函数y ＝1x 2－2x 在????12，＋∞上为减函数，∴y <1???
?122－2×12＝3.∴a ≥3. 5．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)·e x －1－f (0)x ＋12
x 2，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(－∞，0)
B ．(－∞，1)
C ．(1，＋∞)
D ．(0，＋∞)
答案 D
解析 由题意得f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x ，
令x ＝1，则f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，∴f (0)＝1，
令x ＝0，则f (0)＝f ′(1)e －1，∴f ′(1)＝e ，
∴f (x )＝e x －x ＋12
x 2，∴f ′(x )＝e x －1＋x ， 令g (x )＝e x －1＋x ，则g ′(x )＝e x ＋1>0.
∴g (x )为增函数，
又g (0)＝0，∴当x >0时，g (x )>0，即f ′(x )>0，
即f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
6．若函数y ＝e x －e －x (x >0)的图象始终在y ＝ax (x >0)的上方，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，e]
B ．(－∞，2]
C ．(0,2]
D ．(0，e]
答案 B
解析 依题意设f (x )＝e x －e －x ，
则f ′(x )＝e x ＋e －x >0，
故函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 且易知当x >0时f ′(x )＝e x ＋e －x 单调递增，
当x →0时，f ′(x )→2，故f ′(x )>2，
而a 是直线y ＝ax 的斜率，
直线过原点，要使函数y ＝e x －e －x (x >0)的图象始终在y ＝ax (x >0)的上方，则需a ≤2.
7．(2020·雅安模拟)若对?x 1，x 2∈(m ，＋∞)，且x 1<1，则m 的最小值是( )
注：(e 为自然对数的底数，即e ＝2.718 28…)
A.1e B ．e C ．1 D.3e
答案 C
解析 由题意，当0≤m 由x 1ln x 2－x 2ln x 1x 2－x 1
<1， 等价于x 1ln x 2－x 2ln x 1即x 1ln x 2＋x 1故x 1(ln x 2＋1)故ln x 2＋1x 2， 令f (x )＝ln x ＋1x
，则f (x 2)x 1>m ≥0，
故f (x )在(m ，＋∞)上单调递减，
又由f ′(x )＝－ln x x 2，令f ′(x )<0，解得x >1，
故f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故m≥1.
8．(2020·北京通州区模拟)关于函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1有以下三个判断：
①函数恒有两个零点且两个零点之积为－1；
②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为－1；
③若x＝－2是函数的一个极值点，则函数极小值为－1.
其中正确判断的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析因为e x－1>0，方程x2＋ax－1＝0，Δ＝a2＋4>0，所以关于x的方程x2＋ax－1＝0一定有两个实数根，且两根之积为－1，所以f(x)＝(x2＋ax－1)e x－1恒有两个零点且两个零点之积为－1，即①正确；f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·e x－1，e x－1>0，对于x2＋(a＋2)x＋a－1＝0，Δ＝(a＋2)2－4(a－1)＝a2＋8>0，所以x2＋(a＋2)x＋a－1＝0恒有两个不相等的实数根，且导函数在这两个实根附近左右异号，两根之积为a－1，所以函数恒有两个极值点且两个极值点之积为a－1，所以②错误；若x＝－2是函数的一个极值点，f′(－2)＝(4－2a－4＋a－1)e－3＝0，则a＝－1，f(x)＝(x2－x－1)e x－1，f′(x)＝(x2＋x－2)e x－1＝(x＋2)·(x－1)e x－1，当x∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，所以函数的增区间为(－∞，－2)，(1，＋∞)，减区间为(－2,1)，所以函数的极小值为f(1)＝－1，所以③正确．
二、填空题
9．已知f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋a)，若f′(－1)＝2，则f′(1)＝________.
答案26
解析f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋a)＝(x2＋3x＋2)(x＋a)＝x3＋(a＋3)x2＋(3a＋2)x＋2a，
所以f′(x)＝3x2＋2(a＋3)x＋3a＋2，
所以f′(－1)＝3×(－1)2＋2(a＋3)×(－1)＋3a＋2＝2，
解得a＝3，所以f′(x)＝3x2＋12x＋11，
所以f′(1)＝3×12＋12×1＋11＝26.
10．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于________．
答案 2
解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，
∴a 2
≥1，得a ≥2. 又∵g ′(x )＝2x －a x
， 依题意得g ′(x )≥0在(1,2)上恒成立，
∴2x 2≥a 在(1,2)上恒成立，∴a ≤2.∴a ＝2.
11．(2020·北京市第171中学模拟)已知函数f (x )＝e 2x －3，g (x )＝14＋ln x 2
，若f (m )＝g (n )成立，则n －m 的最小值为________．
答案 12
＋ln 2 解析 设e 2m －3＝14＋ln n 2
＝k (k >0)， 则m ＝32＋ln k 2
，n ＝142e k -， 令h (k )＝n －m ＝1
42e
k -－ln k 2－32， 所以h ′(k )＝142e
k -－12k
，h ′(k )在(0，＋∞)上为增函数， 且h ′????14＝0， 当k ∈???
?0，14时，h ′(k )<0， 当k ∈????14，＋∞时，h ′(k )>0，
所以h (k )＝1
42e k -－ln k 2－32
在????0，14上单调递减，在????14，＋∞上单调递增， 所以h (k )min ＝h ????14＝12＋ln 2，
即n －m 的最小值为12
＋ln 2. 12．已知函数f (x )＝mx 2＋2x －2e x
，m ∈[1，e]，x ∈[1,2]，g (m )＝f (x )max －f (x )min ，则关于m 的不等式g (m )≥4e 2的解集为________． 答案 ???
?24－e ，e
解析 由f (x )＝mx 2＋2x －2e x
， 得f ′(x )＝(2mx ＋2)e x －(mx 2＋2x －2)e x
(e x )2
＝2mx ＋2－mx 2－2x ＋2e x ＝－mx 2＋(2－2m )x －4e x
＝－(mx ＋2)(x －2)e x
， ∵m ∈[1，e]，x ∈[1,2]，
∴f ′(x )≥0，
∴函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，
∴f (x )max ＝f (2)＝4m ＋2e 2，f (x )min ＝f (1)＝m e
， ∴g (m )＝f (x )max －f (x )min
＝4m ＋2e 2－m e ＝4m ＋2－m e e 2
， 令4m ＋2－m e e 2≥4e 2，得m ≥24－e
， 又m ∈[1，e]，∴m ∈????
??24－e ，e . 故不等式g (m )≥4e 2的解集为????
??24－e ，e . 三、解答题
13．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．
(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值；
(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围．
解 f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.
(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.
当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，
f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，
由f ′(x )>0，解得x <13
或x >1；
由f ′(x )<0，解得13
?13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1.
(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，
则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，
即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立．
由a >0，f ′(x )≥0恒成立的充要条件是Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43
. 显然，f ′(x )≤0不恒成立，
综上，a 的取值范围为????43，＋∞.
14．已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )．
(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．
解 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，
其定义域是(0，＋∞)，
∴f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x
. 令f ′(x )＝0，即－2x 2－x －1x ＝－(x －1)(2x ＋1)x
＝0， 解得x ＝－12
或x ＝1. ∵x >0，∴x ＝1.
当00；当x >1时，f ′(x )<0.
∴函数f (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减，即单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)方法一 ∵f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax ，
其定义域为(0，＋∞)，
∴f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x
＝－(2ax ＋1)(ax －1)x
. ①当a ＝0时，f ′(x )＝1x
>0， ∴f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不符合题意；
②当a >0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >1a
. 此时f (x )的单调递减区间为???
?1a ，＋∞. 依题意，得????? 1a ≤1，a >0，
解得a ≥1； ③当a <0时，f ′(x )<0(x >0)等价于(2ax ＋1)(ax －1)>0(x >0)，即x >－12a
. 此时f (x )的单调递减区间为???
?－12a ，＋∞， ∴????? －12a ≤1，a <0，
解得a ≤－12. 综上所述，实数a 的取值范围是?
???－∞，－12∪[1，＋∞)． 方法二 ∵f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax ，x ∈(0，＋∞)，
∴f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1x
. 由f (x )在(1，＋∞)上是减函数，可得g (x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1≤0在(1，＋∞)上恒成立． ①当a ＝0时，1≤0，不符合题意；
②当a ≠0时，可得????? 14a <1，g (1)≤0，即?????
a >14或a <0，－2a 2＋a ＋1≤0， ∴??? a >14或a <0，a ≥1或a ≤－12，∴a ≥1或a ≤－12
. ∴实数a 的取值范围是????－∞，－12∪[1，＋∞)．
导数的简单应用
第三讲导数的简单应用 考点一导数的几何意义1．导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(a x)′＝a x ln a(a>0)； (4)(log a x)′＝1 x ln a(a>0，且a≠1)． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [对点训练] 1．(2018·兰州质检)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为() A．(1,3) B．(－1,3) C．(1,3)和(－1,3) D．(1，－3) [解析]f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1， ∴P(1,3)或(－1,3)．经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x －1上，故选C. [答案]C 2．(2018·大同模拟)过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的切线方程为()
A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0 D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 [解析] 设切点坐标为(x 0，y 0)，y 0＝x 30－2x 0，则曲线在(x 0，y 0) 处的切线斜率为y ′＝3x 20－2，当x 0＝1时斜率为1，切线方程为x － y －2＝0，当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为x 30－2x 0＋1x 0－1 ＝x 20＋x 0－1＝3x 20－2，解得x 0＝－12，其斜率为－54，切线方程为5x ＋4y －1 ＝0，所以A 正确，故选A. [答案] A 3．(2018·西安质检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．1 D ．3 [解析] 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以 令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点 (1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B. [答案] B 4．若曲线y ＝x 在点(a ，a )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为2，则a ＝________. [解析] y ＝x ＝x 12 ，∴y ′＝12x －12 ，于是曲线在点(a ，a )处的 切线方程为y －a ＝1 2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2；令y ＝0，得x
高中数学_导数的简单应用教学设计学情分析教材分析课后反思
《导数的简单应用》教学设计 教材分析： 教材的地位和作用,导数的简单应用”是高中数学人教A 版教材选修2-2第一章的内容，它是中学数学与大学数学一个的衔接点。导数的应用我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具 通过本节的学习可以使学生具有树立利用导数处理问题的意识。 根据新课程标准的要求如下： （1）知识与技能目标：能利用导数求函数的单调区间；能结合函数的单调区间求参数的取值范围。 （2） 情感、态度与价值观目标： 培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度，渗透辩证唯物主义的方法论和认识论。 3.教学重点与难点： 教学重点：(1)函数单调性的判断与单调区间的求法； (2)利用函数的单调性求参数的取值范围。 教学难点：（1）含参函数的单调区间的求法； （2） 构造函数求参数的取值范围。 针对这节复习课的特点我设计了 （一） 必备知识（二）典例分析（三）要点总结（四）课堂达标四个主要教学环节. 环节（一）：必备知识： 我设计了三个问题（1）由给定某函数图像，让学生观察函数的图像，体会导数与函数单调性，当如果)(x f '>0,与函数y=f(x)在这个区间内单调递增，如果)(x f '<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减的直观印象。而且直接从图象入手，以直观形象带动学生对知识的回忆，学生在观察原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，既能充分调动学生参与课堂的积极性，又加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。 （2）由给定导函数图像，让学生亲自动手画出原函数的图像，既能充分调动学生参与课堂的积极性，而且直接从问题入手，以问题带动学生对知识的回忆，学生在动手画原函数图像的过程中就在进行知识和信息的整理，加深了学生对函数的单调性和导数的关系的理解，同时也为后面例题做好铺垫。（3）通过判断正误，深化学生对概念的理解与掌握，
专题一 第4讲 导数的简单应用
第4讲 导数的简单应用 [考情分析] 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小.2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 考点一 导数的几何意义与计算 核心提炼 1．导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)?? ?? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 2．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 例1 (1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( ) A.74 B ．－74 C.94 D ．－94 答案 B 解析 ∵f (x )＝x 2＋3xf ′(2)－ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)－1x ， 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－1 2， 解得f ′(2)＝－7 4 . (2)(2020·北京通州区模拟)直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，如果直线l 与曲线y ＝x 2相切，那么b 等于( ) A ．－14 B ．－12 C.14 D.12
答案 A 解析 直线l 经过点A (0，b )，且与直线y ＝x 平行，则直线l 的方程为y ＝x ＋b ，直线l 与曲线y ＝x 2相切，令y ′＝2x ＝1，得x ＝12，则切点为????12，14，代入直线l 的方程，解得b ＝－14. 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． 跟踪演练1 (1)(2020·内蒙古自治区模拟)曲线y ＝(ax ＋2)e x 在点(0,2)处的切线方程为y ＝－2x ＋b ，则ab 等于( ) A ．－4 B ．－8 C ．4 D ．8 答案 B 解析 y ′＝e x (ax ＋2＋a )， 故k ＝y ′|x ＝0＝2＋a ＝－2，解得a ＝－4， 又切线过点(0,2)，所以2＝－2×0＋b ， 解得b ＝2，所以ab ＝－8. (2)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切，则a 等于( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 答案 C 解析 设切点为(n ，a e n ＋n )，因为y ′＝a e x ＋1， 所以切线的斜率为a e n ＋1， 切线方程为y －(a e n ＋n )＝(a e n ＋1)(x －n )， 即y ＝(a e n ＋1)x ＋a e n (1－n )， 依题意切线方程为y ＝2x ＋1， 故????? a e n ＋1＝2，a e n (1－n )＝1， 解得a ＝1，n ＝0. 考点二 利用导数研究函数的单调性 核心提炼 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域．
导数的简单应用专题训练
导数的简单应用专题训练 1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C ． ln 2 2 D ．ln 2 解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B ． 2． 已知函数f (x )与f ′(x )的图象如图所示， 则函数g (x )＝ f (x ) e x 的递减区间为( ) A ．(0,4) B ．(－∞，1)，???? 43，4 C ．??? ?0，43 D ．(0,1)，(4，＋∞) 解析：选D g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2 ＝f ′(x )－f (x ) e x ，令g ′(x )＜0即 f ′(x )－f (x )＜0， 由图可得x ∈(0,1)∪(4，＋∞)，故函数单调减区间为(0,1)，(4，＋∞)，故选D ． 3． 若函数f (x ) ln x 在(1，＋∞)上单调递减，则称f (x )为P 函数．下列函数中为P 函数的序 号为( ) ①f (x )＝1 ②f (x )＝x ③f (x )＝1 x ④f (x )＝x A ．①②④ B ．①③ C ．①③④ D ．②③ 解析：选B 当x >1时：f (x )ln x ＝1 ln x 单调递减，①是；????x ln x ′＝ln x －1ln 2x ，所以函数在(e ，＋∞)上单调递增， ②不是；????1x ln x ′＝－(ln x ＋1)ln 2 x ＜0，∴③是；????x ln x ′＝(ln x －2)2x ln 2x ，所以函数在(e 2，＋∞)上单调递增，④不是；选B ． 4．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x ＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 解析：选C 由函数的解析式可得y ′＝a e x ＋1，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝a e x 0＋1，
全国版2022高考数学一轮复习第3章导数及其应用第2讲导数的简单应用试题1理含解析
第三章 导数及其应用 第二讲 导数的简单应用 练好题·考点自测 1.[2021陕西模拟]若函数f (x )=kx -ln x 在区间(1,+∞)上单调递增,则k 的取值范围是( ) A .(-∞,-2] B .(-∞,-1] C .[2,+∞) D .[1,+∞) 2.下列说法错误的是( ) A.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的 B.若x 0是可导函数y =f (x )的极值点,则一定有f'(x 0)=0 C.函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值 D.函数f (x )=x sin x 有无数个极值点 3.[2020安徽安庆一中5月模拟]函数y =f (x )的导函数的图象如图3-2-1所示,给出下列命题: ①(0,3)为函数y =f (x )的单调递减区间; ②(5,+∞)为函数y =f (x )的单调递增区间; ③函数y =f (x )在x =0处取得极大值; ④函数y =f (x )在x =5处取得极小值. 其中正确的命题序号是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③④ 4.[2017全国卷Ⅱ,11,5分][理]若x =-2是函数f (x )=(x 2 +ax -1)e x -1 的极值点,则 f (x )的极小值为( ) A.-1 B.-2e -3 C.5e -3 D.1 5.[2021河南省名校第一次联考]已知函数f (x )=x (x -c )2 在x =2处取极大值,则c = . 6.[2021武汉市部分学校质检]设函数f (x )=ln 1+sinx 2cosx 在区间[-π4,π 4]上的最小值和最大值分别为m 和M ,则 m +M = . 拓展变式 1.[2020全国卷Ⅰ,21,12分][理]已知函数f (x )=e x +ax 2 -x. (1)当a =1时,讨论f (x )的单调性; (2)当x ≥0时,f (x )≥1 2x 3 +1,求a 的取值范围. 2.已知函数g (x )=1 3x 3 -a 2x 2 +2x +5. (1)若函数g (x )在(-2,-1)内单调递减,则a 的取值范围为 ;
导数及其应用教材分析
第三章导数教材分析 一、内容安排 本章大体上分为导数的初步知识、导数的应用、微积分建立的时代背景和历史意义部分. 导数的初步知识.关键是导数概念的建立.这部分首先以光滑曲线的斜率与非匀速直线运动的瞬时速度为背景，引出导数的概念，给出按定义求导数的方法，说明导数的几何意义.然后讲述初等函数的求导方法，先根据导数的定义求出几种常见函数的导数、导数的四则运算法则，再进一步给出指数函数和对数函数的导数. 这部分的末尾安排了两篇阅读材料，一篇是结合导数概念的“变化率举例”，另一篇是介绍导数应用的“近似计算”. 导数的应用，这部分首先在高一学过的函数单调性的基础上，给出判定可导函数增减性的方法.然后讨论函数的极值，由极值的意义，结合图象，得到利用导数判别可导函数极值的方法*最后在可以确定函数极值的前提下，给出求可导函数的最大值与最小值的方法. 微积分是数学的重要分支，导数是微积分的一个重要的组成部分.一方面，不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具，而且，在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用.另一方面，微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的. 本章共9小节，教学课时约需18节（仅供参考） 3. 1导数的概念 ............. 约3课时 3. 2几种常见函数的导数........... 约1课时 3. 3函数的和、差、积、商的导数...... 约2课时 3. 4复合函数的导数............. 约2课时 3. 5对数函数与指数函数的导数....... 约2课时 3. 6函数的单调性............. 约1课时 3. 7函数的极值 ............. 约2课时 3. 8函数的最大值与最小值......... 约2课时 3. 9微积分建立的时代背景和历史意义....约1课时 小结与复习.............. 约2课时 二、教学目标 1?了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2.熟记基本导数公式：
选修2-2导数及其简单应用
河南省伊川高中II 部2010-2011学年高二下学期第一次月考 理 数 试 题 命题人：张晓锋 一、选择题（共有12个小题，每小题5分，共60分） 1、若()()() k x f k x f x f k 2lim ,2000 0--='→则的值为 （ ） A ．-2 B. 2 C.-1 D. 1 2、曲线y=x 3 +x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4) 3、下列求导运算正确的是 （ ） A ．(x +21 1)1 x x + =' B ．(log 2x )′= 2 ln 1 x C ．(3x )′=3x log 3e D ．(x 2cos x )′=－2x sin x 4、()()=+-=x f x x x f 则设函数,122 （ ） A ．在（－∞，＋∞）单调递增 B ．在（－∞，＋∞）单调递减 C ．在（－1，1）单调递减，其余区间单调递增 D ．在（－1，1）单调递增，其余区间单调递减 5、已知函数f (x )的导数为x x x f 44)(3-='，当函数f (x )取得极大值时，x 的值应为 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 6、函数y=2x 3 -3x 2 -12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） A. 5 , -15 B. 5 , 4 C. -4 , -15 D. 5 , -16 7、设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ．
第三讲 简单复合函数的导数及定积分
第三讲 简单复合函数的导数及定积分 班级 姓名 一、教学要求 1、理解简单复合函数的导数，能求一些简单复合函数的导数。 2、了解定积分的实际背景，初步掌握定积分的相关概念，体会定积分的基本方法。 3、了解微积分基本定理的含义，能利用微积分基本定理计算简单的定积分，解决一些简单的几何和物理问题。 二、课前练习 1.若函数(),y f u u ax b ==+，则x y '=______ _=________ 2.微积分基本定理的内容是_____________________________ 3.定积分 21(1)x dx +=?_________ 4.定积分b a cdx =?__________ 5.直线0,1,0x x y ===和曲线2y x =围成的图形(曲边三角形)的面积为 三、例题选讲 例1、计算下列定积分： （1）、()1123x dx -+? （2）、120xd x ? （3）、 20s i n 2x d π ? （4）、211dx x ?
例2、计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积。 例3、已知弹簧每拉长0.02米要用9.8N 的力，求把弹簧拉长0.1米所做的功。 四、巩固练习 1、若131 y x =-，则y '= 2、若()cos 12y x =-，则y '= 3、曲线sin 2y x =在点(),0P π处的切线方程为 4、由cos y x =及x 轴围成的介于0x =与2x π= 之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 5、曲线2x y =，1x =-，2x =及x 轴所围成图形的面积为
最新03第三讲积分及其应用
03第三讲积分及其应 用
第三讲积分及其应用 考纲要求 1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法和分部积分法. 3.会求有理函数，三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿?Skip Record If...?莱布尼茨公式. 5.了解广义积分的概念，会计算广义积分. 6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积已知的立体的体积、功、引力、压力、质心等）及函数的平均值. 一、不定积分 问题1 不定积分的概念与性质 答考纲要求理解原函数、不定积分的概念，掌握不定积分的性质. 1.概念 定义1 如果在区间?Skip Record If...?上，有?Skip Record If...?或者?Skip Record If...?， 则称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?在区间?Skip Record If...?上的原函数. 定义2 ?Skip Record If...?的全体原函数称为?Skip Record If...?的不定积分，记作?Skip Record If...?.
▲它们的关系是：如果?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的一个原函数，则 ?Skip Record If...?. 上式表明：求不定积分，只要求出它的一个原函数，再加上任意常数. 2.性质： 性质1（互逆性）如果不计任意常数，求导运算和积分运算是互逆的，即 ?Skip Record If...?（先积后导还原了） ?Skip Record If...?（先导后积还原?Skip Record If...?）性质2 （线性性）?Skip Record If...??Skip Record If...?. 例题 1.若?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【?Skip Record If...?】 2.已知?Skip Record If...?，则?Skip Record If...? .【?Skip Record If...?】 3.已知?Skip Record If...?的一个原函数为?Skip Record If...?,则?Skip Record If...? . 【?Skip Record If...?】 4.下列命题中不正确的是（）.【B】 (A)若?Skip Record If...?为连续的奇函数，则其原函数为偶函数 (B)若?Skip Record If...?为连续的偶函数，则其原函数为奇函数 (C)若?Skip Record If...?为可导的奇函数，则其导函数为偶函数 (D)若?Skip Record If...?为可导的偶函数，则其导函数为奇函数 解由?Skip Record If...?知，连续的奇函数的原函数全为偶函数，连续的偶函数的原函数中，只有一个为奇函数，故选择A. ▲求导改变函数的奇偶性. 证明如下：
导数的简单应用(小题)
导数的简单应用(小题) 热点一 导数的几何意义与定积分 应用导数的几何意义解题时应注意： (1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系，f ′(x 0)表示函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，是一个常数； (2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率； (3)切点既在原函数的图象上也在切线上. 例1 (1)(2019·湖南省三湘名校联考)在二项式? ? ? ??x 2 ＋ a 2x 6 的展开式中，其常数项是15.如图所示，阴影部分是由曲线y ＝x 2 和圆x 2 ＋y 2 ＝a 及x 轴在第一象限围成的封闭图形，则封闭图形的面积为( ) A.π4＋16 B.π4－16 C.π4 D.16 答案 B 解析 ? ? ???x 2 ＋a 2x 6 展开式中， 第k 项为T k ＋1＝C k 6? ?? ??a 2k x 12－3k ， 令12－3k ＝0，可得k ＝4，即常数项为C 4 6? ????a 24 ， 可得C 4 6? ?? ??a 24 ＝15，解得a ＝2.
曲线y ＝x 2和圆x 2＋y 2 ＝2在第一象限的交点为(1,1)， 所以阴影部分的面积为π4－?10(x －x 2 )d x ＝π4 － ???? ????12x 2－13x 310 ＝π4－16 . (2)(2019·许昌、洛阳质检)已知a >0，曲线f (x )＝3x 2 －4ax 与g (x )＝2a 2 ln x －b 有公共点，且在公共点处的切线相同，则实数b 的最小值为( ) A.0 B.－1e 2 C.－2e 2 D.－4 e 2 答案 B 解析 由f (x )＝3x 2 －4ax ，得f ′(x )＝6x －4a ， 由g (x )＝2a 2 ln x －b ，得g ′(x )＝ 2a 2 x . 设两曲线的公共点P (x 0，y 0)，x 0>0， 因为两曲线在公共点处的切线相同， 所以???? ? 6x 0－4a ＝2a 2 x 0 ， y 0 ＝3x 2 0－4ax 0 ， y 0 ＝2a 2 ln x 0 －b ， 由6x 0－4a ＝ 2a 2 x 0，解得x 0＝a ，x 0＝－1 3 a ， 又a >0，所以x 0＝a ，消去y 0，得 b ＝2a 2 ln a ＋a 2 ， 设b ＝h (a )＝2a 2 ln a ＋a 2 ，a >0，h ′(a )＝4a ln a ＋4a ， 令h ′(a )＝0，a ＝1 e ， 又01 e 时，h ′(a )>0， 所以a ＝1 e 时h (a )取极小值也是最小值， 即b min ＝h ? ?? ??1e ＝－1e 2. 跟踪演练1 (1)(2019·长沙模拟)已知函数f (x )＝?? ? －x ＋2，x ≤2， 1－x －32，2【精品】(数学三)第3讲导数应用
第三讲导数的应用（解答） 一．内容提要 1、三个微分中值定理：罗尔定理(用来证与某函数的导数有关的方程根的存在性，注意辅助函数的构造、与零点定理的异同）;拉格朗日定理（可用来证不等式，从函数的导数的性质来说明函数本身的性质）；柯西定理（注意有两个函数，这一点有时在解题时是一个提示)。 2、单调性；应用（证不等式，根的唯一性）。 3、极值、最值:极值的定义,求法（先求驻点及不可导点,再用第一或第二充分条件判别）；第二充分条件的扩充；应用（证不等式,根的唯性）;最值的求法与应用题. 4、曲线的凹凸性与拐点（注意曲线方程的不同给法）。 5、泰勒公式（怎么展开，某项系数的求法，余项的写法)及应用（证不等式；求 极限等）。 6、函数作图与曲线的渐近线的求法。 水平渐近线：则是水平渐近线。
铅垂渐近线：，则是铅垂渐近线。 斜渐近线：,则是斜渐近线。 考试要求： *理解罗尔（Rolle)定理．拉格朗日（Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy）中值定理，掌握这四个定理的简单应用． *会用洛必达法则求极限． *．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用． *．会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时,的图形是凹的；当时,的图形是凸的),会求函数图形的拐点和渐近线． *．会描述简单函数的图形． 二．常考知识点 1、洛必达法则求极限．
2、利用导数确定函数的性质(单调性、极值、凹凸性、拐点等）,函数可以是显式、隐式、参数方程形式）。 3、求曲线的渐近线(水平、铅垂、斜渐近线)。 4、利用导数方法，求实际问题中的最大、小值问题。
第三讲 光流分析法
第三讲 光流分析法 3．1 二维运动与视在运动 1． 而我们所能得到的是时变图像的某种采样点阵（或采样栅格）的图像序列，问题是： 2．可控与可观测问题—>即真实二维位移场与速度是否可观测？ 3．二维运动——也称投影运动： 透视、 正交投影 三维运动可由物体像素的三维瞬时速度或三维位移来描述，但三维瞬时速度及三维位移正是我们要估计的，这是一个逆问题。而我们可观测到的是视在运动。 （1）假定投影中心在原点 P P — 三维位移矢量 p p ' — 二维成像平面上的二维位移矢量 成像平面，投影平面 ← 光学上 三维场景 ——> 二维的时变图像 ——> 数学上 3D →2D 投影 二维位移场 二维速度场 t 时刻 t ′时刻 P ′ P ′ 投影 P P 投影
（2）假定投影中心在O 1点 由于投影作用，从P 点出发， 终点在O 1P / 虚线上的三维位移矢 量均有相同的二维投影位移矢量。 所以说，投影的结果只是三维真实 运动的部分信息。 （3）设t l t t R t X ?+='∈,),(3 由像素的运动 ' (,)(,,) C C X t d X t t S → 二维位移矢量函数 对应于点阵 ∧3 ，则有 ， ；；),(),(t l t X d t l t X d C P ?=?（x ，t ）∈ ∧3 ) ,(),(t l t X d l k n d P ?=?；； （n ，k ）∈ Z 3 k 表达了t ‘- t 的时间离散 T n n n ),(21= 假定三维瞬时速度为),,(321X X X ，则 ),(),(k n V t X V C P = 4．光流场与对应场 （1）p p ' 定义为对应矢量 光流矢量定义为某点 3),(R t X ∈ 上的图像平面坐标的瞬时变化率， 为一个导数。 T T dt dx dt dx V V V )/,/(),(2121== 表征了时空变化，而且是连续的变化。 （2） 当0→-'=?t t t 时，则光流矢量与对应矢量等价。如果在某个点阵∧3可 观测到这种变化，则就意义 对应场<——像素的二维位移矢量场 光流场<——像素的二维速度矢量场 也分别称为二维视在对应场与速度场。一般而言，对应矢量 ≠位移场 光流矢量≠速度场 （ O 1 p ′ p O X 2 X 1 P ′ P 图像平面X 3 X
《导数及其简单应用》含答案
《导数及其简单应用》测试题 一．选择题（共50分） 1.一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s = 4 1t 4- 4t 3 + 16t 2 , 则速度为零的时刻是 （ D ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 2.已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( B ) A. 31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3 1 sin1-cos1 D.sin1+cos1 3.若函数3 ()33f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则（ A ） A.01b << B.1b < C. 0b > D. 1 2 b < 4.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时， ()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 5. f (x )与g(x )是定义在R 上的两个函数，若()()f x g x ''=,则f (x )与g (x )一定满足（ B ） A.f (x )=g (x ) B .f (x )－g (x )=C （C 为常数） C. f (x )+g (x )=C （C 为常数）D. f (x )=g (x )=0 6. 函数3 2 (),f x ax bx =+（a 、b 为常数）在1x =处有极大值3，那么此函数在[]-1,1上的 最大值为（ C ） A. 3 B.0 C. 15 D. 1 7.以下是对连续函数f(x)在区间(),a b 上的定积分?b a dx x f )(的值的符号的叙述，其中正 确的个数是( B ) ①一定是正的 ②若()0f x >则定积分值必为正 ③若()0f x <则定积分值必为负 ④若定积分值为0，则必有()0f x = A.1 B.2 C. 3 D. 4
高考数学(文科)二轮专题：第二篇专题六第3讲 导数的简单应用
第3讲 导数的简单应用 (限时60分钟，满分96分) 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2019·湖北八市联考)已知直线y ＝ax 是曲线y ＝ln x 的切线，则实数a ＝ A.1 2 B.1 2e C.1 e D.1e 2 解析 设切点为(x 0，ln x 0)．∵(ln x )′＝1 x ， ∴曲线y ＝ln x 在点(x 0，ln x 0)处的切线的斜率为1 x 0， ∴切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝x x 0＋ln x 0－1. ∵切线方程为y ＝ax ，∴?????a ＝1x 0，ln x 0－1＝0，解得?????x 0 ＝e ，a ＝1e . 故选C. 答案 C 2．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是 解析 观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A ，C. 如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2 是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.
答案 D 3．(2019·江西萍乡模拟)若曲线f (x )＝4ln x －x 2在点(1，－1)处的切线与曲线y ＝x 2－3x ＋m 相切，则m 的值是 A.13 4 B ．3 C ．2 D ．1 解析 因为f (x )＝4ln x －x 2，所以f ′(x )＝4 x －2x . 所以f ′(1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝2(x －1)， 即y ＝2x －3.由? ????y ＝2x －3， y ＝x 2－3x ＋m ，得x 2－5x ＋m ＋3＝0.因为直线y ＝2x －3与曲线y ＝x 2－3x ＋m 相切， 所以Δ＝25－4(m ＋3)＝0，解得m ＝134. 答案 A 4．(2019·日照二模)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，f ????1e ＝1 e ，则 f (x ) A ．有极大值，无极小值 B ．有极小值，无极大值 C ．既有极大值，又有极小值 D ．既无极大值，又无极小值 解析 因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ， 所以xf ′（x ）－f （x ）x 2＝ln x x ， 所以?? ? ?f （x ）x ′＝ln x x ，所以f （x ）x ＝12ln 2x ＋c ， 所以f (x )＝1 2 x ln 2x ＋cx . 因为f ????1e ＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12， 所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝1 2(ln x ＋1)2≥0， 所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值． 答案 D
江苏省2014年高考数学(文)二轮复习简易通真题感悟：常考问题4 导数的简单应用
常考问题4 导数的简单应用 [真题感悟] 1．(2012·南京、盐城模拟)函数f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x (x ∈R)的单调减区间为________． 解析 f ′(x )＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x ＜0， 解得－2＜x ＜－1， 故函数f (x )的减区间为(－2，－1)． 答案 (－2，－1)(或闭区间) 2．(2013·广东卷)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝ ________. 解析 ∵y ′＝k ＋1x ，∴y ′|x ＝1＝k ＋1＝0，∴k ＝－1. 答案 －1 3．(2013·江西卷)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝ ________. 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)， ∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t ＋1， ∴f ′(1)＝2. 答案 2 4．(2013·新课标全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图象关于直线x ＝－2 对称，则f (x )的最大值是________． 解析 由题意知??? f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)， 即? ?? b ＝－15×(16－4a ＋b )，0＝9－3a ＋b ，解得a ＝8，b ＝15， 所以f (x )＝(1－x 2)(x 2＋8x ＋15)， 则f ′(x )＝－4(x ＋2)(x 2＋4x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝－2－5或x ＝－2＋5， 当x <－2－5时，f ′(x )>0；
导数及应用知识点
壹 导数及其应用知识点 【知识概要】 一、导数的概念和几何意义 ●1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 ●2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值 00()() f x x f x y x x +?-?= ??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 ●3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率： 00()() f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时， 00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=。 ●4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为 000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 ●5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度， ()a v t '=表示瞬时加速度。
导数及简单应用试题
导数及简单应用专项提升演练 一、选择题（每题5分，共40分） 1、设函数f (x )的导数为f ′(x )，且x f x x f ln )1(2)(+'=，则)1(f '＝( ) A ．-e B ．-1 C ．1 D ．2 2、设曲线y ＝x ＋1x －1 在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D.12 3、已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A.)(∞+ ?????，和121,0 B ．(0,1)和(2，＋∞) C.)(∞+ ?????， 和221,0 D ．(1,2) 4、函数x x x f ln 2 1)(2-=的最小值为 ( ) A ．2 1 B ．1 C ．0 D ．不存在 5、已知函数x ax x x f ln 3)(2++=在)(∞+,1上是增函数，则实数a 的范围( ) A ．](62,-∞- B ． ?????-∞-26, C ．[ )∞+-,62 D ．[)∞+-,5 6、设21,x x 是x a ax x x f 2232)(+-=的两个极值点，若212x x <<，则实数a 的取值范围( ) A ．)3,2( B ．),2(+∞ C ．)6,2( D.][6,2 7、已知函数)0()(2>+=a a x x x f 在[)∞+,1上的最大值为3 3则a 的值( ) A ．13- B ． 43 C ．34 D ．13+ 8、已知函数)(x f '是奇函数)(x f （R x ∈）的导函数，0)1(=-f ，当0>x 时 0)()(<-'x f x f x ，则使得0)(>x f 成立的x 的取值范围( ) A ．)(1,0)1,( --∞ B ．(),1)0,1(∞+- C ．)(0,1)1,(---∞ D.)()(∞+,11,0
专题一 第4讲 导数的简单应用(解析版)
专题一 第4讲 导数的简单应用 【考情分析】 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形式考查，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题． 【要点提炼】 考点一 导数的几何意义与计算 1．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x)． (3)???? ??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2 (g(x)≠0)． 2．导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率． (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同． (3)切点既在切线上，又在曲线上． 【典例】1 (1)已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足关系式f(x)＝x 2 ＋3xf ′(2)－ln x ，则f ′(2)的值为( ) A.74 B ．－74 C.94 D ．－9 4 【答案】 B 【解析】 ∵f(x)＝x 2 ＋3xf ′(2)－ln x ， ∴f ′(x)＝2x ＋3f ′(2)－1x ， 令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)－1 2， 解得f ′(2)＝－7 4 .
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________． 【答案】 (e,1) 【解析】 设A(x 0，ln x 0)，又y ′＝1 x ， 则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为 y －ln x 0＝1 x 0 (x －x 0)， 将(－e ，－1)代入得，－1－ln x 0＝1 x 0(－e －x 0)， 化简得ln x 0＝e x 0，解得x 0＝e ， 则点A 的坐标是(e,1)． 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点． 【拓展训练】1 (1)直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝ae x ＋x 相切，则a 等于( ) A ．e B ．2e C ．1 D ．2 【答案】 C 【解析】 设切点为(n ，ae n ＋n)，因为y ′＝ae x ＋1， 所以切线的斜率为ae n ＋1， 切线方程为y －(ae n ＋n)＝(ae n ＋1)(x －n)， 即y ＝(ae n ＋1)x ＋ae n (1－n)， 依题意切线方程为y ＝2x ＋1， 故????? ae n ＋1＝2，ae n 1－n ＝1， 解得a ＝1，n ＝0. (2)若函数y ＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f(x)具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝ln x
导数及其应用.知识框架
要求层次重难点 导数及其应用导数概念及其 几何意义 导数的概念 A 了解导数概念的实际背景； 理解导数的几何意义． 导数的几何意义 C 导数的运算 根据导数定义求函数y c =， y x =，2 y x =，3 y x =， 1 y x =， y x =的导数 C 能根据导数定义，求函数 23 y c y x y x y x ==== ，，，， 1 y y x x == ，（c为常数）的导数． 能利用给出的基本初等函数的导数公式 和导数的四则运算法则求简单函数的导 数，能求简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +的复合函数）的导数．导数的四则运算 C 简单的复合函数（仅限于形如 () f ax b +）的导数） B 导数公式表 C 导数在研究函 数中的应用 利用导数研究函数的单调性（其 中多项式函数不超过三次） C 了解函数单调性和导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性，会求函数的单调区 间（其中多项式函数一般不超过三次）． 了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件；会用导数求函数的极大值、极 小值（其中多项式函数一般不超过三次）； 会求闭区间上函数的最大值、最小值（其 中多项式函数一般不超过三次）． 会利用导数解决某些实际问题．函数的极值、最值（其中多项式 函数不超过三次） C 利用导数解决某些实际问题 B 定积分与微积 分基本定理 定积分的概念 A 了解定积分的实际背景，了解定积分的基 本思想，了解定积分的概念． 微积分基本定理 A 高考要求 模块框架 导数及其应用
了解微积分基本定理的含义． 一、导数的概念与几何意义 1．函数的平均变化率： 一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ?=-， 10y y y ?=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+?-， 则当0x ?≠时，商00()()f x x f x y x x +?-?= ??称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +?（或00[,]x x x +?）的平均变化率． 注：这里x ?，y ?可为正值，也可为负值．但0x ?≠，y ?可以为0． 2．函数的瞬时变化率、函数的导数： 设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ?=+?-． 如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x y x x +?-?= ??趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率． “当x ?趋近于零时，00()() f x x f x x +?-?趋近于常数l ”可以用符号“→”记作： “当0x ?→时，00()()f x x f x l x +?-→?”，或记作“000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?”，符号“→”读作 “趋近于”． 函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '． 这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 “当0x ?→时，000()()()f x x f x f x x +?-'→?”或“0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?”． 3．可导与导函数： 如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这 个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）． 导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数． 4.导数的几何意义： 设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与 00(,())B x x f x x +?+?的一条割线．由此割线的斜率是00()() f x x f x y x x +?-?= ??，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即 000()()lim x f x x f x x ?→+?-=?切线AD 的斜率． 由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '． 知识内容 x 0x y x O D C B A
