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7.4.2向量内积的坐标运算与距离公式教学设计

7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式

【教学目标】

1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．

2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．

3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．

【教学重点】

向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．

【教学难点】

向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】

本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．

向量的坐标及向量积

龙文教育一对一个性化辅导教案学生伍靖雯学校第四十一中年级高一次数第 8次科目数学教师林泽钦日期2016-4-16时段 10：00-12： 00 课题向量的坐标运算及向量积教学重点1.平面向量的坐标运算 2.平面向量的夹角公式教学难点 1.平面向量与三角函数结合教学目标1.掌握平面向量的坐标运算 2.掌握向量积公式的应用及与三角函数的综合型问题教学步骤及教学内容一、错题回顾：已知() P4,1,F -为抛物线28 y x =的焦点，M为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M点的坐标. 二、内容讲解：主要知识点1:平面向量的坐标运算主要知识点2:平面向量的积运算主要知识点3:平面向量与三角函数结合三、课堂总结： 1、平面向量的坐标运算 2、平面向量的积运算四、作业布置：见讲义

一.错题回顾已知()P 4,1,F -为抛物线28y x =的焦点，M 为此抛物线上的点，求|MP|+|MF|的值最小，并求此时M 点的坐标. 二、内容讲解（一）平面向量的坐标运算 (1)已知向量和实数λ，那么 . (2)已知则，即一个向量的坐标等于该向量的_______的坐标减去________的坐标. 例1. 若A （2，-1），B （-1，3），则的坐标是( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对例2．若a =(2,1),b =(1,0)，则3a +2b 的坐标是 A.(5，3) B.(4，3) C.(8，3) D.(0，-1) 管理人员签字：日期：年月日作业布置 1、学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差备注： 2、本次课后作业：课堂小结小结家长签字：日期：年月日

平面向量内积的坐标运算

课题：平面向量数量积的坐标表示教学目的： ⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤ π）叫a 与b 的夹角. 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是 θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ?b ，即有a ?b = |a ||b |c os θ，（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0 3．向量的数量积的几何意义：数量积a ?b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积 4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量 1?e ?a = a ?e =|a |c os θ；2?a ⊥b ? a ?b = 0 3?当a 与b 同向时，a ?b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ?b = -|a ||b | 特别的a ?a = |a |2或a a a ?=||

4?c os θ =| |||b a b a ? ；5?|a ?b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ? b = b ? a 数乘结合律：(λa )?b =λ(a ?b ) = a ?(λb ) 分配律：(a + b )?c = a ?c + b ?c 二、讲解新课： ⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ? 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 j y i x a 11+=，j y i x b 22+= 所以))((2211j y i x j y i x b a ++=?2211221221j y y j i y x j i y x i x x +?+?+= 又1=?i i ，1=?j j ，0=?=?i j j i 所以b a ?2121y y x x += 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即b a ?2121y y x x += 2.平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或 ||a = （2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式) 3.向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ?02121=+y y x x

向量积的运算公式及度量公式

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！张喜林制 2.3.2 向量数量积的运算律 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单 1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律： (3)数乘向量结合律： 2．常用结论： 3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=?b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直． 5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b 6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB 要点核心解读 1．向量数量积的运算律 a b b a ?=?)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律）； c b c a c b a ?+?=?+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明 a b b a ?=?)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ?>=<>=<=? )()()()2(b a b a b a λλλ?=?=?（结合律）证明：.,cos ||||)(><=?b a b a b a λλ① 当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ 当0=λ时，,00)0()(=?=?=?b b a b a λ

2020高考数学专题复习《平面向量的坐标运算》

平面向量的坐标运算一、知识精讲 1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、j 作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y 使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a 的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝ (0,0)．3．平面向量的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. [小问题·大思维] 1.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x 轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y 轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．

2.已知向量OM ＝(－1，－2)，M 点的坐标与OM 的坐标有什么关系？提示：坐标相同但写法不同；OM ＝(－1，－2)，而M(－1，－2)．3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量． 4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变． 5 x1 y1 ．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有＝成立？ x2 y2 x1 y1 提示：不一定．由于＝的意义与x1y2－x2y1＝0 的意义不同，前者不 x2 y2 允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0 或x2＝y2＝0 时，a∥b x1 y1 但＝不成立． x2 y2 二、典例精析例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D 分别是AB，AC，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F，求DF 的坐标．

高中数学学案平面向量的坐标运算(教＼学案)

2. 3.3平面向量的坐标运算【教学目标】 1．能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力； 2．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力. 【教学重难点】教学重点: 平面向量的坐标运算．教学难点: 对平面向量坐标运算的理解．【教学过程】一、〖创设情境〗以前，我们所讲的向量都是用有向线段表示，即几何的方法表示。向量是否可以用代数的方法，比如用坐标来表示呢？如果可能的话，向量的运算就可以通过坐标运算来完成，那么问题的解决肯定要方便的多。因此，我们有必要探究一下这个问题：平面向量的坐标运算。二、〖新知探究〗思考1：设i 、j 是与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a =(x 1, y 1) b =(x 2, y 2)则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa （λ ∈R ）如何分别用基底i 、j 表示？ a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ， a －b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ， λa ＝λx 1i ＋λy 1j . 思考2：根据向量的坐标表示，向量a ＋b ，a －b ，λa 的坐标分别如何？ a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2); a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2); λa ＝(λx 1，λy 1). 两个向量和与差的坐标运算法则：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 思考3：已知点A(x 1, y 1),B(x 2, y 2)，那么向量的坐标如何？

第八讲向量的坐标表示及其运算

第八讲向量的坐标表示及其运算一、知识点（一）向量及其表示： 1.平面向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2向量坐标的有关概念（1）基本单位向量（2）位置向量（3）向量的正交分解 3.向量的坐标运算：设 ),(),(),(),,(112 1212211y x a y y x x b a y x b y x a λλλλ=±±=±?∈==ρρρρρ ，， 4.向量的摸：22y x a += ρ （二）向量平行的充要条件： 1向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b =λa ，即b ∥a ?b =λa （a ≠0）. 2设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2）则b ∥a ?1221y x y x = （三）定比分点公式： 1线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式??? ??? ? ++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）. 2中点坐标公式 3三角形重心坐标公式二、典型例题例1若向量b a ,. 满足.b a b a -=+，则b a 与所成角的大小为多少? 例2 下列哪些是向量？哪些是标量？（1）浓度（2）年龄（3）风力（4）面积（5）位移（6）人造卫星速度（7）向心力（8）电量（9）盈利（10）动量

平面向量的坐标运算教案

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“平面向量的坐标运算”教学方案教学目标： 1.知识与技能：理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量坐标的运算。 2.过程与方法：在对平面向量坐标表示及坐标运算的学习过程中使学生的演绎、归纳、猜想、类比的能力得到发展，利用图形解决问题，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性。 3.情感、态度与价值观：通过本节课的学习，使学生感受到数学与实际生产、生活的密切联系，体会客观世界中事物之间普遍联系的辩证唯物主义观点。教学重点：平面向量的坐标表示及坐标运算。教学难点：平面向量坐标表示的意义。教学方法：结合本节课的目标要求、重难点的确定以及学生实际思维水平，教学设计中采取启发引导、类比归纳、合作探究、实践操作等教学方法。教学手段：投影仪、多媒体软件教学过程 1.情境创设教师借助多媒体动画演示人站在高处抛掷硬物的过程作为本节课的问题情境引入课题，引导学生注意观察硬物下落轨迹，提出问题：结合同学们的生活常识及物理学知识，想一想硬物的速度可做怎样的分解？学生回答：速度可按竖直和水平两个方向进行分解设计目的：情境与生活联系，激发学生学习兴趣，同时为下面展开的知识做好铺垫。 2.展开探究问题一：平面向量的基本定理内容是什么？教师请一学生回答，同时投影出示其内容。问题二：向量能不能象平面坐标系中点一样给出坐标表示呢？我们如何表示更加合理呢？组织学生谈论，给出各种想法，教师做点评归纳。投影展示：将一任意向量a置于直角坐标系中，给出向量的起点、终点坐标，并提出问题问题三：既然向量的起点和终点的坐标是确定的，那么向量也可以用一对实数来表示吗？

向量数量积的坐标运算

《向量的数量积的坐标运算与度量公式》预习案【学习目标】：（1）灵活运用向量数量积的坐标运算公式，夹角余弦的坐标表达式；（2）体会公式中体现的数形结合的思想【学习重难点】重点：向量数量积的坐标运算与度量公式难点：灵活运用公式解决有关问题【知识链接】 1.两向量数量积定义：a b = 2.向量数量积的性质：【知识重现】 1. 已知5b =，在方向上的正射影的数量是3，则a b = 2. 在ABC 中，5,5,120BA AC BAC ==∠=?，则BA AC = 【知识点梳理】 1.数量积的坐标表达式 a b = 2、用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：（1）a b ⊥? 。（2）与向量12(,)b b b =垂直的向量可以写成。 3、向量的长度、距离和夹角公式推导向量的长度公式： a = 距离公式： AB = 两向量夹角余弦公式的坐标表达式：

cos ,a b = 自学课本P113--P114例1—例4，完成自学检测【自学检测】 1.已知(4,5),(4,3), a b ==-则a b = ，a = ，b = ，cos ,a b = 2.已知(3,5),(5,3),a b ==-则,a b = 3.判断下面各对向量是否垂直（1）(3,2),(4,6)a b =-= （2）(3,5),(5,3)a b == 《向量的数量积的坐标运算与度量公式》探究案【课内探究】探究一：推导向量内积的坐标运算公式建立正交基底12{,}e e ，已知1212(,),(,)a a a b b b ==，则 a b = = ，因为，所以得到：用语言描述为：。练习一：已知向量的坐标,a b ，求a b （1）(8,6),(3,4)a b ==--；（2）(11,2),(3,9)a b =-= 探究二：两向量的垂直条件例1. 已知点(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，求证：AB AC ⊥ 练习二：已知(1,2),(5,8),(2,1)A B C ---，求证：AB AC ⊥

平面向量数量积的坐标表示教学设计

5．6平面向量的数量积及运算律一、内容及其解析 1、内容：平面向量数量积的坐标表示、平面内两点间的距离公式、两个平面向量的夹角的坐标公式及用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系。 2、解析：平面向量的数量积是两向量之间的一种运算，前面我们已经做了充分研究，这次课通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式后，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，而平面向量的坐标表示把向量之间的运算转化为数之间的运算, 这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。本节内容是在平面向量的坐标表示以及平面向量的数量积及其运算律的基础上，介绍了平面向量数量积的坐标表示，平面两点间的距离公式，和向量垂直的坐标表示的充要条件。由于向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题。把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题。所以向量的数量积的坐标表示为解决直线垂直问题，三角形边角的有关问题提供了很好的办法，本节内容也是全章重要内容之一。二、目标及解析 1、目标 1）、掌握平面向量数量积的坐标表示 2）、了解用平面向量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题 3）、掌握向量垂直的条件 2、解析：

1）、通过建立直角坐标系，用坐标表示出平面向量的数量积； 2）、引入数量积的坐标表示后,可以用坐标将距离、角度及垂直关系用坐标表示出来,从而解决有关这些方面的几何问题. 3）、两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。(注意: 垂直的坐标表示x1x2+ y1y2 =0 , 共线的坐标表示x1y2－x2y1=0) 三、教学问题诊断本节课是在学生充分理解向量的概念，掌握向量的坐标表示，并已经掌握了向量的数量积的概念和运算律的基础上进行学习的，应该说，从知识的接受上学生并不困难，也能理解各个公式的坐标表示。本节课的重点是掌握平面向量数量积的坐标表示，并能用坐标形式处理有关长度、角度和垂直的问题，难点是向量垂直的条件的理解与掌握，解决问题的关键是在掌握向量数量积概念的基础上，通过建立直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标的运算，即数之间的运算。四、教学支持条件分析本节内容是全章重点内容之一，学生学习时容易混淆，在指导学生认真预习的前提下，教学中从向量的几何意义上突破难点，在通过适当的练习加以巩固。可把重要性质、运算律、例题做成幻灯片，提高课堂效率。五、教学设计过程（一）、教学基本流程（二）情景创设平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变. 向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘向量带来了极大的方便.上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？