2012年高考真题汇编——文科数学(解析版)10：概率

2012高考试题分类汇编：10：概率

一、选择题

1.【2012高考安徽文10】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 （A ）

15

（B ）

25

（C ）

35

（D ）

45

【答案】B

【解析】1个红球，2个白球和3个黑球记为112123,,,,,a b b c c c ，

从袋中任取两球共有

111211121312111213212223121323

,;,;,;,;,;,;,;,;,,;,;,;,;,;,a b a b a c a c a c b b b c b c b c b c b c b c c c c c c c 15种；

满足两球颜色为一白一黑有6种，概率等于6215

5

=。

2.【2012高考辽宁文11】在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为

(A)

16

(B)

13

(C)

23

(D)

45

【答案】C

【解析】设线段AC 的长为x cm ，则线段CB 的长为(12x -)cm,那么矩形的面积为(12)x x -cm 2， 由(12)20x x ->，解得210x <<。又012x <<，所以该矩形面积小于32cm 2的概率为23

，

故选C

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，属于中档题。

3.【2012高考湖北文10】如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆。在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是

A.

B.

. C.

D.

10. 【答案】C

【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4，

则S 1+S 2+S 3+S 4=S 扇形OAB =

22

1(2)4

a a ππ=①,

而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆，即S 1+S 3 +S 2+S 32a π=②. ①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=22

1()2

O E D C E O D S S S a a

π+-=

-正方形扇形扇形COD ,所以.

2

2

2S a a π=-阴影.

由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=

22

2

22

1O AB

S a a S a

πππ

-=

=-

阴影扇形.

【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.

4.【2102高考北京文3】设不等式组??

?≤≤≤≤2

0,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个

点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是

（A ）4

π （B ）22

π- （C ）6π

（D ）44

π-

【答案】D 【解析】题目中??

?≤≤≤≤2

020y x 表示的区域如图正方形所示，而动点D

可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

4

42

22

4

1222

ππ-=

??-?=

P ，故选D 。

二、填空题

5.【2012高考浙江文12】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两

点，则该两点间的距离为

2

的概率是___________。

【答案】

25

【解析】

若使两点间的距离为

2

，则为对角线一半，选择点必含中心，概率为

142

5

4210

5

C C =

=

.

6.【2012高考重庆文15】某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其它三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间至少间隔1节艺术课的概率 为 （用数字作答）。 【答案】

15

【解析】先排其他三门艺术课有33A 种排法，再把语文、数学、外语三门文化课插入由三门艺

术课隔开的四个空中，有34A 种排法，所以所有的排法有3433A A 。6节课共有6

6A 种排法。所以

相邻两节文化课至少间隔1节艺术课的概率为

5

16

6

3

433=

A A A 。

7.【2012高考上海文11】三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项目相同的概率是 （结果用最简分数表示） 【答案】

3

2.

【解析】三位同学从三个项目选其中两个项目有272

32323=C C C 中，若有且仅有两人选择的项

目完成相同，则有181

22323=C C C ，所以有且仅有两人选择的项目完成相同的概率为

3

227

18=

。

8.【2012高考江苏6】（5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】

35

。

【考点】等比数列，概率。

【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，

∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是

63=105

。

三、解答题

9.【2012高考江苏25】（10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；

（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．

【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

∴共有238C 对相交棱。 ∴ 2

3212

8834(0)=

66

11

C P C ξ?==

=

。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1

的共有6对， ∴

2

12

661(66

11

P C ξ=

=

=

，

416(1)=1(0)(=

11

11

11

P P P ξξξ=-=-=--。

∴随机变量ξ的分布列是：

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P ξ=。 （2）的共有6对，即可求出(P ξ=

，

从而求出(1)P ξ=（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量ξ的分布列，求出其数学期望。 10．【2012高考新课标文18】（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理. （Ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式.

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

(1)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；

(2)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.

【答案】

11.【2012高考四川文17】(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任

意时刻发生故障的概率分别为

1

10

和p。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49

50

，求p的值；

（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。

命题立意：本题主要考查独立事件的概率公式、随机试验等基础知识，考查实际问题的数学建模能力，数据的分析处理能力和基本运算能力.

【答案】

【解析】

【标题】2012年高考真题——文科数学(四川卷）

12.【2102高考北京文17】（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了

该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为c b a ,,其中a ＞0，c b a ++=600。当数据c b a ,,的方差2s 最大时，写出c b a ,,的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值。 （注：])()()[(12

22212

x x x x x x n

s n -++-+-= ，其中x 为数据n x x x ,,,21 的平均数）

【答案】

13.【2012高考湖南文17】（本小题满分12分）

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.

（Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率） 【答案】

【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:

115 1.530225 2.520310

1.9100

?+?+?+?+?=(分钟).

（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客

一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得

123153303251(),(),()100

20

100

10

100

4

P A P A P A =

==

==

=.

123123,,,A A A A A A A = 且是互斥事件， 123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++ 33172010

410

=

++=.

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为

710

.

【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=?+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 14.【2012高考山东文18】(本小题满分12分)

袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜

色不同且标号之和小于4的概率.

【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1

蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为310

P =

.

(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为815

P =

.

15.【2012高考全国文20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。 【答案】

16.【2012高考重庆文18】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）

甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为

13

，乙每次投篮投中的概率为12

，且各次投篮互

不影响。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）求投篮结束时乙只投了2个球的概率。

独立事件同时发生的概率计算公式知112211223()()()p D p A B A B p A B A B A =+ 112211223()()()()()()()()()p A p B P A P B p A p B P A P B p A =+2

2

2

2

2

1

2

1

14()()()()

3

2

3

2

3

27

=+=

17.【2012高考天津文科15】（本小题满分13分）

某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

（1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。

【答案】

、

18.【2012高考陕西文19】（本小题满分12分）

假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；

（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。【答案】

19.【2012高考江西文18】（本小题满分12分）

如图，从A1（1,0,0），A2（2,0,0），B1（0,1,0,）B2（0,2,0），C1（0,0,1），C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点。

（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；

（2）求这3点与原点O共面的概率。