子弹打木块类的问题
子弹打木块类的问题
［模型要点］
子弹打木块的两种常见类型：
①木块放在光滑的水平面上，子弹以初速度v0射击木块。
运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。
图象描述：从子弹击中木块时刻开始，在同一个v—t坐标中，两者的速度图线如下图中甲（子弹穿出木块）或乙（子弹停留在木块中）
图2
图中，图线的纵坐标给出各时刻两者的速度，图线的斜率反映了两者的加速度。两图线间阴影部分面积则对应了两者间的相对位移。
方法：把子弹和木块看成一个系统，利用A：系统水平方向动量守恒；B：系统的能量守恒（机械能不守恒）；C：对木块和子弹分别利用动能定理。
【例3】设质量为m的子弹以初速度v0射向静止在光滑水平面上的质量为M的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。
解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。
从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。设平均阻力大小为f，设
子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d 对子弹用动能定理：
……①
对木块用动能定理： ……②
①、②相减得： ……③
点评：这个式子的物理意义是：f ·d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见
，即两物体由于相对运动而摩擦产生
的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。
例1：质量为M 的木块静止在光滑水平面上， 有一质量为m 的子弹以水平速度v 0 射入并留在其中，若子弹受到的阻力恒为f ，问： 问题1 子弹、木块相对静止时的速度v 问题
2 子弹在木块内运动的时间
问题3
子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度 问题4 系统损失的机械能、系统增加的内能
子弹在木块中前进的距离L 为多大
解：由几何关系： S 1 –S 2= L 答案：
[2f(M + m)]
Mmv 02
以m 和 M 组成系统为研究对象，选向右为正方向，动量守恒定律：mv 0 =（M + m ）V 分别选m 、 M 为研究对象，由动能定理得: 对子弹 -f S 1= 12
mV 2
- 12
mv 02
对木块f S 2 = 1
2M V 2
由以上两式得 f L =1
2mv 02
－1
2（m ＋M ）V 2
推论：系统损失的机械能等于阻力乘以相对位移，即ΔE 损＝F f d
针对1：设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子弹钻入木块深度为d 。求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块
前进的距离。
分析: 系统动量守恒有: 系统能量守恒有:
对木块动能定理有:
（2）如图所示，质量为3m 、长度为L 的木块静止放置在光滑的水平面上。质量为m 的子弹
（可视为质点）以初速度v 0水平向右射入木块，穿出木块时速度变为025v 。试求：
①子弹穿出木块后，木块的速度大小； ②子弹穿透木块的过程中，所受到平均阻力的大小。
2）解：①设子弹穿出木块后，木块的速度大小为移。设向右方向为正方向，由动量守恒定
律可得：00
2
35mv mv mv =+………………………………………①（2分） 解得：
1
5v v =……………………………………………………②（1分） ②设子弹穿透木块的过程中，所受到平均阻力的大小为f 。由能量守恒定律可得：
222001312()2225fL mv mv m v =
--………………………………………③（2分）
联立②③式可得：
2
0925mv f L =
………………（1分）
如如图示，在光滑水平桌面上静置一质量为M=980克的长方形匀质木块，现有一颗质量为 m=20克的子弹以v 0 = 300m/s 的水平速度沿其轴线射向木块，结果子弹留在木块中没有射出，和木块一起以共同的速度运动。已知木块的长度为L=10cm ，子弹打进木块的深度为d=6cm ，设木块对子弹的阻力保持不变。
（1）求子弹和木块的共同的速度以及它们在此过程中所增加的内能。 （2）若要使子弹刚好能够穿出木块，其初速度v 0应有 多大
②物块固定在水平面，子弹以初速度v 0射击木块，对子弹利用动能定理，可得：
2022121mv mv d F t f -=
-
两种类型的共同点：
A 、系统内相互作用的两物体间的一对摩擦力做功的总和恒为负值。（因为有一部分机械能转化为内能）。
B 、摩擦生热的条件：必须存在滑动摩擦力和相对滑行的路程。大小为Q ＝F f ·s ，其中F f 是滑动摩擦力的大小，s 是两个物体的相对位移（在一段时间内“子弹”射入“木块”的深度，就是这段时间内两者相对位移的大小，所以说是一个相对运动问题）。
C 、静摩擦力可对物体做功，但不能产生内能（因为两物体的相对位移为零）。
1.运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速运动。
2.符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒，机械能不守恒。
3.共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守恒，ΔE = f 滑d 相对
子弹打木块模型：包括一物块在木板上滑动等。
Q E s F k N =?=系统相μ，Q 为摩擦在系统中
产生的热量；小球在置于光滑水平面上的竖直平面内弧形光滑轨道上滑动；一静一动的同种电荷追碰运动等。
．物块与平板间的相对滑动
物体A 以速度V 0滑到静止在光滑水平面上的小车B 上，当A 在B 上滑行的距离最远时，A 、B 相对静止， A 、B 两物体的速度必相等。
3、质量为M 的木板静止在光滑的水平面上，一质量为m 的木块（可视为质点）以初速度V 0向右滑上木板，木板与木块间的动摩擦因数为μ ，求：1木板的最大速度 2一长为l ，质量为M 的木板静止在光滑的水平面上，一质量为m 的滑块的初速度
v 滑到木
板上，木板长度至少为多少才能使滑块不滑出木板。（设滑块与木板间动摩擦因数为μ）
m
v 0
M
［模型讲解］
例. 如图1所示，一个长为L 、质量为M 的长方形木块，静止在光滑水平面上，一个质量为m 的物块（可视为质点），以水平初速度
v 从木块的左端滑向右端，设物块与木块间的动摩
擦因数为μ，当物块与木块达到相对静止时，物块仍在长木块上，求系统机械能转化成内能的量Q 。
图1
解析：可先根据动量守恒定律求出m 和M 的共同速度，再根据动能定理或能量守恒求出转化为内能的量Q 。 对物块，滑动摩擦力
f
F 做负功，由动能定理得：
2
022121)(mv mv s d F t f -=
+-
即
f
F 对物块做负功，使物块动能减少。
对木块，滑动摩擦力
f
F 对木块做正功，由动能定理得
2
21
Mv s F f =
，即f F 对木块做正功，
使木块动能增加，系统减少的机械能为：
>
<=-+=--1)(2
1
21212220d F s F s d F Mv mv mv f f f t
本题中
mg
F f μ=，物块与木块相对静止时，
v
v t =，则上式可简化为：
>
<+-=2)(2
121
2
20t v M m mv mgd μ
又以物块、木块为系统，系统在水平方向不受外力，动量守恒，则：
>
<+=3)(0t
v M m mv
联立式<2>、<3>得：
)(220
m M g Mv d +=
μ
故系统机械能转化为内能的量为：
)(2)(220
20m M Mmv m M g Mv mg d F Q f +=
+?==μμ
点评：系统内一对滑动摩擦力做功之和（净功）为负值，在数值上等于滑动摩擦力与相对位移的乘积，其绝对值等于系统机械能的减少量，即E
s F f ?=。
9．如图所示，A 为有光滑曲面的固定轨道，轨道底端的切线方向是水平的．质量M ＝40 kg 的小车B 静止于轨道右侧，其上表面与轨道底端在同一水平面上．一个质量 m ＝20 kg 的物体 C 以 m/s 的初速度从轨道顶端滑下，冲上小车 B 后经一段时间与小车相对静止并一起运动．若轨道顶端与底端的高度差 h ＝ m ．物体与小车板面间
的
动摩擦因数μ＝，小车与水平面间的摩擦忽略不计．(取 g ＝10 m/s 2
)，求： (1)物体与小车保持相对静止时的速度 v ； (2)物体在小车上相对滑动的距离 L . 解析：(1)物体下滑过程机械能守恒
答案：(1)2 m/s (2)3 m
2）质量为m B =2kg 的平板车B 上表面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静止
着一块质量为m A=2kg的物体A，一颗质量为m0=0.01kg的子弹以v0=600m/s的水平初速度瞬间射穿A后，速度变为v=100m/s，已知A ，B之间的动摩擦因数不为零，且A与B最终达到相对静止。求：
①物体A的最大速度v A；
②平板车B的最大速度v B。
2）解：①子弹穿过物体A的过程中，对子弹和物块A,由动量守恒定律得：
m0v0=m0v+m A v A…………………………………………………………………（2分）
解得：v A=s…………………………………………………………（1分）
②对物块A和平板车B，由动量守恒定律得：
m A v A=(m A+m B)v B……………………………………………………（2分）
解得：v B=s………………………………………………………（1分）
5．如图所示，在光滑水平面上有一辆质量为M=㎏的平板小车，车上放一质量为m=㎏的木块，木块到平板小车左端的距离L=，车与木块一起以v=s的速度
向右行驶，一颗质量为m0=㎏的子弹以速度v0从右方射入木块并留
在木块内，已知子弹与木块作用时间很短，木块与小车平板间动摩擦因数
μ=，取g=10m/s2。问：若要让木块不从小车上滑出，子弹初速度应
满足什么条件
【例7】如图所示，一质量为M的平板车B放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m＜M,A、B间动摩擦因数为μ，现给A和B以大小相等、方向相反的初速度v0,使A开始向左运动，B开始向右运动，最后A不会滑离B，求：
（1）A、B最后的速度大小和方向；
（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动的位移大小。
【例7】解析：（1）由A、B系统动量守恒定律得：Mv0-mv0=（M m）v ①
所以v= v0方向向右
（2）A向左运动速度减为零时，到达最远处，此时板车移动位移为
s,速度为v′,则由动量守恒定律得：Mv0-mv0=Mv′ ①
对板车应用动能定理得：-μmg s= mv′2- mv02②联立①②解得：s= v02【例8】两块厚度相同的木块A和B，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为，，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量
的滑块C（可视为质点），以的速度恰好水平地滑到A的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B上，B和C的共同速度为s，求：（1）木块A的最终速度；（2）滑块C离开A时的速度。
答案：s s