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2018年高考试题分类汇编----数列

2018试题分类汇编---------数列

一、填空题

1.(北京理4改)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理

论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ,则第八个单音的频率为__________. 1.1272

2.(北京理9)设{}n a 是等差数列,且a 1=3,a 2+a 5=36,则{}n a 的通项公式为__________. 2.63n a n =-

3.(全国卷I 理4改)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a __________. 3.10-

4.(浙江10改).已知1234,,,a a a a 成等比数列,且1234123ln()a a a a a a a +++=++.若11a >,则13,a a 的大小关系是_____________,24,a a 的大小关系是_____________. 4.1324,a a a a ><

5.(江苏14).已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N .将A

B 的所有元素从小到大依

次排列构成一个数列{}n a .记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________. 5.27 二、解答题

6.(北京文15)设{}n a 是等差数列,且123ln 2,5ln 2a a a =+=.

(1)求{}n a 的通项公式; (2)求12e e e n a a a ++

+.

6.解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,∵235ln 2a a +=,∴1235ln 2a d +=,

又1ln 2a =,∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. (2)由(I )知ln 2n a n =,∵ln2ln2e

e e =2n

n

a n n ==,

∴{e }n a

是以2为首项,2为公比的等比数列.∴2

12ln2ln2ln2e e e e e e n

n a a

a

++

+=++

+

2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-.

7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =,()121n n na n a +=+,设n

n a b n

=

. (1)求123b b b ,

,; (2)判断数列{}n b 是否为等比数列,并说明理由; (3)求{}n a 的通项公式.

7.解:(1)由条件可得a n +1=

2(1)

n n a n

+.将n =1代入得,a 2=4a 1,而a 1=1,所以,a 2=4. 将n =2代入得,a 3=3a 2,所以,a 3=12.从而b 1=1,b 2=2,b 3=4. (2){b n }是首项为1,公比为2的等比数列. 由条件可得

121n n

a a n n

+=

+,即b n +1=2b n ,又b 1=1,所以{b n }是首项为1,公比为2的等比数列. (3)由(2)可得

12n n

a n

-=,所以a n =n ·

2n -1. 8.(全国卷II 理17)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-.

(1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并求n S 的最小值.

8. 解:(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为

29n a n =-.(2)由(1)得228(4)16n S n n n =-=--,所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

9.(全国卷III 理17)等比数列{}n a 中,15314a a a ==,

. (1)求{}n a 的通项公式;

(2)记n S 为{}n a 的前n 项和.若63m S =,求m .

9.解:(1)设{}n a 的公比为q ,由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =,解得0q =(舍去),2q =-或2q =.

故1(2)n n a -=-或12n n a -=. (2)若1

(2)

n n a -=-,则1(2)3

n n S --=.由63m S =得(2)188m

-=-,此方程没有正整数解.

若12n n a -=,则21n n S =-.由63m S =得264m

=,解得6m =.综上,6m =.

10.(天津文18)设{a n }是等差数列,其前n 项和为S n (n ∈N *);{b n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1=1,b 3=b 2+2,b 4=a 3+a 5,b 5=a 4+2a 6. (1)求S n 和T n ;

(2)若S n +(T 1+T 2+…+T n )=a n +4b n ,求正整数n 的值.

10.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.(1)解:设等比数列{}n b 的公比为q ,由b 1=1,b 3=b 2+2,可得2

20q q --=. 因为0q >,可得2q =,故1

2

n n b -=.所以122112

n

n n T -=

=--. 设等差数列{}n a 的公差为d .由435b a a =+,可得134a d +=.由5462b a a =+,可得131316,a d += 从而

11,1a d ==,故n a n =,所以(1)

2

n n n S +=

.

(2)解:由(I ),知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=++

+-=--

由12()4n n n n S T T T a b +++

+=+可得

11(1)

2222

n n n n n n ++++--=+, 整理得2340,n n --= 解得1n =-(舍),或4n =.所以n 的值为4.

11.(浙江20)已知等比数列{a n }的公比q >1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,

数列{(b n +1?b n )a n }的前n 项和为2n 2

+n .

(1)求q 的值;

(2)求数列{b n }的通项公式.

11.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识,同时考查运算求解能力和综合应用能力。

(1)由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+,所以34543428a a a a ++=+=, 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q

+=,因为1q >,所以2q =.

(2)设1()n n n n c b b a +=-,数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,

, 2.n n

n S n c S S n -=?=?-≥?解得41n c n =-.

由(1)可知1

2

n n a -=,所以1

11(41)()2

n n n b b n -+-=-?,

故2

11(45)(),22

n n n b b n n ---=-?≥,11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+

+-+-

2311

1

(45)()(49)()73222

n n n n --=-?+-?+

+?+.设

22111

3711()(45)(),2

222

n n T n n -=+?+?++-?≥2211111137()(49)()(45)()22222

n n n T n n --=?+?++-?+-? 所以2211

1111

344()4()(45)()222

22

n n n T n --=+?

+?++?--?,

因此21

14(43)(),22

n n T n n -=-+?≥,又11b =,所以2

1

15(43)()2

n n b n -=-+?.

12.(天津理18)设{}n a 是等比数列,公比大于0,其前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是等差数列. 已知11a =,

322a a =+,435a b b =+,5462a b b =+.

(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;

(2)设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N , (i )求n T ;

(ii )证明2

21()22()(1)(2)

2n n

k k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N .

12.本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查等差数列求

和的基本方法和运算求解能力.

(1)解:设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=. 因为0q >,可得2q =,故12n n a -=.

设等差数列{}n b 的公差为d ,由435a b b =+,可得13 4.b d +=由5462a b b =+, 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =

所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,数列{}n b 的通项公式为.n b n =

(2)(i )由(I ),有122112

n

n n S -=

=--,故 111

2(12)

(21)22212n n

n

k

k

n n k k T n n n +==?-=-=-=-=---∑∑.

(ii )证明:因为

1121

2()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++?===-

++++++++, 所以,3243212

21()2222222()()()2(1)(2)

3243212

n n n n

k k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-+

+-=-+++++∑. 13.(江苏20).设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列.

(1)设110,1,2a b q ===,若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围; (2)若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ,证明:存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,

并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示).

20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及

综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解:(1)由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=. 因为1||n n a b b -≤对n =1,2,3,4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1,2,3,4均成立, 即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得

75

32

d ≤≤. 因此,d 的取值范围为75

[,]32.学@科网

(2)由条件知:111(1),n n n a b n d b b q -=+-=.

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