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高二数学期末复习(4) 200901

高二数学期末复习(4) 2009.01

一、填空题(本大题共12小题,每小题4分,共48分)

1. 命题“?x ∈R ,x 2+2x +2≤0.”的否定是 ▲ 命题.

2. 某校有学生2000人,其中高三学生500人.为了解学生的身体素质情况,采用按年级分层抽样方法,从该校学生中

抽取一个120人的样本.则样本中高三学生人数为 ▲ .

3. 如图1,函数y =f (x )的图象在点P 处的切线是l ,则f (2)+f '(2)= ▲ .

4. 已知伪代码如下,则输出结果S = ▲ .

i ←0

S ←0

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While i <6

i ←i +2

S ←S +i 2

End while

Print S

5. 在五个数字1,2,3,4,5中,若随机取出两个数字,则取出的两个数字一个奇数一个偶数的概率是 ▲ (结果

用数值表示).

6. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时看见红灯的概

率是 ▲ .

7. 过抛物线y =14

x 2焦点的一条直线与抛物线交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若y 1+y 2=6,则AB = ▲ . 8. 函数y =x +4x

的单调递减区间是 ▲ .

(图1)

9. 两个正数m ,n 的等差中项是5,等比中项是4.若m >n ,则椭圆x 2m +y 2n

=1的离心率的大小为 ▲ . 10. 椭圆的中心在原点,焦点在y 轴上,其离心率12

,焦距是8,则该椭圆的方程为 ▲ . 11. 过双曲线x 2-y 2=4的右焦点F 2有一条弦PQ ,PQ =7,F 1是左焦点,那么△F 1PQ 的周长为 ▲ .

12. “函数y =f (x )的单调递减区间为(-1,1)”是“函数y =f (x )在区间(-1,1)内单调递减”的 ▲ 条件(填“充要”,

“充分不必要”,“必要不充分”“既不充分也不必要”之一).

二、解答题(本大题5小题,共52分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

13. (本小题共8分)

命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不等的正实数根,命题q :方程4x 2+4(m +2)x +1=0无实数根,若“p 且q ”为真命题,求m 的取值范围.

14. (本小题共10分)

如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:

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(1)79.5到89.5这一组的频率、频数分别是多少?

(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格).

(3)估计这次环保知识竞赛的平均分.

15. (本小题共10分)

一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成,如图所示.一辆卡车运载一个长方形的集装箱,此箱平放在车上与车同宽,车与箱的高度共计4.2米,箱宽3米,若要求通过隧道时,车体不得超过中线.试问这辆卡车是否能通过此隧道,请说明理由.

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16. (本小题共12分)

设F 1,F 2分别是椭圆x 24

+y 2=1的左,右两个焦点. (1)若点P 是该椭圆上的一个动点,求PF 1·PF 2的最大值和最小值;

(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ,B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.

17. (本小题共12分)

已知a 是实数,函数f (x )=x (x -a ).

(1)求证:曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线过一个定点,并求出该定点;

(2)求y =f (x )的单调区间;

(3)设g (a )为f (x )在[0,2]上的最小值,求a 的取值范围,使-6≤g (a )≤-2.

参考答案:

1. 真

2. 30

3. 54

4. 20

5. 35

6. 25

7. 8

8. [-2,0)和(0,2]

9. 32

10.x 248+y 2

64

=1 11.22

12.充分不必要

13.m 的取值范围是(-3,-2).

14.(1)频率为0.25,频数为15;

(2)及格率为75%;

(3)平均分约为70.5.

15.能通过

建立合适的坐标系(如图)

设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b

2=1,(其中a >b >0),根据图示可知,a =5,b =2. 因此椭圆的方程为x 225+y 2

4

=1(其中y >0). 方法一:

当x =3时,y =85

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. 隧道高度为3+85

=4.6>4.2(米), 所以卡车能够通过.

方法二:

当y =1.2时,x =±4.

车辆的宽度3<4(米),

所以卡车能够通过.

16.(1)最大值为1,最小值为-2;

(2)(-2,-

32)∪(32

,2). 因为F 1,F 2分别是椭圆x 24

+y 2=1的左,右两个焦点, 所以F 1(-3,0),F 2(3,0),

设点P 的坐标为(x ,y ),且x 24

+y 2=1, 则PF 1→·PF 2→=(x 2-3)+y 2=(x 2-3)+(1-x 24)=3x 24

-2,其中x ∈[-2,2], 因此当x =0时,PF 1→·PF 2→取得最小值-2,

因此当x =-2或2时,PF 1→·PF 2→取得最大值1.

过定点M (0,2)的直线l 的斜率存在,如果不存在,直线l 与椭圆的两个交点分别为A (0,-1),B (0,1),此时A ,O ,B 三点共线,因此直线l 的斜率存在.

设过定点M (0,2)的直线l 的方程为y =k (x -0)+2,即直线l 的方程为y =kx +2,

联立方程组?????x 2

4+y 2=1,y =kx +2.

消去y ,得(1+4k 2)x 2+16kx +12=0, 因为直线与椭圆交于不同的两点A ,B ,

设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),

所以△=(16k )2-48(1+4k 2)>0,………………①

且x 1+x 2=-16k 1+4k 2,x 1x 2=121+4k 2

, 因为∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),

所以OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+2)(kx 2+2)

=(1+k 2)x 1x 2+2k (x 1+x 2)+4

=(1+k 2) 121+4k 2+2k -16k 1+4k 2+4

11+4k 2(12+12k 2-32k 2+4+16k 2) =11+4k 2(16-4k 2)>0……② 联立上述两个条件,得直线l 的斜率k 的取值范围是(-2,-

32)∪(32,2).

17.(1)过定点(-1,-2);

(2)若a ≤0,f (x )在[0,+∞)上单调递增;

若a >0,f (x )在[0,a 3]上单调递减,在[a 3

,+∞)上单调递增; (3)a 的取值范围是3≤a ≤2+3 2.

f (x )=x (x -a )=x 1.5-ax 0.5,

f ’(x )=32x 0.5-12

ax -0.5, 当x =1时,f (1)=1-a ,f ’(1)=32-12

a , 因此曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =(32-12

a )(x -1)+(1-a ), 化简,得y =-12a (x +1)+32x -12

, 当x =-1时,y =-2,与a 无关,因此直线过定点(-1,-2).

函数的定义域为[0,+∞),

令f ’(x )=32x 0.5-12ax -0.5=0,解得x =a 3

, 若a ≤0时,f (x )在[0,+∞)上单调递增;

若a >0,f (x )在[0,a 3]上单调递减,在[a 3

,+∞)上单调递增.

若a ≤0时,f (x )在[0,+∞)上单调递增,因此f (x )在[0,2]上的最小值为f (0),即g (a )=f (0)=0;

若a >0,f (x )在[0,a 3]上单调递减,在[a 3

,+∞)上单调递增, 当0<a <6时,a 3<2,因此f (x )在[0,2]上的最小值为f (a 3),即g (a )=f (a 3)=-2a 3a 3; 当a ≥6时,a 3

≥2,因此f (x )在[0,2]上的最小值为f (2),即g (a )=f (2)=(2-a )2; 即g (a )=???0,

a ≤0,-2a 3a 3,0<a <6,(2-a )2,a ≥6.

解不等式:-6≤g (a )≤-2,得

???a ≤0,-6≤0≤-2,或?????0<a <6,-6≤-2a 3a 3

≤-2,或???a ≥6,-6≤(2-a )2≤-2. 解上述方程组得a 的取值范围是3≤a ≤2+3 2.

考试范围:算法,统计,概率,命题,曲线,导数,复数

附加: 若复数x 满足方程x 2+x +1=0,则x 3= ▲ .