(教案1)2.1合情推理与演绎推理

第二章合情推理与演绎推理

§2.1.1合情推理

授课教师：王宏郭懿

一、教学目标：

1、知识与技能：

掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

2、过程与方法：

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

3、情感、态度与价值观：

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

二、教学重点：

归纳推理及方法的总结。

三、教学难点：

归纳推理的含义及其具体应用。

四、教学过程：

（一）问题情境：

1、引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”

①提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？

②探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？

从而引入两则小典故：

A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？

B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。

③思考：整个过程对你有什么启发？

④启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2、数学皇冠明珠 追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。 这是世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是一位著名的数学家。据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，于是他对一些偶数进行验证，由此他大胆地猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想，它是数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。许多优秀的数学家都在努力证明这个猜想，而且也取得了很好的进展。 思考：哥德巴赫是如何提出这个猜想的？

学生交流、探讨：他是通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表示成两个奇质数之和，而且没有出现反例，从而提出这个猜想。

（二）推进新课

1、归纳推理的定义：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)

2、归纳推理的特点：

归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

3、归纳推理的一般步骤：

4、例题讲解：

例1、前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是

用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.

结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

例2、前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内

角和是5400，……

结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。

例3、

,333232,232232,131232++<++<++< 探究：上述结论都成立吗？

强调：归纳推理的结果不一定成立!

例 4、已知数列｛n a ｝的第1项11a =，且11n n n a a a +=

+（n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式．

分析：数列的通项公式表示的是数列{n a }的第n 项n a 与序号 n 之间的对应关

系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．

解：当n=1时，11a =;

当 n =2时，211112

a =

=+； 当n =3时，31

12312

a ==+； 当n=4时，41

131413a ==+． 观察可得，数列的前 4 项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为

1n a n

=． ?,21,32,1,254321===

==n a a a a a 求、拓展：例 ①思考：怎么求n a ？组织学生进行探究，寻找规律。 ②归纳：由学生讨论，归纳技巧：

有整数和分数时，往往将整数化为分数；

当分子分母都在变化时，往往统一分子 (或分母)，再寻找另一部分的变化规律。 在例4和例5中，我们通过归纳得到了关于数列通项公式的一个猜想．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方向． (,,)a b m

（三）课堂练习：

（四）课堂小结：

1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。

2、归纳推理的一般步骤：

通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。

（五）布置作业：