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数学同步练习题考试题试卷教案2008年高一数学秋季班第一讲《函数》答案

2008年学而思高一数学秋季班第一讲《函数》例题答案

【例 1】 (学而思题库)

题略

【解析】由()f x 的定义域为(]0

1,知，(]0

1x ∈,

∴10141014

x x ?

<+???

?<-??≤≤，解得：

134

x <≤

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】由()f x 的定义域为(]0

1,知，(]01x ∈,

∴011

x a a x a <-??

<+?≤≤，11a x a a x a

<+??

-<-?≤≤，∵0

a ≤，11a a

-≤，∴a a

-≤

①当1a a

-≤时，即12

a ≤

时，不等式组11a x a a x a

-<-??

<+?≤≤无解，

这时()()()

F x f x a f x a =++-不存在

②当11a

a a

-<+-≤时，即10

a -

<≤时，

不等式组11a x a a x a

-<-??

<+?≤≤的定义域为(]

1a a -+,

【例 2】 (学而思题库)

题略

【解析】 ⑴()f x 的定义域为(01),，即01x <<，∴要使2()f x 有意义，必须满足2

01x

解得10x -<<或01x <<

∴2()f x 的定义域为(10)(01)- ，，；

⑵由(2)f x +的定义域为(0.1)，可知01x <<，则223x <+< 要使(5)f x -有意义，需253x <-<，解得：78x << ∴(5)f x -的定义域为(78), ⑶∵

()

f x 的定义域为(1，2)，∴12

x <

<，∴2

∴1214x <+<，∴302

x <<

∴

(21)

f x +的定义域为3(0)

，

．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】对所含参数需要进行恰当的讨论．

⑴依题意，有0

b a a b >??

+>? ∴0

>，且||b a > 由2

a x

≤≤得当0

≤时，定义域为[]b b ，

当0

a >时，定义域为[]]

b a a b -

，

⑵由a x b a x b

≤≤??

≤-≤? 得a x b b x a

≤≤??

-≤≤-? ①

∵a b b a >->-， ∴当0a >时，不等式组①的解集为?，这时函数()g x 不存在．

当0a =时，不等式组①的解为0x =，这时函数()g x 的定义域为{0}

当0a <时，不等式组①的解为a x a ≤≤-，这时函数()g x 的定义域为[,]a a -

⑶由

a x m

b a x m b

≤+≤??

≤-≤? 得a m x b m a m x b m

-≤≤-??

+≤≤+?

∵0m >，∴,a m a m b m b m -<+-<+ 又a m b m -<+ ∴要使函数()h x 的定义域为非空集合，必须且只需

a m

b m

+≤-，即

b a m -<≤

，

这时函数()h x 的定义域为[,]

a m

b m +-．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】由条件知()g x 的定义域应是()f x a +，()f x a -，()f x 的定义域的交集，解题过程

中要注意字母a 范围的变化对取交集时的影响，要恰当对所含参数讨论．

由已知得0101

x a x a x <+??

<-??

∴110a x a a x a

x -<-??

<+??

．

⑴当10

a -

<≤时，102

a -<

≤

，3112

a -

≤，1112

a <+≤，即1a a -<+，如图

1-a

112

-a a 0

∴不等式组的解为1a x a

-<+≤．

⑵当10

a <<

时，10

a -

<-<，

111

a <-<，3112

a <+

，借助数轴．取交集得

1a x a

<-≤，如图

a 2

11-a 1+a 3

综上可知，当10

a -

<≤时，函数()g x 定义域为(1]a a -+

，；

当10

a <<

时，函数()g x 定义域为(1]

a a -，．

【例 3】 (学而思题库)

题略

【解析】 ⑴[1)+∞，(观察法)； ⑵[03]，(配方法)； ⑶方法一：分子化常数法

256(3)(2)36(2)1(2)

(3)(2)

x x x x x y x x x x x x x x -+---=

≠=-

≠+-+-++

∴1

≠且15

≠-

(当2

=时，6113

x -

方法二：判别式法

当2

x x +-≠即3

≠-且2

x ≠时，化为2

(1)(5)660

x y x y -++--=

①

当

y -≠时，

?≥

即

(5)4(1)(66)0(51)01

y y y y y +----?+?≠≥≥；

②当1

y =时，2

=不成立；③当15

时，2

x =不成立；

∴1

≠且15

y ≠-

．

⑷设变量1t x =-，于是0t ≥，21x t =-， ∴222(1)42(1)44y t t t =-+=--+≤ ∴所求函数的值域是{|4}y y ≤．【变式】 (学而思题库)

题略【解析】 ⑴9(]

4-∞

,；⑵[157]-,；⑶[40)-,；⑷[4

)

-+∞,

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】令2

t x x =

++，

则

t ≥，

252233y x x x x t t t t

++++=

+++

t t +≥，∴01y <≤，即值域为(01]，．.

【例 4】 (学而思题库)

题略

【解析】法一：配凑法

111)1x x x x x +=+-=+-；

∴2

1)1)11)

f x x x =-+≥ 即

()1(1)

f x x x =-≥

法二：换元法

令1t

x =

，则2

(1),1x t t =-≥，代入原式得2

()1(1)

f t t t =-≥，

所以

()1(1)

f x x x =-≥．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】由已知设()g x kx b

+，则

[()]()3()123

f g x f kx b kx b x =+=+-=+，即32

=，且

313b -=

解得23

=，43

，∴24()3

g x x =

．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】由(2)1f =与()f x x

有惟一解得两个关于a ，b 的方程组成方程组，解a ，b 的值．

由(2)1

f =，即212a b

=+，得22a b +=． ①

由

()f x x

=，得

x x

a x b

=+，即2

(1)0a x b x +-= ②有惟一解．由②得1b =．代入①得12

a =，∴()11

x f x x =

+，即

2()2

x f x x =

∵

(3)6

f -=，∴

3[(3)](6)2

f f f -==

．

【点评】对方程()f x x =有惟一解的处理方法是关键，对符号[(3)]f f -的意义的理解是对函

数符号()y f x =的理解的深入．

【变式】 (北京十三中2007-2008学年期中测试)

题略

【解析】 ⑴∵2()(0)f x a x b x c a =++≠的图象上任意一点都不在直线y x =的下方，

∴(1)1f ≥，即1a b c ++≥

⑵∵

()(0)

f x a x b x c a =++≠的图象上任意一点都不在直线y

=的下方，

∴()f x x ≥，即2(1)0a x b x c +-+≥，对任意x ∈R 成立．

∵0a ≠

∴0a >且2(1)40b a c --≤．

又(0)(0)(0)35F f g c =+=+=，得2c =．

∴2

()

()()(1)(1)5

F x f x g x a x b x =+=++++，

∴()F x 的最小值为2

20(1)(1)

4(1)

a b a +-+=+，

整理得2

12(1)12

a b =+-，

将上式与2

c =代入2

(1)40

b a

c --≤，整理得2

(5)0

-≤，

∴52b

a ==，，

()252

f x x x =++．

【例 5】 (学而思题库)

题略

【解析】 [()]f g x ，[()]g f x 均是由()f x 与()g x 复合而成，求表达式时应充分注意到()g x ，

()f x 作为内层函数时各段上的不同表达式，分段求解．

当0

x ≥时，22

[()](1)12f g x x x x

=--=- 当0x <时，

[()](2)143

f g x x x x =--=-+

∴

220

[()]430

x x x f g x x x x ?-?=?

∵1x -≤或1x ≥时，

()10

f x x =-≥

∴此时，2

[()]()12

g f x f x x

-=-

当11

x -<

<时，

()10

f x x =-< ∴此时，2

[()]2()3g f x f x x

-=-

∴2

21[()]311

x x g f x x x x x ?-?

=--<

【点评】在

[()]

f g x 中，对应法则

指自变量的平方减1，这里()g x 为自变量，故题中

[()][()]1

f g x g x =-，而()g x 的表达式是分段由x 的取值范围而定，所以必须分段

讨论．【例 6】 (学而思题库)

题略

【解析】设()f x a x b =+，则由题意得()32

f x x =-，2

(2)3623(1)5

f x x x x x +=+-=+-

∴有最小值5-．

【例 7】 (学而思题库)

题略

【解析】 211(0)(1)1

(1)1[0)

x f x x x x ?+∈-∞?

+=+??++∈+∞?

即

21(1)(1)1

(1)[1,)

x f x x x x ?∈-∞-?

+=+??+∈-+∞?

【点评】错解：

(0)(1)1

(1)[0)

x f x x x x ?∈-∞?

+=+??+∈+∞?

错因分析：1(,0)x =-∈-∞，此时

x +无意义，故上述解法错误，错误的原因：

根据函数的定义，若()f x 的定义域为A ，则当[()]f g x 中的()g x A

∈时，[()]f g x 才

有意义，因而求[()]f g x 时，必须考虑()g x A ∈．

【变式】 (学而思题库)

题略【解析】 ⑴

[[()]][()]()1442

f f f f f f -

===； ⑵当1a -≤时，()23f a a =+=，∴(]11,a =?-∞-，应舍去；

当12

a -<<时，

()23f a a ==，∴3(12)

∈-；

当2

≥时，

()3

f a =

=，∴6

=[)62,+∞

，应舍去

综上，32

a =或6

【变式】 (2008山东文)

题略【解析】由

>，可知

(2)

f =+-=，∴11(2)

f =

，又

<，∴

21115()11()4416

f x =-=-=

故选答案A ．

【例 8】 (学而思题库)

题略

【解析】设2()2(3)24

f x x k

x k =++++

3α>，3β

(3)0

f <，

3132(3)32408

k k k ?++?++

．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】法一：

由于方程22(1)210m x m x -+-=的判别式222444(1)40

b a

c m m ?=-=+?-=>，

又(0)10f =-<，根据已知两根一个小于0，一个大于1及函数图象，

∴抛物线开口方向只能向上，则210m ->，解得：11m -<< 又由(0)0f <，则(1)0f <，即220m m -+<，解得：2m >或0

m <

综上，10m -<< 法二：

原方程可化为：[(1)1][(1)1]0

m x m x -++-=，解得：1

x m =

-，2

x m =

∵11m

m +>-，且1x 与2x 一正一负，

故有1

1101

m m ?>??+?

m -<

<．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】设2()(2)21

f x x k

x k =+-+-，

由(0)0

(1)0

(2)0

f f f >??

>?，∴21012210

42(2)210

k k k k k ->??

+-+-

+-+->?，解得：

1223

k <<

．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】法一：

原方程满足条件2

4160

212(1)1240a a

a f a ??=-?

-?-=>??

=-+>??

≥，解得：522

a <

≤

；

法二：

设原方程的根为1x ，2x ，则122x x a

+=①，12

x x ?=②，

由已知可得：1

x ->，2

x ->

∴12120(1)(1)0

(1)(1)0

x x x x ???

-+->??

-->?≥，即2

12121241602()1

a x x x x x x ?-?

+>??

-+>-?≥，

将①②代入该方程组得2

416022

421

a a a ?-?

>??

->-?≥，解得：522

a <

≤

．

【例 9】 (学而思题库)

题略

【解析】 ⑴当20a -=时，即2

=时，40-<恒成立，即R x ∈，∴2

a =符合题意；

⑵2

a -≠时，则200

a -

a -<

<；

综上，a 的取值范围为22a -<≤．

【变式】 (学而思题库)

题略

【解析】函数y 的定义域为R ，即当x ∈R 时，分母都不等于0．

⑴0

=时，2

210

kx kx ++≠，即x 取任意值时，y 都有意义，所以其定义域为R ；

⑵0k ≠时，分母221kx kx ++恒不等于0的条件是0?<，即2(2)40k k -<，

∴01k <<．

综上，当01k <≤时，函数的定义域为R ．

【变式】 (师大附2007-2008期中测试题)

题略

【解析】由()0f x >的解集为(32)-,，可知方程2(8)0a x b x a a b +---=的根为13x =-，

x =，

∴1

28321b x x a

-+=-

=-+=-，化简得：80

b a --=，

又12(3)26

a a b

x x a

--?=

=-?=-，化简得：16

+=，解得：5

b =，∴3

⑴(2)0

f =

⑵∴

()3318

f x x x =--+，

⑶由35

b =-=,可知所给不等式为2

350

x x c -++≤，即不等式2

350

x x c --≥

由不等式的解集为

，可知方程

350x x c --

=的判别式

(

43()0c ?

=--?-≤，解得：2512

c -≤

．

习题 1. (学而思题库)

题略

【解析】答案：A

习题 2. (学而思题库)

题略

【解析】设()f x kx b =+，2

[()]()()f f x k f x b k k x b b k x k b b =+

=++=++，

∴2

41k k b b ?=?+=-?，解得：21

3k b =???=-?

或21

k b =-??

=?，∴

1()23

f x x =-

或

()21f x x =-+．

习题 3. (学而思题库)

题略【解析】 4

(0)

[()](0)

x x f f x x x

【复习巩固】

指数函数教案

指数函数第一课时教案一．教学目标 1. 知识与技能 ①掌握指数函数的概念，图像和性质； ②能由指数函数图像归纳出指数函数的性质； ③指数函数性质的简单应用； ④培养学生作图与读图的能力。 2. 过程与方法师生之间，学生与学生之间合作与交流，逐步使学生学会共同学习。 3. 情感态度与价值观 ①通过实例引入指数函数，激发学生学习指数函数的学习兴趣，体会指数函数是一种重要的函数模型，并且由广泛的用途，逐步培养学生的应用意识。 ②在教学过程中，通过现代信息技术的合理应用，让学生体会到现代信息技术是认识世界的有效手段。二．教学重点 1. 指数函数的概念的理解； 2. 指数函数的图像和性质。三．教学难点底数a 对函数值变化的影响。四．教学过程 1. 以生活实例引入新课材料一：一把一米长的尺子第一次截去它的一半，第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的次数x 与剩下的尺子长度y 之间的关系。（学生思考，老师组织学生交流各自的想法，捕捉学生交流中的有效信息，并简单板书。）材料二：(细胞分裂问题)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？（方法同上）从问题的解决回到数学问题：比较关系式：x y )2 1 (=，x y 2=有何异同？（学生讨论，老师及时总结得到如下结论）在x y ) 2 1(=和x y 2=中，每给一个x 的值都有唯一的一个y 值和它对应，因此关系式 x y )2 1 (=和x y 2=都是y 关于x 的函数，且函数形式相同，解析式的右边都是指数形式，且自变量都在指数位置上。由此引出函数模型x a y = 2. 讲解新课 ⑴．指数函数的概念一般的，形如x a y =的函数叫做指数函数。（其中x 是自变量，a 称为指数函数的底。） ⑵.指数函数概念理解和辨析 ①函数2 x y =与x y 2=有什么区别？

幂函数教学设计

§2.3幂函数(一) -----教学设计人：刘宏德一．教材分析幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数，进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合检测。二．学情分析学生通过对指数函数和对数函数的学习，已经初步掌握了如何去研究一类函数的方法，即由几个特殊的函数的图象，归纳出此类函数的一般的性质这一方法，为学习本节课打下了基础。三．教学目标 1．知识目标（1）通过实例，了解幂函数的概念；（2）会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；（3）了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。 2．能力目标在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。 3．情感目标通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。四．教学重点常见的幂函数的图象和性质。五．教学难点画幂函数的图象引导学生概括出幂函数性质。六．教学用具多媒体七．教学过程（一）创设情境（多媒体投影）问题一：下列问题中的函数各有什么特征？（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w（kg），那么她应支付p＝w元．这里p是w的函数．（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积为S＝a2．这里S是a的函数．（3）如果立方体的边长为a，那么立方体的体积为V＝a3．这里V是a的函数．

（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长为a＝．这里a是S的函数．（5）如果某人t（s）内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度为v＝t-1（km／s）．这里v是t的函数．由学生讨论、总结，即可得出：p＝w，s＝a2，a＝，v＝t-1都是自变量的若干次幂的形式．问题二：这五个函数关系式从结构上看有什么共同的特点吗？这时，学生观察可能有些困难，老师提示，可以用x表示自变量，用y表示函数值，上述函数式变成：y＝x a的函数，其中x是自变量，a是实常数．由此揭示课题：今天这节课，我们就来研究：§2.3幂函数（二）、建立模型定义：一般地，函数y＝x a叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函数的定义。）深化认知（1）下列函数是幂函数的是： A．y=2x+1 B．y=3x2 C．y=x-3 D．y=1 （2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？学生回答，老师点评。引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。（三）问题探究 1. 对于幂函数y＝x a，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．填表

高中数学对数函数教案

高中数学对数函数教案数学对数函数教案【教学目标】 1.掌握对数函数的概念，图象和性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用. (1)能在指数函数及反函数的概念的基础上理解对数函数的定义，了解对底数的要求，及对定义域的要求，能利用互为反函数的两个函数图象间的关系正确描绘对数函数的图象. (2)能把握指数函数与对数函数的实质去研究认识对数函数的性质，初步学会用对数函数的性质解决简单的问题. 2.通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合，分类讨论等思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力. 3.通过指数函数与对数函数在图象与性质上的对比，对学生进行对称美，简洁美等审美教育，调动学生学习数学的积极性. 数学对数函数教案【教学建议】教材分析 (1)对数函数又是函数中一类重要的基本初等函数，它是在学生已经学过对数与常用对数，反函数以及指数函数的基础上引入的.故是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解.对数函数的概念，图象与性质的学习使学生的知识体系更加完整，系统，同时又是对数和函数知识的拓展与延伸.它是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具，是学生今后学习对数方程，对数不等式的基础. (2)本节的教学重点是理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象性质.难点是利用指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质.由于对数函数的概念是一个抽象的形式，学生不易理解，而且又

是建立在指数与对数关系和反函数概念的基础上，故应成为教学的重点. (3)本节课的主线是对数函数是指数函数的反函数，所有的问题都应围绕着这条主线展开.而通过互为反函数的两个函数的关系由已知函数研究未知函数的性质，这种方法是第一次使用，学生不适应，把握不住关键，所以应是本节课的难点. 教法建议 (1)对数函数在引入时，就应从学生熟悉的指数问题出发，通过对指数函数的认识逐步转化为对对数函数的认识，而且画对数函数图象时，既要考虑到对底数的分类讨论而且对每一类问题也可以多选几个不同的底，画在同一个坐标系内，便于观察图象的特征，找出共性，归纳性质. (2)在本节课中结合对数函数教学的特点，一定要让学生动手做，动脑想，大胆猜，要以学生的研究为主，教师只是不断地反函数这条主线引导学生思考的方向.这样既增强了学生的参与意识又教给他们思考问题的方法，获取知识的途径，使学生学有所思，思有所得，练有所获，，从而提高学习兴趣. 数学对数函数教案【教学设计示例】一.引入新课一.对数函数的概念 1.定义：函数的反函数叫做对数函数. 由于定义就是从反函数角度给出的，所以下面我们的研究就从这个角度出发.如从定义中你能了解对数函数的什么性质吗?最初步的认识是什么? 教师可提示学生从反函数的三定与三反去认识，从而找出对数函数的定义域为，对数函数的值域为，且底数就是指数函数中的，故有着相同的限制条件. 在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质.

指数函数及其性质教案

指数函数及其性质教案课题：指数函数及其性质(第1课时) 教材：普通高中课程标准试验教科书人教社A版，数学必修1 教学内容：第二章，基本初等函数（I）,指数函数及其性质教学目标知识目标：理解指数函数的概念，初步掌握指数函数的图像和性质能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察，培养学生的探索发现能力，在学习过程中体会从具体到一般及数形结合的方法情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 | 教学重点﹑难点重点：指数函数的概念和图像难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索﹑概括指数函数的性质教学流程设计（一）指数函数概念的构建 1.探究：本节问题2中函数的解析式与问题1中函数的解析式有什么共同特征师生活动：教师提出问题引导学生把对应关系概括到的形式，学生思考归纳概括共同特征 2.给出指数函数的概念一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是 & 3.剖析概念（1）规定底数大于零且不等于1的理由：如果=0，如果等等时，在实数范围内实数值不存在如果是一个常量，对它就没有研究的必要（2）形式上的严格性指数函数是形式定义的函数，就像初中所学的一次函数﹑反比例函数都是形式定义的概念，因此把握指数函数的形式非常重要。在指数函数的定义表达式中，前的系数必须是1，自变量在指数的位置上，否则，不是指数函数，比如等，都不是指数函数（二）指数函数的图像及性质 ) 1.提出问题：同学们能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的方法吗师生活动：教师引导学生回顾需要研究函数的那些性质，讨论研究指数函数性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养，学生独立思考，提出研究指数函数性质的基本思路 2.画出函数的图像师生活动：学生用描点法独立画图，教师课堂巡视，个别辅导，展示画的较好的学生的图像

高中数学必修一幂函数教案

高中数学必修一幂函数教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高中数学必修一幂函数教案教学目标：知识与技能通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．教学重点：重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质．难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律．教学程序与环节设计：问题引入．索一般幂函数的图象规律．

教学过程与操作设计：

环节教学内容设计师生双边互动组织探究材料二：幂函数性质归纳．（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0 > α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间) ,0[+∞上是增函数．特别地，当1 > α时，幂函数的图象下凸；当 1 0< <α时，幂函数的图象上凸；（3）0 < α时，幂函数的图象在区间 ) ,0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于∞ +时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．师：引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律．生：观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，并展示各自的结论进行交流评析，并填表．

探究与发现 1．如图所示，曲线是幂函数αx y=在第一象限内的图象，已知α分别取2, 2 1 ,1,1 -四个值，则相应图象依次为：． 2．在同一坐标系内，作出下列函数的图象，你能发现什么规律？（1）3- =x y和3 1 - =x y；（2）4 5 x y=和5 4 x y=．规律1：在第一象限，作直线 )1 (> =a a x，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．规律2：幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线x y= 对称．作业回馈 1．在函数 1 , , 2 , 1 2 2 2 = + = = =y x x y x y x y中，幂函数的个数为： A．0 B．1 C．2 D．3 环节呈现教学材料师生互动设计2．已知幂函数) (x f y=的图象过点 )2 ,2(，试求出这个函数的解析式． 3．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率R与管道半径r的四次方成正比．（1）写出函数解析式；（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm3/s，求该气体通过半径为r 的管道时，其流量速率R的表达式；（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率． 4．1992年底世界人口达到54．8亿，若人口的平均增长率为x%，2008年底世界人口数为y（亿），写出：（1）1993年底、1994年底、2000年底的世界人口数；（2）2008年底的世界人口数y与x的函数解析式．

高一数学对数函数的图象与性质教案

课题：4.2.3 对数函数的图象和性质【教学目标】 1. 初步了解对数函数的性质，并初步运用对数函数的性质解决诸如比较大小等简单问题； 2. 在用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象，并探索对数函数的性质的过程中，发展学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等核心素养； 3. 类比指数函数的研究过程，让学生经历设计对数函数图象和性质的研究内容方法、步骤并实施，再次提升和丰富了函数的图象和性质研究的基本思想和基本活动经验. 【教学重点】了解对数函数的图象和性质并能初步应用. 【教学难点】抽象、概括出对数函数性质（底数a 对对数函数图象变化的影响)．【教学过程】教学流程：明确思路→感知图象→发现性质→尝试应用→归纳小结→布置作业（一）回顾经验、明确思路教师导语：对于具体的函数，我们一般按照“概念—图象—性质—应用”的过程进行研究.前面我们学习了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质.回顾指数函数的研究过程，你能说说我们要研究哪些内容？研究方法又是什么？师生活动：教师引导学生类比指数函数的学习，共同商议、制定研究对数函数的图象和性质的内容、方法以及步骤. 【设计意图】：从初中到现在，学生已学习了一次函数、反比例函数、二次函数、幂函数、指数函数等初等函数，已对函数的相关概念、研究函数的方法有了一定的了解和掌握，可以通过类比的方法研究学习，从而明确了对数函数的图象与性质的研究内容、方法以及步骤，为接下来的学习建立先行组织者. （二）尝试画图、形成感知教师导语：在明确了探究方向后，下面请同学们按照“数学实验活动探究卡”的步骤进行探究活动. 活动（1）自主探究：用描点法画出对数函数x y 2log =的图象. 师生活动：由于描点法作图时列举点的个数的限制，学生对对数函数的图象特征缺乏直观感受．教师借助几何画板作出对数函数x y 2log =图象，验证猜想．教师追问1：在同一个坐标系中，如何画出对数函数x y 2 1log =的图象？

高一数学对数函数经典题及详细答案

高一数学对数函数经典练习题一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 答案A 。 ∵3a =2→∴a=log 32 则: log 38-2log 36=log 323 -2log 3(2*3) =3log 32-2[log 32+log 33] =3a-2(a+1) =a-2 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为（） A 、41 B 、4 C 、1 D 、4或1 答案B 。 ∵2log a (M-2N ）=log a M+log a N ， ∴log a (M-2N)2=log a (MN ），∴（M-2N)2 =MN ， ∴M 2-4MN+4N 2=MN ，→m 2-5mn+4n 2=0（两边同除n 2）→(n m )2 -5n m +4=0,设x=n m →x 2-5x+4=0→(x 2 ???==1x x 又∵2log (2)log log a a a M N M N -=+，看出M-2N>0 M>0 N>0 ∴n m =1答案为：4 3、已知2 2 1,0,0x y x y +=>>，且1 log (1),log ,log 1y a a a x m n x +==-则等于（） A 、m n + B 、m n - C 、()12m n + D 、()1 2 m n - 答案D 。 ∵loga(1+x)=m loga [1/(1-x)]=n ，loga(1-x)=-n 两式相加得：→ loga [(1+x)(1-x)]=m-n →loga(1-x 2)=m-n →∵ x 2+y 2=1，x>0，y>0, → y 2=1- x 2→loga(y 2)=m-n

高中数学必修1 《对数函数》教学设计

《对数函数》教学设计一、教材分析《对数函数》是在人教版高中数学第一册（上）第二章第2.8节。函数是高中数学的核心，对数函数是函数的重要分支，对数函数的知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用。学生已经学习了对数、反函数以及指数函数等内容，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。“对数函数”这节教材，指出对数函数和指数函数互为反函数,反映了两个变量的相互关系，蕴含了函数与方程的数学思想与数学方法，是以后数学学习中不可缺少的部分，也是高考的必考内容。二、学情分析学生在初中已经学习过二次函数及其图象，又刚刚学习了指数函数的定义、图象的画法并掌握了相关的性质，有了一定的读图能力，能够根据函数图象抽象概括出一些简单的性质。经过两个多月的教学观察，所教班级的学生数学能力及数学思想的形成还很欠缺，逻辑思维能力也有待加强训练。本节课课前布置学生带着问题预习，让学生找出指数函数与对数函数之间的关系，采用多媒体，采取“诱思探究”的教学方法进行教学，充分发挥学生的积极性和主动性，在独立思考与讨论中获取知识，实现教学目标。三、设计理念按照认知规律，从感性认识再到理性研究，由浅入深得出对数函数的概念。然后引导学生利用对称作图法和描点作图法比较作出函数图像。通过观察图象、分析图象特征，得出函数的基本性质。整个教学过程始终贯彻学生为主体、教师为引导的教学理念，综合培养学生动手、动眼、动脑的能力，培养学生的探究合作意识和创新能力。四、学习三维目标 1、知识目标: ⑴、通过求指数函数的反函数，了解对数函数的概念。 ⑵、能画出具体对数函数的图像，掌握对数函数的图像和性质。 ⑶、能应用对数函数的性质解有关问题。 2、能力目标: ⑴、培养学生数形结合的意识。 ⑵、让学生学会用比较和联系的观点分析问题，认识事物间的相互转化。 ⑶、了解对数函数在实际问题中的简单应用。

高一数学《幂函数》公开课优秀教案(表格式,经典、完美)

高一数学《幂函数》公开课教案 ★课程标准：通过实例，了解幂函数的概念；结合函数12 1 3 2 ,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解它们的变化情况. 一、教学目标： 1.了解幂函数概念,会用描点法画幂函数图象，通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并会简单应用. 2.通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法. 3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律，感受数学的对称美、和谐美. 二、教学重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．三、教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质. 四、教学用具：实物投影仪等多媒体五、教学过程：（一）创设情境 ①如果某人购买了每千克1 元的蔬菜w 千克，那么他需要付的钱数p （元）关于购买的蔬菜量w （千克）的函数解析式为_____________. ②如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S 关于a 的函数解析式为___________. ③如果正方体的边长为a ，那么正方体的体积V 关于a 的函数解析式为___________. ④如果正方形场地面积为S ，那么正方形的边长a 关于s 的函数解析式为_________. ⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么他骑车的速度v 关于t 的函数解析式为_________. 问题1.观察这些函数解析式，它们有什么共同的结构特征吗？【设计意图】从特殊到一般，将实际问题转化为数学问题，经历一次发现之旅. （二）引入新知幂函数的定义：一般地，函数α x y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 幂函数是一种特殊的基本初等函数. 问题2.请同学们举出一些具体的幂函数. 从引例和同学们刚才举的例子中，我们可以发现，幂指数α可以是正数、负数，也可以是0. （三）探究建构 2 1 21 2.(22)23m y m m x n m n -=+-+-若是幂函数，求、.

3.2.3指数函数与对数函数的关系教案

3.2.3 指数函数与对数函数的关系【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量 ,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量. 我们称这两个函数互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二互为反函数的概念问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1).

指数函数教学设计

指数函数教学设计 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

《指数函数》教学设计三、目标分析１．知识技能目标掌握指数函数的概念、图象和性质。２．过程与方法目标通过自主探索，让学生经历“特殊→一般→特殊”的认知过程，完善认知结构，领会数形结合、分类讨论、归纳推理等数学思想方法。３．情感、价值观目标让学生感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，展现数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。二、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。难点： 1、对于1>a 和10<0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。