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公平的席位分配

公平的席位分配
公平的席位分配

公平的席位分配

姓名:仇嘉程 班级:数学与应用数学(2)班 学号:0907022010

摘要:席位分配是日常生活中经常遇到的问题,对于企业、公司、、学校政府部

门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、

等的具体座位。本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状

态。我主要根据各系人数因素对席位获得的影响,首先定义了公平的定义及相对

不公平度的定义,采用了最大剩余法模型和Q 值法模型,通过检验2种模型的相

对不公平度来制定比较合理的分配方案。

关键词:不公平度指标、Q 值法、最大剩余法

一、问题的提出:

某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。

问题一:若学生代表会议设20个席位,如何公平席位分配?

问题二:丙系有6名学生转入甲乙两系,其中甲系转入3人,乙系转入3人,又

将如何公平的分配20个学生代表会议席位?

三、模型的建立:

模型1——比例分配法,若使得公平席位分配,最公平简单且常用的席位分配办

法是按学生人数比例分配:

某单位席位分配数 = 某单位总人数比例?总席位

即:

(1,2,3...)i i p P i n N N ==,其中1n i i N N ==∑ 1n i i P P ==∑

但是在实际生活中,若按模型1来计算,由于席位数不同,很难使得到的结果为

整数,因此模型1难以成立,即绝对公平难以成立,我们需要寻求可能相对公平

的分配方案。

模型2——最大剩余法,如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小

数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小

数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗?由书上给出的案例,我们可以很清

楚的知道该方法是有缺陷的,是不公平的。

某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代

表席位为

系名甲乙丙总数

学生数 100 60 40 200

学生人数比例 100/200 60/200 40/200

席位分配 10 6 4 20

后来由于一些原因,出现学生转系情况,各系学生人数及学生代表席位变为

系名甲乙丙总数

学生数 103 63 34 200

学生人数比例 103/200 63/200 34/200

按比例分配席位 10.3 6.3 3.4 20

按惯例席位分配 10 6 4 20

由于总代表席位为偶数,使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而

达不成一致意见。为改变这一情况,学院决定再增加一个代表席位,总代表席位

变为21个。重新按惯例分配席位,有

系名甲乙丙总数

学生数 103 63 34 200

学生人数比例 103/200 63/200 34/200

按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21

这个分配结果出现增加一席后,丙系比增加席位前少一席的情况,这使人觉得席

位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷,我们需要建

立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。

模型3——Q值法

先讨论由两个单位公平分配席位的情况,设

单位 人数 席位数 每席代表人数

单位A p 1 n 1

11n p 单位B p 2 n 2 22n p 要公平,应该有11n p =22

n p , 但这一般不成立。注意到等式不成立时有

若 11n p >22

n p ,则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 )

若11

n p <22n p ,则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2

211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度,不过此公式有不足之处(绝对数的特点),如:

某两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 , p 1 =120, p 2=100, 算得 p =2 另两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 , p 1 =1020,p 2=1000, 算得 p =2 虽然在两种情况下都有p=2,但显然第二种情况比第一种公平。

下面采用相对标准,对公式给予改进,定义席位分配的相对不公平标准公式:

若 2

211n p n p > 则称 112212

22211-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值, 记为 ),(21n n r A

若 2

211n p n p < 则称 121121

11122-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ,记为 ),(21n n r B

由定义有对某方的不公平值越小,某方在席位分配中越有利,因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。

确定分配方案:

使用不公平值的大小来确定分配方案,不妨设11

n p >

22n p ,即对单位A 不公平,再分配一个席位时,关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22

n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22

n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平, 3. 11n p >122

+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平, 4.11n p <122

+n p ,不可能

上面的分配方法在第1和第3种情况可以确定新席位的分配,但在第2种情况时不好确定新席位的分配。用不公平值的公式来决定席位的分配,对于新的席位分配,若有

)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B

则增加的一席应给A ,反之应给B 。对不等式)1,(),1(2121+<+n n r n n r A B 进行简单处理,可以得出对应不等式

)

1()1(11212222+<+n n p n n p 引入公式

k k k k n n p Q )1(2+=

于是知道增加的席位分配可以由Q k 的最大值决定,且它可以推广到多个组的一般情况。用Q k 的最大值决定席位分配的方法称为Q 值法。

对多个组(m 个组)的席位分配Q 值法可以描述为:

1.先计算每个组的Q 值:

Q k , k =1,2,…,m

2.求出其中最大的Q值Q i(若有多个最大值任选其中一个即可)

3.将席位分配给最大Q值Q i对应的第i组。

四、模型的求解

用Q值法分配,很容易编写出MATLAB程序,以n1=n2=n3 =1逐次增加一席的方法,求每一次的Q值,可得到最后的席位分配方案(MATLAB程序见附录)

第20席的分配,计算Q值

Q1=1032/(10?11) = 96.45 ; Q2=632/(6?7)= 94.5; Q3 =342/(3?4)=96.33

因为Q1最大,因此第20席应该给甲系; 对第21席的分配,计算Q值

Q1=1032/(11?12)=80.37 ; Q2 =632/(6?7)=94.5; Q3 =342/(3?4)=96.33

因为Q3最大,因此第21席应该给丙系

最后的席位分配为:甲11席乙6席丙4席

五、模型的优缺点分析

5.1、优点:

模型比较简单却较合理的解决了实际问题,用比例模型和Q值法模型就解决了席位的公平分配问题。由相对不公平值的计算可知两种模型的公平程度都还比较符合要求。模型1的计算过程简单却是公平度比较高的一种模型,操作起来比较方便。模型2可以避免所得席位名额含有小数点的情况。

5.2、缺点:

模型1的建立比较简单,计算的结果含有小数点,通过四舍五入所得的结果会使公平性变差。模型2的建立相对比较复杂,计算过程比较繁琐,最后得到的结果的公平性相对较差。

六、模型的改进

由于以上模型都是站在绝对公平的角度上来解决席位的公平分配问题。实际上,每个系自身对席位的意愿不同,可以考虑征求各系自身的意见来分配席位以做到席位的公平分配。同时在建立模型时,使得得到的结果既不含有小数点,计算过

程又不是太复杂,公平性又是相对比较强的。

公平的席位分配论文

题目:公平的席位分配问题 摘要 数学问题中离不开分配问题,下面我就以公平的席位分配问题进行分析。在以下的分析中,我会先按照比例的分配方法分配,再按照比例家惯例的方法进行分配,表示不公平的席位分配,最后我们利用Q值法对题目进行重新分配,以Q 值的特性使得对其席位的分配更加公平。比例法是我们生活中必不可少的分配方法,但是在有的时候使用Q值法会得到更加的公平分配。 关键词:席位分配比例法比例加惯例 Q值法 一、问题的重述与分析 1.1 问题的重述 某学校有3个系学生共200名,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名,若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,三个系分别为10,6,4个席位。现因学生转系,三系人数分别为103,63,34名,问20席如何分配。若增加为21席,又如何分配。 1.2 问题的分析 本题讲将有200名学生,甲103、乙63、丙34,现有20个或21个席位,那我们应该怎么来分配呢?看到这个题,首先想到的是用比例加惯例法,得出:20个席位,三系仍分别占有10,6,4个席位;21个席位,三系分别占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙不太公平,因为总席位增加1席,而丙系却由4席减为3席,最后通过比较,还是Q值法分配相对公平。 二、符号设定

1、各系的人数:p i(i=1,2,3……) 2、各系分配到的席位数:n i(i=1,2,3……) 3、各系不公平程度的指标:r i(i=1,2,3……) 4、各系Q值:Q i (1,2,3……) 三、模型的建立与求解 3.1 比例加惯例分配 如下表 分配的席位取整数, 20席位时,甲、乙、丙系分到的席位数分别为10,6,4;可 是总席位增加1个席位时,丙系却由4席减为3席,这显然对丙席不公平。所以按照各系人数所占比例大小分配,有的时候是不公平的。 不妨设A、B方人数分别为p 1、p 2 ,席位分别为n1、n2 当p 1 /n1=p2/n2时,分配公平 当p 1 /n1>p2/n2时,对A不公平 p 1 /n1-p2/n2~对A的绝对不公平度 如:p 1 =150,n1=10,p1/n1=15 p1=1050,n1=10,p1/n1=105 p 2 =100,n2=10,p2/n2=10 p2=1000,n2=10,p2/n2=100

公平的席位分配

公平的席位分配 姓名:仇嘉程 班级:数学与应用数学(2)班 学号:0907022010 摘要:席位分配是日常生活中经常遇到的问题,对于企业、公司、、学校政府部 门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、 等的具体座位。本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状 态。我主要根据各系人数因素对席位获得的影响,首先定义了公平的定义及相对 不公平度的定义,采用了最大剩余法模型和Q 值法模型,通过检验2种模型的 相对不公平度来制定比较合理的分配方案。 关键词:不公平度指标、Q 值法、最大剩余法 一、问题的提出: 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。 问题一:若学生代表会议设20个席位,如何公平席位分配? 问题二:丙系有6名学生转入甲乙两系,其中甲系转入3人,乙系转入3人, 又将如何公平的分配20个学生代表会议席位? 三、模型的建立: 模型1——比例分配法,若使得公平席位分配,最公平简单且常用的席位分配办 法是按学生人数比例分配: 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例′总席位 即: (1,2,3...)i i p P i n N N ==,其中1n i i N N ==∑ 1n i i P P ==∑ 但是在实际生活中,若按模型1来计算,由于席位数不同,很难使得到的结果为 整数,因此模型1难以成立,即绝对公平难以成立,我们需要寻求可能相对公平 的分配方案。

模型2——最大剩余法,如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗?由书上给出的案例,我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的,是不公平的。 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因,出现学生转系情况,各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20 由于总代表席位为偶数,使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况,学院决定再增加一个代表席位,总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名甲乙丙总数 学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后,丙系比增加席位前少一席的情况,这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷,我们需要建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型3——Q值法

1.实验11-1-公平的席位分配(参照惯例的席位分配方法)-实验11-2-公平的席位分配(Q值方法).doc

河北大学《数学模型》实验 实验报告 班级专业 15计科2班 姓名 张宇轩 学号 20151101006 实验地点 C1-229 指导老师 司建辉 成绩 实验项目 1. 实验11-1 公平的席位分配(参照惯例的席位分配方法) 2. 实验11-2 公平的席位分配(Q 值方法) 一、实验目的 了解参照惯例的席位分配方法和Q 值方法的区别,明确Q 值的意义,学会使用这两种方法解决问题。掌握在MATLAB 下,席位分配问题的调用,熟悉循环的使用,floor 、sort 等函数的使用,学会使用最佳定点或浮点格式(5位数字)控制命令format short g 。 二、实验要求 1. 公平的席位分配(参照惯例的席位分配方法) 参照惯例的席位分配方法:(参考P278-279) n 为席位总数,p1,p2,…,pm为各单位人数。 步骤: a. 按比例各单位所得席位为n*pi/(p1+p2+,…,pm),i=1,2,…,m(结果可能含有小数)。 b. 对各单位所得席位取整。 c. 若对各单位所得席位取整数之和

公平的席位分配问题

公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到,如:人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法,即: 某单位席位分配数= 某单位总人数比例总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题: 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 " 后来由于一些原因,出现学生转系情况,各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数 学生数103 63 34

200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数,使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况,学院决定再增加一个代表席位,总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 ( 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后,丙系比增加席位前少一席的情况,这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷,请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况,设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A p 1 n 1 11n p 单位B p 2 n 2 22n p

数学建模对公平的席位分配问题的一点补充

对公平的席位分配问题解法的一点补充 222008314011010 刘欢 08数统一班 为叙述简单,仍然采用书中的例子如下 一.提出问题: 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10,6,4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系, 3名学生转入乙系,仍按比例分配席位出现了小数,三系同意,在将取得整数的19席位分配完毕后,剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系,于是三系仍分别占有10,6,4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。 由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面,会议决定下一届增加1席,按照上述方法重新分配席位,计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了,因总席位增加1席,而丙系却由4席减为3席。 请问:如何分配才算是公平? 二.书中模型 用Q 值法求解如下 设A ,B 两方,人数分别为1p 和2p ,占有席位分别是1n 和2n ,当1122=p n p n 时席位的分配公平。但人数为整数,通常1122≠p n p n 。这时席位分配不公平,且 /p n 较大的一方吃亏。 当1122>p n p n 时,定义 1122 1222 -= (,)A p n p n r n n p n (1) 为对A 的相对不公平值。

当1122

p n p n ,即对A 不公平,当再分配一个席位时,有以下三种情况: (1) 当 22 1>+11p p n n 时,说明即使给A 增加1席,仍然对A 不公平,所以这一席显然应给A 方. (2)当 22 1<+11p p n n 时,说明给A 增加1席后,变为对B 不公平,此时对B 的相对不公平值为 211212 11-1 ++= () (,)B p n r n n p n (3) (3)当 221 >+11p p n n 时,这说明给B 增加1席,将对A 不公平,此时对A 的相对不公平值为 121221 11-1 ++= () (,)A p n r n n p n (4) 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小,所以如果 121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n (5) 则这1席给A 方,反之这1席给B 方. 由(3)(4)可知,(5)等价于 2 1222211< 11++() () p p n n n n (6) 不难证明上述的第(1)种情况 22 1>+11p p n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。 若记 2, =1,2 1= +() i i i i p Q i n n

公平席位分配模型

数 学 建 模 论 文单位:湖南信息职业技术学院系别: 信息工程系 班级: 信息0903 作者: 贺际嵘

公平的席位分配问题 [摘要]我们用公平席位分配模型,解决了10人委员会人员组成问题并保证对A.B.C的相对都公平.首先,我们用人们常用的惯例分配席位的方法来分配10个席位得出结果如表1-1;再假定情况1,也用惯例分配席位的方法来分配得出结果如表2-2;由以上两步的结果可以判定此种按照人数比例分配的惯例分配方法在这里应用分配的结果是不公平的,导致总席位数N增加一个,A的席位数反而减少了一个;此后,我们在寻找一个更为公平的分配方案,经过对问题的深入了解,逐步分析并结合各种情况的共同性建立我们日常寻求的更为公平的分配方案—Q值法;最后,我们通过Q值法求的本问题的最佳分配结果,也进一步,把这一以Q值法为为方法的公平席位分配模型推广到我们的日常生活中所遇到的席位分配问题.通过公平席位分配模型对席位的分配,不难检验出惯例分配席位的方法是不公平的,总席位数为N=10 的公平分配结果是: A是n1=2, B是n2=3,C是 n3=5. [关键字]公平分配;Q值法;模型.

1 问题重述 我们日常生活之中经常会面对席位分配的问题,如某学校共1000学生,235人住在A楼,333人住在B楼,432住在C楼. 学生要组织一个10人委员会,我们可以试用惯例分配方法和Q值方法分配各楼的委员数,并比较结果,试得出更为公平的分配方案及结果. 事先我们可以对问题进行假设与符号定义;然后进行我们的问题分析,先用惯例分配分配席位的方法分析:①可以先人们常用的惯例分配席位的方法来分析公平分配10个席位并得出结果;②也可以再假定情况1,也用惯例分配席位的方法来分析并得出结果;两种结果进行分析以初步得出惯例分配席位的方案是不公平的,并思考怎样才能得出更为公平的分配方案;然后,我们把模型建立方面的分析及其模型建立放在模型建立里面再分析. 2 问题的假设与符号定义 1.1问题的假设: 1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个; 2.每个单位有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的;3.每个单位的每个人都具有相同的选举权利; 4.每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也 不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外; 5.在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.

公平的席位分配论文

公平的席位分配论文 This manuscript was revised on November 28, 2020

题目:公平的席位分配问题 摘要 数学问题中离不开分配问题,下面我就以公平的席位分配问题进行分析。在以下的分析中,我会先按照比例的分配方法分配,再按照比例家惯例的方法进行分配,表示不公平的席位分配,最后我们利用Q值法对题目进行重新分配,以Q值的特性使得对其席位的分配更加公平。比例法是我们生活中必不可少的分配方法,但是在有的时候使用Q值法会得到更加的公平分配。 关键词:席位分配比例法比例加惯例 Q值法 一、问题的重述与分析 问题的重述 某学校有3个系学生共200名,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名,若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,三个系分别为10,6,4个席位。现因学生转系,三系人数分别为103,63,34名,问20席如何分配。若增加为21席,又如何分配。 问题的分析 本题讲将有200名学生,甲103、乙63、丙34,现有20个或21个席位,那我们应该怎么来分配呢看到这个题,首先想到的是用比例加惯例法,得出:20个席位,三系仍分别占有10,6,4个席位;21个席位,三系分别占有11,7,3个席位。显然这个结果对丙不太公平,因为总席位增加1席,而丙系却由4席减为3席,最后通过比较,还是Q值法分配相对公平。

二、符号设定 1、各系的人数: p i (i=1,2,3……) 2、各系分配到的席位数: n i (i=1,2,3……) 3、各系不公平程度的指标:r i (i=1,2,3……) 4、各系Q 值:Q i (1,2,3……) 三、模型的建立与求解 比例加惯例分配 如下表 分配的席位取整数,20席位时,甲、乙、丙系分到的席位数分别为10,6,4;可是总席位增加1个席位时,丙系却由4席减为3席,这显然对丙席不公平。所以按照各系人数所占比例大小分配,有的时候是不公平的。 不妨设A 、B 方人数分别为 p 1、p 2,席位分别为 n 1、n 2 当p 1/n 1=p 2/n 2时,分配公平 当p 1/n 1>p 2/n 2时,对A 不公平 p 1 /n 1-p 2 /n 2~对A 的绝对不公平度 如:p 1=150,n 1=10,p 1/n 1=15 p 1=1050,n 1=10,p 1/n 1=105 p 2 =100,n 2=10,p 2/n 2=10 p 2=1000,n 2=10,p 2/n 2=100

公平的席位分配

席位公平分配问题 —Q值法的改进 摘要:本文为建立席位分配问题的公平合理方案.对经典Q 值法进行了研究并提出改进,构造了衡量相对不公平程度的新标准量。通过对书本中的经典席位分配问题实例的计算,比较分析了多种席位分配方法的求解结果,并与经典的Q值法进行了公平性的比较。结果表明改进的标准量更为合理,从而验证了该方法的有效性和合理性。 一、问题背景 席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题,是数学在政治领域中应用的典型实例,其目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理。席位分配问题最关键之处是它的悖论观,无论选择怎样的分配方案,总会产生这样或那样的矛盾,著名的有以下几种悖论:亚拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论。同时,席位公平分配的关键是提出衡量公平度的一个量,即满足下述5条公理: 公理1(人口单调性):一方的人口增加不会导致它失去一个名额。 公理2(无偏性):在整个时间平均,每一方应接受到它自己应分摊的份额。 公理3(名额单调性):总名额的增加不会使某一方的名额减少。

公理4(公平分摊性):任何一方的名额都不会偏离其比例份额数。 公理5(接近份额性):没有从一方到另一方的名额转让会使得这两方都接近于它们应得的份额。 然而,1982年M .L .Balinski 和H .P .Young 证明了一个B —Y 不可能定理,即绝对公平的分配(满足公理1~公理5)方案是不存在的,既然绝对公平的分配方案不存在,人们便致力于席位分配问题的相对公平的研究。著名的Q 值法是1982年由 D .N .Burghes 和I .Hunttey 等人提出的一种相对不公平衡量标准,该方法简单易行,且克服了其他方法的一些矛盾,被广泛的应用于资源公平分配问题中。但不足之处是未考虑名额分配后的整体状况,而首先给每一方分配一个名额也是没有道理的。基于此考虑,这里提出了一种新的衡量相对不公平的标准,不需要事先给每一方分配一个名额,其计算量与Q 值法相当,但比Q 值法更趋于公平。通过实例比较了该方法与Q 值法及其它方法的求解结果,从而验证该方法的合理性和有效性。 二公平标准的构造 1.1席位分配问题描述 席位分配问题是指:假设有m 方参加N 个可供分配的席位, 其中第i 方的人数为i p (i=1,2,…,m),m 方的总人数为1m i i p p ==∑, 第i 方所分配的席位为n i ,(i=1,2,…,m),如何寻找一组整数

公平席位的分配

公平席位的分配 数学(2)班学号 0907022029 郭子龙 摘要:讨论公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加惯例法、Q值法、D’hondt法对问题中名额进行了分配,再对D’hondt法的合理性进行了分析,并在Q值法对绝对尾数(绝对不公平度)的处理方式基础上,提出了相对尾数模型,并讨论了其满足Young公理的1,3,4条 关键词:分配相对尾数 Balinsky & Young不可能定理 正文 1 问题复述 公平的席位分配问题是一个非常有趣而重要的问题,它在政治学、管理学和对策论等领域具有广泛的应用价值。处理这个问题的最早的方法是Hamilton法,即比例加惯例法;后来出现了Q值法;1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配问题的公理体系研究方法,并于1982年证明了同时满足五个公理的席位分配方法是不存在的;因此,我们只能根据实际建立在一定公平准则下成立并尽量多的满足Young公理的算法。这里,我们需要理解并运用比例加惯例法、Q 值法、D’hondt法对宿舍委员会名额进行分配,继而提出更优的公平分配席位的方法。 2 模型假设 2.1 合理假设 1.比例加惯例法、Q值法等分配模型均为已知; 2.各个宿舍相互独立互不影响,人数保持不变; 3.委员分配以各宿舍人数为唯一权重。 2.2 符号约定

3 模型的建立与求解 3.1按比例加惯例模型分配 根据比例加惯例分配模型的原理表 3.2按Q 值法模型分配 首先用比例分配法对名额进行初步分配,再根据表达式 )1(2 += i i i i m m n Q C B A i ,,=对剩下的名额进行分配 3.3 D ’hondt 模型 3.3.1 模型建立 设n ,m 分别表示宿舍总人数和总分配席位数,i n (1,2,3i =)表示各宿舍人数,

公平的席位分配问题建模作业

公平的席位分配问题 ——数学建模报告 20094865,陈天送 20094862,陈铁忠 20094854,朱海

公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到,如:人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。 符号设定: N :总席位数 i n :分配给第i 系席位数 (1,2,3i =分别为甲,乙,丙系) P :总人数 i P :第i 系数 (1,2,3i =分别为甲,乙,丙系) i Q :第i 系Q 值 (1,2,3i =分别为甲,乙,丙系) Z :目标函数 方法一,比例分配法:即: 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例?总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗?由书上给出的案例,我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的,是不公平的。 方法二,Q 值法: 采用相对标准,定义席位分配的相对不公平标准公式:若 2211n p n p > 则称 1122122221 1-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值, 记为 ),(21n n r A ,若 2211n p n p < 则称 121121 1 11 22-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ,记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小,某方在席位分配中越有利,因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 确定分配方案: 使用不公平值的大小来确定分配方案,不妨设1 1 n p > 2 2n p ,即对单位A 不公平,再分配一个席 位时,关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22 n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为 1)1(11),1(21211111 222 1-?+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B 3. 1 1 n p > 1 22+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为

公平的席位分配(MATLAB程序)

席位分配问题的MATLAB程序 说明: 1.本程序用三种方法,分别是惯例法、d’honht分配法和Q值法。 2.可以模拟出任意一种分配情况,即可以推广到N种情形。 3.三种分配方案供你选择,相互比较。 4.请务必阅读注意事项。 注意: 1.以下包含两个程序,下载完后把程序拷贝到matlab的M文件中, 2.第一个程序可以任意命名,只要符合规范就可以(本人以”xiweifenpei”命名, 这样便于查看),第二个程序一定要命名为“xiwei”,因为程序中要用到函数。 3.下载完后先把程序拷贝到txt文件中,再从txt拷贝到M文件中,这样可以避免乱 码。

程序一: clear all clc disp('席位分配:') P=1000 p=[235 333 432] N=10 [x,y]=size(p); zu=x*y; disp('惯例分配方法:') for i = 1:zu n(i) =p(i)*N/P; end n; m=n-fix(n); for i=1:zu if n(i)==max(m)+fix(n(i)) n(i)=fix(n(i))+1; else n(i)=fix(n(i)); end end disp('惯例分配人数:') n disp('d’honht方法:') pp=[]; for i=1:N pi=p/i; pp=[pp; pi]; end pp m=zeros(1,zu); for i=1:N [x,y]=find(pp==max(pp(:))); pp(x,y)=0; m(y)=m(y)+1; end pp disp('d’honht分配人数:') m disp('Q值法分配方法:')

数学建模论文 - 席位公平分配问题1

数学建模论文(席位公平分配问题)

席位公平分配问题 摘要 本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响,首先定义了公平的定义及相对不公平的定义,采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。 首先,我根据相关资料的查阅,定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。 其次,我建立了一个比例模型,采用了比例相等的方法,列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式,进而求得所获席位数。同时我建立了一D+Q值模型,通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合,最终得出一个比较合理的分配方案。 最后,我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。 关键词:数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt(汉丁顿)模型

目录 一、问题重述与分析: (3) 1.1问题重述: (3) 1.2问题分析: (3) 二、模型假设 (4) 三、符号说明 (4) 四、模型建立: (5) 4.1公平的定义: (5) 4.2不公平程度的表示: (5) 4.3相对不公平数的定义: (5) 4.4模型一的建立:(比例分配模型) (6) 4.5模型二的建立:(d'hondt模型和Q值模型) (6) 五、模型求解 (8) 5.1模型一求解: (8) 5.2模型二的求解: (8) 六、模型分析与检验 (9) 七、模型的评价: (11) 7.1、优点: (11) 7.2、缺点: (11) 7.3、改进方向: (11) 八、模型优化 (11) 九、参考文献 (12)

席位公平分配

席位公平分配的“绝对+优化” 摘 要: 为了使席位分配达到更高的公平度.本文采用了“绝对+优化”选择法.不是像以往那样直接地用 Q 值法或d’Hondt 法进行分配.而是在分配之前又做了一次“深加工”,即将所有的组数随机的分为两组选出最优的,进行分配,再在选出的两组中每组再分成两组选出最优的再分配依次进行直到分配结束,整个过程都是在优选中完成的.充分的展示了优化组合的合理性、公平性. 关键词: 公平度;优化组合;绝对值;深加工;最优 0 引言 席位分配的公平与否历来受到人们的普遍关注,特别是在政治学、管理、对策论和能源利用等领域具有广泛的应用.1974 年,M.L.Balinski 和H. P. Young 引入了席位分配问题的公理化体系,认为合理的分配方法f 应该包含五条公理:人口单调性公理、无偏性公理、席位单调性公理、公平分摊性公理和接近份额性公理[]1.其中席位单调性和公平分摊性由于在美国众议院引起诸多悖论而广受关注.我们知道,不存在绝对公平的分配方案,于是,人们便致力于研究席位分配的相对公平问题,寻找不同公平原则下的分配方法,如比例+惯例法、Q 值法、x 2 拟合法、0 -1规划法、最大熵法、最小极差法、最大概率法等[] 9-2.究竟如何分配 才算是最为公平的呢?本文为此提出了一种新方法——“绝对+优化”. 1 席位公平分配问题的数学模型 1.1 席位分配问题的描述 假设m 方,第i 方的人数为i n (i=1,2,3…,m),共有n=Σ m i 1 =i n 人,从中选出k 个代表,第i 方的席位 为w i (i=1,2,3…,m),如何寻找一组非负整数,,21w w …m w ,使k=Σ m i 1=w i ,并尽可能公平. 理想的公平分配方案是按人数比例分配,即第i 方应分配w i =(i n /n)k 个席位,但在实际中此数往往不是整数,这是如果按四舍五入或上下取整的方法可能导致分配更不公平. 1.2 绝对+优化 记t=[m/2],将m 按t:m-t 随机的组合为1组,2组,共有w=c m i 种情况,当m=2时,直接按Q 值法进行分配, 当m>2时,直接按Q 值法不满足平均分配的公理一,记Δ=∣(n a 1-[k n a 1/n][n/k]-(n a 2-[k n a 2/n][n/k]∣( n a 1 ,n a 2为第a 次组合时1组,2组的总人数,a=1,2,…w).当Δ=0时为最优组合,当Δ>0时,从所有组合中选取最大的为最优组合,然后按Q 值法进行分配,再在选出的两组中再组合、分配,直到结束. 1.3 理论证明 (a):当Δ=0时,显然知两组的相对不公平度为零.(b):当Δ>0时,则有[k n a 1/n]+ [k n a 2/n]=k-1, 即余下一位未分配,令x 1=n i 1-[k n i 1/n][n/k], x 2=n i 2[k n i 2/n][n/k],不妨设x 1< x 2 ,则x 2/( x 1+ x 2)所占的比例越大,对1组来说失去这一席位的不公平度越小,如1组2组的比例分别为(0.1,0.9),(0.4,0.6)显然按第一种情况分配更公平. 2 实例分析 例1: 某学校共1000名学生,235人住在A 单元,333人住在B 单元 ,432人住在C 单元,学生们要组织一个 15人的委员会,请给出具体的分配方案?当增加为20时的分配结果?

公平席位分配模型

公平的席位分配模型 班级:数(2)学号:0907022015 摘要:本文建立数学模型的方法,通过讨论某学校的学生代表席位在不同院系之间的公平分配问题。由于人数是一个整数,所以在通常情况下不能保证各个院系最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。因此席位分配不可能在任何情况下都绝对公平,我们通过建立数学模型的方法找到尽可能使分配结果的整体不公平程度降低。 关键词:主要分数法席位分配公平度指标 正文 1 问题的重述 有关公平分配席位的问题,由于人数是一个整数导致在一般情况下不能保证各个院系最终分得的代表席位数与其人数取相同的比例。因此席位分配不可能在任何情况下都绝对公平,进行了各种方法的比较,经过多次试验证明主要除数法的结果要贴近实际,不公平程度较低,最后又对所用方法的科学性进行了阐明。 2 合理假设与变量说明 2.1假定各系的人数已确定,且席位增加时各系的席位数不减少。 2.2在各系的席位数分配好的前提下,人数增加的系席位数不会减少。 2.3 p:总人数;i p:各方人员;i=1,2, 3...n N:总席数;i N各方分配数;i=1,2,3...n A的相对不公平度: 1122 12 22 // (,) / A p n p n r n n p n - = ; () 1122 // p n p n > ; B的相对不公平度: 2211 21 11 // (,) / B p n p n r n n p n - = ; () 2211 // p n p n > ; 3 问题的分析及模型建立 初等模型(不可分割的实体分配) p:总人数;i p:各方人员; i=1,2,3……n N:总席数;i N各方分配数;i=1,2,3……n A的相对不公平度: 1122 12 22 // (,) / A p n p n r n n p n - =() 1122 // p n p n > ;

席位分配问题

席位分配问题 一、问题背景 席位分配是日常生活中经常遇到的问题,对于企业、公司、学校、政府等部门都能解决实际的问题。席位可是是代表大会、股东会议、公司企业员工大会等的具体座位。 二、问题提出 学校共1000名学生,235人住在A 宿舍,333人住在B 宿舍,432人住在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会,试用下列办法分配各宿舍的委员数: (1). 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; (2). 用§2.1中的Q 值方法分配,要求编一个通用程序解决此类分配问题; (3).d ’Hondt 方法:将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除,其商数如下表: 将所得商数从大到小取前10个(10为席位数),在数字下标以横线,表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2,3,5,这就是3个宿舍分配的席位.请解释此方法的原理,并编程求解。 (4)如果委员会从10个人增至15人,用以上3种方法再分配名额,将3种方法两次分配的结果列表比较. 三、模型的建立与求解 (1)通常分配结果的公布与否以每个代表席位所代表的人数相等或相近来衡量,目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法,即:=?席位分配数总人数比例总席位数 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者,所以分配情况如表一所示。 学生们要组织的10人的委员会,分配各宿舍的委员数分别为:A 宿舍3人,B 宿舍3人,C 宿舍4人。 (2)Q 值法:有m 方分配席位的情况,设第i 方人数为i p ,已占有i n 个席位,1,2,,. i m =

当总席位增加1席时,计算 2 ,1,2,, (1) i i i i p Q i m n n == + 应将这一席分给Q值最大的一方, 这种席位分配方法称为Q值法。 (3)、原理是先按各宿舍人数的大小排列依次分一个,再根据席位数的多少,从各宿舍人数用正整数n=1,2,3,……相除得到的数的大小排列中,依次分配,不断循环直到席位分配完成。相当于不考虑各宿舍人数占总人数的比例,把席位比较均匀的分配到个宿舍,但这样的话就不可能解决公平问题。 (4)、把相应的N=10改成N=15,带入程序,可得按惯例分配A、B、C的席位分别为3、5、6;按d’honht方法三个宿舍分得的细微分别为:3、5、7;按Q值法分配方法三个宿舍分得的席位为:4、5、6。两种席位数分配方案如下表: 三种分配方法程序代码: clear all clc disp('席位分配:') P=105 p=[25 32 26 22] N=3 [x,y]=size(p); zu=x*y; disp('Q值法分配方法:') q=ones(1,zu); Q=[]; p; for i=1:zu Q(i)=p(i)*p(i)/(q(i)*(q(i)+1)); end Q; xiwei(p,q,Q,N,zu) 其中xiwei(p,q,Q,N,zu)的定义如下: function xiwei(p,q,Q,N,zu) if sum(q)==N disp('Q值法分配人数:') q return; else

席位的公平分配

目录 摘要 (1) ABSTRACT (2) 绪论 (3) 1.席位分配问题 (3) 2.各种分配方法 (3) 2.1 最大分数法 (3) 2.2 最大分数法的优缺点 (5) 2.3 不公平度指标 (5) 2.3.1定义不公平度 (5) 2.3.2 定义不公平程度 (5) 2.3.3 定义相对不公平度 (6) 2.4 Q值法 (6) 2.5 用Q值法解决问题 (8) 2.6 分析Q值法的优缺点 (9) 2.7 D’Hondt法 (9) 3.比较分配方法 (9) 参考文献 (12) 致谢 (13) 附录 (14)

摘要 约两个世纪以来,出于美国和欧洲诸如会议席位分配等社会政治活动的需要,一些人包括数学家们先后提出了许多分配方法,这些方法对同一个问题常常给出了不同的答案,还会违背人们意愿甚至违背常识现象,这更引起数学家们的深入研究的兴趣。本文从最简单的最大剩余法开始研究,一步步的优化方案。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响,首先定义了不公平指标及相对不公平度的定义,采用了最大剩余法,Q值法和D’Hondt 法对模型进行比较,制定出更合理的方案。开始,我采用了最大剩余法对问题进行研究.然后,我对相关资料进行了查阅,则定义了不公平度指标和相对不公平度用来检查方案的公平性程度。确定了衡量公平的数量指标后,再优化模型采用Q值法进行分配,最后采用了D’Hondt法对模型进行了分析,几种方法的比较得出结论。 关键字:席位分配;Q值法;D’Hondt法

ABSTRACT About two of a century, the need for American and Europe such as meeting seat allocation of social political activities, including some mathematicians have put forward many distribution methods, these methods to the same problem often give different answers, but also goes against the crowd even contrary to common sense, this caused more in-depth research mathematicians the interest. This paper studies the maximum residual method is the most simple, optimization step by step. I mainly according to the number of seats available on line, first defines unfair index and relative unfair degree, adopt the maximum residual method, Q method and D 'Hondt method to compare the model, to develop a more reasonable scheme. To start, I adopt the maximum residual method to research the problem. Then, I carried out the inspection of the relevant information, define the unfair degree index and relative unfair degree used to check the program fairness degree. To determine the quantitative index to measure the fair, then optimization model with a Q value method is used, the D 'Hondt method for model analysis, compare several methods of conclusion. Keywords: seat allocation; Q value method; d’hondt method

公平席位分配

公平的名额分配 摘要:公平分配的问题是关乎国家大局,人民情绪的重要问题。多年以来, 我们都在努力寻找“真正的公平”,就此本文讨论了两种常用的分配方法和一种名为d’Hondt方法,并结合人们公认的衡量公平分配的理想化原则,对两种基本方法进行深入剖析。 对于10个名额(席位)的分配,我们先按三个宿舍学生人数比例分配得到2:3:4,然后剩余的一个名额参照惯例分给比例中小数最大的A宿舍,这就是常用且简单的比例加惯例分配法。当然若按照Q值方法,就必须舍弃所谓惯例,建立新的衡量指标——不公平度,按此指标计算,则多的一个名额应给C宿舍。十个名额如此,十五个亦然。 d’Hondt法,对于名额(席位)不多的情况更易实施:只需将A,B,C三宿舍人数依次除以自然数列,商数按名额取大值即可,直观简单。 最小方差原则是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大,特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差异不要太大。模型简化后,可直接用比例分配的方差大小表示差异大小,方差小,则说明分配合理,反之,则是不合理。 关键词:比例惯例不公平度Q值方差。

一、问题的重述 我们身边时时刻刻都能遇到分配问题,大到一个国家的政策,小到你我家庭中的琐事,任何一个处理不好,都可能引发意想不到的恶果。因此,公平分配就显得尤为重要。 现在我们已知某校学生要组织一个一定人数的委员会,各宿舍人数给定,总人数亦可知道。摆在我们面前有三种分配方案,我们需要做的是找到一种方案,这个方案一方面满足委员会的要求,另一方面也让个宿舍成员满意。怎样做才既能让委员会发挥已有的作用,又不失公平。这是个问题。 二、模型假设与符号说明 假设: 1、学校近期没有学生转入或转走现象 2、此A,B,C三宿舍人员不再变动(即没有搬入,搬出或互换)。 3、此委员会需三个宿舍共同参与,且此三宿舍均想参与委员会管理。 4、此委员会中无职位差别。 符号表示: n0i 比例法得到的整数部分 Pi 参与分配各方的人数 N分配名额总数P参与分配总人数di模型衡量指标 m 参与分配的单位数量 m’ 初次分配后待定名额 ni各方最终分配名额

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