2019年一轮北师大版(理)数学教案：第6章第5节 综合法与分析法、反证法Word版含解析

2019年一轮北师大版（理）数学教案：第6章第5节综合法与分析法、反证法Word版含解析

[考纲传真] 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．1．综合法

从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法．

2．分析法

从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为分析法．

3．反证法

(1)定义：在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．

(2)反证法的证明步骤是：

①作出否定结论的假设；

②进行推理，导出矛盾；

③否定假设，肯定结论．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( )

(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( )

(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( )

(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( )

[答案] (1)√(2)×(3)×(4)√

2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )

A．综合法B．分析法

C．反证法D．归纳法

B [要证明＋<2成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明．]

3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根

A [“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.]

4．已知a，b，x均为正数，且a>b，则与的大小关系是__________.

【导学号：57962310】b＋x

> [∵－＝>0，

a＋x

∴>.]

5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形．

等边[由题意2B＝A＋C，

又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac，

∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，

∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形．]

，C1B1

的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

(1)D，B，F，E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

[证明] (1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，

所以EF∥B1D1.2分

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，4分

所以EF，BD确定一个平面，

即D，B，F，E四点共面. 5分

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，

又设平面BDEF为β.

因为Q∈A1C1，所以Q∈α.

又Q∈EF，所以Q∈β，

则Q是α与β的公共点. 8分

同理，P点也是α与β的公共点. 9分

所以α∩β＝PQ.

又A1C∩β＝R，

所以R∈A1C，则R∈α且R∈β，

则R∈PQ，故P，Q，R三点共线. 12分[规律方法] 综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有关定理、性质、结论题设条件的正确运用．[变式训练1] 已知函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－x2＋x3，函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线．

(1)求a，b的值；

(2)证明：f(x)≤g(x).

【导学号：57962311】[解] (1)f′(x)＝，g′(x)＝b－x＋x2，2分

由题意得错误!

解得a＝0，b＝1. 5分

(2)证明：令h(x)＝f(x)－g(x)

＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x>－1)．

h′(x)＝－x2＋x－1＝. 8分

所以h(x)在(－1,0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数．

h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x).12分

[证明] 要证－≥a＋－2，

只需要证＋2≥a＋＋. 2分

因为a>0，故只需要证2≥，

即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2＋2，8分

从而只需要证2≥，

只需要证4≥2，

即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立. 12分[规律方法] 1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法．2．分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等，通常采用“欲证—只需证—已知”的格式，在表达中要注意叙述形式的规范性．[变式训练2] 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.

求证：＋＝.

【导学号：57962312】[证明] 要证＋＝，

即证＋＝3，也就是＋＝1，3分

只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，

需证c2＋a2＝ac＋b2，5分

又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，

由余弦定理，得

b2＝c2＋a2－2accos 60°，10分即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．

于是原等式成立. 12分

(1)推导{an}的前n项和公式；

(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．

[解] (1)设{an}的前n项和为Sn，

当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；

当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①

qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn，②

①－②得，(1－q)Sn＝a1－a1qn，

∴Sn＝，∴Sn＝5分

(2)证明：假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

(ak＋1＋1)2＝(ak＋1)(ak＋2＋1)，

a＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

aq2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1. 8分∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列. 12分[规律方法] 用反证法证明问题的步骤：

(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立；(否定结论)

(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)

(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的

谬误．既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立．(命题成立)

[变式训练3] 已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根.

【导学号：57962313】[证明] 假设三个方程都没有实数根，则

错误!?6分∴－

[思想与方法]

1．综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题思路，再运用综合法证明；或两种方法交叉使用．

2．反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法证明的关键：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．[易错与防范]

1．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证明的数学问题成立．

2．利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．