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控制系统的状态空间分析

第二章控制系统的状态空间分析

在讨论了状态方程的描述、标准形和模型转换后，本章将讨论线性多变量系统的运动分析，包括线性状态方程的求解和系统的能控与能观性分析。

2.1 定常系统状态方程的解

2.1.1 线性系统的解

给定线性定常系统非齐次状态方程为

Σ：)()()(t Bu t Ax t x

+= (2.1.1）

其中，r n n n r n R B R A R t u R t x ??∈∈∈∈,,)(,)(，且初始条件为)0()(0x t x t ==。将方程（2.1.1）写为

)()()(t Bu t Ax t x

=- 在上式两边左乘e -At ，可得

)()]([)]()([t Bu e t x e dt

d t Ax t x

e At At

At ---==- 将上式由O 积分到t ，得

τττd Bu e x t x e t

A At ?--=-)()0()(

故可求出其解为

?-+=t

t A At

d Bu

e x e t x τττ)()0()()(

(2.1.2a)

或

?-Φ+Φ=t

d Bu t x t t x τττ)()()0()()(

(2.1.2b)

式中At

e t =Φ)(为系统的状态转移矩阵。

对于线性时变系统非齐次状态方程，

)()()()()(t u t B t x t A t x

+= (2.1.3）

类似可求出其解为

?Φ+Φ=t

d u B t x t t x ττττ)()(),()0()0,()(

(2.1.4)

一般说来，线性时变系统的状态转移矩阵),(0t t Φ只能表示成一个无穷项之和，只有在特殊情况下，才能写成矩阵指数函数的形式。

2.1.2 状态转移矩阵

1．状态转移矩阵性质

定义2.1 时变系统状态转移矩阵),(0t t Φ是满足如下矩阵微分方程和初始条件

?=ΦΦ=ΦI

t t t t t A t t ),(),()(),(000

0 (2.1.5)

的解。

下面不加证明地给出线性时变系统状态转移矩阵的几个重要性质：

1、I t t =Φ),(；

2、),(),(),(020112t t t t t t Φ=ΦΦ；

3、),(),(001t t t t Φ=Φ-；

4、当A 给定后，),(0t t Φ 唯一；

5、计算时变系统状态转移矩阵的公式

+??

????++=Φ???t

t t t

t d d A A d A I t t 010012210)()()(),(τττττττ (2.1.6a)

上式一般不能写成封闭形式，可按精度要求，用数值计算的方法取有限项近似。特别地，

只有当满足

)()()()(00t A d A d A t A t

t t t ??

????=????????ττττ

即在矩阵乘法可交换的条件下，),(0t t Φ才可表示为如下矩阵指数函数形式

{

}

?=Φt

t d A t t 0

)(exp ),(0ττ

(2.1.6b)

显然，定常系统的状态转移矩阵)(0t t -Φ不依赖于初始时刻0t ，其性质仅是上述时变系统的特例。

[例2．1] 试求如下线性定常系统

?????????--=??????21213210x x x x 的状态转移矩阵Ф(t )和状态转移矩阵的逆Ф-1(t ）。

[解] 对于该系统，

??--=32

10A 其状态转移矩阵由下式确定

])[()(11---==ΦA sI L e t At

由于

???+-=??????---????

??=-32

132100

0s s

s s

A sI 其逆矩阵为

????

???

++++-+++++=??

????-+++=

--)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32

13)2)(1(1

)(1s s s s s s s s s s s s s s A sI

因此

])[()(11---==ΦA sI L e t At

=????

???

?+-+-----------t t t t t t t t e e e e e e e e 22222222 由于Ф-1（t ）=Ф(-t )，故可求得状态转移矩阵的逆为

???

????+-+---==Φ--t t t t t

t t

t At

e e e

e e e e e e

t 222212222)( [例2.2] 求下列系统的时间响应：

u x x x x

???+????????????--=?

?????1032102121 式中，u(t )为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u (t )=1(t )。

[解] 对该系统

???=????

??--=1032

10B A

状态转移矩阵At

e t =Φ)(已在例2.1中求得，即

???

?????+-+---==Φ--------t t t t t t t t At

e e e e e e e e e t 22222222)( 因此，系统对单位阶跃输入的响应为：

τττττττττd t e e e e

e e e e x e t x t

t t t t t t t t At

)(1102222)0()()(2)

()(2)()(2)()

(2)(??

???????????+-+---+=?----------------

或

????

??????-+-+??????????????+-+---=??????------------t t t t t t t t t t t

t e e e e x x e e e e e e e

e t x t x 22212222212121)0()0(2222)()(

如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t )简化为

???

??????-+-=??????----t

t t t

e e e e t x t x 22212121)()( 2. 矩阵指数函数e At 的计算

前已指出，状态方程的解实质上可归结为计算状态转移矩阵，即矩阵指数函数e At 。如果给定矩阵A 中所有元素的值，MA TLAB 将提供一种计算e AT 的简便方法，其中T 为常数。除了上述方法外，对e At 的计算还有几种分析方法可供使用。这里我们将介绍其中的四种计算方法。

方法一：直接计算法(矩阵指数函数)

k k k At

t A k t A t A At I e

∑∞

==++++=03322!

!3!2

(2.1.7)

可以证明，对所有常数矩阵A 和有限的t 值来说，这个无穷级数都是收敛的。

方法二：对角线标准形与Jordan 标准形法

若可将矩阵A 变换为对角线标准形，那么e At 可由下式给出

121

10(2.1.8)0

n t t

At t t e e e Pe P P P e λλλΛ--??

?????

?==?

?????

??????

式中，P 是将A 对角线化的非奇异线性变换矩阵。

类似地，若矩阵A 可变换为Jordan 标准形，则e At 可由下式确定出

e At = S e J t S –1

(2.1.9)

[例2.3] 考虑如下矩阵A

????

??????-=33

010A [解] 该矩阵的特征方程为

0)1(133||323=-=-+-=-λλλλλA I

因此，矩阵A 有三个相重特征值λ=1。可以证明，矩阵A 也将具有三重特征向量（即有两个

广义特征向量）。易知，将矩阵A 变换为Jordan 标准形的变换矩阵为

????

??????=12

001

矩阵S 的逆为

????

?????--=-12

0110011

S 于是

J AS S =??????????=????

????????????????-??????????--=-10

11001112

100133

110

0010121

001

注意到

???????

?=t

t t t t t

J e te e e t te e e 0

002

可得

e At = S e J t S –1

即

??????

????

?????

?++--++---+-=????

???

???--??????

???????

???????????t t

t t t t t t

t t t t

t t t t t t

t e t te e e t te e t te e t te e t te e e t e

t e t te e t te e e te e e t te e 222222222221232121

212

121121

0110010002

112

1001

方法三：拉氏变换法

])[(11---=A sI L e At

(2.1.10)

为了求出e At ，关键是必须首先求出（sI-A ）的逆。一般来说，当系统矩阵A 的阶次较

高时，可采用递推算法。

[例2.4] 考虑如下矩阵A

A ??

??-=2010

试用前面介绍的两种方法计算e At 。

[解] 方法一由于A 的特征值为0和-2（λ1=0，λ2= -2），故可求得所需的变换矩阵P 为

P =??

???-20

因此，由式(2.1.10）可得

?????-=?????

????

-??????????????-=---t t t o

e e e e e 2220)1(2

112102110

020

方法二由于

???+-=??????--????

??=-20120100

0s s

s s

A sI 可得

????

??????

?++=--210)2(11)(1

s s s s A sI 因此

?????

-=-=----t t e e A sI L 2211At

0)1(2

11])[(e 方法四：化e At 为A 的有限项法(Caley-Hamilton 定理法)

第四种是利用凯莱-哈密尔顿定理，化At

e 为A 的有限项，然后通过求待定时间函数获得At

的方法。

凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。考虑n×n 维矩阵A 及其特征方程

0||111=++++=---n n n n a a a A I λλλλ

凯莱-哈密尔顿定理指出，矩阵A 满足其自身的特征方程，即

0111=++++--I a A a A a A n n n n

(2.1.11)

为了证明此定理，注意到（λI -A ）的伴随矩阵adj(λI -A )是λ的n -1次多项式，即

n n n n B B B B A I ++++=----λλλλ12211)(adj

式中，I B =1。由于

I A I A I A I A I A I -=--=--λλλλλ)()](adj [)(adj )(

可得

)

()())(( ||1221112211111A I B B B B B B B B A I I

a I a I a I I A I n n n n n n n n n n n n -++++=++++-=++++=---------λλλλλλλλλλλλ 从上式可看出，A 和i B (i=1,2,…，n)相乘的次序是可交换的。因此，如果(λI -A ）及其伴随矩阵adj(λI -A)中有一个为零，则其乘积为零。如果在上式中用A 代替λ，显然λI -A 为零。这样

0111=++++--I a A a A a A n n n n

即证明了凯莱-哈密尔顿定理。最小多项式

按照凯莱-哈密尔顿定理，任一n×n 维矩阵A 满足其自身的特征方程，然而特征方程不一定是A 满足的最小阶次的纯量方程。我们将矩阵A 为其根的最小阶次多项式称为最小多项式，也就是说，定义n×n 维矩阵A 的最小多项式为最小阶次的多项式φ(λ)，即

n m a a a m m m m ≤++++=--,

)(111λλλλφ

使得φ(A ）= 0，或者

0)(111=++++=--I a A a A a A A m m m m φ

最小多项式在n×n 维矩阵多项式的计算中起着重要作用。

假设λ的多项式d(λ)是(λI -A)的伴随矩阵adj(λI -A)的所有元素的最高公约式。可以证明，如果将d(λ)的λ最高阶次的系数选为1，则最小多项式φ(λ)由下式给出：

)

|)(λλλφd A I -=

(2.1.12)

注意，n×n 维矩阵A 的最小多项式φ(λ)可按下列步骤求出：

1、根据伴随矩阵adj(λI -A)，写出作为λ的因式分解多项式的adj(λI -A)的各元素；

2、确定作为伴随矩阵adj(λI -A)各元素的最高公约式d(λ)。选取d(λ)的λ最高阶次系数为

1。如果不存在公约式，则d(λ)=1；

3、最小多项式φ(λ)可由|λI -A|除以d(λ)得到。

设A 的最小多项式阶数为m 。可以证明，采用赛尔维斯特内插公式，通过求解行列式

01111

212

2221121

121=?

???????

????----At

m t

m m

m m t

m t m e A A A

e e e m

λλλλλλλλλλλλ

(2.1.13)

即可求出At

e 。利用式(2.13）求解时，所得At

e 是以k A

(k=0,1,2,…,m -1)和t

i e

λ (i=1,2,3,…，

m)的形式表示的。

此外，也可采用如下等价的方法。将式(2.13)按最后一行展开，容易得到

112210)()()()(--++++=m m At A t a A t A t I t e ααα

(2.1.14）

从而通过求解下列方程组：

t m m e t a t t t 1

11212110)()()()(λλλαλαα=++++--

t m m e t a t t t 2

1222210)()()()(λλλαλαα=++++-- ·

· (2.1.15)

t m m

m m m m

e t a t t t λλλαλαα=++++--1

12210)()()()( 可确定出)(t k α(k =0,1,2…，m -1)，进而代入式(2.14)即可求得At

e 。

如果A 为n×n 维矩阵，且具有相异特征值，则所需确定的)(t k α的个数为m=n ，即有

112210)()()()(--++++=n n At A t a A t A t I t e ααα

（2.1.16）

如果A 含有相重待征值，但其最小多项式有单根，则所需确定的)(t k α的个数小于n. [例2.5] 考虑如下矩阵A

??-=20

A 试用化At

e 为A 的有限项法计算At

e 。 [解] 矩阵A 的特征方程为

0)2()det(=+=-λλλA I

可得相异特征值为λ1=0，λ2= -2。由式(2.13），可得

011212

1=At

t e A

e e λλλλ

即

0211012=--At

t e A

e 将上述行列式展开，可得

0222=-++--t At Ae I A e

或

??????

-=?

?????????--????

??+??????-=-+=

----t t t t At e e e Ae I A e 22220

)1(2

1120

022010

21)2(2

另一种可选用的方法是采用式(2.16）。首先，由

e t t e t t 2

210110)()()()(λλλααλαα=+=+

确定待定时间函数)(0t α和)(1t α。由于λ1=0，λ2= -2，上述两式变为

e t t t 2100)(2)(1

)(-=-=ααα

求解此方程组，可得

)1(2

)(,1)(21t o e t a t a --=

= 因此，

????

?????-=-+=+=---t

t t o At

e e A e I A t a I t a e 22210)1(2

11)1(2

1)()(

2.2能控性与能观测性分析

能控性和能观测性的概念是由R.E.Kalman 于60年代初首先提出的。在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到很重要的作用。实际上，可控性和可观性可以给出控制系统设计问题的完全解存在性的条件。如果所研究的系统不可控，那么控制系统设计问题的解不存在。可控和可观测性决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。

在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。

2.2.1 系统的能控性

1 概述如果在一个有限的时间隔内施加一个无约束的控制向量，使得系统由初始状态x (t o )转移到任一状态，则称该系统在时刻t o 是能控的。如果系统的状态x (t o )在有限的时间间隔内可由输出的观测值确定，那么称系统在时刻t o 是能观测的。前已指出，在用状态空间法设计控制系统时，这两个概念起到非常重要的作用。实际上，虽然大多数物理系统是能控和能观测的，然而其所对应的数学模型可能不具有能控性和能观测性。因此，必须了解系统在什么条件下是能控和能观测的。上面给出了系统状态能控与能观测的定义，下面我们将首先推导状态能控性的代数判据，然后给出状态能控性的标准形判据。最后讨论输出能控性。

2 定常系统状态能控性的代数判据考虑线性连续时间系统

Σ：)()()(t Bu t Ax t x

+= (2.2.1）

其中，11,,)(,)(??∈∈∈∈n n n n R B R A R t u R t x （单输入），且初始条件为)0()(0x t x t ==。如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔t o≤t ≤t 1内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（2.2.1）描述的系统在t = t o 时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能控，则称该系统为状态(完全)能控的。下面我们将推导状态能控的条件。不失一般性，设终止状态为状态空间原点，并设初始时刻为零，即t o =0。由上一章的内容可知，式(2.2.1)的解为

?-+=t

t A At d e x e t x ττ)()0()(

利用状态能控性的定义，可得

τττd Bu e x e t x t o

t A At )()0(0)(1

)(1?-+==

或

?--=1

)()0(t A d Bu e x τττ

(2.2.2)

将τ

A e

-写为A 的有限项的形式，即

∑-=-=1

)(n k k k A A e

τατ

(2.2.3)

将式(2.2.3)代入式（2.2.2），可得

∑?-=-=1

)()()0(n k t k k d u a B A x τττ

(2.2.4)

记

)()(t k k d u a βτττ

则式(2.2.4)成为

?????

????

?????????

????-=-=---=∑11011

][)0(n n n k k

k B A AB B B A x ββββ (2.2.5)

如果系统是状态能控的，那么给定任一初始状态x (0)，都应满足式（2.2.5）。这就要求

n ×n 维矩阵

][1B A AB B Q n -=

的秩为n 。

由此分析，可将状态能控性的代数判据归纳为：当且仅当n ×n 维矩阵Q 满秩，即

n B A AB B rank rankQ n ==-][1

时，由式（2.2.1）确定的系统才是状态能控的。上述结论也可推广到控制向量u 为r 维的情况。此时，如果系统的状态方程为

Bu Ax x += 式中，r n n

n r

R B R A R t u R t x ??∈∈∈∈,,)(,)(，那么可以证明，状态能控性的条件为n ×nr

维矩阵

][1B A AB B Q n -=

的秩为n ，或者说其中的n 个列向量时线性无关的。通常，我们称矩阵

][1B A AB B Q n -=

能控性矩阵。

[例2.6] 考虑由下式确定的系统：

1122111010x x u x x ????????=+????????-?

???????

由于

1][det det ===AB B Q

即Q 为奇异，所以该系统是状态不能控的。 [例2.7] 考虑由下式确定的系统：

u x x x x ??????+???????????

?-=??????1012112121 对于该情况，

0][det det ≠-=

=AB B Q

即Q 为非奇异，因此系统是状态能控的。 3 状态能控性条件的标准形判据关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。考虑如下的线性系统

Bu Ax x += (2.2.6) 式中，r n n

n r

R B R

A R t u R t x ??∈∈∈∈,,)(,)(。

如果A 的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P ，使得

{}n diag AP P λλλ,,,211 =Λ=-

注意，如果A 的特征值相异，那么A 的特征向量也互不相同；然而，反过来不成立。

例如，具有相重特征值的n ×n 维实对称矩阵也有可能有n 个互不相同的特征向量。还应注意，矩阵P 的每一列是与λi (i =1,2, …，n )有联系的A 的一个特征向量。设

x = P z (2.2.7)

将式(2.2.7)代入式(2.2.6)，可得

Bu P APz P z

11--+= (2.2.8)

定义

)(1ij f B P =Γ=-

则可将式（2.2.8）重写为

r nr n n n n n r r r r u f u f u f z z

u f u f u f z z

++++=++++=++++=

221122221212221212111111λλλ

如果n ×r 维矩阵Γ 的任一行元素全为零，那么对应的状态变量就不能由任一i u 来控制。由于状态能控的条件是A 的特征向量互异，因此当且仅当输入矩阵B P 1

-=Γ没有一行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。在应用状态能控性的这一条件时，应特别注意，必须将式（2.2.8）的矩阵AP P 1

-转换成对角线形式。

如果式（2.2.6）中的矩阵A 不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在

这种情况下，可将A 化为Jordan 标准形。例如，若A 的特征值分别λ1,λ1,λ1,λ4,λ4,λ6,…,λn ,并且有n - 3个互异的特征向量，那么A 的Jordan 标准形为

????

??????????

????????

????????=n J λλλλλλλ0

00016

其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan 块。

假设能找到一个变换矩阵S ，使得

J AS S =-1

如果利用

x = S z

(2.2.9)

定义一个新的状态向量z ，将式（2.2.9）代入式（2.2.6）中，可得到

Jz Bu S ASz S z

Γ+=+=--11

(2.2.10)

从而式（2.2.6）确定的系统的状态能控性条件可表述为：当且仅当（1）式（2.2.10）中的矩阵J 中没有两个Jordan 块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan 块最后一行相对应的

B S 1-=Γ的任一行元素不全为零；（3）对应于不同特征值的B S 1-=Γ的每一行的元素不

全为零时，则系统是状态能控的。

[例2.8] 下列系统是状态能控的：

u x x x x

???

???+????????????--=??????5220012121 ?????????????

???????+????????????????????????????????-----=?????????????????????

?????+????????????????????---=??????????2154321543213213211200

0300105

01200

01234020001

0011u u x x x x x x x

x x x u x x x x x x

下列系统是状态不能控的：

u x x x x x x x x x x u u x x x x x x

u x x x x ??

???????

???????+?????????????????????????

???????-----=?????????????????

???????

??????+????????????????????---=?????????????

???+????????????--=??????0312450

0152

012

00012030024

2000100110220015432154321213213212121 4 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件

状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。

状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。 [例2.9] 考虑下列传递函数：

)

1)(5.2(5

.2)()(-++=s s s s U s X 显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为

u x x x x

????+???????

?????-=??????115.15.2102121 由于

??=1111

][AB B 即能控性矩阵][AB B 的秩为1，所以可得到状态不能控的同样结论。

5 输出能控性

在实际的控制系统设计中，需要控制的是输出，而不是系统的状态。对于控制系统的输出，状态能控性既不是必要的，也不是充分的。因此，有必要再定义输出能控性。

考虑下列状态空间表达式所描述的线性定常系统

(2.2.11)

(2.2.12)

x Ax Bu y Cx Du

=+=+

式中，r m n m r n n n m r n R D R C R B R A R y R u R x ????∈∈∈∈∈∈∈,,,,,,。

如果能找到一个无约束的控制向量u (t )，在有限的时间间隔t o ≤t ≤t 1内，使任一给定的初始输出y (t o)转移到任一最终输出y (t 1)，那么称由式（2.2.11）和（2.2.12）所描述的系统为输出能控的。

可以证明，系统输出能控的充要条件为：当且仅当m ×(n +1)r 维输出能控性矩阵

][12D B CA B CA CAB CB Q n -='

的秩为m 时，由式（2.2.11）和（2.2.12）所描述的系统为输出能控的。注意，在式（2.2.12）中存在Du 项，对确定输出能控性是有帮助的。

2.2.2 系统的能观测性

现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式

(2.2.13)

(2.2.14)

x Ax y Cx

式中，n m n

n m

R C R

A R y R x ??∈∈∈∈,,,。

如果每一个状态x (t o )都可通过在有限时间间隔t o ≤t ≤t 1内，由y (t )观测值确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设t o =0。能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（2.2.13）和（2.2.14）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式

Cx y Bu Ax x

+=+=

则

?-+=t

t A At

d Bu

e x e t x τττ)()0()()(

从而

Du d Bu e C x Ce t y t

t A At ++=?-τττ)()0()()(

由于矩阵A 、B 、C 和D 均为已知，u (t )也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y (t )中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（2.2.13）和(2.2.14)所描述的零输入系统就可以了。

1. 定常系统状态能观测性的代数判据

考虑由式（3.13）和(2.2.14)所描述的线性定常系统。将其重写为

y Ax x ==

易知，其输出向量为

)0()(x Ce t y At =

将At

e 写为A 的有限项的形式，即

∑-==1

)(n k k k At

A t e

因而

)0()()(1

x CA t t y k n k k ∑-==α

或

)0()()0()()0()()(1110x CA t CAx t Cx t t y n n --+++=ααα

(2.2.15)

显然，如果系统是能观测的，那么在0≤t ≤t 1时间间隔内，给定输出y (t )，就可由式（2.2.15）

唯一地确定出x (0)。可以证明，这就要求nm ×n 维能观测性矩阵

????

???

???=-1n CA CA C R 的秩为n 。

由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式（2.2.13）和（2.2.14）所描述的线性定常系统，当且仅当n ×nm 维能观测性矩阵

][1T

n T T T T T C A C A C R -=）（

的秩为n ，即n rankR T

=时，该系统才是能观测的。

[例2.10] 试判断由式

[]??

????=???

???+????????????--=??????21212101

101211x x y u x x x x

所描述的系统是否为能控和能观测的。

[解] 由于能控性矩阵

??-==1110

][AB B Q 的秩为2，即n rankQ ==2，故该系统是状态能控的。对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于

[]10

]['==CAB CB Q

的秩为1，即m Q rank =='1，故该系统是输出能控的。

为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于

??==10

][T T

C A C R 的秩为2，n rankR T

==2，故此系统是能观测的。

2. 用传递函数矩阵表达的能观测性条件

类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。

[例2.11] 证明下列系统是不能观测的。

y Bu Ax x

=+=

式中

[]154,100,611

010

,321=????

???????????????---=????

??????=C B A x x x x

[解] 由于能观测性矩阵

????

?????----==11

575

664

])([2T T T T T T C A C A C R

注意到

575664=---- 即n rankR T

=<3，故该系统是不能观测的。

事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X 1(s )和U (s )之间的传递函数为

)

3)(2)(1(1

)()(1+++=

s s s s U s X 又Y (s )和X 1(s )之间的传递函数为

)4)(1()

()

(1++=s s s X s Y 故Y(s)与U(s)之间的传递函数为

)

3)(2)(1()

4)(1()()(+++++=s s s s s s U s Y 显然，分子、分母多项式中的因子（s+1）可以约去。这意味着，该系统是不能观测的，或者说一些不为零的初始状态x (0)不能由y (t )的量测值确定。 3.说明当且仅当系统是状态能控和能观测时，其传递函数才没有相约因子。这意味着，可相约的传递函数不具有表征动态系统的所有信息。

4. 状态能观测性条件的标准形判据

考虑由式（2.2.13）和（2.2.14）所描述的线性定常系统，将其重写为

(2.2.16)

(2.2.17)

x Ax y Cx

设非奇异线性变换矩阵P 可将A 化为对角线矩阵，

Λ=-AP P 1

式中，{}n diag λλλ,,,21 =Λ为对角线矩阵。定义

Pz x =

式（2.2.16）和(2.2.17)可写为如下对角线标准形

CPz

y z APz P z

=Λ==-1

因此

)0()(z CPe t y t Λ=

或

??????

????????=?????

????

??=)0()0()0()0(0

0)(212121n t t t t t

t z e z e z e CP z e e e CP t y n n λλλλλλ

如果m ×n 维矩阵CP 的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。这是因

为，如果CP 的第i 列含全为零的元素，则在输出方程中将不出现状态变量)0(i z ，因而不能由y

上述判断方法只适用于能将系统的状态空间表达式（2.2.16）和(2.2.17)化为对角线标准形的情况。

如果不能将式（2.2.16）和(2.2.17)变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵S ，将其中的系统矩阵A 变换为Jordan 标准形。

J AS S =-1

式中， J 为Jordan 标准形矩阵。定义

Sz x =

则式（2.2.16）和(2.2.17)可写为如下Jordan 标准形

Jz ASz S z

==-1 CSz y =

因此

)0()(z CSe t y Jt =

系统能观测的充要条件为：（1） J 中没有两个Jordan 块与同一特征值有关；（2）与每

个Jordan 块的第一行相对应的矩阵CS 列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵CS 列中，没有一列包含的元素全为零。为了说明条件(2），在例3.7中，对应于每个Jordan 块的第一行的CS 列之元素用下划线表示。

[例2.12] 下列系统是能观测的：

?????

?????????????

?=?????????

????

??????????????????

???????--=????????????????????

??????????

??=????????

??????????????????=????????????????=????????????--=??????5432

1215432154321321213213212121210111000111,300132

0012000

12004003,200120012]31[,2001x x x x x y y x x x x x x x x x x

x x x y y x x x x x x

x x y x x x x

显然，下列系统是不能观测的：

?????

??????????????=?????????

?????????????--=????????????????????

?????????

??=????????

??????????????????=?????????????

???=????????????--=??????5432121321213213212121210011000111,300

1320012000

1254321420310,200120012]10[,2001x x x x x y y x x x x x

x x x y y x x x x x x

x x y x x x x

2.2.3 对偶原理

下面讨论能控性和能观测性之间的关系。为了阐明能控性和能观测性之间明显的相似

性，这里将介绍由R.E.Kalman 提出的对偶原理。考虑由下述状态空间表达式描述的系统S 1：

y Bu Ax x

=+=

式中，n m r n n

n m

R C R B R

A R y R u R x ???∈∈∈∈∈∈,,,,,。

以及由下述状态空间表达式定义的对偶系统S 2：

B n v

C z A z T

T T =+=

式中，n r T m n T n

n T

R B R C R

A R n R v R z ???∈∈∈∈∈∈,,,,,。

对偶原理：当且仅当系统S 2状态能观测（状态能控）时，系统S 1才是状态能控（状态

能观测）的。