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等差数列及其前n项和习题与答案

第六章第二节

1．{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400

D ．20

解析：选C S 20－2S 10＝20(a 1＋a 20)2－2×10(a 1＋a 10)

＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d . ∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.故选C.

2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2

2＝1，则数列{a n }的公差是( )

A.1

B ．1

C ．2

D ．3

解析：选C 因为S n ＝n (a 1＋a n )2，所以S n n ＝a 1＋a n 2.由S 33－S 22＝1，得a 32－a 2

2＝1，即a 3－a 2

＝2，所以数列{a n }的公差为2.故选C.

3．(2014·临川一中质检)已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于( )

A ．55

B ．70

C ．85

D ．100

解析：选C 由题知a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于a b 1＋a b 2＋…＋a b 10＝a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9，a b 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9＝4＋5＋6＋…＋13＝85，选C.

4．(2014·中原名校联盟摸底考试)若数列{a n }通项为a n ＝an ，则“数列{a n }为递增数列”的一个充分不必要条件是( )

A ．a ≥0

B ．a ＞1

C ．a ＞0

D ．a ＜0

解析：选B 数列{a n }为递增数列，则a ＞0，反之a ＞0，则数列{a n }为递增数列，a ＞0是数列{a n }为递增数列的充要条件，“数列{a n }为递增数列的一个充分不必要条件是a 的范围比a ＞0小，即包含于a ＞0中，故选B.

5．(2012·浙江高考)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )

A ．若d <0，则数列{S n }有最大项

B ．若数列{S n }有最大项，则d <0

C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0

D ．若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列

解析：选C 设数列{a n }的首项为a 1，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d

2n 2＋????a 1－d 2n .由二次函数性质知S n 有最大值时，则d <0，故A 、B 正确；因为{S n }为递增数列，但d >0，不妨设a 1＝－1，d ＝2，显然{S n }是递增数列，但S 1＝－1<0，故C 错误；对任意n ∈N *，S n 均大于0时，a 1>0，d >0，{S n }必是递增数列，D 正确．

6．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －3

4n －3，

则

a 9

b 5＋b 7＋a 3

b 8＋b 4的值为( ) A.19

B.4

5 C.27

D.2431

解析：选A ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴

a 9

b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6

＝a 9＋a 32b 6＝a 6

b 6.

∵S 11T 11＝11

2(a 1＋a 11)

112(b 1＋b 11)＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941

， ∴a 6b 6＝19

.故选A. 7．(2011·广东高考)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.

解析：10 由题意S 9＝S 4得a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0. ∴5a 7＝0，即a 7＝0.

又a k ＋a 4＝0＝2a 7，a 10＋a 4＝2a 7，∴k ＝10.

8．(2014·阜宁中学调研)在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和S 5＝________.

解析：90 在等差数列{a n }中，由a 2＝6，a 5＝15易知公差d ＝15－63＝3，

∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3n ，∴b n ＝a 2n ＝6n ，所以数列{b n }为公差为6的等差数列，所以前5项和S 5＝5

(b 1＋b 5)，

又易知b 1＝6，b 5＝30，所以S 5＝90.

9．(2014·江苏调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的差数列．若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.

解析：2n ＋

1－2 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2,0＝22，…，a n －a n －1＝2n －

1，由

累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2

n －1

＝2n

，从而S n ＝2(1－2n )1－2

＝2n ＋1

－2.

10．(2014·哈尔滨联考)已知各项为正数的等差数列{a n }的前20项和为100，那么a 7a 14的最大值为________．

解析：25 因为{a n }为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20(a 1＋a 20)2＝100，

即a 1＋a 20＝10，

所以a 7＋a 14＝10.所以a 7·a 14≤??

??a 7＋a 1422

＝25，

当且仅当a 7＝a 14＝5时等号成立．

11．(2013·新课标全国高考Ⅱ)已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25 ，且a 1，a 11，a 13

成等比数列．

(1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 解：(1)设{a n }的公差为d . 由题意得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.

又a 1＝25，所以d ＝－2或d ＝0(舍去)．故a n ＝－2n ＋27.

(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，

所以数列{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n

(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .

12．(2014·黑龙江联考)已知各项都不相等的等差数列{a n }的前6项和为60，且a 6为a 1和a 21的等比中项．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＋1－b n ＝a n (n ∈N *)，且b 1＝3，求数列????

1b n 的前n 项和T n .

解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，

则????? 6a 1＋15d ＝60，a 1(a 1＋20d )＝(a 1＋5d )2，解得?????

d ＝2，a 1＝5.

∴a n ＝2n ＋3.

(2)由b n ＋1－b n ＝a n ，得b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n －1＋a n －2＋…＋a 1＋b 1 ＝(n －1)(n －1＋4)＋3＝n (n ＋2)， ∴b n ＝n (n ＋2)，n ∈N *. ∴1b n ＝1n (n ＋2)＝12????1

n －1n ＋2.

∴T n ＝1

2????1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2

＝12????3

2－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 4(n ＋1)(n ＋2).

13．(2014·济宁模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －????12n －1＋2(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝2n ·a n .

(1)求证：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝log 2

n a n ，数列????

??2c n c n ＋2的前n 项和为T n ，求满足T n <25

21(n ∈N *)的n 的最大值． (1)证明：在S n ＝－a n －????12n －1

＋2中，令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，得a 1＝12.

当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－????12n －2

＋2， ∴a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋????12n －1，即2a n ＝a n －1＋????12n －1. ∴2n ·a n ＝2n －

1·a n －1＋1.

∵b n ＝2n ·a n ，∴b n ＝b n －1＋1.

又b 1＝2a 1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．于是b n ＝1＋(n －1)·1＝n ，∴a n ＝n 2n .

(2)解∵c n ＝log 2n

a n ＝log 22n ＝n .

∴

2c n c n ＋2＝2n (n ＋2)＝1n －1n ＋2

∴T n ＝????1－13＋???

?12－1

4＋…＋???

?1n －1n ＋2 ＝1＋12－1n ＋1－1

n ＋2

由T n ＜2521，得1＋12－1n ＋1－1n ＋2<25

21，

即

1n ＋1＋1n ＋2>1342，f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2

单调递减， ∵f (3)＝920，f (4)＝1130，f (5)＝1342，

∴n 的最大值为4.

1.(2014·石家庄模拟)已知数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＝35，a n ＝2－1

a n －1

(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }

满足b n ＝1

a n －1

(n ∈N *)，则关于数列{b n }的判断正确的是( )

A ．数列{b n }一定是等差数列

B ．数列{b n }一定是等比数列

C ．数列{b n }可以是等差数列，也可以是等比数列

D ．数列{b n }既不是等差数列，也不是等比数列

解析：选A 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1，所以当n ≥2时，b n －b n －1＝

a n －1－

a n －1－1＝

1??

?2－1a

n －1

－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1，又b 1＝1a 1－1＝－5

2，所以数列{b n }

是以－5

为首项，1为公差的等差数列，选A.

2．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →

等于( )

A ．2 011

B ．－2 011

C ．0

D ．1

解析：选A 方法一：由已知S 21＝S 4 000，则a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝0，设数列{a n }的公差为d ，则3 979(a 22＋a 4 000)2

＝0，又a 22＋a 4 000＝2a 2 011，所以a 2 011＝0，

∴OP →·OQ →＝2 011＋a n ·a 2011＝2 011

方法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 21＝S 4 000，且等差数列前n 项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S 1＝S 4 020，则有a 1＝4 020a 1＋4 020×4 0192

d ，整理得a 2 011＝0，所

以OP →·OQ →＝2 011＋a n ·a 2 011＝2 011.

3．(2014·孝感高中调研)已知函数f (x )是R 上的单调递增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )

A ．恒为正数

B ．恒为负数

C ．恒为0

D ．可以为正数也可以为负数

解析：选A 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (－0)＝－f (0)得f (0)＝0，又f (x )是R 上的单调递增函数，所以当x ＞0时有f (x )＞f (0)＝0，当x ＜0时有f (x )＜f (0)＝0，因为a 3＞0，所以有f (a 3)＞0.因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 52＝a 3＞0从而a 1＋a 5＞0，所以a 1＞－a 5，

所以f (a 1)＞f (－a 5)．又f (－a 5)＝－f (a 5)，所以f (a 1)＋f (a 5)＞0，从而有f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)＝[f (a 1)＋f (a 5)]＋f (a 3)＞0.故选A.

4．(2014·西北工大附中月考)若有穷数列a 1，a 2，…，a n (n 是正整数)满足a 1＝a n ，a 2＝a n

－1

，…，a n ＝a 1，即a i ＝a n －i ＋1(i 是正整数，且1≤i ≤n )，就称该数列为“对称数列”．已知数

列{b n }是项数为7的“对称数列”，且b 1，b 2，b 3，b 4成等差数列，b 1＝2，b 4＝11，则数列{b n }的项为________．

解析：2,5,8,11,8,5,2 设数列b 1，b 2，b 3，b 4的公差为d ，则b 4＝b 1＋3d ＝2＋3d ＝11，解得d ＝3，所以数列{b n }的项为2,5,8,11,8,5,2.

5．(2014·湛江检测)已知各项为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 有a 2a n

＝S 2＋S n .

(1)求a 1的值；

(2)求数列{a n }的通项公式；

(3)若数列?

??log 88a 1a n

的前n 项和为T n ，求T n 的最大值．

解：(1)取n ＝1，a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，a 22＝2a 1＋2a 2，②

②－①得，a 2(a 2－a 1)＝a 2，a 2>0，∴a 2－a 1＝1，③ 由①③组成方程组解得，a 1＝1＋2或a 1＝1－ 2. ∵a n >0，∴a 1＝1－2不合题意，舍去．∴a 1＝1＋ 2. (2)由(1)可得a 2＝2＋2，

当n ≥2时，(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，

两式相减，得(2＋2)a n －(2＋2)a n －1＝a n ， ∴(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，∴a n ＝2a n －1(n ≥2)．

∴数列{a n }是以a 1＝1＋2为首项，公比q ＝2的等比数列．

∴a n ＝(1＋2)(2)n －

(3)设b n ＝log 8

8a 1a n

＝1－log 8(2)n －

1＝1－(n －1)log 8 2 ＝1－1

(n －1)．

∴数列{b n }为单调递减的等差数列，公差为－1

由b n ＝1－1

6(n －1)≥0，解得n ≤7，

∴b 1＞b 2>…>b 6>b 7＝0,0>b 8>b 9>…，

∴当n ＝6或n ＝7时，T n 有最大值．且最大值为T 6＝T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7

《等差数列及其前n项和》(解析版)

§6.2 等差数列及其前n 项和题组一思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ ) (5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( √ ) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( √ ) 题组二教材改编 2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34 答案 B 解析由已知可得??? ?? a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得??? a 1 ＝26 3， d ＝－4 3， ∴S 8＝8a 1＋8×7 2 d ＝32. 3．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180

解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 题组三易错自纠 4．一个等差数列的首项为1 25，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( ) A ．d >875 B ．d <325 C.8751，a 9≤1，即??? 1 25＋9d >1， 1 25＋8d ≤1，所以8750，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8 解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大． 6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面．答案 20 解析设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．所以4.90t ＋1 2t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.

《等差数列前n项和公式》教学设计53171

《等差数列的前n项和》教学设计一、设计理念让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．二、背景分析本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．三、学情分析 1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。 2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。 3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。四、教学目标 1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法； 2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题； 3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力； 4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；五、教学重点与难点

等差数列基础习题精选附详细答案

等差数列基础习题精选一．选择题（共26小题） 1．已知等差数列{a n}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（） A．B．1C．D．﹣1 2．已知数列{a n}的通项公式是a n=2n+5，则此数列是（） A．以7为首项，公差为2的等差数列B．以7为首项，公差为5的等差数列 C．以5为首项，公差为2的等差数列D．不是等差数列 3．在等差数列{a n}中，a1=13，a3=12，若a n=2，则n等于（） A．23 B．24 C．25 D．26 4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=6，a4=8，则公差d=（） A．一1 B．2C．3D．一2 5．两个数1与5的等差中项是（） A．1B．3C．2D． 6．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 7．（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 8．数列的首项为3，为等差数列且，若，，则=（） A．0B．8C．3D．11 9．已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（）A．25 B．24 C．20 D．19 10．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若满足a n=a n﹣1+2（n≥2），且S3=9，则a1=（） A．5B．3C．﹣1 D．1 11．（2005?黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（） A．a1+a8＞a4+a5B．a1+a8=a4+a5C．a1+a8＜a4+a5D．a1a8=a4a5 12．（2004?福建）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（） A．1B．﹣1 C．2D．

第2讲等差数列及其前n项和

第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析法一由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37

解析设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得?????a 1＝－4，d ＝3，因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________.

等差数列的前n项和学案

【学习目标】1．熟练掌握等差数列前n 项和的性质，并能灵活运用． 2．掌握等差数列前n 项和的最值问题． 3．理解a n 与S n 的关系，能根据S n 求a n . 【学法指导】1．任何一个数列{a n }与它的前n 项和S n 之间都有一个等量关系式，此公式为： a n ＝????? S 1 n ＝1，S n －S n －1 n≥2，题中已知一个数列的前n 项和，则可利用此公式求得此数列的通项公式，同时要注意此公式是一个分段的函数，所以在使用此公式求解时，要分类讨论． 2．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用． 3．等差数列的前n 项和与二次函数联系十分紧密，要辨析它们之间的关系，从更高境界处理等差数列的前n 项和问题．一．知识导学 1．前n 项和S n 与a n 之间的关系对任意数列{a n }，S n 是前n 项和，S n 与a n 的关系可以表示为a n ＝????? n ＝1， n≥2. 2．等差数列前n 项和公式：S n ＝＝ . 3．若等差数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝An 2＋Bn ＋C ，则A ＝_ __，B ＝，C ＝ . 4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________．二．探究与发现 [问题情境] 1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗如果确定了，那么如何求它的通项公式应注意一些什么问题 2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c(a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗 3．如果{a n }是一个等差数列，那么{|a n |}还是等差数列吗如果不再是等差数列，如何求{|a n |}的前n 项和

等差数列和前n项和习题与答案

第六章第二节 1．{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( ) A ．40 B ．200 C ．400 D ．20 解析：选C S 20－2S 10＝20a 1＋a 202－2×10a 1＋a 102 ＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d . ∴d ＝4.∴S 20－2S 10＝400.故选C. 2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2 2 ＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.1 2 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选C 因为S n ＝ n a 1＋a n 2 ，所以 S n n ＝a 1＋a n 2.由S 33－S 22＝1，得a 32－a 2 2 ＝1，即a 3－a 2＝2，所以数列{a n }的公差为2.故选C. 3．(2014·临川一中质检)已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为 a 1， b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设 c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于( ) A ．55 B ．70 C ．85 D ．100 解析：选C 由题知a 1＋b 1＝5，a 1，b 1∈N *.设c n ＝a b n (n ∈N *)，则数列{c n }的前10项和等于a b 1＋a b 2＋…＋a b 10＝a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9，a b 1＝a 1＋(b 1－1)＝4，∴a b 1＋a b 1＋1＋…＋a b 1＋9＝4＋5＋6＋…＋13＝85，选C. 4．(2014·中原名校联盟摸底考试)若数列{a n }通项为a n ＝an ，则“数列{a n }为递增数列”的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≥0 B ．a ＞1 C ．a ＞0 D ．a ＜0 解析：选B 数列{a n }为递增数列，则a ＞0，反之a ＞0，则数列{a n }为递增数列，a ＞0

等差数列及其前n项和

第五章第二节等差数列及其前n 项和课下练兵场一、选择题 1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( ) A.1 B.5 3 C.2 D.3 解析：∵S 3＝ 13() 2 a a +＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝ 31() 2 a a +＝2. 答案：C 2.已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝ ( ) A.138 B.135 C.95 D.23 解析：∵(a 3＋a 5)－(a 2＋a 4)＝2d ＝6，∴d ＝3，a 1＝－4， ∴S 10＝10a 1＋10(101)2 d ?-＝95. 答案：C 3.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋ c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b ＋c b ≠2. 答案：B

4.数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0且数列{ 1 1 n a +}是等差数列，则a 4＝ ( ) A.12 B.13 C.14 D.16 解析：设数列{ 11n a +}的公差为d ，由4d ＝611a +－211a +得d ＝16，∴411 a +＝1 2＋1＋ 2×16，解得a 4＝1 2. 答案：A 5.在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 ( ) A.24 B.48 C.60 D.84 解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60. 答案：C 6.在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最大的是 ( ) A . 1 1S a B .88S a C .99 S a D .1515S a 解析：由于S 15＝ 11515() 2 a a +＝15a 8＞0， S 16＝ 11615() 2 a a +＝8(a 8＋a 9)＜0，所以可得a 8＞0，a 9＜0. 这样 11S a ＞0，2 2S a ＞0，…，88S a ＞0，99S a ＜0，1010S a ＜0，…，1515S a ＜0，而S 1＜S 2＜…＜S 8，a 1＞a 2＞…＞a 8，所以在 11S a ，2 2S a ，…，1515S a 中最大的是88S a . 答案：B 二、填空题 7.在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1 a n ＋2 (n ∈N *)，则该数列的通项a n ＝ . 解析：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1 a n ，

等差数列前n项求和

2．3 等差数列的前n 项和一、教学目标 1、理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式、前n 项和。 2、体会等差数列与二次函数的关系。二、基础知识 1、数列前n 项和公式：一般地，称n a a a a ++++...321为数列}{n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n n a a a a S ++++= (321) 2、数列通项n a 与前n 项和n S 的关系当2≥n 时，有n n a a a a S ++++=...321；13211...--++++=n n a a a a S ，所以n a ＝____________；当n=1时，11s a =。总上可得n a ＝____________ 3、等差数列}{n a 的前n 项和的公式=n S ________________＝__________________ 4、若数列{}n a 的前n 项和公式为Bn An S n +=2（B A ,为常数），则数列{}n a 为。 5、在等差数列}{n a 中，n S ；n S 2－n S ；n S 3－n S 2；。。。仍成等差数列，公差为___________ 6、在等差数列}{n a 中：若项数为偶数2n 则=n S ________________；奇偶－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。若项数为奇数2n-1则=-1n S ________________；偶奇－s s ＝________________；＝偶奇 s s ________________。 7、若数列}{n a 与}{n b 均为等差数列，且前n 项和分别是n S 和n T ，则＝m m b a _____________。三、典例分析例1、已知数列{}n a 的前n 项和22+=n S n ，求此数列的通项公式。解析：32111=+==s a ① )2(12]2)1[(2221≥-=+--+=-=-n n n n s s a n n n ② 在②中，当n=1时，1112=-?与①中的1a 不相等

高中数学必修五第二章数列学案等差数列的前n项和(2)

§2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人：王浩审核人：马琦学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列

吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15，公差d ＝3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.

等差数列的前n项和练习含答案

等差数列的前n项和练习-含答案．项和等差数列的前n课时作业8分满分：100时间：45分钟

课堂训练) (2，S＝0，则n等于a1．已知{}为等差数列，a＝35，d＝－nn1B．34 A．3336 ． DC．35 D 【答案】＋naS＝n【解析】本题考查等差数列的前项和公式．由1n?1n－n?n －1??n36. ，可以求出n＝0d＝35n＋×(－2)＝22，则数列前24＝＋3(aa)＋2(a＋a＋a)．等差数列2{a}中，133710n5) 13项的和是( 26 ．A．13 B156 ．D52 C．

B 【答案】＋＋)2()＋a＋a＋a＝24?6a6a＝24?aa3(【解析】a ＋41013375410?＋a13?a?13?a＋a413×10131426. ＝＝＝＝?a＝4S1310222________. 50.＝则SS＝S．3等差数列的前n项和为，S20，＝30n201090 【答案】等差数列的片断数列和依次成等差数列．【解析】 S∴，S也成等差数列．－，－SSS2020101030S∴2(90. ()S－＝SS＋)S－S，解得＝301020301020． . S＝460，求S，4．等差数列{a}的前n项和为S，若S＝8428n20n12a 应用基本量法列出关于a和的方程组，解出d【分析】(1)11；d，进而求得S和28的一元二次函数且常n因为数列不是常数列，因此S 是关于(2)n

2，、b数项为零．设S＝anS＋bn，代入条件S＝84，＝460，可得a20n12 S；则可求28SdSddd??nn2是一个等差)，故(a－S(3)由＝n＋＋n(a－得??1n1nn2222??SSS282012. ＝＋2812＋，∴2×，可求得列，又2×20＝28281220 a}的公差为d，方法一：设【解析】{n?n?n －1S则. d＝na＋1n21112×?，84＋d＝a1212?由已知条件得： 19 ×20?，＝460＋20ad12??，＝－d11＝14，15a2a＋11解得整理得????4.＝d＋19d＝46，a21?－1?nn所以S－17n，2n15n ＋×4＝2＝－n2所以S－17×28＝1 092.

等差数列及其前n项和(普通高中)

课时跟踪检测（二十九）等差数列及其前n 项和 (一)普通高中适用作业 A 级——基础小题练熟练快 1．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144 D ．288 解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2， ∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32 ＝72. 法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14， ∴S 9＝9(a 1＋a 9)2 ＝72. 2．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( ) A ．20 B ．36 C ．24 D ．72 解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得????? 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得????? a 1＝0， d ＝1， ∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24. 3．(2018·西安质检)已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23 D ．24 解析：选C 由3a n ＋1＝3a n －2?a n ＋1－a n ＝－23?{a n }是等差数列，则a n ＝473－23 n .∵a k ·a k ＋1<0， ∴????473－23k ????453－23k <0，∴452

等差数列的前n项和练习题及答案解析

1．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( ) A ．360 B ．370 C ．380 D ．390 答案：C 2．已知a 1＝1，a 8＝6，则S 8等于( ) A ．25 B ．26 C ．27 D ．28 答案：D 3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________. 解析：由已知????? a 1＋5d ＝123a 1＋3d ＝12?????? a 1＝2，d ＝2.故a n ＝2n . 答案：2n 4．在等差数列{a n }中，已知a 5＝14，a 7＝20，求S 5. 解：d ＝a 7－a 57－5 ＝20－142＝3， a 1＝a 5－4d ＝14－12＝2，所以S 5＝5?a 1＋a 5?2＝5?2＋14?2 ＝40. 一、选择题 1．(2011年杭州质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 4＝( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 解析：选C.d ＝a 3－a 2＝2，a 1＝－1， S 4＝4a 1＋4×32 ×2＝8. 2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．24 B ．27 C ．29 D ．48 解析：选C.由已知????? 2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40. 解得????? a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29. 3．在等差数列{a n }中，S 10＝120，则a 2＋a 9＝( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48

等差数列及其前n项和练习题

第1讲等差数列及其前n 项和一、填空题 1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3 9＝1，则公差为________． 3．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 5．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________． 7．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N * )，且? ?????????a n ＋λ2n 为等差数列，则λ的值是________． 8．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 10．已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________. 二、解答题 11．已知等差数列{a n }的前三项为a －1,4,2a ，记前n 项和为S n . (1)设S k ＝2 550，求a 和k 的值； (2)设b n ＝S n n ，求b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1的值．

等差数列前n项和公式及性质

2.2 等差数列的前n项和第一课时等差数列前n项和公式及性质【选题明细表】基础达标 1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B ) (A)40 (B)42 (C)43 (D)45 解析:∵a1=2,a2+a3=13, ∴3d=13-4=9,∴d=3, a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B ) (A)28 (B)29 (C)30 (D)31

解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1, S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1, ∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B. 3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D ) (A)27 (B)36 (C)45 (D)54 解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6, ∴S9===9a5=54.故选D. 4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B ) (A)63 (B)45 (C)36 (D)27 解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列, ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B. 5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A ) (A)-2 (B)0 (C)1 (D)2 解析:由已知得2a n-=0, 又a n≠0,∴a n=2, ∴S2n-1===2(2n-1), ∴S2n-1-4n=-2.故选A.

等差数列前n项和公式》教学设计

《等差数列的前n项和公式》教学设计职业技术学校刘老师大纲分析：高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。教材分析：数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。学生分析：数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n项和公式是重点。获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。教学用具：ppt 整节课分为三个阶段：问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段问题呈现1：首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100) 紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。 200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时， 10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050 【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。问题呈现2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

等差数列前n项和练习题

等差数列前n 项和练习题一、填空题 1. 等差数列{a n }中，若a 6=a 3 +a 8 ，则S 9= 。 2. 等差数列{}n a 的前n 项和n n S n 32+=．则此数列的公差=d 。 3. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 。 4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。 5. 已知{}n a 为等差数列，2812a a +=，则5a = 。 6. 已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = ____________。 7. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d = 。 8. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d = 。 9. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246,30,S S ==则6S = 。 10. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知57684,2a a a a +=+=-，则当n S 取最大值时n 的值是。 11. 设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则 111213a a a ++= 。 12. 在等差数列{}n a 中，已知1234520a a a a a ++++=，那么3a 的值为。 13. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ，求=n a 。 14. 设等差数列的前项和为，若则。 15. 设等差数列的前项和为，若,则= 。二、计算题 1．已知等差数列{a n }中， a 1 ＝１，d=1，求该数列前10项和S 10 。 2．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝－12，a 4+a 6=－4，求S 20 。 3．等差数列{a n }中，S 10 = 100，求a 1+ a 10 的值。 4．已知等差数列{a n }中，a 3··+a 6+a 8··+a 11= 60 ，求S 13 。 {}n a n n S 535a a =9 5 S S ={}n a n n S 972S =249a a a ++

等差数列的前n项和公式推导及例题解析

等差数列的前n 项和·例题解析一、等差数列前n 项和公式推导：（1） Sn=a1+a2+......an-1+an 也可写成 Sn=an+an-1+......a2+a1 两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1) =n(a1+an) 所以Sn=[n （a1+an ）]/2 （公式一）（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d ，项数为n ，则 an=a1+(n-1)d 代入公式公式一得 Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）二、对于等差数列前n 项和公式的应用【例1】等差数列前10项的和为140，其中，项数为奇数的各项的和为125，求其第6项．解依题意，得 10a d =140a a a a a =5a 20d =125 1135791＋＋＋＋＋＋101012()-????? 解得a 1=113，d=－22． ∴ 其通项公式为 a n =113＋(n －1)·(－22)=－22n ＋135 ∴a 6=－22×6＋135＝3 说明本题上边给出的解法是先求出基本元素a 1、d ，

再求其他的．这种先求出基本元素，再用它们去构成其他元素的方法，是经常用到的一种方法．在本课中如果注意到a6=a1＋5d，也可以不必求出a n而直接去求，所列方程组化简后可得＋＋相减即得＋， a 2a9d=28 a4d=25 a5d=3 6 1 1 1 ? ? ? 即a6＝3．可见，在做题的时候，要注意运算的合理性．当然要做到这一点，必须以对知识的熟练掌握为前提．【例2】在两个等差数列2，5，8，…，197与2，7，12，…，197中，求它们相同项的和．解由已知，第一个数列的通项为a n＝3n－1；第二个数列的通项为b N=5N－3 若a m＝b N，则有3n－1＝5N－3 即＝＋ n N 21 3 () N- 若满足n为正整数，必须有N＝3k＋1(k为非负整数)．又2≤5N－3≤197，即1≤N≤40，所以 N＝1，4，7，…，40 n=1，6，11，…，66 ∴两数列相同项的和为 2＋17＋32＋…＋197=1393 【例3】选择题：实数a，b，5a，7，3b，…，c组成等差数列，且a＋b＋5a＋7＋3b＋…＋c＝2500，则a，b，c的值分别为

等差数列前n项和性质

精心整理 2.3.2等差数列的前n 项和的性质【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前n 项和公式，等差数列前n 项和的性质以及其与二次函数的关系； 2. 在学习等差数列前n 项和性质的同时感受数形结合的基本思想，会由等差数列前n 项和公式求其通项公式. 【自学园地】 1. 等差数列的前n 项和的性质：已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)若m ，n ，p ，q ，k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k . (2)a m （3）（4（5(6){pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2. 2.{}n a 为等差数列?其前n 项和2n S An Bn =+． 3.若数列{}n a 为等差数列{ }n S n ?成等差． 4.等差数列的单调性的应用：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，n 是不等式100 n n a a +≥??

（2）当10,0a d <>时，n S 有最大值，n 是不等式1 00n n a a +≤??>?的正整数解时取得．（II ）当数列中有某项值为0时，n 应有两解．110m m m S S a ++=?=． 5.知三求二问题：等差数列数列前n 项和公式中各含有4个元素：1,,,n n S n a a 与1,,,n S n a d ，已知其中3个量，即可求出另外1个；综合通项公式及前n 项和公式，已知其中3个量即可求出另外2个量．【典例精析】 1.（1（2（3（4，则项数n （5d ．（62.3.4（1（2）问12,,S 中哪个值最大？5中，a 1＝－60，6.7.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)n a n n = +，求n S 8.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(2) n a n n = +，求n S 【巩固练习】 1．一个有11项的的等差数列，奇数项之和是30，则它的中间项是（） A.8 B.7 C.6 D.5 2.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612 S S =（）

等差数列及其前n项和(讲义及答案)

n n m n k k +m k +2m 等差数列及其前 n 项和（讲义）知识点睛一、数列的概念与简单表示方法 1. 数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a 1 ，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…，简记为{a n }． 2. 数列的表示方法（1）列表法（2）图象法（3）公式法 ①通项公式 ②递推公式 3. 数列的性质（1）递增数列（2）递减数列（3）常数列（4）摆动数列二、等差数列 1. 等差数列的概念如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示．（1）等差中项（2）等差数列的通项公式： a n = a 1 + (n -1)d ． 2. 等差数列的性质（1）通项公式的推广： a = a + (n - m )d (m ，n ∈ N * ) ．（2）若{a }是等差数列，且k + l = m + n (k ，l ，m ，n ∈ N *) ，则a k +a l = a m + a n ．（3）若{a }是等差数列，则a ， a ， a ，… (k ，m ∈ N *) 组成公差为 md 的等差数列．（4）若{a n }是等差数列，则{λ a n + c }也是等差数列． 1

n n n （5）若{a }，{b }是等差数列，则{ p a + qb } (n ∈ N * ) 也是等 n n n n 差数列．三、等差数列的前 n 项和 1 . 我们称a 1 + a 2 + a 3 +… + a n 为数列{a n }的前 n 项和，用 S n 表示，即 S n = a 1 + a 2 + a 3 +… + a n ．等差数列{a n }的前 n 项和公式（1）已知a ， a ，n 时， S = n (a 1 + a n ) ． 1 n n 2 （2）已知a 1 ， n ，d 时， S n 推导过程：倒序相加法 2 . 等差数列各项和的性质 = na 1 + n (n -1) d ． 2 （1） S m ， S 2m ， S 3m 分别是{a n } 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则S m ， S 2m - S m ， S 3m - S 2m 成等差数列．（2）两个等差数列{a n }，{b n }的前 n 项和 S n ， T n 之间的关系为 a n b n = S 2n -1 ． T 2n -1 （3）数列{a }的前 n 项和S = An 2 + Bn ( A ，B ∈ R ) 是{a }为等差数列的等价条件．（4）等差数列{a n }前 n 项和的最值：当d > 0 时，{a n }为递增数列，且当a 1 < 0 时，前 n 项和S n 有最小值；当d < 0 时，{a n }为递减数列，且当a 1 > 0 时，前 n 项和S n 有最大值． 2