2011届高考数学第一轮复习精品试题：立体几何
2011届高考数学第一轮复习精品试题：立体几何
立体几何初步
§1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
重难点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征；柱、锥、台、球的结构特征的概括．
考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
经典例题：如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少．
当堂练习：
1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（）
A．六棱锥B．六棱台C．六棱柱D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体
2下列说法中，正确的是（）
A．棱柱的侧面可以是三角形B．由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
C．正方体的各条棱都相等D．棱柱的各条棱都相等
3．一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？”处的数字是（）
A．6 B． 3 C． 1 D．2
4．有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是（）
A．棱柱B．棱锥C．棱台D．可能是棱台, 也可能不是棱台, 但一定不是棱柱或棱锥
5．构成多面体的面最少是（）
A．三个B．四个C．五个D．六个
6．用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是（）
A．一个几何体是棱锥, 另一个几何体是棱台
B．一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台
C．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台
D．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台
7．甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法（）
A．甲正确乙不正确B．甲不正确乙正确C．甲正确乙正确D．不正确乙不正确
8．圆锥的侧面展开图是（）
A．三角形B．长方形C．D．形
9．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是（）
A．圆锥B．圆柱C．圆台D．上均不正确
10．下列说法中正确的是（）
A．半圆可以分割成若干个扇形B．面是八边形的棱柱共有8个面
C．直角梯形绕它的一条腰旋转一周形成的几何体是圆台D．截面是圆的几何体，不是圆柱，就是圆锥
11．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都可能
12．A、B为球面上相异两点, 则通过A、B可作球的大圆有（）
A．一个B．无穷多个C．零个D．一个或无穷多个
13．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是（）
A．B．C．D．
14．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 得到两个几何体, 一个是________，另一个是．
15. 如右图, 四面体P-ABC中, PA=PB=PC=2, ∠APB=∠BPC=∠APC=300. 一只蚂蚁
从A点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A点, 问蚂蚁经过的最短路程是_________．
16．如右图将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的
几何体是由简单几何体是___________________．
17．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的
侧面到相对顶点G的最短距离是_______________．
18．只有3个面的几何体能构成多面体吗？4面体的棱台吗？棱台至少几个面．
19．棱柱的特点是：(1)两个底面是全等的多边形，(2)多边形的对应边互相平行，(3)棱柱的侧面都是平行四边形．
反过来，若一个几何体，具备上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定
义吗？
20．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？
21．(1)圆柱、圆锥、圆台可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形旋转一周而形成的曲面围成的几何体，三个图形之间的什么联系？
(2)一个含有300的直角三角板绕其一条边旋转一周所得几何体是圆锥吗？如果以底边上的高所在直线为轴旋转1800得到什么几何体？旋转3600又如何？
第1章立体几何初步
§1.1.2 中心投影与平行投影以及直观图的画法
重难点：理解中心投影、平行投影的概念，掌握三视图的画法规则及能画空间几何体的三视图并能根据三视图判断空间几何体的形状和结构，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积公式的推理过程．
考纲要求：①能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图；
②会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
③会画某些建筑物的三视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）；
④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）．
经典例题：右图是一个多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）这个几何体是什么体？
（2）如果面A 在几何体的底部，那么哪一个面会在上面？
（3）如果面F 在前面，从左面看是面B ，那么哪一个面会在上面？ （4）从右边看是面C ，面D 在后面，那么哪一个面会在上面？
当堂练习：
1．下列投影是中心投影的是（ ）
A ． 三视图
B ． 人的视觉
C ． 斜二测画法
D ．. 人在中午太阳光下的投影
2．下列投影是平行投影的是（ ）
A ． 俯视图
B ． 路灯底下一个变长的身影
C ． 将书法家的真迹用电灯光投影到墙壁上
D ． 以一只白炽灯为光源的皮影
3．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体可能是（ ） A ． 圆柱 B. 三棱柱 C. 圆锥 D.球体 4．下列几何体中，主视图、左视图、俯视图相同的几何体是（ ）
A ． 球和圆柱
B ． 圆柱和圆锥
C ． 正方体的圆柱
D ． 球和正方体 5．一个含的圆柱、圆锥、圆台和球的简单组合体的三视图中，一定含有（ ） A ． 四边形 B ． 三角形 C ． 圆 D ．椭圆 6．如果用
表示一个立方体，用
表示两个立方体叠加，用
表示三个立方体叠加，那
么右图中有7个立方体叠成的几何体，从主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段（ ）
A ．平行且相等
B ． 平行但不相等
C ．. 相等但不平行
D ． 既不平行也不相等
8．下列说法中正确的是（ ）
A ． 互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B ． 梯形的直观图可能是平行四边形
C ． 矩形的直观图可能是梯形
D ． 正方形的直观图可能是平行四边形 9．如右图中“斜二测”直观图所示的平面图形是（ ）
A ． 直角梯形
B ．等腰梯形
C ． 不可能是梯形
D ．平行四边形
10．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ）
A ． 3
B ．
2
2
3 C ． 6 D ．. 3
2
11．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积是原三角形面积的（ ）
A ．21
倍 B ．2倍 C ．
2
2倍 D ．
2
倍
12．如右图，直观图所表示的平面图形是（ ）
A ． 正三角形
B ． 锐角三角形
C ． 钝角三角形
D ． 直角三角形 13．如右图，用斜二测画法作?ABC 水平放置的直观图形得?A1B1C1，其中A1B1=B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在?ABC 中，下列四个结论中正确的是（ ） A ．AB=BC=AC B ． AD ⊥BC C ． AC>AD>AB>BC D ． AC>AD>AB=BC
14．主视图与左视图的高要保持______，主视图与俯视图的长应_________， 俯视图与左视图的宽度应_________．
15．如果一个几何体的视图之一是三角形, 那么这个几何体可能有 ___________________(写出两个几何体即可)．
16．一个水平放置的正方形的面积是4, 按斜二测画法所得的直观图是一个四边形, 这个四边形的面积是________________．
17．斜二测画法所得的直观图的多边形面积为a , 那么原图多边形面积是_____________． 18．如图是由小立方块描成几何体同的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出它的主视图和左视图．
19．画出如图的三视图(单位:mm)．
20．已知斜二测画法得得的直观图?A/B/C/是正三角形,画出原三角形的图形．
21．如下图, 如果把直角坐标系放在水平平面内, 用斜二测画法, 如何可以找到坐标为(),b a 的点P 在直观图中的位置P/ ?
第1章 立体几何初步 §1.2点、线、面之间的位置关系
考纲要求：①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，这条直线上所有的点在此平面内． ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定．
理解以下判定定理．
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行． ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．
◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直． ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 理解以下性质定理，并能够证明． ◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．
◆垂直于同一个平面的两条直线平行．
◆如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线于另一个平面垂直． ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
§1.2.1 平面的基本性质
重难点：理解平面的概念及表示，掌握平面的基本性质并注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言．
经典例题： 如图，设E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1 所在棱上的中点，求证：E ，F ，G ，H ，P ，Q 共面.
当堂练习： 1．下面给出四个命题： ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是（ ）
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．3
2．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ）
A ．N a α∈∈
B ．N a α∈?
C ．N a α??
D ．N a α?∈ 3． 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．1或4
D ． 无法确定 4． 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）
A ． 四点中必有三点共线
B ． 四点中必有三点不共线
C ．AB ，BC ，C
D ，DA 四条直线中总有两条平行 D ． 直线AB 与CD 必相交
5． 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）
A ． 4或6或7个部分
B ． 4或6或7或8个部分
C ． 4或7或8个部分
D ． 6或7或8个部分
6．下列说法正确的是（ ）
①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α?, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.
A ． ①②③
B ． ②③④
C ． ③④
D ． ②③
7．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ） A ． 1 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．1或 4 8．如果,
,,,B b A a b a
=?=??? αα那么下列关系成立的是（ ）
A ．α?
B ．α?
C ．A =?α
D ．B =?α 9．空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为（ ）
A ．7个
B ．6个
C ． 5个
D ．4个 10．两个平面重合的条件是它们的公共部分有（ ）
A ．两个公共点
B ．三个公共点
C ．四个公共点
D ．两条平行直线 11．一条直线和直线外的三点所能确定的平面的个数是（ ）
A ． 1或3个
B ．1或4个
C ．1个、3个或4个
D ． 1个、2个或4个
12．三条直线两两相交，可以确定平面的个数是（ ）
A ．1个
B ．1个或2个
C ．1个或3个
D ．3个 13．空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取
E 、
F 、
G 、
H 四点，如果EF ?GH=P ，则点P （ ）
A ．一定在直线BD 上
B ．一定在直线A
C 上 C ．在直线AC 或B
D 上 D ．不在直线AC 上也不在直线BD 上 14．设平面α与平面
β
交于直线 , 直线α?a , 直线β?b ,M
b
a =?, 则M_______ ．
15．直线AB、ADα
?，直线CB、CDβ
?，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线HE?直线FG=M，则点M必在直线___________上．
16．如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别
为AA1、C1D1的中点，过D、M、N三点的平面与直线A1B1交于
点P，则线段PB1的长为_______________．
17．如图, 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、
C1的平面交于点M，则BM：MD1=________________．(16题) (17题)
18．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O．求证：B、D、O三点共线．
19．证明梯形是平面图形．
20．已知: 直线c
b
a||
||, 且直线 与a, b, c都相交．求证: 直线 ,,,c
b
a共面．
21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 直线A1C交平面ABC1D1于点M , 试作出点M的位置．
第1章立体几何初步
§1.2.2 空间两直线的位置关系
重难点：理解异面直线的概念，能计算异面直线所成角；掌握公理4及等角定理．
经典例题：如图，直线a,b是异面直线，A、B、C为直线a上三点,D、E、F是直线b上三点，A'、B'、
C'、D'、E'分别为AD、DB、BE、EC、CF的中点．
求证：（1）'''
A B C
∠='''
C D E
∠；
（2）A'、B'、C'、D'、E'共面．
当堂练习：
1．若a ,b是异面直线, b, c是异面直线, 则a ,c的位置关系是（）
A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面
2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）
A．异面B．相交C．平行D．异面或相交
3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（）
A．3条B．4条C．6条D．8条4．已知a ，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
5．下面命题中，正确结论有（）
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列命题中正确命题的个数是（）
两条直线和第三条直线等角，则这两条直线平行；
平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角不变；
过空间四边形ABCD的顶点A引CD的平行线段AE, 则∠BAE是异面直线AB与CD所成的角;
④四边相等, 且四个角也相等的四边形是正方形.
A．0B．1C．2D． 3
=c，则直线c（）
7．已知异面直线a,b分别在,αβ内，面αβ
A．一定与a,b中的两条都相交B．至少与a,b中的一条都相交
C．至多与a,b中的一条都相交D．至少与a,b中的一条都平行
8．两条异面直线所成的角指的是（）
①两条相交直线所成的角; ②过空间中任一点与两条异面直线分别平行的两条相交直线所成的锐角或直角; ③过其中一条上的一点作与另一条平行的直线, 这两条相交直线所成的锐角或直角; ④两条直线既不平行又不相交, 无法成角．
A．①②B．②③C．③④D．①④9．空间四边形ABCD中, AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R , 且PQ=2 , QR=5, PR=3 ,那么异面直线AC和BD所成的角是（）
A．900 B．600 C．450 D．300 10．直线a与直线b、c所成的角都相等, 则b、c的位置关系是（）
A．平行B．相交C．异面D．以上都可能11．空间四边形ABCD的两条对角线AC和BD的长分别为6和4，它们所成的角为900，则四边形两组对边中点的距离等于（）
A．B．5C．5 D．以上都不对
12．如图，ABCD —A1B1C1D1是正方体，E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是所在棱的中点， 则下列结论正确的是（ ）
A ．GH 和MN 是平行直线；GH 和EF 是相交直线
B ．GH 和MN 是平行直线；MN 和EF 是相交直线
C ．GH 和MN 是相交直线；GH 和EF 是异面直线
D ．GH 和EF 是异面直线；MN 和EF 也是异面直线 13．点A 是等边三角形BCD 所在平面外一点, AB=AC=AD=BC=a,
E 、
F 分别在AB 、CD 上，且
)
0(>==λλFD
CF EB
AE ，设λλβαλ+=)(f ，λα表示EF 与AC 所成的角，λβ表示EF 与BD 所成
的角，则（ ）
)
(λf 在),0(+∞上是增函数 B ． )(λf 在),0(+∞上是增函数
C ． )(λf 在)1,0(上是增函数，在),1(+∞上是减函数
D ． )(λf 在),0(+∞上是常数 14．直线a 、b 不在平面α内，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是_______________________．
15．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别为AA1、CC1、C1D1、D1A1的中点，则四边形EFGH 的形状是___________________．
16
．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=
3, BD=2
, AC=
2
, 且AD
BC
⊥, 则异面直线AC 和
BD 所成的角为__________________．
17．已知a ,b 是一对异面直线，且a ,b 成700角, 则在过P 点的直线中与a ,b 所成的角都为700的直线有____________条．
18．已知AC 的长为定值，D ?平面ABC ，点M 、N 分别是?DAB 和?DBC 的重心． 求证: 无论B 、D 如何变换位置, 线段MN 的长必为定值．
19．M 、N 分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、B1C1的中点，(1)求MN 与AD 所成的角；(2)求MN 与CD 1所成的角．
20．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm,BD=14cm ，M ，N 分别是AB ，CD 的中点，MN=73cm ，
求异面直线AC 与BD 所成的角．
21．在共点O 的三条不共面直线a 、b 、c 上，在点O 的同侧分别取点A 的A1、B 的B1、C
A 1
和C1，使得OC
OC OA OA OB OB OA
OA 11
1
1
,==.
求证: ABC ?∽?A1B1C1 ．
第1章 立体几何初步
§1.2.3 直线与平面的位置关系
重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．
经典例题：直角?ABC 所在平面外一点S ，且SA=SB=SC. ⑴求证：点S 与斜边中点D 的 连线SD ⊥面ABC ； ⑵若直角边BA=BC ，求证：BD ⊥面SAC ．
当堂练习：
1．下面命题正确的是 （ ）
A ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面没有公共点
B ．若直线与平面不相交，则这条直线与这个平面内的任何一条直线没有公共点
C ．若一条直线与一个平面有公共点，直线与这相交
D ．直线在平面外，则直线与平面相交或平行
2．直线b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b||α的是（ ） A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交 3．下列命题正确的个数是（ ）
①若直线 上有无数个点不在平面α内, 则α|| ; ②若直线 与平面α平行, 则
与平面
α内有任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 与平面α平行, 则 与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
A ．0个
B ． 1个
C ． 2个
D ．3个 4．下无命题中正确的是（ ）
①过一点, 一定存在和两条异面直线都平行的平面; ②垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行; ③若两条直线没有公共点, 则过其中一条直线一定有一个平面与另一条直线平行.
A ． ①
B ． ③
C ． ①③
D ． ①②③ 5．直线a,b 是异面直线，A 是不在a,b 上的点，则下列结论成立的是（ ）
A ． 过A 有且只有一个平面平行于a ，b
B ． 过A 至少有一个平面平行于a ，b
C ． 过A 有无数个平面平行于a ，b
D ． 过A 且平行于a ，b 的平面可能不存在
6． 直线a,b 是异面直线，则下列结论成立的是（ ） A ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一个平面与a ，b 平行 B ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 相交 C ． 过不在a ，b 上的任意一点，可作一条直线与a ，b 都平行 D ． 过a 可以并且只可以作一个平面与b 平行 7．下面条件中, 能判定直线α
平面⊥ 的一个是（ ）
A ．
与平面α内的两条直线垂直 B ．
与平面α内的无数条直线垂直
C ． 与平面α内的某一条直线垂直
D ． 与平面α内的任意一条直线垂直 8．空间四边形ABCD 中, AC=AD, BC=BD, 则AB 与CD 所成的角为（ ） A ． 300 B ． 450 C ． 600 D ． 900 9．如果直线 与平面α不垂直, 那么在平面α内（ ）
A ． 不存在与 垂直的直线
B ． 存在一条与 垂直的直线
C ． 存在无数条与 垂直的直线
D ． 任意一条都与 垂直
10．定点P 不在?ABC 所在平面内, 过P 作平面α, 使?ABC 的三个顶点到平面α的距离相等, 这样的平面共有（ ）
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
11．?ABC 所在平面外一点P , 分别连结PA 、PB 、PC, 则这四个三角形中直角三角形最多有（ ）
A ． 4个
B ． 3个
C ． 2个
D ． 1个 12．下列四个命题：①过平面外一点存在无数条直线和这个平面垂直；②若一条直线和平面内的无数多条直线垂直，则这条直线和平面垂直；③仅当一条直线和平面内两条相交直线垂直且过交点时这条直线才和平面垂直；④若一条直线平行于一个平面，则和这条直线垂直的直线必和这个平面垂直. 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
13．如图，在正方形SG1G2G3中，E ，F 分别是G1G2，G2G3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于
点G ，这样，下列五个结论：（1）SG ⊥平面EFG ；（2）SD ⊥平面EFG ；（3）GF ⊥平面SEF ；（4）EF ⊥平面GSD ；（5）GD ⊥平面SEF. 正确的是（ ） A ．（1）和（3） B ．（2）和（5）
C ．（1）和（4）
D ．（2）和（4）
14．若直线a 与平面α内的无数条直线平行, 则a 与α的关系为_____________．
15．在空间四边形ABCD 中, AD
N AB M ∈∈,,若
A M
A N M B
N D
=, 则MN 与平面BDC 的位置关系
是__________________．
D S
G 2
G 3
G 1
F
E
G
M
B
F
N
D
A
E
D E
M A
B
C
N
P
B
H C
D
A
F E
G
16．?ABC 的三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2cm 、3cm 、4cm ,且它们在平面α的同一侧, 则?ABC 的重心到平面α的距离为________________．
17．若空间一点P 到两两垂直的射线OA 、OB 、OC 的距离分别为a 、b 、c ，则OP 的值为______________．
18．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是ACD ABC ??和的重心， 求证：（1）BD||平面CMN ；（2）MN||平面ABD ．
19．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形， (1)求证：CD||平面EFGH ； (2)求异面直线AB ，CD 所成的角．
20．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN ：NB=CP ：PD. 求证：（1）AC||平面MNP ，BD||平面MNP ； （2）平面MNP 与平面ACD 的交线||AC ．
21． 如图O 是正方体下底面ABCD 中心，B1H ⊥D1O ，H 为垂足． 求证：B1H ⊥平面AD1C ．
第1章 立体几何初步 §1.2.4 平面与平面的位置关系
重难点：了解直线与平面的位置关系，在判定和证明直线与平面的位置关系时，除了能熟练运用判定定理和性质定理外，还要充分利用定义；线面关系的判定和证明，要注意线线关系、线面关系的转化．
经典例题：如图,在四面体S-ABC 中, SA ⊥底面ABC,AB ⊥BC ．DE 垂直平分SC, 且分别交AC 、SC 于D 、E. 又SA ＝AB,SB ＝BC.求以BD 为棱, 以BDE 与BDC 为面的二面角的度数．
A
1
B
A C
当堂练习：
1．下列命题中正确的命题是（ ）
①平行于同一直线的两平面平行; ②平行于同一平面的两平面平行;
③垂直于同一直线的两平面平行; ④与同一直线成等角的两平面平行.
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．②和③和④ 2． 设直线 ,m,平面,αβ,下列条件能得出||αβ的是（ ） A ．,m αα
?? ,且||,||m ββ B ．
,m αα
?? ,且||m
C ．
,m αβ
⊥⊥ ,且||m D ． ||,||m αβ ,且||m
3． 命题：①与三角形两边平行的平面平行于是三角形的第三边; ②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边；③与三角形三顶点等距离的平面平行这三角形所在平面． 其中假命题的个数为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 4．已知a,b 是异面直线，且a ⊥平面α，b ⊥平面
β
，则α与
β
的关系是（ ）
A ． 相交
B ． 重合
C ． 平行
D ． 不能确定 5．下列四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行; ④如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面，则这两个平面平行. 其中正确命题是（ ）
A ． ①、②
B ． ②、④
C ． ①、③
D ． ②、③ 6． 设平面βα||，A βα∈∈B ,，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在βα,内运动时，那么所有的动点C （ ）
A ． 不共面
B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面
C ． 当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D ． 不论A 、B 如何移动，都共面 7．
,αβ
是两个相交平面，a ,b αβ??,a 与b 之间的距离为d1，α与β
之间的距离为d2，
则（ ） A ．d1=d2 B ．d1>d2 C ．d1 8．下列命题正确的是（ ） A ． 过平面外一点作与这个平面垂直的平面是唯一的 B ． 过直线外一点作这条直线的垂线是唯一的 C ． 过平面外的一条斜线作与这个平面垂直的平面是唯一的 D ． 过直线外一点作与这条直线平行的平面是唯一的 9．对于直线m 、n 和平面α、β, 下列能判断α⊥β的一个条件是（ ） A ．,||,||m n m n αβ⊥ B ． ,,m n m n αβα ⊥?=? A 1 C ．||,,m n n m βα⊥? D ．||,,m n m n αβ⊥⊥ 10．已知直线l ⊥平面α,直线m ?平面β,有下面四个命题: ①m l ⊥?βα// ②m l //?⊥βα③βα⊥?m l //④βα//?⊥m l 其中正确的两个命题是（ ） A ．①与② B ．③与④ C ．②与④ D ．①与③ 11．设α β -- 是直二面角，直线,,a b αβ??且a 不与 垂直，b 不与 垂直，则（ ） A ． a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ． a 与b 可能垂直也可能平行 C ． a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ． a 与b 不可能垂直，也不可能平行 12．如果直线 、m 与平面α、β、γ满足： =β∩γ, //α,m ?α和m ⊥γ那么必有（ ） A ．α⊥γ且 ⊥m B ．α⊥γ且m ∥β C ． m ∥β且 ⊥m D ．α∥β且α⊥γ 13．如图,正方体ABCD —A1B1C1D1中，点P 在侧面BCC1B1及其边界 上运动，并且总是保持AP ⊥BD1，则动点P 的轨迹是（ ） A ．线段B1C B ．线段BC1 C ．BB1中点与CC1中点连成的线段 D ．BC 中点与B1C1中点连成的线段 14．平面 β α平面||, ?ABC 和?A/B/C/分别在平面α和平面β内, 若对应顶点的连线共点, 则这两个三角形_______________． 15．夹在两个平行平面间的两条线段AB 、CD 交于点O ，已知AO=4，BO=2，CD=9，则线段CO 、DO 的长分别为_________________． 16．把直角三角形ABC 沿斜边上的高CD 折成直二面角A-CD-B 后, 互相垂直的平面有______对． 17． γ βα,,是两两垂直的三个平面, 它们交于点O, 空间一点P 到平面 ,,αβγ 的距离分别是 2cm , 3cm , 6cm , 则点P 到点O 的距离为__________________． 18．已知a 和b 是两条异面直线，求证过a 而平行于b 的平面α必与过b 而平行于a 的平面β 平行． 19． 如图，平面||αβ，线段AB 分别交,αβ于M 、N ，线段AD 分别交 ,αβ 于C 、D ，线段BF 分别交 ,αβ 于F 、E ，若AM=9，MN=11，NB=15，S FMC ?=78．求 ?END 的面积． α β F M C E D N A 20．如图,AB 是圆O 的直径,PA 垂直于圆O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点． 求证:平面PAC 垂直于平面PBC ． 21．如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线也和第三个平面垂直． 第1章 立体几何初步 §1.3柱、锥、台、球的表面积和体积 考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 经典例题：在三棱柱ABC —DEF 中，已知AD 到面BCFE 的距离为h ，平行四边形BCFE 的面积为S ． 求：三棱柱的体积V ． 当堂练习： 1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C1，绳子的最短长度是（ ） A ． +1 B ． C D 2．若球的半径为R ，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ） A ．8R2 B ． 9R2 C ．10R2 D ．12R2 3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ） A ． 10cm B ． 5 2 cm C ． 5 1 2 +π cm D cm 4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ） A ．2倍 B ． 4倍 C ． 8倍 D ．16倍 5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．154 倍 D ．143 倍 6．正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A ．32 a π B ．22 a π C ． D ． 7．两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为（ ） A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 8．已知正方体的棱长为a ，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A ．21 a3 B ．32 a3 C ．65 a3 D ．1211 a3 9.正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥，使B ，C ，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ） A ．81 B ．241 C ．24 2 D ． 48 5 10.棱锥V-ABC 的中截面是?A1B1C1，则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC 的体积之比是（ ） A ．1：2 B ． 1：4 C ．1：6 D ．1：8 11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ） A ．1：32 B ．1：24 C ．1：64 D ． 1：256 12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ） A ．2：3 B ．4：9 C ． : D 13．棱长为a 的正方体内有一个球，与这个正方体的12条棱都相切，则这个球的体积应为（ ） A ． 4a π 3 B ． 3 4 a π C ． 3 3 a D ． 3 4 a 14．半径为R 的球的外切圆柱的表面积是______________． 15．E 是边长为2的正方形ABCD 边AD 的中点，将图形沿EB 、EC 折成三棱锥A-BCE （A ，D 重合）， 则此三棱锥的体积为____________． 16.直三棱柱C B A ABC '''-的体积是V ，D 、E 分别在A A '、B B '上，线段DE 经过矩形A B AB ' '的中心，则四棱锥C-ABED 的体积是________________． 17．一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm, 将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周,所得旋转体的体积是________________． 18．圆锥的底面半径为5cm, 高为12cm, 当它的内接圆柱的底面半径为何值时, 圆锥的内接圆柱的全面积有最大值?最大值是多少? 19．A 、B 、C 是球面上三点，已知弦AB=18cm ，BC=24cm ，AC=30cm ，平面ABC 与球心O 的距离恰好为球半径的一半，求球的面积． 20．圆锥轴截面为顶角等于1200的等腰三角形, 且过顶点的最大截面面积为8, 求这圆锥的全面积S 和体积V ． 21．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a 的正方体， E 、F 分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积． 第1章 立体几何初步单元测试 1．1l ∥2l ，a ，b 与1l ，2 l 都垂直，则a ，b 的关系是 A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．平行、相交、异面都有可能 2．异面直线a ，b ，a ⊥b ，c 与a 成300，则c 与b 成角范围是 A ．[600，900] B ．[300，900] C ．[600，1200] D ．[300，1200] 3．正方体AC1中， E 、 F 分别是AB 、BB1的中点，则A1E 与C1F 所成的角的余弦值是 A ．1 2 B ．2 C ．25 D ． 5 4．在正△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B —AD —C 后，BC=21 AB ，这时二面角B —AD —C 大小为 A ．600 B ．900 C ．450 D ．1200 5．一个山坡面与水平面成600的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB ，甲沿山坡自P 朝垂直于AB 的方向走30m ，同时乙沿水平面自Q 朝垂直于AB 的方向走30m ，P 、Q 都是AB 上的点，若PQ=10m ，这时甲、乙2个人之间的距离为 A ． B ． C ． D ． 6．E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 的中点，EF 交BD 于O ，以EF 为棱将正方形 折成直二面角如图，则∠BOD= A ．1350 B ．1200 C ．1500 D ．900 7．三棱锥V —ABC 中，VA=BC ，VB=AC ，VC=AB ，侧面与底面ABC 所成的二面角分别为α，β，γ（都是锐角），则cos α+cos β+cos γ等于 A ．1 B ．2 C ．1 2 D ．3 2 8．正n 棱锥侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，tan α∶tan β等于 A ． n sin π B ．n cos π C ．n 2sin π D ．n 2cos π 9．一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数是 A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 10．三棱锥P —ABC 中，3条侧棱两两垂直，PA=a ，PB=b ，PC=c ，△ABC 的面积为S ，则P 到平面ABC 的距离为 A ． abc S B ． 2abc S C ． 3abc S D ． 6abc S 11．三棱柱ABC —A1B1C1的体积为V ，P 、Q 分别为AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是 A ．12V B ．13V C ．14V D ．23V 12．多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF=23 ，EF 与面AC 的距离为2，则该多面体的体积为 A ．9 2 B ．5 C ．6 D ． 152 13．已知异面直线a 与b 所成的角是500，空间有一定点P ，则过点P 与a ，b 所成的角都是300的直线有________条． 14．线段AB 的端点到平面α的距离分别为6cm 和2cm ，AB 在α上的射影A ’B’的长为3cm ，则线段AB 的长为__________． 15．正n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是____________． 16．如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形，那么它的面数是__________． 17．在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E 、F 、G 、H 分别为棱BC 、CC1、C1D1、AA1的中点，O 为AC 与BD 的交点． 求证：（1）EG ∥平面BB1D1D ；（2）平面BDF ∥平面B1D1H ；（3）A1O ⊥平面BDF ；（4）平面BDF ⊥平面AA1C ． 18．如图，三棱锥D—ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形， ∠ABC=∠BAD=900，其腰BC=a，且二面角D—AB—C=600． ⑴求异面直线DA与BC所成的角；⑵求异面直线BD与AC所成的角； ⑶求D到BC的距离；⑷求异面直线BD与AC的距离． 19．如图，在600的二面角α—CD—β中，AC?α，BD?β，且ACD=450，tg∠BDC=2，CD=a，AC=2x，BD=5x，当x为何值时，A、B的距离最小？并求此距离． 20．如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成450角，求此三棱柱的侧面积和体积． 高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③ 过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（ ）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的 面积为（ ）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（ ） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动 ，点Q 在CD 上移 动，点P 到点Q 的最短距离是（ ） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（ ） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（ ） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所 在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（ ） 空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 . .. . 2014 高考及模拟立体几何带答案 一．解答题（共17小题） 1．（2014?）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC 的中点． （Ⅰ）求证：AP∥平面BEF； （Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC． 2．（2014?）在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形 （Ⅰ）若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； （Ⅱ）设D、E分别是线段BC、CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 3．（2014?）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2． （Ⅰ）求证：BE∥平面PAD； （Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD； （Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°． 4．（2014?）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC． 5．（2014?一模）如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE； （2）求证：平面PCE⊥平面PCD； （3）求四面体PEFC的体积． 6．（2014?南海区模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求证：OE∥平面PDC； （Ⅲ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值． 7．（2014?天津模拟）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2． （1）求证：B1B∥平面D1AC； （2）求证：平面D1AC⊥平面B1BDD1． 新课标全国卷 文科数学总结 立 体 几 何 一、选择题 【2017，6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） 【2016，7】如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂 直的半径．若该几何体的体积是 28π 3 ，则它的表面积是（ ） A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π 【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点 A ，α∥平面11C B D ，α平面ABCD m =， α 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ） A ． 2 B ．2 C ．3 D ．13 【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书 中有如下问 题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1．62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛 【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的 正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【2015，11】 【2014，8】 【2013，11】 【2012，7】 【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A ．三棱锥 B ．三棱柱 C ．四棱锥 D ．四棱柱 【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 2020高考数学之立体几何解答題23題 一．解答题（共23小题） 1．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点． （Ⅰ）求证：AN∥平面MEC； （Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由． 2．如图，三棱柱中ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D为棱AC的中点，侧面A1ACC1为边长为2 的菱形，AC⊥CB，BC=1． （Ⅰ）证明：AC1⊥平面A1BC； （Ⅱ）求二面角B﹣A1C﹣B1的大小． 3．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°． （I）求点P到平面ABCD的距离， （II）求面APB与面CPB所成二面角的大小． 4．在正三棱锥P﹣ABC中，底面正△ABC的中心为O，D是PA的中点，PO=AB=2，求PB与平面BDC所成角的正弦值． 5．如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知． （1）求证：B1C1⊥平面OAH； （2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小． 6．如图，在三棱锥A﹣BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形． （1）求证：AD⊥BC． （2）求二面角B﹣AC﹣D的大小． （3）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由． … 数学立体几何练习题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．如图，在正方体－A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为 A 1 B 和上 的点，A 1M ＝＝，则与平面1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直 D ．不能确定 2．将正方形沿对角线折起，使平面⊥平面，E 是中点，则AED ∠的大小为（ ） A.45 B.30 C.60 D.90 ] 3．，，是从P 引出的三条射线，每两条的夹角都是60o，则直线 与平面所成的角的余弦值为（ ） A ．12 B 。 3 C 。 3 D 。 6 4．正方体—A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是1与1的中点，则直线与D 1F 所成角的余弦值是 A ．15 B 。13 C 。12 D 。 3 5． 在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面的中心，E 、 F 分别是1CC 、的中点，那么异面直线和1FD 所成的角的余弦值等于（ ） A ． 5 10 B ．32 C ． 5 5 D ． 5 15 6．在正三棱柱1B 1C 1中，若2，A A 1=1，则点A 到平面A 1的距离为（ ） A ． 4 3 B ． 2 3 C ． 4 33 D ．3 ： 7．在正三棱柱1B 1C 1中，若1,则1与C 1B 所成的角的大小为 （ ） o B. 90o o D. 75o 8．设E ，F 是正方体1的棱和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对 角线中，与截面A 1成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9.在正方体－A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱1和1的中点，则 〈CM ，1D N 〉的值为. 10．如图，正方体的棱长为1，C 、D 分别是两条棱的中点， A 、B 、M 是顶点， 那么点M 到截面的距离是 . 11．正四棱锥的所有棱长都相等，E 为中点，则直线与截面所成的角为 ． 12．已知正三棱柱1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则 直线与平面B 1所成角的正弦值为 . ： 13．已知边长为的正三角形中，E 、F 分别为和的中点，⊥面， 且2，设平面α过且与平行，则与平面α间的距离 A B | D C A B C D E F 2008-2018江苏高考数学立体几何真题汇编 （2008年第16题） 在四面体ABCD 中， CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点， 求证：（1）直线EF ∥平面ACD （2）平面EFC ⊥平面BCD 证明：（1） ??? E ， F 分别为AB ，BD 的中点?EF ∥AD 且AD ?平面ACD ，EF ?平面ACD ?直线EF ∥平面ACD （2）? ?????CB ＝CD F 是BD 的中点 ? CF ⊥BD ? ?? AD ⊥BD EF ∥AD ? EF ⊥BD ?直线BD ⊥平面EFC 又BD ?平面BCD ， 所以平面EFC ⊥平面BCD B C? （2009年第16题） 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C . 求证：（1）EF∥平面ABC （2）平面A1FD⊥平面BB1C1C 证明：（1）由E，F分别是A1B，A1C的中点知EF∥BC， 因为EF?平面ABC，BC?平面ABC，所以EF∥平面ABC （2）由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1， 又A1D?平面A1B1C1，故CC1⊥A1D， 又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，CC1、B1C?平面BB1C1C 故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 故平面A1FD⊥平面BB1C1C P A B C D D P A B C F E （2010年第16题） 如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ， ∠BCD ＝90°． （1）求证：PC ⊥BC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离． 证明：（1）因为PD ⊥平面ABCD ， BC ?平面ABCD ，所以PD ⊥BC ． 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ， 又PD ∩DC ＝D ，PD 、DC ?平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ． 因为PC ?平面PCD ，故PC ⊥BC ． 解：（2）（方法一）分别取AB 、PC 的中点E 、F ，连DE 、DF ，则： 易证DE ∥CB ，DE ∥平面PBC ，点D 、E 到平面PBC 的距离相等． 又点A 到平面PBC 的距离等于E 到平面PBC 的距离的2倍． 由（1）知：BC ⊥平面PCD ，所以平面PBC ⊥平面PCD 于PC ， 因为PD ＝DC ，PF ＝FC ，所以DF ⊥PC ，所以DF ⊥平面PBC 于F ． 易知DF ＝ 2 2 ，故点A 到平面PBC 的距离等于2． （方法二）等体积法：连接AC ．设点A 到平面PBC 的距离为h ． 因为AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，所以∠ABC ＝90°． 从而AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P —ABC 的体积V ＝13S △ABC ×PD ＝ 1 3 ． 因为PD ⊥平面ABCD ，DC ?平面ABCD ，所以PD ⊥DC ． 又PD ＝DC ＝1，所以PC ＝PD 2＋DC 2＝2． 由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝ 2 2 ． 由V A ——PBC ＝V P ——ABC ，13S △PBC ×h ＝V ＝ 1 3 ，得h ＝2， 故点A 到平面PBC 的距离等于2． 【高中数学】单元《空间向量与立体几何》知识点归纳 一、选择题 1．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ． 643 π B ．8316π π+ C ．28π D ．8216π π+ 【答案】B 【解析】 【分析】 结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可． 【详解】 结合三视图，还原直观图，得到 故体积22221183242231633V r h r l πππππ=?+?=?+??=+，故选B ． 【点睛】 本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等． 2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===,而对角线1A B 上存 在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A ．7 B ．3 C ．1+3 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD 并求出，就 是最小值． 【详解】 把面1AA B 绕1A B 旋转至面1BA M 使其与对角面11A BCD 在同一平面上，连接1MD ．1MD 就是1||||AP D P +的最小值， Q ||||3AB AD ==，1||1AA =，∴0113tan 3,60AA B AA B ∠==∴∠=． 所以11=90+60=150MA D ∠o o o 221111111113 2cos 13223()72 MD A D A M A D A M MA D ∴=+-∠=+-??- ??= 故选A ． 【点睛】 本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，解决此类问题常通过转化，转化为在同一平面内两点之间的距离问题，是中档题． 3．已知圆锥SC 的高是底面半径的3倍，且圆锥SC 的底面直径、体积分别与圆柱OM 的底面半径、体积相等，则圆锥SC 与圆柱OM 的侧面积之比为（ ）. A 10 B ．3:1 C ．2:1 D 102 【答案】A 立体几何大题专练 1、如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别为AB 、PC 的中点； (1)求证：MN//平面PAD (2)若∠PDA=45°，求证：MN ⊥平面PCD 2（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ； （2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=?， 求证：平面PEF ⊥平面PBC ． P A C E B F （1）证明：连结EF , E 、F 分别为AC 、BC 的中点， //EF AB ∴. ……………………2分 又?EF 平面PAB ，?AB 平面PAB ， ∴ EF ∥平面P AB . ……………………5分 （2）PA PC = ，E 为AC 的中点， PE AC ∴⊥ ……………………6分 又 平面PAC ⊥平面ABC PE ∴⊥面ABC ……………………8分 PE BC ∴⊥……………………9分 又因为F 为BC 的中点， //EF AB ∴ 090,BC EF ABC ⊥∠=∴ ……………………10分 EF PE E = BC ∴⊥面PEF ……………………11分 又BC ? 面PBC ∴面PBC ⊥面PEF ……………………12分 3. 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC=BC ，点D 是AB 的中点。 （1）求证：BC 1//平面CA 1D ； （2）求证：平面CA 1D⊥平面AA 1B 1B 。 4．已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是 AB 、PC 的中点． (1) 求证：EF ∥平面PAD ； (2) 求证：EF ⊥CD ； (3) 若∠PDA ＝45°，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小． 高三数学立体几何高考题 1.（2012年7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）18 2.（2012年8）平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 3.(2013年11)某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为( )． A ．16＋8π B ．8＋8π C ．16＋16π D ．8＋16π 4.(2013年15)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______． 5.(2014年8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的 事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 6.(2014年10)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4， 底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 7.(2015年6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各位多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 8.(2015年11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 9（2016年7）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的 圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π 3 ， 则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 10（2016年11）平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面, ABCD m α=I 平面，11ABB A n α=I 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32 （B ）22 （C ）33 （D ）1 3 11．(2017年6)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 12．（2017年16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径。若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________。 立体几何测试卷 班级 姓名 学号 一、选择题： 1．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）75 2．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4cm 、3cm ,把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是 （ ） （A ）cm 77 （B ）cm 27 （C ）cm 55 （D ）cm 210 3．等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将AMN ?折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30 ，则四棱锥A —MNCB 的体积为（ ） （A ） 2 3 （B ）23 （C ）3 （D ）3 4．若二面角βα--l 为120 ，直线m α⊥,则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是 （ ） （A ）(] 90,0 （B ）[ ] 60 ,30 （C ）[] 90,60 （D ）[] 90,30 5．关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是 （ ） （A ）若a // M,b // M,则a // b （B ）若a // M,b ⊥a,则b ⊥ M （C ）若a ,,M b M ??且l b l a ⊥⊥,则M l ⊥ （D ）若,//,N a M a ⊥则N M ⊥ 6．棱长为a 的正方体中，连接相邻的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） （A ）33a （B ）43a （C ）63a （D ）12 3 a 7．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） （A ）3π （B ）4π （C ）π33 （D ）6π 8． 已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A ）22 R π （B ） 249R π （C ）238R π （D ）22 5 R π 9．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ） （A ）βα、都垂直于平面γ （B ）α内存在不共线的三点到β的距离相等 第一章 空间几何体 [基础训练A 组] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A B 2 C ． 5．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周， 则所形成的几何体的体积是（ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A BC D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ， 则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。 5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长 方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________. 三、解答题 1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用） ，已建的仓库的 主视图 左视图 俯视图 2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（一） 1.如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，⊥PD 平面ABCD ， 2PD AB ==，点,,E F G 分别为,,PC PD BC 的中点. (1)求证：EF PA ⊥； (2)求二面角D FG E --的余弦值. 2.如图所示，该几何体是由一个直角三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AF AD ⊥，2AE AD ==. (1)证明：平面⊥PAD 平面ABFE ； (2)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是 22 . 3.四棱锥P ABCD -中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是 面积为ADC ∠为锐角，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PD∥面ACM． （Ⅱ）求证：PA⊥CD． （Ⅲ）求三棱锥P ABCD -的体积． 4.如图，四棱锥S ABCD -满足SA⊥面ABCD，90 DAB ABC ∠=∠=?．SA AB BC a ===，2 AD a =． （Ⅰ）求证：面SAB⊥面SAD． （Ⅱ）求证：CD⊥面SAC． S B A D M C B A P D 5.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，测棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是 BC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于F ． （Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PBC ． （Ⅱ）求证：PB ⊥平面EFD ． 6.在直棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，设1AB 中点为D ，1A C 中点为E ． （Ⅰ）求证：DE ∥平面11BCC B ． （Ⅱ）求证：平面11ABB A ⊥平面11ACC A ． E D A B C C 1 B 1 A 1 D A B C E F P ____________班级___________学号____________分数______________ 一、选择题 1 ．下列说确的是 （ ） A ．三点确定一个平面 B ．四边形一定是平面图形 C ．梯形一定是平面图形 D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三 个交点 2 ．若α//β,a//α,则a 与β的关系是 （ ） A ．a//β B ．a β? C ．a//β或a β? D ．A a =β 3 ．三个互不重合的平面能把空间分成n 部分，则n 所有可能值为 （ ） A ．4、6、8 B ．4、6、7、8 C ．4、6、7 D ．4、5、7、8 4 ．一个体积为123 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的左视图的面积为 （ ） A ．36 B ．8 C ．38 D ．12 5 ．若直线l ∥平面α,直线a α?,则l 与a 的位置关系是 （ ） A ．l ∥a B ．l 与a 异面 C ．l 与a 相交 D ．l 与a 没有公共点 6 ．已知三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比为 （ ） A ．1:2:3 B ．1:4:9 C ．2:3:4 D ．1:8:27 7 ．有一个几何体的正视、侧视、俯视图分别如下，则该几何体的表面积为 （ ） A ．π12 B ．π24 C ．π36 D ．π48 8 ．若a ，b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是 （ ） A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交 6 5 6 5 9 ．设正方体的棱长为 23 3,则它的外接球的表面积为 （ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 10．已知一个全面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3: 2:1,则此长方体的外接球的 表面积为 A .π7 B .π14 C .π21 D .π28 11．1l ,2l ,3l 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 （ ） A ．12l l ⊥,23l l ⊥13//l l ? B ．12l l ⊥,23//l l ?13l l ⊥ C ．233////l l l ? 1l ,2l ,3l 共面 D ．1l ,2l ,3l 共点?1l ,2l ,3l 共面 12．如图,正方体1111ABCD A B C D 中,E ,F 分别为棱AB ,1CC 的中点,在平面11ADD A 且与平面1D EF 平行的直线 （ ） A ．有无数条 B ．有2条 C ．有1 条 D ．不存在 二、填空题 13．已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成,根 据图中标出的尺寸,计算这个几何体的表面积是______. 14．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 是上底面1111A B C D A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E F 2021年高考数学专题复习导练测 第八章 立体几何阶段测试（十）理 新人教A 版 一、选择题 1．空间中四点可确定的平面有( ) A ．1个 B ．3个 C ．4个 D ．1个或4个或无数个 答案 D 解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中任三点可确定一个平面，此时可确定4个平面． 2．一个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图，如图所示，则这个几何体的体积为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 答案 C 解析 根据该几何体的三视图知，该几何体是一个平放的三棱柱；它的底面三角形的面积为S 底面＝1 2×2×1＝1，棱柱高为h ＝2，∴棱柱的体积为S 棱柱＝S 底面·h ＝1×2＝2. 3．下列命题中，错误的是( ) A ．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面 B ．平面α∥平面β，a ?α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a C ．α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ所成的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d D ．一条直线与两个平面成等角，则这两个平面平行 答案D 解析A正确，三角形可以确定一个平面，若三角形两边平行于一个平面，而它所在的平面与这个平面平行，故第三边平行于这个平面；B正确，两平面平行，一面中的线必平行于另一个平面，平面内的一点与这条线可以确定一个平面，这个平面与已知平面交于一条直线，过该点在这个平面内只有这条直线与a平行；C正确，利用同一平面内不相交的两直线一定平行判断即可确定C是正确的；D错误，一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面，故应选D. 4．在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案B 解析作AE⊥BD，交BD于E， ∵平面ABD⊥平面BCD， ∴AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴AE⊥BC， 而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DA⊥BC， 又∵AE∩AD＝A，∴BC⊥平面ABD， 而AB?平面ABD，∴BC⊥AB， 即△ABC为直角三角形．故选B. 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的正视图和侧视图如图所示，则下列命题正确的是( ) 2015-2017立体几何高考真题 1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ） （A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 【答案】B 【分析】设圆锥底面半径为r ，则 12384r ??==16 3 r =，所以米堆的体积为211163()5433????=3209，故堆放的米约为 320 9 ÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质和圆锥的体积公式 2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后和半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 【答案】B 【分析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为221 42222 r r r r r r πππ?+?++?=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B. 考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式 3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC. 立体几何中的向量方法 1.（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为 a ,且长为a 的 ,则a 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． [解析] 以O 为原点,分别以OB 、OC 、OA 所在直线为x 、y 、z 轴, 则22cos 4 AO PO AOP R ?∴∠= =,A )0,23 ,21(),22,0,22(R R P R R 42arccos =∠∴AOP , 4 2 arccos ?=∴R P A 2. （2012年高考（陕西理））如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 111ABC A B C -,12CA CC CB ==,则直线1BC 与直线1AB 夹角的余弦值为 （ ） A B C D ． 35 解析:不妨设122CA CC CB ===, 11(2,2,1),(0,2,1) AB C B =-=- , 111111cos ,5 AB C B AB C B AB C B ×<>= =-,直线1BC 与直线1AB 夹角为锐角,选A. 3.（2012年高考（天津理））如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面ABCD ,AC 丄 AD ,AB 丄BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC . (Ⅰ)证明PC 丄AD ; (Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值; (Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为0 30,求AE 的长. P 【命题意图】本小题主要考查空间两条直线的位置关系,二面角、异面直线所成的角,直线 与平面垂直等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力. 方法一:（1）以,,AD AC AP 为,,x y z 正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz - 则11(2,0,0),(0,1,0),(,,0),(0,0,2)22 D C B P - (0,1,2),(2,0,0)0PC AD PC AD PC AD =-=?=?⊥ （2）(0,1,2),(2,1,0)PC CD =-=-，设平面PCD 的法向量(,,)n x y z = 则0 202200n PC y z y z x y x z n CD ?=-==????????-===???? 取1(1,2,1)z n =?= (2,0,0)AD =是平面PAC 的法向量 630 cos ,sin ,66 AD n AD n AD n AD n <>= = ?<>= 得：二面角A PC D --的正弦值为 6 （3）设[0,2]AE h =∈；则(0,0,2)AE =，11 (,,),(2,1,0)2 2 BE h CD =-=- cos ,210 10BE CD BE CD h BE CD <>= ? = ?= 即10AE = 方法二:(1)证明,由PA ⊥平面ABCD ,可得PA AD ⊥,又由 ,AD AC PA AC A ⊥?=,故AD ⊥平面 PAC ,又PC ?平面 PAC ,所以PC AD ⊥. (2)解:如图,作AH PC ⊥于点H ,连接DH ,由 高考第一轮复习专题素质测试题 立体几何（文科） 班别______学号______姓名_______评价______ （考试时间120分钟，满分150分，试题设计：隆光诚） 一、选择题（每小题5分，共60分. 以下给出的四个备选答案中，只有一个正确） 1．（10全国Ⅱ）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱 AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点（ ） A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个 2.（09福建）设,m n 是平面α内的两条不同直线；12,l l 是平面β内的两条相交直线， 则//αβ的一个充分而不必要条件是（ ） A. 1////m l βα且 B. 12////m l l 且n C. ////m n ββ且 D. 2////m n l β且 3.（08四川）直线l α?平面，经过α外一点A 与l α、都成30?角的直线有且只有（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 4.（08宁夏）已知平面α⊥平面β，α∩β= l ，点A ∈α，A ?l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB ∥m B. AC ⊥m C. AB ∥β D. AC ⊥β 5.（10湖北）用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ； ④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b .其中真命题是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 6．（10新课标）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为（ ） A.3πa 2 B.6πa 2 C.12πa 2 D. 24πa 2 7．（08全国Ⅱ）正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为?60，则该棱锥的体积高中数学立体几何测试题及答案一)
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