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复变函数总结

复变函数总结
复变函数总结

第一章 复数与复变函数

一、复数几种表示 (1)代数表示 yi x z +=

(2)几何表示:用复平面上点表示

(复数z 、点z 、向量z 视为同一概念) (3)三角式:)sin (cos θθi r z += (4)指数式 : θi re z = 辐角πk z Argz 2arg += 22||y x z +=

???

????????

<=->=<<-><+>=0,0,2/0,0,2/0

,0,arctan 0

,0,arctan ,0,arctan arg y x y x y x x y

y x x y

x x y z ππππ i

z

z y z z x 2,2-=

+= 二、乘幂与方根

(1)乘幂: θi re z =,θin n n e r z = (2)方根: 1,2,1,0,||arg 2-==+n k e

z z i n

z

k n n

Λπ

第二章 解析函数

一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数 求导法则与一元实变函数类似

函数点解析的定义:函数在一点及其点的邻域处处可导

注:(1)点解析?点可导, 点可导推不出点解析 (2)区域解析与可导等价

二、定理1 iv u z f w +==)(在0z 可导?v u ,在0z 可微,满足C-R 方程

定理2 iv u z f w +==)(在区域D 解析(可导) ?v u ,在区域D 可微,满足C-R 方程

讨论1 v u ,在区域D4个偏导数存在且连续,满足C-R 方程 ?iv u z f w +==)(在区域D 解析(可导) 三、解析函数和调和函数的关系

1、定义1 调和函数:满足拉普拉斯方程,且有二阶连续偏导数的函数。

定义2 设),(),,(y x y x ψ?是区域D 调和函数,且满足C-R 方程,

x y y x ψ?ψ?-==,,则称ψ是?的共轭调和函数。

2、定理1 解析函数的虚部与实部都是调和函数。 定理2 函数在D 解析?虚部是实部的共轭调和函数。

3、问题:已知解析函数的实部(或虚部),求虚部(或实部) 理论依据:

(1)虚部、实部是调和函数。 (2)实部与虚部满足C-R 方程。 求解方法:(例如已知v )

(1)偏积分法:先求y x u u ,,再求)(y dx u u x ?+=?,得出)(y ? (2)利用曲线积分:求du u u y x ,,,再c dy u dx u u y x y x y x ++=?),()

,(00

(3)直接凑全微分:求du u u y x ,,,再du

四、初等函数

1、指数函数)sin (cos y i y e e e e w x iy x z +=== 性质:(1)z e 是单值函数,

(2)z e 除无穷远点外处处有定义 (3)0≠z e

(4)z e 处处解析,z z e e =')(

(5)2

1

2

1

z z z z e e e =+

(6)z e 是周期函数,周期是i k π2

2、对数函数πk i z i z Lnz w 2arg ||ln ++== (多值函数) 主值(枝)z i z z arg ||ln ln += (单值函数) 性质:(1)定义域是0≠z , (2)多值函数

(3)除去原点和负实轴的平面连续 (4)除去原点和负实轴的平面解析,z Lnz 1)(=

',z z 1

)(ln =',

(5)

3、幂函数ααα,0(≠==z e z w Lnz 是复常数) (1)α为正整数,函数单值、处处解析,

(2)α为负整数,函数单值、除去0=z 及其负实轴处处解析, 4、三角函数

欧拉公式 θθθsin cos i e i +=

2121)(Lnz Lnz z z Ln +=2

12

1

Lnz Lnz z z Ln -=

或 i e e e e i i i i 2sin ,2cos θ

θθθθθ---=+= 定义:i

e e z e e z iz

iz iz iz 2sin ,2cos ---=+= z z z z z z sin /cos cot ,cos /sin tan == z z z z sin /1csc ,cos /1sec ==

性质:周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样 各种三角公式、求导公式照搬 注:z z cos ,sin 的有界性 保护成立。

第三章 复变函数的积分

一、复积分??++=c c yi x d vi u dz z f )()()(??++-=c c udy vdx i vdy udx

?c

dz z f )( (c 的正向为逆时针方向)

计算方法:

(1)第二类曲线积分计算 (2)化为普通定积分

b a t t iy t x t z z

c →+==:),()()(:

dt t y i t x t y t x iv t y t x u dz z f b

a

c

)]()([))](),(())(),(([)('+'+=??

重要结果:

?

?

?≠==-?=-1,01,2)(1

||00n n i dz z z r z z n π (n 为任意整数) 二、柯西积分定理

定理1(柯西积分定理) 设)(z f 在单连通区域D 解析,C 为D

任意一条简单闭曲线,则

0)(=?

C

dz z f 。

注:条件变为)(z f 在单连通区域D 解析,在D 的边界C 上连续,结论成立,即

0)(=?

C

dz z f 。

定理2 设)(z f 在单连通区域D 解析,则积分与路径无关。 记积分为

?

z

z dz z f 0

)(,或?z

z d f 0

)(ξξ

原函数定义

结论:?=z

z d f z F 0

)()(ξξ是)(z f 的原函数。

)()()(011

z F z F dz z f z z -=?

(条件:)(z f 是解析函数)

定理3 (闭路变形原理)(柯西积分定理推广到多连通区域) 21,C C 是两条简单闭曲线,2C 在1C 部,)(z f 在21,C C 所围区域D 解析,在21,C C 上连续,则

??

=2

1

)()(C C dz z f dz z f

注:定理3说明:区域的解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域的连续变动而改变它的值。

三、柯西积分公式

定理1 (柯西积分公式))(z f 在简单闭曲线C 上连续,C 的部解析(即单连通区域D 解析),0z 是C 的部一点,则

)

(2)

(00

z f i dz z z z f C

π=-?

注:(1)D 为多连通区域时,公式仍 成立。 (2)提供了计算积分的一种方法。

推论1 (平均值公式)设)(z f 在R z z <-||0解析,在R z z =-||0上连续,则

?

+=π

θθπ

20

00

)Re (21

)(d e z f z f i

定理2 (最大模原理)设)(z f 在区域D 解析,又)(z f 不是常数,则在D |)(|z f 没有最大值。

推论1 区域D 的解析函数,若其模在D 一点达到最大值,则此函数被常数。(定理2的逆否命题)

四、解析函数的高阶导数

定理1 (解析函数的高阶导数)设)(z f 在简单闭曲线C 所围的单连通区域D 解析,在C 上连续,则)(z f 的各阶导数均在D 解析,且对D z 有 ξξξπd z f i n z f C n n ?+-=

1)()()(2!)( ,或)(!

2)()()

(1

z f n i d z f n C n πξξξ=-?+ 注:由柯西积分公式)(2)

(z if d z

f C

πξξξ=-?求导即得。 第四章 解析函数的级数表示 一、数项级数∑∞

=1n n z ,其中n n n iy x z +=

定理

∑∞

=1n n

z

收敛的必要条件是0lim =∞

→n n z

定理 ∑∞

=1n n

z

收敛?

∑∞

=1n n

x

∑∞

=1

n n

y

均收敛

定理

∑∞

=1||n n

z

收敛?

∑∞

=1n n

z

收敛,称为绝对收敛

∑∞

=1

||n n

z

发散,∑∞

=1

n n z 收敛,称为条件收敛

二、幂级数

∑∞

=-0

)

(n n

n

z z c

收敛半径|,|lim 1n n n c c +∞

→=λ ,||lim n n n c ∞→=λ 则λ

1

=R

收敛圆R z z <-||0

三、函数展开成泰勒级数(幂级数)

公式:1、

∑∞

==-0

11

n n z z ,1||

==0!

1n n z

z n e , ∞<||z

3、Λ-+-=53!51!31sin z z z z ,∞<||z

Λ-+-=42!

41

!211cos z z z , ∞<||z

4、对数函数,反三角函数求导数 四、洛朗级数 (函数在环域展开) 第五章 留数

一、孤立奇点0z (函数在0z 不解析,在0z 的去心邻域解析)

分类:1、可去奇点(洛朗级数中没有负幂项) 判定(1)洛朗级数,(2))(lim 0

z f z

z →存在

2、极点(洛朗级数中有有限负幂项) 判定(1)洛朗级数, (2)∞=→)(lim 0

z f z

z

极点阶数判定: (1)洛朗级数 (2))()

(1

)(0z z z z f m

?-=,)(z ?在0z 解析,0)(0≠z ?,则0z 是)(z f 的m 阶极点。

(3)零点与极点关系 (4))

()

()(z Q z P z f =

,0z 是分子的n 阶零点,是分母的m 阶零点, m>n 时,0z 是函数的m-n 阶极点,否则,是可去奇点。

3、本性奇点(洛朗级数中有无限负幂项) 判定 (1)洛朗级数,

(2))(lim 0

z f z

z →不存在,也不是无穷。

二、m 阶零点

法1 0)(,1,,1,0,0)(0)(0)(≠-==z f m k z f m k Λ 法2 函数在0z 展开成幂级数

三、留数 10]),([Re -=c z z f s ,1-c 是洛朗级数中0

1

z z -系数。 留数计算: 可去奇点处留数为零 本性奇点:通过洛朗级数求解 m 阶极点:)1(00)]()[(lim )!1(1

]),([Re 0

-→--=

m m z z z f z z m z z f s 一阶极点 )()(lim ]),([Re 000

z f z z z z f s z

z -=→

或 0|)

()

(]),([Re 0z z z Q z P z z f s ==

,0z 是分母1阶零点,不是分子零点 注:用洛朗级数求留数,不需判定奇点类型。

留数定理:∑?==n

k k C z z f s i dz z f 1]),([Re 2)(π,条件;)(z f 在C 除有限个孤

立奇点外处处解析。

(完整版)复变函数知识点梳理解读

第一章:复数与复变函数 这一章主要是解释复数和复变函数的相关概念,大部分内容与实变函数近似,不难理解。 一、复数及其表示法 介绍复数和几种新的表示方法,其实就是把表示形式变来变去,方便和其他的数学知识联系起来。 二、复数的运算 高中知识,加减乘除,乘方开方等。主要是用新的表示方法来解释了运算的几何意义。 三、复数形式的代数方程和平面几何图形 就是把实数替换成复数,因为复数的性质,所以平面图形的方程式二元的。 四、复数域的几何模型——复球面 将复平面上的点,一一映射到球面上,意义是扩充了复数域和复平面,就是多了一个无穷远点,现在还不知道有什么意义,猜想应该是方便将微积分的思想用到复变函数上。 五、复变函数 不同于实变函数是一个或一组坐标对应一个坐标,复变函数是一组或多组坐标对应一组坐标,所以看起来好像是映射在另一个坐标系里。 六、复变函数的极限和连续性 与实变函数的极限、连续性相同。 第二章:解析函数

这一章主要介绍解析函数这个概念,将实变函数中导数、初等函数等概念移植到复变函数体系中。 一、解析函数的概念 介绍复变函数的导数,类似于实变二元函数的导数,求导法则与实变函数相同。 所谓的解析函数,就是函数处处可导换了个说法,而且只适用于复变函数。而复变函数可以解析的条件就是:μ对x与ν对y的偏微分相等且μ对y和ν对x的偏微分互为相反数,这就是柯西黎曼方程。二、解析函数和调和函数的关系 出现了新的概念:调和函数。就是对同一个未知数的二阶偏导数互为相反数的实变函数。而解析函数的实部函数和虚部函数都是调和函数。而满足柯西黎曼方程的两个调和函数可以组成一个解析函数,而这两个调和函数互为共轭调和函数。 三、初等函数 和实变函数中的初等函数形式一样,但是变量成为复数,所以有一些不同的性质。 第三章:复变函数的积分 这一章,主要是将实变函数的积分问题,在复变函数这个体系里进行了系统的转化,让复变函数有独立的积分体系。但是很多知识都和实变函数的知识是类似的。可以理解为实变函数积分问题的一个兄弟。 一、复积分的概念 复积分就是复变函数的积分,实质是两个实二型线积分。所以应该具有相应的实二型线积分的性质。复积分存在的充分条件是实部函数和虚部函数都连续。 二、柯西积分定理

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结
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复变函数积分方法总结
数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新
形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,
也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数:
z=x+iy i2=-1 ,x,y 分别称为 z 的实部和虚部,记作
x=Re(z),y=Im(z)。 arg z=θ? θ?称为主值 -π<θ?≤π ,
Arg=argz+2kπ 。利用直角坐标和极坐标的关系式 x=rcosθ ,
y=rsinθ,故 z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ。
z=reiθ。
1.定义法求积分:
定义:设函数 w=f(z)定义在区域 D 内,C 为区域 D 内起点为 A 终点
为 B 的一条光滑的有向曲线,把曲线 C 任意分成 n 个弧段,设分点为
A=z0 ,z1,…,zk-1,zk,…,zn=B,在每个弧段 zk-1 zk(k=1,2…n)上任
取一点?k 并作和式 Sn=
(zk-zk-1)=
?zk 记?zk= zk-
zk-1,弧段 zk-1 zk 的长度 =
{?Sk}(k=1,2…,n),当
0 时,
不论对 c 的分发即?k 的取法如何,Sn 有唯一的极限,则称该极限值为
函数 f(z)沿曲线 C 的积分为:
=
?zk
设 C 负方向(即 B 到 A 的积分记作)
.当 C 为闭曲线时,f(z)
的积分记作
(C 圆周正方向为逆时针方向)
例题:计算积分
,其中 C 表示 a 到 b 的任一曲

【填空题】《复变函数与积分变换》期末练习题

2020届《复变函数与积分变换》练习题 填空题 1.若 ()f z u iv =+可导,则()f z ¢ = . 2.设()t d 是单位脉冲函数,则()t d 轾=臌 . 3.复变函数3()z f z e =的周期为 . 4.曲线积分3 4sin ()z z dz z p == -ò? . 5.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+,若z x iy =+,则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 6.复变函数()z f z e =的周期为 . 7. 若()f z u iv =+可导,则()f z ¢= . 8.计算乘幂 = . 9.曲线积分24cos ()z z dz z π== -?? . 10. 已知222211()(1)(1)f z x iy x y x y =+ +-++,若z x iy =+,则复变函数()z f 关于变 量z 的表达式为 . 11. ()=+51i ________. 12. 当=a ________,函数)72(2)(y x i y ax z f +-++=为复平面上的一个解析函数. 13. 复数6cos 6sin π πi z +-=的指数形式为=z ________________. 14. 函数t t f 7sin )(=的Fourier 变换为________________. 18. =?+∞ -tdt e t 2cos 04________________. 19. =i 1________.

20. 当=a ________,函数)9()(y x i ay x z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 21. 复数32cos 32sin ππi z +=的指数形式为=z ________________. 22. 函数t t f 5sin )(=的Fourier 变换为________________. 23. =?+∞-tdt e t 2cos 03________________. 24.公式cos sin ix e x i x =+称为_____________________. 25.函数()f z Lnz =的奇点之集为_____________________. 26. ()+t dt δ∞∞=?— ___________. 27.复变函数3()z f z e =的周期为 . 28.若21(1)1n n n z i n n +=++-,则lim n n z =___________. 29.设34z i =+,则2z e = . 30.函数()cos 6f t t =的傅立叶变换[cos 6]F t = . 31.xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f . 32.已知复变函数 22()3326f z x y xyi =--+,若z x iy =+,则()f z 关于变量z 的 表达式为 . 33.=+i i )1(____________________. 34. 当=a _____,=b _____,函数)9()(2y x i ay bx z f ++-=为复平面上的一个解析函数. 35. =-)33(i Ln _______________.

复变函数论文

复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位,通过复变函数发展简介和内容,我们认识到复变函数的发展史和学术地位,因为它运用广泛,作为当代大学生,我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用,从学习中的地位延伸到专业中的地位,从而了解他在GIS的运用,借助复变函数推出柯西—黎曼曲面,进而导出复球面的紧性,得出扩充复平面是紧的,得出结论,体会,心德和认识,最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数,地理信息系统,复平面,柯西—黎曼曲面 三正文 (一)复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年,欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪,就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样,复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔,法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分,他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用,而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科,对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容,一般叫做几何函数论,复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象,共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数,它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分,可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后,再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算,当奇点是极点的时候,计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充,以满足实际研究工作的需要,这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质,只要稍加改变后,同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛,不但应用在流体力学的研究方面,而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。

(完整版)【工程数学】复变函数复习重点

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念:z x iy =+,,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1) 模:z = 2)幅角:在0z ≠时,矢量与x 轴正向的夹角,记为()Arg z (多值函数); 主值()arg z 是位于(,]ππ-中的幅角。 3)()arg z 与arctan y x 之间的关系如下: 当0,x > arg arctan y z x =; 当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z x x y y z x ππ? ≥=+??

复变函数_期末试卷及答案

一、单项选择题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列复数中,位于第三象限的复数是( ) A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2.下列等式中,不成立的等式是( ) 3.下列命题中,正确..的是( ) A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4.关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是( ) A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5.下列函数中,在整个复平面上解析的函数是( ) 6.在复平面上,下列命题中,正确..的是( ) A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 .在下列复数中,使得z e i =成立的是( ) 8.已知3 1z i =+,则下列正确的是( ) 9.积分 ||342z dz z =-??的值为( ) A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10.设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于( ) A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11.以下关于级数的命题不正确的是( ) A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内,幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上,条件收敛 12.0=z 是函数(1cos ) z e z z -的( ) A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点

(完整版)《复变函数》教学大纲

《复变函数》教学大纲 说明 1.本大纲适用数学与应用数学本科教学 2.学科性质: 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一,它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用,复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式,表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理,柯西公式为重要公式,留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。;留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3.教学目的: 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展,通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解,提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用,学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识,从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4.教学基本要求: 通过本课程的学习,要求学生达到: 1.握基本概念和基本理论; 2.熟练的引进基本计算(复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等); 2.固和加深理解微积分学的有关知识。 5.教学时数分配: 本课程共讲授72学时(包括习题课),学时分配如下表: 教学时数分配表

以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%,可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数,因此,复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似,但因复变函数是研究平面上的问题,因此有其新的含义与特点。 (一)教学内容

复变函数总结完整版

第一章复数 1 i 2=-1 i = ?, -1 欧拉公式z=x+iy 实部Re Z 虚部Im Z 2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2 ②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2) 乙Z2 ③=χ1 iy1 χ2 iy2 X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2 =X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1 ④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y2 2 2 2 2 Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2 ⑤z = X - iy 共轭复数 z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧 运算律P1页 3代数,几何表示 ^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应,与向量--- 对应 辐角当z≠0时,向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3… 把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz0 4如何寻找arg Z π 例:z=1-i 4 π z=i 2 π z=1+i 4 z=-1 π 5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin

利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71 例2 f Z = C 时有(C )=0

可得到z= re° Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方 n n in 「n Z Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv 凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根,记作CO =^Z ☆当丄二f Z o时,连续 例1 证明f Z =Z在每一点都连续 证:f(Z f(Z o )= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续 3导数 f Z o Jm fZ 一 f z o z-?z°Z-Z o ,2 n 第二章解析函数 1极限 2函数极限 ①复变函数 对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z 注:与实际情况相比,定义域,值域变化 例f z = z Z—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限 df(z l Z=Zo 1

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数: z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π<θ?≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分: 定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有

向曲线,把曲线C 任意分成n 个弧段,设分点为A=z 0 ,z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B ,在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点?k 并作和式S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)= ∑f (?k )n k ?1?z k 记?z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k ≤n {?S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时,不论对c 的分发即?k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为: ∫ f (z )dz c =lim δ 0 ∑ f (?k )n k ?1 ?z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f (z )dz c ?.当C 为闭曲线时,f(z)的积分记作∮f (z )dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题:计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 (1) 解:当C 为闭合曲线时,∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f (?k )n k ?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时,∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设?k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k ?1(k ?1)(z k -z k-1) 有可设?k =z k ,则 ∑2= ∑Z n k ?1(k ?1)(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以

《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案(1)

得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题(A ) 吉林大学南岭校区2011年12月 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一.填空题(每小题3分,共计15分) 1. 2 3 1i -的幅角是( ); 2.)1(i Ln +-的主值是( ); 3. 211)(z z f += ,=)0() 5(f ( ); 4.0=z 是 4 sin z z z -的( )极点; 5. z z f 1 )(= ,=∞]),([Re z f s ( ); 二.选择题(每小题3分,共计15分) 1.解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为( ); (A ) y x iu u z f +=')(; (B )y x iu u z f -=')(; (C ) y x iv u z f +=')(; (D )x y iv u z f +=')(. 2.C 是正向圆周3=z ,如果函数=)(z f ( ),则0d )(=?C z z f . (A ) 23-z ; (B )2 ) 1(3--z z ; (C )2)2()1(3--z z ; (D )2 )2(3-z . 3.如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛,则级数在

(A )2-=z 点条件收敛 ; (B )i z 2=点绝对收敛; (C )i z +=1点绝对收敛; (D )i z 21+=点一定发散. 4.下列结论正确的是( ) (A )如果函数)(z f 在0z 点可导,则)(z f 在0z 点一定解析; (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析,则0)(=? C dz z f (C )如果 0)(=? C dz z f ,则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析; (D )函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数. 5.下列结论不正确的是( ). (A) 的可去奇点;为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点;为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三.按要求完成下列各题(每小题10分,共计40分) (1)设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数,求.,,,d c b a (2).计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周:2=z ; (3)计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z (4)函数3 2 32)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇 点?,如果有极点,请指出它的级. 得分

复变函数论第三版课后习题答案

第一章习题解答 (一) 1 .设2z =z 及A rcz 。 解:由于32i z e π- = 所以1z =,2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 .设1 21z z = = ,试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解:由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3.解二项方程440,(0)z a a +=>。 解:1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4.证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。 证明:由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1,z 2,z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ,知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以, 12121-=+z z z z , 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z

复变函数积分方法总结

复变函数积分方法总结The final revision was on November 23, 2020

复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变,各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势,同时也具有本来原函数的性质,也会有多类型的可积函数类型,也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数: z=x+iy i2=-1 ,x,y分别称为z的实部和虚部,记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θθ称为主值 -π<θ≤π,Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ,y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ;利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分: 定义:设函数w=f(z)定义在区域D内,C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线,把曲线C任意分成n个弧段,设分点为A=z0,

z 1,…,z k-1,z k ,…,z n =B ,在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点k 并作和式S n =∑f( k )n k?1(z k -z k-1)= ∑f( k )n k?1z k 记 z k = z k - z k-1,弧段z k-1 z k 的长 度 δ=max 1≤k≤n {S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时,不论对c 的分发即k 的取法如何,S n 有唯一的极限,则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为: ∫f(z)dz c =lim δ 0 ∑f(k )n k?1z k 设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c?.当C 为闭曲线时,f(z)的积分记作∮f(z)dz c (C 圆周正方向为逆时针方向) 例题:计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。 (1) 解:当C 为闭合曲线时,∫dz c =0. ∵f(z)=1 S n =∑f(k)n k?1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0 Sn =b-a,即1)∫dz c =b-a. (2)当C 为闭曲线时,∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续,则积分∫zdz c 存在,设k =z k-1,则 ∑1= ∑Z n k?1(k ?1)(z k -z k-1) 有可设k =z k ,则 ∑2= ∑Z n k?1(k ?1)(z k -z k-1) 因为S n 的极限存在,且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n = (∑1+∑2)= ∑k?1n z k (z k 2?z k?12)=b 2-a 2 ∴ ∫2zdz c =b 2-a 2 定义衍生1:参数法: f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 带入∫f(z)dz c 得:

《复变函数》-期末试卷及答案(A卷)

《复变函数》试卷 第1页(共4页) 《复变函数》试卷 第2页(共4页) XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题(本大题共10小题,每题3分,共30分,请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项,并将其前面的字母填在题中括号内。) 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续,处处不可导 C.处处连续,仅在点0= z 处可导 D.处处连续,仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1,则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=,,则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ,i 2sin π=?dz z z C n ,则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ,则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<-

复变函数论第四版答案钟玉泉

复变函数论第四版答案钟玉泉 (1)提到复变函数,首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根,极坐标与 xy 坐标的转换,复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 (2)复变函数自然是在复平面上来研究问题,此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面,从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式,这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 (3)明白解析函数的定义以及性质之后,就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中,定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后,就会有出现复分析中的重要的定理:Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 (4)既然是解析函数,那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数,也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在,奇点根据性质分成可去奇点,极 点,本性奇点三类,围绕这三类奇点,会有各自奇妙的定理。(5)复变函数中,留数定理是一个重要的定理,反映了曲线积分和

零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 (6)除了积分,导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外,正规族里面有一个非常重要的定理,那就是Arzela 定理。 (7)以上都是从分析的角度来研究复分析,如果从几何的角度来说,最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换,就是Mobius 变换,把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 (8)椭圆函数,经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论,是研究Weierstrass 函数的,有经典的 微分方程,以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍,如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。

《复变函数》总结

复变小结 1.幅角(不赞成死记,学会分析) .2 argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg ππ πππ<<-???? ?????=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏

b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点(A,B,C )共线所满足的公式: (向量) OC=tOA+(1-t )OB=OB+tBA c.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。 d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.8 4.解析函数,指数,对数,幂、三角双曲函数的定义及表达式,能熟练计算,能熟练解初等函数方程 a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导,可导不一定解析。 b.柯西——黎曼条件,自己牢记:(注意那个加负那个不加) c.指数函数:复数转换成三角的定义。 d.只需记住:Lnz=ln[z]+i(argz+2k π) e.幂函数:底数为e 时直接运算(一般转换成三角形式) 当底数不为e 时,w= z a = e aLnz (幂指数为Ln 而非ln) 能够区分: 的计算。 f.三角函数和双曲函数: 只需记住: 及 其他可自己试着去推导一下。 反三角中前三个最好自己记住,特别 iz iz i z -+-=11Ln 2Arctg 因为下一章求积分会用到 11)(arctan ,2+=z z (如第三章的习题9) 5.复变函数的积分 ,,,i e e i i e i ππ+)15.2(.2e e sin ,2e e cos i z z iz iz iz iz ---=+=???????=-==+=--y i i iy y iy y y y y sh 2e e sin ch 2e e cos

复变函数与积分变换重要知识点归纳

复变函数复习重点 (一)复数的概念 1.复数的概念:z = x ? iy , x, y 是实数,x = Rez,y = lmz.r-_i. 注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小 2.复数的表示 1)模:z =y/x2+y2; 2)幅角:在z = 0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Arg z (多值函数);主值arg z是位于(-二,二]中的幅角。 3)arg z与arctan y之间的关系如下: x y 当x 0, argz=arctan工; x [ y y - 0,arg z = arctan 二当x : 0, x y y :: 0,arg z = arctan 「愿 L x 4)三角表示:z = z COST i sinv ,其中二-arg z ;注:中间一定是“ +"号 5)指数表示:z = z e旧,其中日=arg z。 (二)复数的运算 仁加减法:若z1= x1iy1, z2= x2 iy2,贝寸乙 _ z2 = % _ x2i 比 _ y2 2.乘除法: 1 )若z^x1 iy1 ,z2=x2iy2,则 ZZ2 二XX2 —y』2 i X2% X』2 ; 乙x iy1 % iy1 X2 —iy2 xg yy ?- 丫2为 -- = --------- = ----------------------- = -------------- T i -------------- Z2 x? iy2 X2 iy2 x? - iy? x;y;x;y f 2)若乙=乙e°,z2= z2e°, _则 3.乘幂与方根e i "'2 ; 土評匀) Z2 Z2

1)若z =|z (cos日+isin 日)=|z e旧,则z"=上"(cosnT +i sin 用)=上"d吩。 2)若z =|z (cos日+isin 日)=|ze吩,贝U 阪=z n.'cos日+2" +i si肆+2" )(k =0,1,2[|I n—1)(有n个相异的值)l n n丿 (三)复变函数 1?复变函数:w = f z,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2?复初等函数 1)指数函数:e z=e x cosy - isin y ,在z平面处处可导,处处解析;且e z= e z。 注:e z是以2二i为周期的周期函数。(注意与实函数不同) 3)对数函数:Lnz=lnz i(argz 2^:)(k=0, _1,_2[|[)(多值函数); 主值:In z = ln z +iargz。(单值函数) * 1 Lnz的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且Inz z 注:负复数也有对数存在。(与实函数不同) 3)乘幂与幂函数:a b= e bLna(a = 0);z b= e bLnz(z = 0) 注:在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且z b二bz b‘。 iz -iz iz -iz e -e e e sin z cosz 4)三角函数:sin z ,cos z ,t gz , ctgz = 2i 2 cosz si nz sin z,cos z 在z 平面内解析,且sin z 二cosz, cosz =—si nz 注:有界性sin z兰1, cosz兰1不再成立;(与实函数不同) z -z z - z e -e e +e 4)双曲函数shz ,chz二 2 2 shz奇函数,chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析,且shz 二chz, chz = shz。 (四)解析函数的概念 1 ?复变函数的导数

复变函数期末考试题大全(东北师大)

____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题(每小题2分) 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z = 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题(每小题2分) 1、设α为任意实数,则α 1=( ) A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是( ) A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是( ) A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是( ) A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是( ) A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为( ) A ()∑∞ =+-02121n n n n z (z <1) B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z (z <1) C ()∑∞ =++-012121n n n n z (z <1) D ()∑∞=-0 221n n n n z (z <1) 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1w 的分式线性变换是( ) A )1(1>--=a z a a z e w i β B )1(1<--=a z a a z e w i β

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