求解高斯函数方程的一些方法
高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程
第七讲 不定方程 不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程3419x +=只有一个解5x =，方程组25238x y x y +=??+=?只有一组解12x y =??=? ． 什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程25x y +=的解就不唯一，因为每当y 取定一个数值时，x 就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时．．．．．．．．．．．．．．，这个方程（或．．．．．．方程组）就会有无穷多个解．．．．．．．．．．．． ． 可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对． 练一练 求下列方程的自然数解： （1）25x y +=； （2）238x y +=； （3）321x y +=； （4）4520x y +=．
本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”． 形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解． 例1． 甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请 问：张明共买了多少支铅笔？ 「分析」设张明买了甲级铅笔x 支，乙级铅笔y 支，可以列出不定方程：7350x y +=，其中x 和y 都是自然数．怎么求解呢？ 练习1、（1）求3535x y +=的所有自然数解；（2）求1112160x y +=的所有自然数解． 一般地，如果x m y n =??=?是ax by c +=的一组解，那么x m b y n a =+??=-? （当n a ≥时）也是ax by c +=的一组解．这是因为()()()()a m b b n a am ab bn ab am bn c ++-=++-=+=．另外，x m b y n a =-??=+? （当m b ≥时）也是ax by c +=的一组解，理由相同． 这条性质有什么用呢？我们以求2350x y +=的自然数解为例，我们容易看出它有 一组自然数解1010x y =??=?．应用上面的规律，x 每次增加3，y 每次减少2（只要y 还是自然数），所得结果仍然是2350x y +=的一组解，所以138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?都是2350x y +=的自然数解．另外x 每次减少3（只要x 还是自然数），y 每次增加2，所得结果也是2350x y +=的自然数解，所以712x y =??=?、414x y =??=?、116x y =??=? 也都是2350x y +=的自然数解．而且这样就已经求出了2350x y +=的所有自然数解，它们是： 116x y =??=?、414x y =??=?、712x y =??=?、1010x y =??=?、138x y =??=?、166x y =??=?、194x y =??=?、222x y =??=?、250x y =??=?． 这就告诉我们，在求形如ax by c +=（a 、b 、c 为正整数）的不定方程的自然数解时，我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的x 值每次变化b ，y 值每次变化a 得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证ax by +的大小不变）．
高斯函数的一个重要性质
西南民族大学学报·自然科学版第33卷第2期 Journal of Southwest University for Nationalities ?Natural Science Edition Apr. 2007___________________________________________________________________ ___________________________ 收稿日期：2006-11-25 作者简介：付萍(1984-), 四川师范大学数学与软件科学学院2006级硕士研究生, 廖群英(1974-), 女, 河南师范大学副教授. 基金项目：四川省教育厅青年基金(2005B024)项目资助. 文章编号：1003-2843(2007)02-0295-04 高斯函数的一个重要性质 付萍1, 廖群英2, 李莎2 (1. 四川师范大学数学与软件科学学院, 四川成都 610066；2. 河南师范大学数学与信息科学学院, 河南新乡 453002) 摘 要： 从素数与合数两方面入手, 研究阶乘、整除及高斯函数三者间的关系, 归纳出高斯函数的一个重要性质：若n 是一个正整数, 则()()1!1n n n ?????+?? 是偶数. 关键词: 高斯函数; 素数; 合数 中图分类号: O156.1 文献标识码: A 1 引言 设x 为任一实数, 用[x ]表示不超过x 的最大整数, 称[x ]为高斯函数. 由定义立刻得到下列性质[1]： (1) [][]1x x x ≤<+, []1x x x ?<≤. (2) [][]n x n x +=+, n 是整数. (3) [][][]x y x y +≤+. (4) 当x 不是整数时, [][]1x x ?=??；当x 是整数时, [][]x x ?=?. (5) 若,a b 是任意两个正整数, 则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数是a b ?????? . 1957年闵嗣鹤教授、严士健教授在文[1]中利用以上的性质(3)和(5)已解决了!n 的分解、组合数是整数等问 题. 2000年殷堰工老师[2]将!n 的标准分解式、 组合数是整数等结论很好地运用到数学竞赛中, 提供了解含阶乘整除问题的一种有效的方法. 本文进一步从素数与合数两方面入手, 对阶乘、整除及高斯函数三者间的关系进行分析, 最终得出高斯函数的一个重要性质, 即如下定理： 定理 设n 是一个大于零的整数, 则??????+?)1()!1(n n n 是偶数. 2 预备知识 为完成定理的证明, 先做以下的准备工作. 引理2.1[3](Wilson 定理) 设p 是素数, 则()()1!10mod p p ?+≡.
高斯函数与不定方程
竞赛中的高斯函数与不定方程 一．高斯函数][x 数学竞赛试题中常常用高斯函数][x 的知识，具体包含： 一、 定义 设R x ∈，][x 表示不超过x 的最大整数，则][x y =称为高斯函数。函数][x y =的定义域为R ，值域为.Z 二、 性质 ][x 的应用范围很广，很多竞赛题要应用][x 的性质。 性质1。对任意,R x ∈都有}{][x x x +=，}({x 为x 的小数部分） 性质2。对任意,R x ∈都有 1][][1+<≤<-x x x x 性质3。对任意,,2 1 R x x ∈且21x x ≤；有][][21x x ≤ 性质4。 对任意Z n ∈和R x ∈，都有 ][][x n x n +=+ 性质5。 对任意的R y x ∈,，都有}{}{}{],[][][y x y x y x y x +≥++≤+ 性质6。0,0≥≥y x ，则][][][y x xy ?≥ 证：因为}{][x x x +=，}{][y y y += }){]})([{]([y y x x xy ++= 则][][][y x xy ?≥ 性质7。在!n 的质性质7。对任意正整数n 和任意实数,x 有 ].][[][n x n x = 证： 1][][+<≤n x n x n x 则)1]([][+<≤n x n x n x n 其中][n x n 与)1]([+n x n 都是整数，则
)1]([][][+<≤n x n x n x n 则 1][][][+<≤n x n x n x 所以 ].[]][[ n x n x =因数分解中，质数p 的指数是：][...][][2m p n p n p n +++ 二． 一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a 通常称之为二元一次不定方程。 定理1：二元一次不定方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 有整数解的充分必要条件是 .|),(c b a 定理2：二元一次不定方程 ,0=++c by ax )0,0(≠>b a c b a ,,为整数 若 1),(=b a 且 ),(0 y x 为其一组解，则其全部解为 ,0bt x x += at y y -=0 （t 为整数）。 三．高次不定方程 解高次不定方程难度大，且无定073222 =--+y x y x 法。但 对某些特别方程可通过特殊方法解。 例1：解下列不定方程 （1） ;982515=+y x （2） .1002515-=+-y x
高斯函数
高斯函数 一、知识概要 1、定义:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数,也叫取整函数。显然,[]y x =的定义域就是R ,值域就是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之与,即[]()01x x a a =+≤<,因此,[]x x ≤[]1x <+,这里,[]x 为x 的整数部分,而{}[]x x x =-为 x 的小数部分。 2、性质 1、函数[]y x =就是一个分段表达的不减的无界函数,即当12x x ≤时,有[][]12x x ≤; 2、[][]n x n x +=+,其中n Z ∈; 3、[][]11x x x x -<≤<+; 4、若[][]x y n ==,则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<; 5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+; 6、若0,0x y ≥≥,则[][][]xy x y ≥; 7、[][][]1 x x x ?--?-=?-?? 8、若n N + ∈,则[]x x n n ????=?????? ??;当1n =时,[][]x x ??=??; 9、若整数,a b 适合a bq r =+(0,,b q r >就是整数,0r b ≤<),则a q b ?? =???? ; 10、x 就是正实数,n 就是正整数,则在不超过x 的正整数中,n 的倍数共有x n ?? ???? 个; 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像与性质、 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质与特征、 (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方、 (2)由[]x y =的性质知[]x 的图像就是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形、 可见函数[]x y =就是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下(a ) 定理2 设[]x x x f -=)(,则)(x f 就是一有界、周期为1的非单调函数,其图像如(b )、 例1、方 程 []1x x =-实数根的个数 例2、函数()f x 定义在R 上,对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>,则函数()f x 在R 上就是否 为增函数,请说明理由。 例3、作出函数为[sin ]y x =的图像、 例4、定义函数[],1,y x n n x n n N * ==≤<+∈,若 315 22 y <<,求实数 x 的取值范围。 例5、已知{}n a 就是首项为1,公比为q 的等比数列,121231n n n n n n P a a C a C a C +=++++L * (,2)n N n ∈>,2[]0 242 n n n n n n Q C C C C =++++L ,(其中[]t 表示不超过t 的最大整数,如[2.3]2=),如果数列{ }n n P Q 有极限,求公比q 的取值范围。 例6、已知{}n a 就是首项为0a 的非常数等差数列,] 2 ] 2 2[2 40242[n n n n n n P a a C a C a C =++++L , 1 ]112 1 ]12 2[ 355132[ n n n n n n n Q C a a C a C a C -+-+=++++L ,其中[]t 表示不超过t 的最大整数,如 [2.3]2=),求n n P Q + 例7、定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1 [1.3]2=-=-，,当[0,)()x n n N *∈∈时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ; (1)求通项n a ;(2)求{}n a 的前n 项的与n S ;(3)求90 n a n +的最小值。 例8、解方程56157 85x x +-??=? ??? 例9、解方程[]3 33x x -= (x 不就是整数时) (x 就是整数时) ()a () b
高斯函数_常见题型
高斯函数_常见题型 一、常见题型与相关例题 1、 整数问题 例1、 在项数为1987的数列222121987,,,198719871987?????? ??????????????? 中有多少个不同的整数？ 2、 方程问题 方程问题主要有解方程与讨论方程的根两种题型。 例2、 解方程33[]3x x -=。 例3、 证明方程2345[][2][2][2][2][2]12345x x x x x x +++++=无实数解。 3、 恒等问题 这类问题主要是证明一些由[x]构成的恒等式。例如1().22n n n n N * +???? +=∈???????? 例4、（Hermite 恒等式）若n 是正整数，x R ∈，则 1 0[]n k k x nx n -=? ?+=??? ?∑. 例5、已知,n N *∈求证：[1]41[42][43]n n n n n ++=+=+=+ 4、 不等问题 不等问题主要涉及含[x]的不等式分析。此类问题一般难度较大。 例6、设,x y R ∈，试证： （1）、[2][2][][][];x y x y x y +≥+++ （2）、[3] [3][][]2[]x y x y x y +≥+++. 注：与上面不等式相类似地还有 （3）、[4][4][][][2][2].x y x y x y y x +≥+++++ （4）、[5] [5][][][3][3].x y x y x y y x +≥+++++ 例7、设,,x R n N * ∈∈试证：1[] [][].n k kx n x nx k =≤ ≤∑ 例8、证明不等式[ ][][][2][2]ααββαβ+++≥+对任意不小于1的实数,αβ 立。 例9、求所有正整数n 使得2 2min()1991.k N n k k * ∈?? +=????
高斯函数
高斯函数[x] 程乐根 1 一、定义 ,[][]R x R x x y x Z ∈=1、定义：设用表示不超过的最大整数。 通常称函数为取整函数，也叫高斯函数。显然，其定义域是，值域是。 {}=[]{}R [0,1)x x x y x x -=2、进一步，记则称函数为小数部分函数，它表示的是的小数部分， 显然，其定义域是，值域是。 2 二、高斯函数y=[x]的性质 121212121212**,1[]. [],,,[][]. ,[][],().,,[][][].,[][],(). [] ,[][],(). x R x x x y x x x R x x x x m Z m x m x x R x x R x x x x n N nx n x x R x x n N x R n n ?∈-<≤=?∈≤≤∈+=+∈∈+≥+∈≥∈∈=∈性质1：性质2：函数是不减的函数，即若则性质3：若则有其中性质4：若则性质5：若则其中性质6：若则其中3 二、高斯函数y=[x]的性质 **23,[1,][],![][][]... n N x x x n n n N n n n n p p p p ∈∈+++定理1：若是正实数，则在区间中内， 恰有个整数是的倍数。 定理2：：若则在的质因数分解式中， 质数的指数是4 三、函数y={x}的性质 *{}0. ,{}{},().,,, 0,{}{}. x x Z m Z m x x x R m aq r m Z a N m r r a a a =∈∈+=∈=+∈∈≤<=性质1：的充要条件是性质2：若则有其中性质3：若则53[] 3.(20) x x -=例1：解方程：第届莫斯科数学竞赛题6
不定方程的解法
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2发展历史编辑本段 不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，
公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3常见类型编辑本段 ⑴求不定方程的解； ⑵判定不定方程是否有解； ⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。 4方程相关编辑本段 4.1一次不定方程 二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab ≠ 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个解，则此方程的解可表为{(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数}。 S（?2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+…+asxs=n0a1，…，as，n为整数，且a1…as≠0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，…，as的最大公约数整除n。 埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法： 一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。 二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1 高斯函数定理2 设f(x) x x，贝y f(x)是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b). 一、知识概要 1、定义：设x R，用x表示不超过x的最大整数。贝U y x称为高斯函数，也叫取整函数。显然， y x的定义域是R，值域是Z。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和， 即x x a 0 a 1，因此，x x x 1，这里，x为x的整数部分，而x x x 为x的小数部分。 2、性质 1、函数y x是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1 x2时，有x1x2； 2、n x n x，其中n Z ; 3、x 1x x x 1; 4、若x y n ,则x n a, y n b,其中0a, b 5、对于「切实数x, y有x y x y ; 6、若x0,y0 ,则xy x y ; 7、x x 1(x不是整数时) x (x是整数时) 8若n N 5 x 则 x；当n 1时，x x n n 9、若整数a,b适合a bq r ( b 0,q,r是整数，Orb)，贝U - q ； b x 10、x是正实数，n是正整数，则在不超过x的正整数中，n的倍数共有 - 个； n 下面再来讨论高斯函数x的图像及x的图像和性质. 对于函数y x ,如何做出它的图像呢？我们先来分析一下高斯函数x的图像的基本性质和特征? (1) 由y x的性质知x的图形在y x的图形的下方? (2) 由y x的性质知x的图像是一组阶高为1的平行于x轴的平行线段，这组平行线段呈阶 梯形? 可见函数y x是一个不减(非单调)的非周期的函数，其图像如下(a) (b) 例1、方程[x] x 1实数根的个数 例2、函数f (x)定义在R上，对任意x R,有f(x 1) 为增函数， 请说明理由。 例3、作出函数为y [sin x]的图像. 例4、定义函数y x n, n x n 1, n N ,若— 2 f (x)，则函数f (x)在R上是否 x的取值范 围。 与高斯函数有关的高考压轴题 董永春 （成都戴氏高考中考肖家河总校数学组，四川成都，611000） 1高斯函数问题的提出 早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设用R,用[刘或表示不超过x的最大整数，并用〃｛” 〃表示兀的非负纯小数，则y = [x]称为高斯函数，也叫取整幣数。高斯函数[兀]的定义域是/?,值域为乙其图象是不连续的水平线段。在初中、尚屮数学竞赛屮经常岀现含有取整函数的问题。笔者在髙三复习时发现欧拉常数问题⑴在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。 2高斯函数有关的准备 我们只提出本文需要的一些性质x = [x] + x-l<[x] 对于③，市题意知—和益都是整数，故“+]=[——]> 董永春 (成都戴氏高考中考肖家河总校数学组, 四川成都，611000) 1 高斯函数问题的提出 早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设x ∈R ，用 [x ]或int (x )表示不超过x 的最大整数，并用"{}x "表示x 的非负纯小数,则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。高斯函数[x ]的定义域是R ,值域为Z ,其图象是不连续的水平线段。在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。笔者在高三复习时发现欧拉常数问题[1] 在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。 2 高斯函数有关的准备 我们只提出本文需要的一些性质[]{}x x x =+，[]1x x x -<≤[]1x <+， 1101010n n x x -????-????表示取x 的各分位小数。 3 高斯函数有关问题的解决 例 1 （2012四川16）记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如，[2]2=，[1.5]1=， [0.3]1-=-。设a 为正整数，数列{}n x 满足1x a =，1[ ][ ]()2 n n n a x x x n N *++=∈，现有下 列命题： ①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5,3,2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时总有n k x x =； ③当1n ≥ 时，1n x >； ④对某个正整数k ，若1k k x x +≥ ，则n x =。 其中的真命题有_①__③___④______。（写出所有真命题的编号） 分析：①显然成立，对于②，取3a =，12343,1,3,1,...x x x x ====为摆动数列，②错。 对于③，由题意知n a x ?????? 和n x 都是整数，故1[]1[ ]222n n n n n a a x x x x x +??++?? ??=≥- 高斯函数[]X 的应用及其推广 郭胜红 （甘肃建筑职业技术学院，甘肃 兰州 730050） 摘 要 给出了高斯函数的定义、性质、函数图象的特征，讨论了其应用，并将其做了推广. 关键词 高斯函数,广义高斯函数 (一)高斯函数[]x 的一些性质 高斯函数[]x ,在数论中是一种极为重要的函数,但它的运用却并不仅限于在数论中,在数学的许多分支及其它学科领域中有广泛的应用,均显示了该函数的优越性.本文主要从高斯函数的定义出发类比讨论了广义高斯函数的一些基本性质及其有关的积分问题,并给了一些关于广义高斯函数的例子. 定义1 ,R x ∈[]x 表示不超过x 的最大整数,则函数[]x y =称为高斯函数. 我们记{}[]x x x -=称为x 小数部分, {}10≤≤x . 由高斯函数的定义立刻可以得到如下简单的性质: 定理1 设R y x ∈,,我们有 (1) [][]1+≤≤x x x . (2) 若,y x ≤则[][]y x ≤. (3) [][]x n x n +≤+. (4) [][][]?? ??--∈-=-) (1 )(Z x x Z x x x (5) [][][]y x y x +≤+. (6) [][][]y x y x -≤-或[]1+-y x . (7) [][][][][]y y x x y x +++≥+22. 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{} x 的图像和性质. 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢?我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质和特征. (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在 x y =的图形的下方. (2) 由[]x y =的性质知[]x 的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈阶梯形. 可见函数[]x y =是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像如下 (a) (a) 定理2 设[]x x x f -=)(，则)(x f 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如 (b). (b) (二)高斯函数的拓广 下面讨论广义高斯函数的问题 定义2 假定函数)(x f 为定义在区间I 上 高斯函数 一、 知识概要 1， 定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2，性质 1，函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2，[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3，[][]11x x x x -<≤<+； 4，若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5，对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6，若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7，[][][]1 x x x ?--?-=? -?? 8，若n N + ∈，则[]x x n n ???? =? ????? ??；当1n =时，[][]x x ??=??； 9，若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ??=???? ； （x 不是整数时） （x 是整数时） 10，x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?????? 个； 11，设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有： ()()12!m m m n n n p n p n p p p p +?????? =+++≤ 纵观数学史，最富传奇性的不定方程必然是：x n+y n=z n。 1637 年左右，法国“最伟大业余数学家”费马在研究丢番图《算术》时，在该书的第二卷页边写下了这样一个定理“x n+y n=z n，当n是大于2的整数时，没有正整数解”，单单是如此简洁的一个定理就有足够的吸引了，然而让众多数学家们深陷其中的则是费马接下来的一句话“我已发现了一种美妙的证法，可惜这里的空白太小，写不下”。 这个方程究竟有多传奇？就让我们从证明的历史中感受吧！ 1753 年，欧拉证明了n=3 时成立，不过n还有无限种情况 呢… 1816 年，巴黎科学院说：证明n是质数时成立就行了嘛，于是设了个奖，费马大定理火了。 1847 年，拉梅和柯西说：我证明了！可德国数学家库默尔说：你俩错了。 1850 年，库默尔说：我证明了100 以内除37、59、67 都成立。 1926 年，范狄维尔：库默尔你也不全对，n<211 时都成立。 二十世纪前期，勒贝格说：我证明了！不过很遗憾，发现又错了。 1908 年，沃尔夫斯凯尔奖设立，因为富豪沃尔夫斯凯尔在决意自杀前看到了费马大定理，算着算着就不想自杀了，救命之恩啊有没有！奖金十万马克啊有没有！ 1955 年，谷山-志村猜想提出，等等，这是解决椭圆问题的，和费马大定理有啥关系？ 1984 年，弗雷认为：应该有关系！可惜当时谷山丰没意识到，否则他应该不会自杀吧！ 1986 年，里贝特说：真的有关系！证明谷山---志村猜想就证明了费马大定理。 1993 年，安德鲁·怀尔斯说：我证明了！ 不会再错了吧？严格的审查后确定：真的又错了，有严重漏洞！ 怀尔斯说：知错就改，我再证！怀尔斯修补了漏洞，绝地逢生！大奖和奖金也收获囊中。 至此，费马大定理得到了最终证明！证明过程历时358年，横跨数学多个分支，吸引众多数学大师，其中历经种种艰辛，远不像文中如此轻描淡写，笔者也非常想详细描述，只是… “这里空白太小，写不下” 2011 年，谷歌（Google）纪念费马诞辰450 周年的Logo §28高斯函数 数论函数][x y =，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. 定义一：对任意实数][,x x 是不超过x 的最大整数，称][x 为x 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数].[}{},{x x x x y -== 由][x 、}{x 的定义不难得到如下性质： （1）][x y =的定义域为R ，值域为Z ；}{x y =的定义域为R ，值域为)1,0[ （2）对任意实数x ，都有1}{0},{][<≤+=x x x x 且. （3）对任意实数x ，都有x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][. （4）][x y =是不减函数，即若21x x ≤则][][21x x ≤，其图像如图I －4－5－1； }{x y =是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2. 图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2 （5）}{}{];[][x n x x n n x =++=+.其中* ∈∈N n R x ,. （6）∑∑==∈≥+≥++≥+n i i i n i i R x x x y x y x x y x y x 1 1 ],[][ };{}{}{{];[][][；特别地， ].[][ b a n b na ≥ （7）][][][y x xy ?≥，其中+∈R y x ,；一般有∑∏=+=∈≥n i i i n i i R x x x 1 1 ],[][ ；特别地， *∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][. （8）]] [[ ][n x n x =，其中*∈+∈N n R x , . 例题讲解 1．求证：,2!211--=?k n n n 其中k 为某一自然数. 2．对任意的∑∞ =+* +=∈0 1].22[,K k k n S N n 计算和 3．计算和式.]503 305[ 502 的值∑==n n S 4．设M 为一正整数，问方程2 2 2 }{][x x x =-，在[1，M]中有多少个解？ 5．求方程.051][4042 的实数解=+-x x 高斯函数具有五个重要的性质高斯函数具有五个重要的性质，这些性质使得它在早期图像处理中特别有用.这些性质表明，高斯平滑滤波器无论在空间域还是在频率域都是十分有效的低通滤波器，且在实际图像处理中得到了工程人员的有效使用.高斯函数具有五个十分重要的性质，它们是：(1)二维高斯函数具有旋转对称性，即滤波器在各个方向上的平滑程度是相同的.一般来说，一幅图像的边缘方向是事先不知道的，因此，在滤波前是无法确定一个方向上比另一方向上需要更多的平滑.旋转对称性意味着高斯平滑滤波器在后续边缘检测中不会偏向任一方向. (2)高斯函数是单值函数.这表明，高斯滤波器用像素邻域的加权均值来代替该点的像素值，而每一邻域像素点权值是随该点与中心点的距离单调增减的. 这一性质是很重要的，因为边缘是一种图像局部特征，如果平滑运算对离算子中心很远的像素点仍然有很大作用，则平滑运算会使图像失真. (3)高斯函数的付立叶变换频谱是单瓣的.正如下面所示，这一性质是高斯函数付立叶变换等于高斯函数本身这一事实的直接推论.图像常被不希望的高频信号所污染(噪声和细纹理).而所希望的图像特征(如边缘)，既含有低频分量，又含有高频分量.高斯函数付立叶变换的单瓣意味着平滑图像不会被不需要的高频信号所污染，同时保留了大部分所需信号. (4)高斯滤波器宽度(决定着平滑程度)是由参数σ 表征的，而且σ 和平滑程度 的关系是非常简单的.σ 越大，高斯滤波器的频带就越宽，平滑程度就越好. 通过调节平滑程度参数σ ，可在图像特征过分模糊(过平滑)与平滑图像中由于噪声和细纹理所引起的过多的不希望突变量(欠平滑)之间取得折衷. (5)由于高斯函数的可分离性，大高斯滤波器可以得以有效地实现.二维高斯函数卷积可以分两步来进行，首先将图像与一维高斯函数进行卷积，然后将卷积结果与方向垂直的相同一维高斯函数卷积.因此，二维高斯滤波的计算量随滤波模板宽度成线性增长而不是成平方增长.2 函数的表达式和图形在这里编辑公式很麻烦，所以这里就略去了。可以参看相关的书籍，仅给出matlab 绘图的代码alf=3；n=7；%定义模板大小n1=floor((n+1)/2)；%确定中心for i=1：n a(i)=exp(-((i-n1).^2)/(2*alf^2))；for j=1：n b(i,j)=exp(-((i- n1)^2+(j-n1)^2)/(4*alf))/(4*pi*alf)；end end subplot(121),plot(a),title('一维高斯函数')subplot(122),surf(b),title('二维高斯函数') 整除、同余与高斯函数 一、整除 对于整数a (本讲字母均表示整数)和不为零的整数b,我们有带余除法:a bq r =+,(0)r b ≤<.其中q 称为商,r 称为余数. 特别地,若0r =,即a bq =,则 称a 被b 整除或称b 整除a ,记为|b a ; 若0r ≠,则称b 不整除a ,记为b a .若|b a , 我们也称a 是b 的倍数,b 是a 的约数(或因数).整除有下面的基本性质: 1.若|a b ,|b c ,则|a c . 2.若|a b ,k 为整数,则|a kb . 3.若|a bc ,且a 与c 互质,则|a b , 特别地,若质数|p bc ,则必有|p b 或|p c . 4.若|a b , |a c , 则|()a b c ±. 5.若|b a , |c a , 且b 与c 互质, 则|bc a . 例1. 求出所有的正整数n ,使得n . 精析 令()2 21k n k ≤<+，即n 介于两个完全平方数之间是解题的突破口. 全解 设()221k n k ≤<+， 当3k ≥时， 1,2, ,n n k n . 因为()2,11k k --=，()1,1k k -=，()2,2k k -≤， 所以 ()()1 122 k k k n --. ()()()2 11212 k k k n k --≤<+， 故 325220k k k ---<， 即 ()()22512k k --<. 得 3,45k =或. 所以 36n <. 当14n ≤<，有1,1,2,3n n =都满足条件； 当49n ≤<，有1,2,4,6,8n n n =都满足条件； 北大博雅15.4.满足1112015 x y +=，且x y ≤的正整数对(,)x y 的个数为（ ） A.12 B.15 C.18 D.前三个答案都不对 北大博雅2015.5.整数,,a b c ，满足()()()a b b c c a a b c ---=++，则a b c ++有可能等于（ ） A.126 B.144 C.162 D.前三个答案都不对 北大博雅2016.15.三个不同的实数,,x y z 满足3232323323x x y y z -=-=-，则x y z ++（ ） A.-1 B.0 C.1 D.前三个答案都不对 15.【解答】D 设323232333x x y y z z m -=-=-=，则x y z ，，是关于t 方程323t t m -=的三个实数根，其中m 为常数，由韦达定理可知，x y z ++=3。 【评析】三次方程的韦达定理，没有特别的技巧。 北大博雅2016.18.1!2!2016!+++除以100所得余数为（ ） A.3 B.13 C.27 D.前三个答案都不对 18.【解答】B 由于当10n ≥且n N ∈时，100|n !，于是1！+2！+ (2016) 1!2!...9!1262420+20+40+20+8013mod100≡+++≡++++≡（） 【评析】简单的同余计算能力，是大家必须要掌握的。 北大博雅2016.19.方程组23234345,,x y z x y z x y z ?+=?+=??+=?的实数解组数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.前三个答案都不对 19.【解答】C 顺次记方程组中方程为(1)，(2)，(3)，则(1)×(3)-(2)2可得()220xy x y -=，从而x =0或y =0或x =y 。 情形一：x =0或y =0 此时可得(x ,y ,z )=(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)，(-1,0,-1) 情形二：x =y 且0xy ≠ 此时可得(x ,y ,z )=(-1,-1,0)，)，。综上所述，原方程有7组实数解。 【评析】数论中的不定方程，此题亦不算难题，注意方程形式进行变形处理即可。 清华领军2016.2.已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112 x y z ++=的解有多少组？ A.8 B.10 C.11 D.12 2.【解答】B. 由0x y z <≤≤知111132x y z x =++≤，又111112 x x y z <++=得26x <≤。 (1) 6x =时， 111132x y z x =++≤取等，由取等条件知x y z ==，此时方程有一组解（6,6,6） (2) 5x =时，111152 y z ++=整理得()()310310100y z --=由()3103102mod3y z -≡-≡，100分解为两个模3余2的因数相乘有：250?，520?，3102y -=时4y x =<，舍去得到一组解（5,5,10） (3) 4x =时111142 y z ++=，整理得()()4416y z --=，由161162844=?=?=?分别解得三组解（4,5,20），（4,6,12），（4,8,8） v1.0 可编辑可修改 高斯函数 一、 知识概要 1、定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，而{}[]x x x =-为x 的小数部分。 2、性质 1、函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤； 2、[][]n x n x +=+，其中n Z ∈； 3、[][]11x x x x -<≤<+； 4、若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<； 5、对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+； 6、若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥； 7、[][][]1x x x ?--?-=?-?? 8、若n N + ∈，则[]x x n n ???? =?????? ??；当1n =时，[][]x x ??=??； 9、若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b ??=???? ； 10、x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n ?????? 个； 下面再来讨论高斯函数[]x 的图像及{}x 的图像和性质. 对于函数[]x y =,如何做出它的图像呢我们先来分析一下高斯函数[]x 的图像的基本性质和特征. (1)由[]x y =的性质知[]x 的图形在x y =的图形的下方. (2)由[]x y =的性质知[]x 的图像是一组阶高为1的平行于x 轴的平行线段,这组平行线段呈 阶梯形. 可见函 数 []x y =是一个不减(非单调) 的非周期的函数,其图像 如下(a ) 定理2 设[]x x x f -=)(，则)(x f 是一有界、周期为1的非单调函数，其图像如(b ). 例1、方程[]1x x =-实数根的个数 例2、函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈,有(1)()f x f x +>，则函数()f x 在R 上是否 为增函数，请说明理由。 （x 不是整数时） （x 是整数时） ()a () b高斯函数
高斯函数有关的高考压轴题.doc
高斯函数有关的高考压轴题
高斯函数
高斯函数讲义-----学生用
第5讲 高斯记号和不定方程
高中数学竞赛讲义-高斯函数
高斯函数具有五个重要的性质
整除、同余与高斯函数
同余与不定方程
高斯函数