6.示范教案(3.1 单调性与最大(小)值 第1课时)

1.3 函数的基本性质

1.3.1 单调性与最大（小）值

整体设计

教学分析

在研究函数的性质时，单调性和最值是一个重要内容.实际上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图象得出，而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有从图象上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证明的较为严格的方法、最好根据图象观察得出猜想，用推理证明猜想的正确性,这样就将以上两种方法统一起来了.

由于函数图象是发现函数性质的直观载体，因此，在本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情境，以利于学生作函数图象，有更多的时间用于思考、探究函数的单调性、最值等性质.还要特别重视让学生经历这些概念的形成过程，以便加深对单调性和最值的理解. 三维目标

1.函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

2.理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力.

3.通过实例，使学生体会、理解到函数的最大（小）值及其几何意义，能够借助函数图象的直观性得出函数的最值，培养以形识数的解题意识.

4.能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性.

重点难点

教学重点:函数的单调性和最值.

教学难点:增函数、减函数、奇函数、偶函数形式化定义的形成.

课时安排

2课时

设计方案（一）

教学过程

第1课时函数的单调性

导入新课

思路1.德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850~1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试，得到了一些数据.

观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？描出这个函数图象的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线).从左向右看,图象是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?（可以借助信息技术画图象）

图1-3-1-1

学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为x轴，以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1-3-1-1所示.

遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律.随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆.教师提示、点拨，并引出本节课题.

思路2.在第23届奥运会上，中国首次参加就获15枚金牌；在第24届奥运会上，中国获5枚金牌；在第25届奥运会上，中国获16枚金牌；在第26届奥运会上，中国获16枚金牌；在第27届奥运会上，中国获28枚金牌；在第28届奥运会上，中国获32枚金牌.按这个变化趋势，2008年，在北京举行的第29届奥运会上，请你预测一下中国能获得多少枚金牌？学生回答(只要大于32就可以算准确),教师：提示、点拨，并引出本节课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①如图1-3-1-2所示为一次函数y=x，二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

图1-3-1-2

②函数图象上任意点P(x,y)的坐标有什么意义？

③如何理解图象是上升的？

2

⑤在数学上规定：函数y=x2在区间(0,+∞)上是增函数.谁能给出增函数的定义？

⑥增函数的定义中，把“当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”,这样行吗?

⑦增函数的定义中，“当x1

⑧增函数的几何意义是什么？

⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？

⑩函数y=f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势？

讨论结果:①函数y=x的图象,从左向右看是上升的；函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的.

②函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义：横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为

x时对应的函数值的大小.

③按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.

④在区间(0,+∞)上，任取x1、x2，且x1

⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1

⑥可以.增函数的定义：由于当x1x2时，都有f(x1)>f(x2)”都是相同的不等号“>”，也就是说前面是“>”，后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数.

⑦函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.

⑧从左向右看,图象是上升的.

⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小.总结：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增(或减)区间.

⑩函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.

应用示例

思路1

例1如图1-3-1-3是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

图1-3-1-3

活动：教师提示利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.图象上升则在此区间上是增函数，图象下降则在此区间上是减函数.

解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.

点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象，通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.

图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

变式训练

课本P 32练习1、3.

例2物理学中的玻意耳定律p=V

k （k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明.

活动：学生先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，教师再提示,及时纠正学生解答过程出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤.体积V 减少时，压强p 将增大是指函数p=V

k 是减函数；刻画体积V 减少时，压强p 将增大的方法是用不等式表达.已知函数的解析式判断函数的单调性时，常用单调性的定义来解决.

解：利用函数单调性的定义只要证明函数p=V

k 在区间(0,+∞)上是减函数即可. 点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性.

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是第一步：在所给的区间上任取．

两个自变量x 1和x 2,通常令x 1

较f(x 1)和f(x 2)的大小,通常是用作差比较法比较大小,此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步：再．

归纳结论.定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”,因此简称为：“去比赛．．．

”. 变式训练

课本P 32练习4.

思路2

例1（1）画出已知函数f(x)=-x 2+2x+3的图象；

（2）证明函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数；

（3）当函数f(x)在区间(-∞,m ］上是增函数时，求实数m 的取值范围.

图1-3-1-4

解：（1）函数f(x)=-x 2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.

(2)设x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1

f(x 1)-f(x 2)=(-x 12+2x 1+3)-(-x 22+2x 2+3)

=(x 22-x 12)+2(x 1-x 2)

=(x 1-x 2)(2-x 1-x 2).

∵x 1、x 2∈(-∞,1］，且x 1

∴2-x 1-x 2>0.∴f(x 1)-f(x 2)<0.∴f(x 1)

∴函数f(x)=-x 2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数.

（3）函数f(x)=-x 2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-∞,m ］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(-∞,1］.

点评：本题主要考查二次函数的图象、函数的单调性及其应用.讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图象的特点来分析；二次函数在对称轴两侧

的单调性相反；二次函数在区间D 上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D 内. 判断函数单调性时，通常先画出其图象，由图象观察出单调区间，最后用单调性的定义证明.

判断函数单调性的三部曲：

第一步，画出函数的图象，观察图象，描述函数值的变化趋势；

第二步，结合图象来发现函数的单调区间；

第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论.

函数的单调性是函数的一个重要性质,是高考的必考内容之一.因此应理解单调函数及其几何意义,会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性.函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型.

变式训练

已知函数f(x)是R 上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).

(1)用函数单调性定义证明F(x)是R 上的增函数；

(2)证明函数y=F(x)的图象关于点(2

a ,0)成中心对称图形. 活动：（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法判断单调性的步骤是要按格式书写；（2）证明函数y=F(x)的图象上的任意点关于点(

2a ,0)的对称点还是在函数y=F(x)的图象上即可.

解：（1）设x 1、x 2∈R ，且x 1

F(x 1)-F(x 2)=［f(x 1)-f(a-x 1)］-［f(x 2)-f(a-x 2)］

=［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］.

又∵函数f(x)是R 上的增函数，x 1

∴f(x 1)

∴［f(x 1)-f(x 2)］+［f(a-x 2)-f(a-x 1)］<0.

∴F(x 1)

（2）设点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x 0,F(x 0))关于点(

2a ,0)的对称点M′(a -x 0,-F(x 0)).

又∵F(a-x 0)=f(a-x 0)-f(a-(a-x 0))

＝f(a-x 0)-f(x 0)

＝-［f(x 0)-f(a-x 0)］

=-F(x 0),

∴点M′(a -x 0,-F(x 0))也在函数F(x)图象上，

又∵点M(x 0,F(x 0))是函数F(x)图象上任意一点，

∴函数y=F(x)的图象关于点(2

a ,0)成中心对称图形. 例2(1)写出函数y=x 2-2x 的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

图1-3-1-5

(3)定义在［-4,8］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

(4)由以上你发现了什么结论?试加以证明.

活动：学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示:

（1）画出二次函数y=x2-2x的图象，借助于图象解决；（2）类似于（1）；（3）根据轴对称的含义补全函数的图象，也是借助于图象写出单调区间；（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明.

解：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-∞,1),单调递增区间是(1,+∞);对称轴是直线x=1;区间(-∞,1)和区间(1,+∞)关于直线x=1对称,而单调性相反.

(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-∞,0),单调递增区间是(0,+∞);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-∞,0)和区间(0,+∞)关于直线x=0对称,而单调性相反.

(3)函数y=f(x),x∈［-4,8］的图象如图1-3-1-6.

图1-3-1-6

函数y=f(x)的单调递增区间是［-4,-1］,［2,5］;单调递减区间是［5,8］,［-1,2］;区间［-4,-1］和区间［5,8］关于直线x=2对称,而单调性相反,区间［-1,2］和区间［2,5］关于直线x=2对称,而单调性相反.

(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:

不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数,区间［a,b］关于直线x=m的对称区间是［2m-b,2m-a］.

由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).

设2m-b≤x12m-x2≥a,

f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).

又∵函数y=f(x)在［a,b］上是增函数,∴f(2m-x1)-f(2m-x2)>0.

∴f(x1)-f(x2)>0.∴f(x1)>f(x2).

∴函数y=f(x)在区间［2m-b,2m-a］上是减函数.

∴当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间［a,b］上是增函数时,其在［a,b］关于直线x=m的对称区间［2m-b,2m-a］上是减函数,即单调性相反.

因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m 对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.

点评：本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论,这是我们认识世界发现问题的主要方法,这种方法的难点是猜想,突破路径是寻找共同的特征.本题作为结论记住，可以提高解题速度.图象类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图象也能观察出函数的性质特征.这需要有细致的观察能力.

变式训练

函数y=f(x)满足以下条件:

①定义域是R ;

②图象关于直线x=1对称;

③在区间［2,+∞)上是增函数.

试写出函数y=f(x)的一个解析式f(x)=(只需写出一个即可,不必考虑所有情况).

活动：根据这三个条件，画出函数y=f(x)的图象简图（只要能体现这三个条件即可），再根据图象简图，联系猜想基本初等函数及其图象和已有的解题经验写出.

解：定义域是R 的函数解析式通常不含分式或根式，常是整式；图象关于直线x=1对称的函数解析式满足：f(x)=f(2-x)，基本初等函数中有对称轴的仅有二次函数，则由①②想到了二次函数；结合二次函数的图象，在区间［2,+∞)上是增函数说明开口必定向上，且正好满足二次函数的对称轴直线x=1不在区间［2,+∞)内，故函数的解析式可能是y=a(x-

1)2+b(a>0).

结合二次函数的图象和性质，可知这三条都可满足开口向上的抛物线，故有：

形如y=a(x-1)2+b(a>0)，或为y=a|x-1|+b(a>0)等都可以，答案不唯一.

知能训练

课本P 32练习2.

【补充练习】

1.利用图象法写出基本初等函数的单调性.

解：①正比例函数：y=kx(k≠0)

当k>0时，函数y=kx 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx 在定义域R 上是减函数.

②反比例函数：y=

x

k (k≠0) 当k>0时，函数y=x

k 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞)，不存在单调递增区间；当k<0时，函数y=x k 的单调递增区间是(-∞,0)，(0,+∞),不存在单调递减区间. ③一次函数：y=kx+b(k≠0)

当k>0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是增函数；当k<0时，函数y=kx+b 在定义域R 上是减函数.

④二次函数：y=ax 2+bx+c(a≠0)

当a>0时，函数y=ax 2+bx+c 的单调递减区间是(-∞,a b 2-］，单调递增区间是［a

b 2-,+∞)； 当a<0时，函数y=ax 2+bx+

c 的单调递减区间是［a b 2-,+∞)，单调递增区间是(-∞,a b 2-］. 点评：以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度.

2.已知函数y=kx+2在R 上是增函数，求实数k 的取值范围.

答案：k ∈(0,+∞).

3.二次函数f(x)=x 2-2ax+m 在(-∞,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，求实数a 的值. 答案：a=2.

4.2005年全国高中数学联赛试卷，8已知f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数，若f(2a 2+a+1)

分析:∵f(x)的定义域是(0,+∞)，

∴?????>+>++0.

14a -3a 0,1a 2a 22解得a<31或a>1. ∵f(x)在(0,+∞)上是减函数，

∴2a 2+a+1>3a 2-4a+1.∴a 2-5a<0.

∴0

31或1

1)∪(1,5) 点评：本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式.解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式. 拓展提升

问题：1.画出函数y=

x

1的图象，结合图象探讨下列说法是否正确？ （1）函数y=x 1是减函数；（2）函数y=x

1的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.对函数y=x 1,取x 1=-1

1，满足当x 1＜x 2时f(x 1)

解答：1.（1）是错误的，从左向右看,函数y=

x 1的图象不是下降的. （2）是错误的，函数y=x

1的单调递减区间是(-∞,0),(0,+∞).这表示在区间(-∞,0)∪(0,+∞)即定义域上是减函数，在定义域上函数y=x

1的图象，从左向右看不是下降的，因此这是错误的.

2.不对.这个过程看似是定义法，实质上不是.定义中x 1、x 2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替.

3.函数单调性定义中的x 1、x 2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性.

点评：函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；函数y=f(x)在区间(a,b)和(b,c)上均是增（减）函数，那么在区间(a,b)∪(b,c)上的单调性不能确定. 课堂小结

本节学习了:①函数的单调性;②判断函数单调性的方法:定义法和图象法.

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师提示、点拨，及时评价.

引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结.

作业

课本P39习题1.3A组2、3、4.

设计感想

“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”.本设计致力于展示概念是如何生成的.在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材.

本节课是函数单调性的起始课,采用教师启发引导,学生探究学习的教学方法,通过创设情境,引导探究,师生交流,最终形成概念,获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学,为学生提供直观感性的材料,有助于学生对问题的理解和认识.考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点,对判断方法进行适当的延展,加深对定义的理解,同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.

设计方案（二）

教学过程

第1课时函数的单调性

导入新课

思路1.

为了预测北京奥运会开幕式当天的天气情况，数学兴趣小组研究了2002年到2006年每年这一天的天气情况，如图1-3-1-7是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

图1-3-1-7

问题：观察图1-3-1-7，能得到什么信息？

(1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.

引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考回答.教师：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的.归纳：用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大或变小.

思路 2.如图1-3-1-8所示,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

图1-3-1-8

随x 的增大，y 的值有什么变化？

引导学生回答，点拨提示，引出课题.

设计意图:创设情景，引起学生兴趣.

推进新课

新知探究

提出问题

问题①:分别作出函数y=x+2,y=-x+2,y=x 2,y=

x

1的图象，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律.

如图1-3-1-9所示:

图1-3-1-9

问题②:能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

设计意图:从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识：直观感知. 问题③:如图1-3-1-10是函数y=x+

x

2(x>0)的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

图1-3-1-10

设计意图:使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性.

问题④:如何从解析式的角度说明f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数？

设计意图:把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识.事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习作好铺垫.

问题⑤:你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

设计意图:让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.

活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，

对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

引导方法与过程：问题①：引导学生进行分类描述图象是上升的、下降的(增函数、减函数)，同时明确函数的图象变化（单调性）是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质.

问题②：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观、描述性的认识. 学生的困难是难以确定分界点的确切位置.

问题③：通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究.

问题④：对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x 1、x 2.

问题⑤：师生共同探究：利用不等式表示变大或变小,得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义.

归纳总结：1.函数单调性的几何意义：如果函数y=f(x)在区间D 上是增（减）函数，那么在区间D 上的图象是上升的（下降的）.

2.函数单调性的定义：略.可以简称为步调一致增函数，步调相反减函数.

讨论结果：①(1)函数y=x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而增大；函数y=-x+2，在整个定义域内y 随x 的增大而减小.(2)函数y=x 2，在［0,+∞)上y 随x 的增大而增大，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.(3)函数y=x

1，在(0,+∞)上y 随x 的增大而减小，在(-∞,0)上y 随x 的增大而减小.

②如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x 的增大，y 越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数.

③不能.

④(1)在给定区间内取两个数，例如2和3，因为22<32，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.

(2)仿(1)，取多组数值验证均满足，所以f(x)=x 2在［0,+∞)上为增函数.

(3)任取x 1、x 2∈［0,+∞),且x 1

⑤略

应用示例

思路1

例1课本P 29页例1.

思路分析：利用函数单调性的几何意义.学生先思考或讨论，再回答.

点评：本题主要考查函数单调性的几何意义.

图象法求函数单调区间的步骤:

①画函数的图象；

②观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

图象法的难点是画函数的图象，常见画法有描点法和变换法.

答案：略.

变式训练

课本P 32练习4.

例2课本P 32页例2.

思路分析：按题意，只要证明函数p=V

k 在区间（0，+∞）上是减函数即可，用定义证明. 点评：本题主要考查函数的单调性.

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：（定义法）

①任取x 1、x 2∈D ，且x 1

②作差f(x 1)－f(x 2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）.

易错分析：错取两个特殊值x 1、x 2来证明.

答案：略.

变式训练

判断下列说法是否正确：

①已知f(x)=x

1,因为f(-1)

③若函数f(x)在区间(1,2］和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.

④因为函数f(x)=x 1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，所以f(x)=x

1在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数.

活动：教师强调以下三点后,让学生判断.

1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.

2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).

3.函数在定义域内的两个区间A 、B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A ∪B 上是增（或减）函数.

答案：这四个判断都是错误的.

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?

证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可.也就是说，只要找到两个特殊的自变量，不符合定义就行.

思路2

例1证明函数f(x)=x+x

2在(2,+∞)上是增函数. 思路分析：利用单调性的定义证明.可以利用信息技术，先画出函数的图象，体会一下再证明.

点评：本题主要考查函数的单调性.

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

答案：略.

变式训练

证明函数f(x)=x 在［0,+∞)上是增函数.

思路分析：此函数是一个具体的函数，用定义法证明.

思考：除了用定义外，如果证得对任意的x 1、x 2∈(a,b)，且x 1≠x 2有分 f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1式>0，能断定函数f(x)在区间(a,b)上是增函数吗?

活动：引导学生分析这种叙述与定义的等价性.让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)=x

在［0,+∞)上是增函数.

讨论结果：能.

例2用计算机画出函数y=2x x -2+的图象，根据图象指出单调区间，并用定义法证明. 思路分析：在图象上观察在哪个区间函数图象是上升的，在哪个区间函数图象是下降的，借助于单调性的几何意义写出单调区间，再用定义证明.

教师画出图象，学生回答，如果遇到障碍，就提示利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

点评：讨论函数单调性的三部曲：

第一步，画函数的图象；

第二步，借助单调性的几何意义写出单调区间；

第三步，利用定义加以证明.

答案：略.

变式训练

画出函数y=1

21-+x x 的图象，根据图象指出单调区间. 活动：教师引导学生利用变换法（也可以用计算机）画出图象，根据单调性的几何意义写出单调区间，再利用定义法证明.

答案：略.

知能训练

课本P 32练习2.

拓展提升

试分析函数y=x+x

1的单调性. 活动：先用计算机画出图象，找出单调区间，再用定义法证明.

答案：略.

课堂小结

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结.

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性.

(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论.

(3)数学思想方法：数形结合.

(4)函数单调性的几何意义是:函数值的变化趋势,即图象是上升的或下降的.

设计感想

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法.本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识.

考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.

作业:课本P 39习题1.3A 组2、3、4.

三角函数的单调性和最值

三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2.

5A Unit6 第一课时教案

5A Unit6 第一课时教案 5A Unit6 lesson plan for the first session

5A Unit6 第一课时教案 前言：小泰温馨提醒，英语作为在许多国际组织或者会议上都是必需语言，几乎所有学校 选择英语作为其主要或唯一的外语必修课。英语教学涉及多种专业理论知识，包括语言学、第二语言习得、词汇学、句法学、文体学、语料库理论、认知心理学等内容。本教案根据 英语课程标准的要求和针对教学对象是小学生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定 合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本 文下载后内容可随意修改调整及打印。 第一部分简要提示 一、年级：5年级 二、单元：unit6 三、课题：doing housework 四、课型：新授课 五、教学内容：单元parta 六、教学目标： 1.掌握单词、词组morning, home, ring, help, maths, housework, sweep, floor, homework, at home, help … with, see you. 2.能听懂、会说、会读日常交际用语the telephone is ringing. hello. is that …? how about …? can you come and help me with my maths? see you this afternoon. 七、重点难点：初步了解掌握句型what are you doing? i’m ____ing.

掌握电话用语hello. is that …? 第二部分教学过程 第一步：重难点突破 t: hello, boys and girls. nice to meet you. 同学们， 大家好。很高兴认识你们。 t: well, let’s begin our english lesson, ok? 下面， 就让我们开始上课吧。 t: first, let’s play an interesting guessing game. 首先，让我们一起来热热身，做一个有趣的游戏。在这个游戏中，请你仔细看我正在做什么动作，猜一猜这些动作是什么？are you ready? go! t: the 1st one: （做唱歌状） what am i doing? t: yes! ‘sing! ’ i’m singing. please look carefully.请仔细看。此处至ppt sing i’m singing. 我正在唱歌。 t: 怎么样？你猜对了吗？now try again: （做跳舞状）what am i doing? t: right! ‘dance!’ i’m dancing. please look carefully. 此处至ppt dance i’m dancing. 我正在跳舞。

四年级英语上册Unit6教案1牛津译林版

Unit6 At a snack bar 一、教学内容 译林版四上Unit 6 At a snack bar (Story time) 二、教学目标 1. 能听懂、会说、会读单词snack bar, a cup of coffee, a glass ofjuice, a glass of milk, a hamburger, noodles, a sandwich. 2. 能听懂、会说、会读，会说日常用语What would you like? I’d like… What about you? Anything else? 3. 能正确地理解并朗读对话内容，并能初步运用本课所学的词汇和日常用语进行点餐。 4. 学会合理安排饮食。 三、教学重点 1. 能听懂、会说、会读单词snack bar, a cup of coffee, a glass of juice, a glass of milk, a hamburger, noodles, a sandwich. 2. 能听懂、会说、会读，会说日常用语What would you like? I’d like… What about you? Anything else? 3. 能正确地理解并朗读对话内容，并能初步运用本课所学的词汇和日常用语进行点餐。 四、教学难点 1.能初步区分 a glass of和a cup of 的区别 2.能灵活运用本课所学的词汇和日常用语进行点餐。 五、教学准备 图字卡，实物道具（茶杯和玻璃杯），实物图片，练习纸 六、教学过程 Step 1 Greeting&Warming up 1. Greeting T: Hello, boys and girls. S: Hello, Miss Gu. T: Nice to see you. S: Nice to see you, too. 2. Sing a song《What would you like?》 T: Well done! You sing beautifully!I have some questions for you. Q1: What food can you hear in the song?出示单词food S: Dumplings, noodles, rice, hamburgers, hot dogs, French Fries, bread, pies. T: Good! And where can we buy them? S: At a supermarket/snack bar… T: Yes, maybe at a snack bar. (出示快餐店, 并通过出示相同发音的单词，教读snack 和bar ) Today we’ll learn Unit 6 At a snack bar揭题 Step 2 Presentation

总复习教案：函数的单调性与最值(学生版)

第三节 函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1， x 2 当x 1f (x 2) ，那么就说函 数f (x )在区间D 上是减函数 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1x D ．y ＝x |x | 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x (1－x )的最大值是( ) A.45 B.54 C.34 D.43 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性；

人教版四年级英语上册Unit6 第一课时教案

Unit6 Meet my family! 第一课时 杨家小学郭万玉 概述： 小学人教版四年级上册Unit6 Meet my family! 本单元共需六个课时，本节课是第一课时，本节课学习的主要内容是学习单词：parents, baby brother, puppy. 能够熟练运用句型How many people are there in your family, …? My family has six people. 在课堂教学中，教师要使教学内容生活化，结合学生的实际情境，使学生口语练习生活化、交际化，从而达到学以致用的目的。 设计理念: 在跨越式理念的指导下，以言语交际为中心，借助现代信息技术，努力为学生创设理想的英语学习环境，提供丰富的网络资源，倡导体验、实践、参与、交流与合作的学习方式。倡导任务型教学，把语言综合运用能力的培养落实在教学过程中。面向全体学生，突出“以人为本”的素质教育理想，使语言教学的过程同时成为提高人文素养、增强实践能力、培养创新精神的过程。 教学目标: 1.知识目标. 要求学生能够听，说，认读单词：parents, baby brother, puppy. 句子How many people are there in your family, …? My family has six people. 2.能力目标 能够熟练运用句型How many people are there in your family, …? My family has six people. 3.情感目标 结合实际生活，创设真实情境，激发学生学习兴趣和热情，提高学习的积极性和主动性，增长课外知识，激发学习热情。 拓展内容： 单词：uncle, aunt. 句型：There are … people in my family. 学情分析: 学习对象是四年级上学期的学生，他们在三年级已经学习了how many,以及与家庭成员有关的一些单词，他们对人物和数字这一类的学习很感兴趣，也有了一定的基础。本节

综合教程unit6教案

Unit6 Introduction: Aiming to control the ever-increasing population in China, only-child policy has resulted in many overwhelming side effects at present society. However, while some socialists actively appeal to change the situation, China, and many other countries are actually finding themselves facing a growing number of couples reluctant to a second child, even a child at all. What has caused the reluctance? What are the main concerns about have another child? The text, equipped with statistics and solid facts, demonstrate the disadvantages of having a second child. But the author is by no means against having a large family, because he has explicitly listed the problems caused by only-child situation. Therefore, according to the author, as to whether or not to have a second child, it depends. 1.Listen to the song Only Child from Wang Ruolin. Key words: compensate; spoil; manipulate 王若琳---Only Child There's something that I see that I really really want And I will take it without telling anyone But that's OK cause I'm an only child I've been spoiled cause I'm a lonely child And then I'm all alone And then I'm broke Please don't take away what I got O no Please don't take away what I got O no My mother dear and father dear they must compensate for the loneliness they think I must endure all day See that's OK cause I'm an only child I've been spoiled cause I'm a lonely child And then I'm all alone And them I'm broke Please don't take away what I got O no Please don't take away what I got O no You feel so bad that I can manipulate You two into doing Just about anything Just about anything Just about anything I say!

《单调性与最大(小)值》教案 (2)

《单调性与最大（小）值》教案 教学目标 1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念. 2、掌握增（减）函数的证明和判别. 3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质. 教学重难点 重点：判断函数单调性，找出单调区间，熟练求函数的最大（小）值. 难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大(小)值. 教学过程 在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。通过学生身边熟悉的事物，教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。 一、情景导入 问题： 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： （1）随x 的增大，y 的值有什么变化？ （2）能否看出函数的最大、最小值？ 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y =f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

函数的单调性与最值(讲义)

函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法；

②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数.简称为：步调不一致减函数. 几何意义：减函数的从左向右看,图象是的. 例如图是定义在区间［－5，5］上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x)在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数. 点评：图象法求函数单调区间的步骤是第一步：画函数的图象；第二步：观察图象，利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

《Unit6 Happy birthday》第一课时教学设计

《Unit6 Happy birthday》第一课时教学设计 文昌市头苑玉成小学林芳亿 教学内容：Let’s learn Let’s chant 教学目标： 1、能听懂，会说，认读数字1——5，掌握与其相应的英语表达法。 2、能跟着节奏吟唱歌谣。 3、能通过感知、合作等方式积极参与课堂学习活动。 教学重难点： 重点：听懂、会说、认读数字1——5，掌握与其相应的英语表达法。 难点：熟练运用句型“How many…”来进行问答。 教学准备： 课件、单词卡 教学过程： Step1：Warming-up 1、Greeting 2、Enjoy a song “Happy birthday” Step2：Presentation （一）教学数字单词1——5 1、出示猪宝宝的生日图，T : Today is the pig’s birthday.Many animals come to the birthday party.

2、出示课件大象慢慢地走来，教师：Look!Who’s coming? 学生答：Elephant. 教师问:How many…?引导学生回答：one （1）出示单词卡教学单词one 。板书：one 带读单词，升降调读单词。 （2）不同的动物熊猫、猫、狗、猴子等课件图片，同上方法，以How many…?句式引出单词two,three,four,five。教授单词two,three,four,five。并板书单词two,three,four,five。注意three 和five的读音。 （二）、I do you say 1、教师出示手指，学生用英语说数字。 2、同桌练习，一个做，一个说。然后请几组学生上台表演。 Step3：Practice 1、Play a game ：What's missing? 教师将贴在黑板上五个单词顺序打乱，让学生闭眼的时候教师快速藏起其中的一个，让学生猜What's missing?猜对的学生抽取下一次的卡片。 2、Pair work:Let’s chant （1）让全班学生听录音，边听录音边拍手有节奏地吟唱Let’s chant部分内容。 (2) 分成两大组，第一组说唱“Jump!Jump!Jump!”,第二组的同学伸出手指数“one，two，three”，以此类推。 （3）同桌进行练习。

高中数学单调性与最大(小)值教案(第一课时)新课标 人教版 必修1(A)

单调性与最大（小）值（第一课时） 教学目标：1.使学生理解增函数、减函数的概念； 2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法； 3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力； 4.培养学生数形结合、辩证思维的能力； 5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。 教学重点：函数单调性的概念 教学难点：函数单调性的判断和证明 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 1.函数有哪几个要素？ 2.函数的定义域怎样确定？怎样表示？ 3.函数的表示方法常见的有哪几种？各有什么优点？ 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。 （II）讲授新课 1.引例：观察y=x2的图象，回答下列问题（投影1） 问题1：函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？ ?随着x的增加，y值在增加。 问题2：怎样用数学语言表示呢？ ?设x1、x2∈[0，+∞]，得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是 上升的，减函数的图象是下降的。 注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性； （2）注意区间上所取两点x1,x2的任意性； （3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。 （III）例题分析 例1.下图是定义在闭区间[]5,5-上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间上的单调性（课本P34例1）。

PEP小学英语五年级上册Unit6教学设计第一课时

PEP小学英语五年级上册Unit6教学设 计（第一课时） 一、教材简析 本节课是PEP小学英语五年级上册 Unit6 In a nature park的第一课时，包括A. Let’s learn 和Draw and ask 两部分。上个单元已经学习了有关There be的相关句型：There is/are…on/ in/ near/ behind/ under/ in front of….”描述物体位置。这是学好本单元的前提，也为本节课的学习提供了很好的学习基础，是前面知识的加深。学生可以运用本节课所学新句型结合以前的知识，把新旧知识进行整合，根据实际情景灵活运用本节课所学的新句型，把知识活学活用。 二、教学目标 英语新课程标准指出，基础教育阶段英语课程的总体目标是培养学生的综合语言运用能力。而综合语言运用能力又以学生语言技能、语言知识、情感态度、学习策略和文化意识五个方面的综合素养为基础。基于以上认识，我将教学目标确定为： 1、知识目标 ⑴能够正确听﹑说﹑读﹑写本课四会单词：forest, mountain, hill, river, lake. ⑵能听懂、会说句型“Is there ... ? 及回答Yes, there

is．/ No, there isn't.”并能在实际情景中熟练运用。 ⑶能完成“Draw and ask”部分的绘画和问答任务。 2、能力目标 培养学生的听说能力。培养学生乐于表达，勇于展示自我的能力。提高学生感受美、欣赏美的水平，发展学生综合运用语言的能力。 3、情感目标 ⑴引导学生感受自然之美，培养学生热爱大自然的情感。 ⑵激发学生学习英语的兴趣，调动学习积极性，引导学生积极与他人合作，在活动中培养学生的协作精神和竞争意识。 三、教学重、难点 重点： 掌握一般疑问句型Is there……?及其肯定回答:Yes, there is.否定回答：No, there isn’t. 难点： 1、能够在真实的情景中运用There be句型进行询问和回答，与他人进行交流。 2、单词mountain的发音较难，尤其是ou字母组合的发音。 四、教学准备 1、老师准备多媒体课件，单词卡片，小组竞赛时使用

教案-B1-Unit6

Unit 6 Section A To work or not to work —That is the question I ． Learning Objectives ? To talk about the effects of part-time employment ?To further understand the text ?To apply the phrases and patterns ?To master the paragraph writing skill II ． Lead-in Activities A) 1. Why do some students like to take part-time jobs? To meet their financial needs To learn to be responsible To make friends To acquire communicative skills To gain experience for future jobs… 2. What problems will students face with when they take part-time jobs? To have less time to devote to school assignments To get too tired from work to study To view school less rewarding To have low correlation between part-time jobs and their majors… 3. What suggestions will you put forward towards students planning to work part-time? To make a balance between learning and part-time working To improve the overall quality To strengthen the awareness of self-protection and legal protection … B) 1. What jobs are the students in the pictures doing? 2. If you are going to work part-time, what job would you like to take? Why? III. Text Study A) Main Idea & Structure This passage is a report of a study on the relationship between part-time employment and students’ commitment to studies. It focuses on some undesirable effects that part-time jobs may have on students’ academic performance . The author then suggests that students should work no more than 10 hours a week to ensure Tips Tips Tips

第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a)0 D ．()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此 ()()1212 0f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0， ()() 21 210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的 大小，因此f(a)

Unit6AtaFarm第一课时教案设计

Unit6 At a Farm ---Part A Let’s learn and Let’s do and let’s play 单位名称：格尔木市中山路小学 姓名：张燕妮 日期：2013-5-8

Unit6 At a Farm教案设计 一、教学材料：PEP小学英语Book4 Unit6 Part A Let’s learn ，Let’s do and Le t’s play 二、学生分析：本班学生大部分学生能端正学习态度，课堂上能专心听讲，积极思考，大胆回答问题。个别学生的学习兴趣较浓，课内外都善于用英语交际，能够养成良好的学习习惯。由于英语教材极具特色，趣味性强，所以大部分同学能够积极参与，愉快地学习。 三、教学设计思想 本班大部分学生课堂积极活跃，善于动脑筋、动口，表现欲望强烈。根据本课的特点，从培养学生的语言能力入手，鼓励学生学会询问农场牲畜的句型。激起学生使用英语进行简单交际的欲望。通过group discussion等活动激发学生学习积极性；通过层层深入的学习活动，帮助学生利用已获的知识，合理地整合新旧语言材料，培养学生的思维与使用英语的能力。 四、教学目标： 1.知识目标: 1)、能够听、说、认读本课时的主要单词：sheep，hen，cow，horse，goat，lamb 2)、能形成单复数的概念，并能根据单复数的概念进行实际运用。 3)、能够理解本节课学习的主要句型：What are they? They are…Are they…? Yes, they are./ No, they aren’t. 4）、听懂指示语，并按要求做出相应的动作，如: Milk a cow. Feed the hens. Ride a horse. Shear a sheep. Hold a lamb. 2.能力目标： （1）能够综合运用单词和句型：What are they? They are…Are they…?Yes, they are.或No, they aren’t.进行英语对话交流。 （2）能以小组形式自编扩展性对话谈论农场并进行表演。 3.情感、文化、策略等有关目标： 情感态度：能以得体的方式与人交际；懂得如何询问名称和数量 学习策略：积极运用所学英语主动询问、合作、沟通 五、教学重点、难点 教学重点： （1）、新单词的发音，特别是horse和lamb （2）、能够综合运用单词和句型：What are they? They are…Are they…?Yes, they are.或No, they aren’t.进行英语对话交流。 教学难点： 新单词单复数形式与句型的结合使用 六、教学准备：CAI、动物卡片(单复数各一套) 七、教学过程： Step 1、Warm-up A: Greetings (Free talk) T: Good morning. My name is Zhang Yanni. You can call me Miss Zhang.

unit6教案

Unit6 Food and lifestyle 一、教材分析： 本单元的重点在于介绍年轻人的饮食及生活方式。人们可以通过选择更好的饮食结构保持健康。本课时作为单元的第一模块，通过Comic strip 点明本单元学习的内容要点（食物）以及本单元的主要任务（task）即：收集有关不同食物的信息，写一篇关于自己饮食与生活方式的短文。其宗旨就是要让学生通过本单元的学习了解并培养健康的饮食习惯和生活方式来保持健康。 二、教学目标： 1. 知识目标：学习了解不同种类的食物名称； 2. 能力目标：讨论喜欢与不喜欢的食物，学习如何表达个人喜好； 3. 情感目标：培养学生要养成健康的饮食习惯和生活方式。 三、教学的重点难点： 如何鼓励学生自由表达他们对不同食物的喜好以及帮助、引导他们养成健康的饮食习惯和生活方式。 四、学情分析： 本单元主要学习有关食物名称，有关饮食结构和生活方式与学生生活紧密相关，学生比较感兴趣。应该与生活紧密联系起来，养成正确生活方式和饮食习惯。主要锻炼学生阅读能力和听力能力。 五、课时安排：

7A Unit6 Food and lifestyles ——Welcome to the unit 预习指导： ·To learn new vocabulary about food: hamburger, vegetable, carrot ·To talk about likes and dislikes with regard to food: What food do you like? I like hamburgers. Do you like carrots? No, I don’t like/dislike/hate them. What about fish? 预习反馈： Step 1: Warm-up activity Write new words in the blackboard. Give Ss five questions about the daily diet and ask them to answer them as soon as possible. Do you know what I ate this morning? (S guessing…) Oh, I have eaten milk and egg because they can give me more energy. 2. Ask students to name as much food as possible in English and write them on the blackboard and group them. （Teachers can ask the following questions:） a.What food do you have for breakfast/lunch/supper? b.What food do you like? Why? c.What food do you dislike? Why not? d.What food is good for us? e.What food is bad for us? f.What Chinese food do you know? g.What Western food do you know? h..Do you like Chinese food or Western food? Why? Step 2: Presentation