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启迪教育初三圆讲义3

1．用一张面积为S 的矩形纸片，将对边重合围成圆柱，能得到一高一矮两种圆柱，它们的侧

面积分别为S 1、S 2，那么S 、S 1、S 2的数量关系为（） A 、S=S 1=S 2 B 、S 1

2．1996年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果这个正九边形的半径是R ，那么

它的边长是（） A 、Rsin20° B 、Rsin40° C 、2Rsin20° D 、2Rsin40° 3．如图，在半径为2cm 的⊙O 内有长为32cm 的弦AB ，则此弦所对的圆心角∠AOB 为（）A 、60° B 、90° C 、120° D 、150° 4．如果⊙O 1和⊙O 2的半径分别是r 1=5cm ，r 2=2cm ，O 1O 2=7cm ，那么⊙O 1和⊙O 2的公切线共有（）

A 、1条

B 、2条

C 、3条

D 、4条 5．半径分别为4cm 和5cm 的两圆相交，它们的公共弦长为6cm ，则这两圆的圆心距等于。 6．（10分）如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，连结AD ，请你添加一个条件，

使△ABD ≌△ACD ，并加以证明，你添加的条件是。证明：

7如图在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A 的平分线交BC 于D ，E 为AB 上一点，DE=DC ，以D 为圆心，

以DB 的长为半径画圆。求证：（1）AC 是⊙D 的切线；（2）AB+EB=AC 。 8．已知道半径为3cm 、4cm 的两圆外切，那么半径为6cm 且与这两圆外切的圆共有个. 9．两圆的半径分别为3和4，圆心距为6，这两个圆的位置关系是（）

A ．相交

B ．相离

C ．外切

D ．内切 10．△ABC 内接于⊙O ，∠ACB ＝36°，那么∠AOB 的度数为（）

A ．36°

B ．54°

C ．72°

D ．108°

11．一圆锥的母线长为6cm ，它的侧面展开图的圆心角为120°，则这个圆锥的侧面积为________2

cm ；

12．已知：如图，圆内接四边形ABCD 的两边AB 、DC 的延长线相交于点E ，DF 过圆心O 交AB 于点F ，AB ＝BE ，连结AC ，

且OD ＝3，AF ＝FB ＝5，求AC 的长．

13. 如图，ABCD 为圆内接四边形，若

，则

等于（）

B O A B O

D · A

B E

D ·

14. 如果两圆的半径分别为3和4，圆心距为7，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 15. 如图，PA 切⊙O 于点A ，若

，则⊙O 的半径是（）

A 0.5

B 1

C 2 D4

16. 如果圆柱的高为4cm ，底面半径为3cm ，那么这个圆柱的侧面积是 17.如果两个圆的公切线有3条，那么这两个圆的位置关系是（） A 、外离 B 、相交 C 、内切 D 、外切

18.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠P ＝50°，那么∠ACB

等于（）

19.如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于（）

A 、24πcm 2

B 、12πcm 2

C 、12cm 2

D 、6πcm 2

20.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，BC ＝a ，EF ＝b 、NH

＝c ，则下列各式中正确的是（）

A 、a ＞b ＞c

B 、a ＝b ＝c

C 、c ＞a ＞b

D 、b ＞c ＞a

21.如图，AB 为⊙O 的直径，P 为AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，若PB ＝2，AB ＝6，则PC

＝＿＿＿＿＿＿＿.

22.已知，如图1，∠ACG ＝90°，AC ＝2，点B 为CG 边上的一个动点，连结AB ，将△ABC 沿AB

边所在的直线翻折得到△ADB ，过点D 作DF ⊥CG 于点F. ⑴ 当BC

时，判断直线FD 与以AB 为直径的⊙O 的位置关系，并加以证明. ⑵ 如图2，点B 在CG 上向点C 运动，直线FD 与以AB 为直径的⊙O 交于D 、H 两点，连结

AH ，当∠CAB ＝∠BAD ＝∠DAH 时，求BC 的长.

b c A

B D E · M N

G A B C O · P

23．如图，AC为⊙O的直径，BC为⊙O切线，切点为C，写出图中一对相等的角________. 24．两圆半径分别为2和5，若两圆相切，则圆心距为________.

25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AP：PB=1：4，CD=8，求直径AB的长.

26、已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为6cm(如图)，则圆锥的侧面展开图的圆心角为

___________度.

27、若两圆的半径分别为3cm、5cm，圆心距为2cm，则两圆的位置关系为( )

A、外切

B、相交

C、内切

D、内含

28．如图，在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，

则BC= cm, ∠ABD= °。

13．如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么它的侧面积等于【】

（A）2

20cm（B）2

40cm（C）2

20cm

π（D）2

40cm

29．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，求AB的长。30．已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在y轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与x轴相交于点A、B，与y轴相交于D、E，且。点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）。连结BP、AP。

（1）求∠BPA的度数；

（2）若过点P的⊙C的切线交x轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

图①

O ·

图②

31.一个圆锥形的蛋筒，底面圆直径为7cm ，母线长为14cm ，把它的包

装纸展开，侧面展开图的面积为__________________cm 2

(不计折叠部分).

32.如图3，四边形ABCD 是 O 的内接四边形，∠DCE ＝60?，则图3

∠BAD ＝______________.

33．下列命题中，正确的命题是（）

A . 有两条边和其中一条边所对的角相等的两个三角形是全等三角形

B . 相似三角形面积之比等于相似比

C . 任意多边形的外角和都等于360?

D . 过切点的直线是圆的切线 34、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，

则∠BOC 的大小是 ( )

A 、60°

B 、45°

C 、30°

D 、15°

35、将一圆形纸片对折后再对折，得到图3，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是 ( )

36、如图4，⊙O 的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为3cm ，则弦AB 的长为_____________________cm ；

37、边长为6的正六边形外接圆半径是___________________；

38、将一个底面半径为2cm 高为4cm 的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面

积为______________________________cm 2

；

39、如图6，AB 、CD 是⊙O 的直径，DF 、BE 是弦，且DF=BE 。

求证：∠D = ∠B

40、如图9－⑴、9－⑵、…、9－(m)是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n 边形。分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧……、n 条弧。

A A A A A A A 1

图9-1

图9-2

图9-m

A B

O A B C

图3

A B

C D O

图6E

⑴图9－⑴中3条弧的弧长的和为_________________，图9－⑵中4条弧的弧长的和为__________________； ⑵求9－(m)中n 条弧的弧长的和 (用n 表示)。

41、如图11，⊙O 的直径DF 与弦AB 交于点E ，C 为⊙O 外一点， CB ⊥AB ，G 是直线CD 上一点，∠ADG=∠ABD 。求证：AD ·CE = DE ·DF

说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路过程写出来(要求至少写3步)；

⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②、③中

选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。

注意：选取①完成证明得8分；选取②完成证明得6分；选取③完成证明得4分。 ①∠CDB=∠CEB ； ②AD ∥EC ；

③∠DEC=∠ADF ，且∠CDE=90°。

42、如图14，⊙O1和⊙2内切于点P 。C 是⊙O1上任一点(与点P 不重合)。

实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C 上，一条直角边经过点O1，另一直角边所在直线交 ⊙O2于点A 、B ，直线PA 、PB 分别交⊙O1于点E 、F ，连结CE(图15是实验操作备用图) 探究：⑴你发现弧CE 、弧CF 有什么关系？用你学过的知识证明你的发现； ⑵作发现线段CE 、PE 、BF 有怎样的比例关系？证明你的发现。

图14

图15

附加题：如图16，若将上述问题的⊙O1和⊙O2由内切认为外切，其它条件不变，请你探究线

段CE 、PE 、BF 有怎样的比例关系，并说明。

43．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，若∠AOB ＝80°，则∠ACB 等于（）．

A ．160°

B ．80°

C ．40°

D ．20° 44．如图，四边形ABCD 为圆内接四边形，

E 为DA 延长线上一点，若∠C ＝50°，则∠BAE 为（）．

A ．130°

B ．100°

C ．50°

D ．45°

45．如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是经过点O 的割线，若∠P ＝30°，则

的度数为（）．

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

46．如果两圆相切，那么它们的公切线有_________条．

47．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，D 是⊙O 上一点，连结BD 、CD 、AC 、BD 交于点E ．

（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）若∠D ＝45°，BC ＝2，求⊙O 的面积．

48、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，若140BOC ∠=?，则A ∠= 度；

49、两圆的半径分别为3、2，它们的圆心距是1，则这两圆的位置关系是； 50、圆锥的底面半径是4，母线长为5，则圆锥的侧面积等于；

51、用正三角形与正方形作平面镶嵌，则在它的每一个顶点周围有3个正三角形和个正

方形；

52、一个圆台形物体的上底面积是下底面积的1/3，如果如图放在桌

上，对桌面的压强是200帕，翻过来放，对桌面的压强应是帕（压强P 、压力F 与受力面积S 之间的关系式为=

F P S

）； 53、

先作半径为

的第1个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，……，则按以上规律作出的第8个圆的外切正六边形的边长为（） A 、

7； B 、

8 ； C

、7(2 ； D

、8(2

；

54、（8分）如图，△ABF 、△ADF 均内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，AD 平分BAF ∠，直线l 与⊙O 相切于D 且与AF 的延长线相交于点E 。

（1）求证：BF ∥DE ；

（2）若2DE =，3AF =，试求AD 的长；

55、一个底面半径为2cm ，高为3cm 的圆柱的表面积是（）

A 、8π2

cm B 、12π2

cm C 、16π2

cm D 、20π2

cm 56、已知正六边形的边长为12cm ，则这个正六边形的边心距是（ C ）

A 、6cm

B 、12cm

C 、36cm

D 、123cm

57、如图， PT 是⊙O 的切线, T 为切点, PBA 是割线, 交⊙O 于A 、B 两点,与直径CT 交于点D, 已知CD=2, AD=3, BD=4, 那么PB 等于（ C ） A 、6 B 、156 C 、20 D 、7

58、如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝o

80，求∠BAD 和∠BCD 的度数。 59．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠ BOD=100

，则∠DAB 的度数为（） A ．50

B ．80

C ．100

D ．130

60如图，两个同心圆的半径分别为２和１，∠AOB=120

,则阴影部分的面积是._________ 61.边长为２的等边三角形ABC 内接于⊙Ｏ，则圆心Ｏ到△ABC 一边的距离为__________ 62. 如图，在Rt ABC 中，C 90∠=

,BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，点D 在AB 上DE EB ⊥.

（１）求证：AC 是BDE 的外接圆的切线；

（２）若AD 6,AE ==BC 的长.

63.如图在⊙O 中，弦AB ＝1.8cm ，圆周角∠ACB ＝30°，则⊙O 的直径等于______cm.

64．我国古代数学中有这样一道数学题：有一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根藤条从树

根缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根藤有多长？

（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是：圆柱谋面周长为3 尺。1丈＝10尺）

65.下列命题中，正确命题的个数是（）

①一个锐角的余角还是一个锐角；②垂直于半径的直线是圆的切线；

③一个数的算术平方根一定比这个数小；④平分弦的直径垂直于这条弦. A 、0 B 、 1 C 、 2 D 、 3

66.如图，已知：Rt△ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以直线BC 为轴旋转一周得

一个圆锥，则这个圆锥的表面积为（）cm 2

A 、65π

B 、 90π

C 、 156π

D 、 300π

67. ⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么认P 为圆心，且与⊙O 相切的圆的

半径一定是（）

A 、1或5

B 、1

C 、5

D 、1或4

68.如图，已知：AB 和CD 为⊙O 的两条直径，弦CE//AB ，⌒

CE 的度数为40°，则∠BOC ＝度.

69.若⊙O 的直径AB 为2，弦AC 为2，弦AD 为3 ，则S 扇形OCD （其中，2S 扇形OCD ＜S ⊙O ）为

＿＿.

70．如图：⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，O 1O 2的延长线交⊙O 2于点A ，AB 切⊙O 1于点B ，交⊙O 2于点C ，

BE 是⊙O 1的直径，过点B 作BF ⊥O 1P ，垂足为F ，延长BF 交PE 于点G.

（1）求证：PB 2

＝PG·PE ；（2）若PF ＝

23 ，tan∠A＝4

，求：O 1O 2的长. 71．如图：已知，△ABC 内接于⊙O，弦BC 所对的劣弧为120°，∠ABC、∠ACB 的平分线BD 、

CE 分别交AC 于D ，交AB 于E ，BD 、CE 相交于点F. （1）求cot∠EFB 的值；（2）EF ＝DF ；

（3）当BF ＝3EF ，且线段BF 、CF 的长是关于x 的方程x 2－(2m ＋6)x ＋2m 2

＝0(m ＞0)的两个实数

根时，求AB 的长.

72．如果两圆的半径长分别为2cm 和5cm ，圆心距为8cm ，那么这两个圆的位置关系是

A ．内切

B ．外切

C ．相交

D ．外离 73．如图3，D

E 切⊙O 于A ，点B 、C 在⊙O 上，若∠EAC =45°，则∠B =_______度． 74．在半径为2的圆中，90°的圆心角所对的弧的长为_____________． 75．如图4，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，

如果CD =6，OE =4，那么⊙O

的半径的长为___________． 76．如图5，AB 为半圆O 的直径，C 、D 是 ⊙O 的半径为1，E 为线段AB 上任意一点，则图中阴影部分的面积为．

D E F O · 3）

（图4）

（图5）

77．如示意图7，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 是x 轴的负半轴上一点，以AO 为直径的⊙P 经过点C (-8，4)．点E (m ，n )在⊙P 上，且-10

(1)求出点A 的坐标；

(2)当m =-5时，求图象经过E 、Q 两点的一次函数的解析式；

(3)当点E (m ，n )在⊙P 上运动时，猜想∠OQ E 的大小会发生怎样的变化?请对你的猜想加以证明．

解：

78．如图，已知∠AOB ＝30

°，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2cm 为半径作M. 若点⊙M 在

边上运动，则当OM ＝ cm 时，⊙M

与

OA 相切.

79. 如图，三个半径为3的圆两两外切，且ΔABC 的每一边都与其中的两个圆相切，那么ΔABC

的周长是

（A ）12+63 （B ）18+63 （C ）18+123 （D ）12+123

80. 如图，过点P 引圆的两条割线PAB 和PCD ，分别交圆于点A ，B 和C ，D ，连结AC ，BD ，则

在下列各比例式中，①

PD PC PB PA =；②PB

PD PA =；③BD

AC PA =，成立的有__________（把你认为成立的比例式的序号都填上）

A B

81．要在如图的一个机器零件（尺寸单位：mm ）表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件

的表面积（参考公式：rh S π2=圆柱侧，rl S π=圆锥侧，2r S π=圆，其中r 为底面半径，h 为高线，l 为母线取3.14，结果保留3个有效数字）。

82直线AB 交圆于点A ，B ，点M 在圆上，点P 在圆外，且点M ，P 在

AB 的同侧，∠AMB=50o。设∠APB=

x ，当点P 移动时，求x 的变化范围，并说明理由。

83. 如图3—1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好

围

成图3—2所示的一个圆锥模型.设圆的半径为

，扇形半径为 R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为

A ．

R =2r B ．R =

r C ．R =3r D ．R =4r

84. （本小题满分

8分）如图9—1，一个圆球放置在V 形架中.图9—

2是它的平面示意图，CA 和CB 都是⊙O 的切线，切点分别是A ，B .如果⊙O

的半径为，且AB =6cm ，求∠ACB .

85．如图5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA =4，

OA =3，则cos ∠APO 的值为

A ．

34 B ．3

5 C ．45 D ．43

86．图7是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图.围成这个纸帽

的纸的面积为 cm 2

(π取3.14).

图3—1

图3—2 图9—1 图9—2 图图7

87．半径是6，圆心角为120°的扇形是某圆锥的侧面展开图，

这个圆锥的底面半径为______________________________. 88．如图5，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为

⊙O 的直径，则∠A+∠B+∠C=_____________度.

89．平面内两圆半径恰好是方程x 2

-8x +6=0的两个根，圆心距

d=5，这两个圆的位置关系是_________________________.

90．如图9，B 是线段AC 上的一点，分别以AB 、BC 、AC 为直径作半圆.过B 作BD ⊥AC ，与较大半圆相交于点D ，以BD 为直径的圆交两个较小半圆于E 、F. 求证：（1）四边形BEDF 是矩形；

（2）直线EF 是以AB 、BC 为直径的两个半圆的公切线.

图9

91．如图10，∠BAC =90°，AB =AC .直线l 与以AB 为直径的圆相切于B . 点E 是圆上异于A 、B

的任意一点.直线AE 与l 相交于点D . （1）如果AD =10，BD =6，求DE 的长；

（2）连结CE ，过E 作CE 的垂线交直线AB 于点F .当E 在什么位置时，相应的F 位于线段AB

上、位于线段BA 延长上、位于线段AB 延长线上（写出结果，不要求证明）？无论点E 如何变化，总有BD=BF .请你就上述三种情况任选一种说明理由

图５

C A

l 图10

92.⊙O 的半径为5cm,ＡＢ为直径，ＣＤ为弦，ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，若ＣＤ＝６cm ，则ＡＥ

＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

93、如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为 . 94、使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（）

A 、正六边形地砖

B 、正五边形地砖

C 、正方形地砖

D 、正三角形地砖

95、制作一个底面直径为30cm 、高为40cm 的圆柱形无盖铁桶，所需铁皮至少为

A 、1425π2

cm B 、1650π2

cm C 、2100π2

cm D 、2625π2

cm 96.用一把带有刻度的直角尺，

①可以画出两条平行的直线a 与b ，如图⑴； ②可以画出∠AOB 的平分线OP ，如图⑵；

③可以检验工件的凹面是否成半圆，如图⑶； ④可以量出一个圆的半径，如图⑷.

图⑴

图⑵

图⑶ 图⑷

上述四个方法中，正确的个数是（）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

97. 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图⑴所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到

如图⑵所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝＿＿＿＿＿度.

98．过边长为1的正方形的中心O 引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，

则线段AB 长的取值范围是 . 99．已知⊙O 的半径为Ｒ，⊙P 的半径为r （r ＜R ），且⊙P 的圆心Ｐ在⊙O 上. 设Ｃ是⊙Ｐ上

一点，过点C 与⊙P 相切的直线交⊙O 于A 、B 两点. ⑴若点C 在线段OP 上，（如图①）.求证：PA ·PB ＝2Rr ；

⑵若点C 不在线段OP 上，但在⊙O 内部如图②. 此时，⑴中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，说明理由；

⑶若点C 在⊙O 的外部，如图③. 此时，PA ·PB 与R ，r 的关系又如何？请直接写出，不要求给予证明或说明理由.

100. 如图2，在ΔABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AB ＝10，点P 在AC 上，AP ＝2，若⊙O 的圆心

在线段BP 上，且⊙O 与AB 、AC 都相切，则⊙O 的半径是（）

A B

O ·

P 图③

图②

C 图①

图⑴

图⑵

A 、 1

B 、 4

5 C 、 7

D 、

9 101．如图，已知BC 是⊙O 的直径，AH ⊥BC ，垂足为D ，点A 为⌒

BF 的中点，BF 交AD 于点E ，

且BE ·EF ＝32，AD ＝6.⑴ 求证：AE ＝BE ；⑵ 求DE 的长；⑶ 求BD 的长 .

102、已知两圆的半径分别是5cm 和4cm ，圆心距为7cm ，那么这两圆的位置关系是（）

A 、相交

B 、内切

C 、外切

D 、外离

103、已知圆锥底面半径为3，高为4，则圆锥侧面积为（）

A 、 10π

B 、 12π

C 、 15π

D 、 20π 104、（本小题14分）已知⊙B 的半径r ＝1，PA 、PO 是⊙B 的切线，A 、O 是切点。过A 点作弦

AC ∥PO 连CO 、AO ，

⑴ 问△PAO 与△OAC 有什么关系？证明你的结论；

⑵ 把整个图形放置在直角坐标系中，使OP 与x 轴重合，B 点在y 轴上，设P(t ，0)，P 点在x 轴的正半轴上运动时，四边形PACO 的形状随之变化，当这图形满足什么条件时，四边形PACO 是菱形？说明理由；

⑶ ①当t 在什么范围内取值时，直线AP 与CO 的交点在x 轴下方？②连CP ，交⊙B 于点D ，当t 等于何值时，四边形CODA 是梯形？

105、过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于（）

A 、3cm

B 、5cm

C 、3cm

D 、 5cm

· A B

D E

106、如图，若的三边长分别为AB ＝9，BC ＝5，CA ＝6，△ABC 的内切圆⊙O 切AB 、BC 、AC 于D 、

E 、

F ，则AF 的长为（）

A 、5

B 、 10

C 、7.5

D 、4

107．如图已知△ABC 内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE 。⑴ 求证：△ABC 是等腰三角形；

⑵ 设AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，点P 是射线AE 上的点，若以A 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC

相似，问这样的点有几个？并求AP 的长；

108．如图，已知△ABC 中，∠A ＝60°，⊙

O 是△ABC 的外接圆，AD 是BC 边上的高，H 是△

ABC 的垂心，连结OA 、OB 、OC ，连结OH 并延长交AB 于M ，交AC 于N ，求证：⑴∠BAD ＝ ∠OAC ；⑵AH 等于△ABC 外接圆半径；⑶MH ＝NO .

109．在Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5，⑴如图①，D 、E 、F 为切点，求△ABC 内切圆⊙O 的半径r 1的值.⑵如图②，在△ABC 中放置两个互相外切的等圆⊙O 1、⊙O 2，⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求它们的半径r 2时，小李同学是这样思考的：如果将⊙O 2连同BC 边向左平移2r 2，使⊙O 2与⊙O 1重合、BC 移到DE ，则问题转化为第⑴问中的情况，于是可用同样的方法算出r 2，你认为小李同学的想法对吗？请你求出r 2的值（不限于上述小李同学的方法）. ⑶如图③，n 个排成一排的等圆与AB 边都相切，又依次外切，前后两圆分别与AC 、BC 边相切，求这些等圆的半径r n .

图③

图①

图②

A B

· B

110. 用三块正多边形的木板铺地,拼在一起并相交于一点的各边完全吻合,其中两块木板的边

数都是8,则第三块木板的边数应是（） A 、4 B 、5 C 、6 D 、8

111. 如图,⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，AC 是⊙O 2的切线，AD 是⊙O 1的切线，若BC=4，BD=9，则AB 的长为

5. A 、5 B 、6 C 、7 D 、8

112. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16

米，跨度是40米，在线段AB 上离中心M

处5米的地方，桥的高度是＿＿＿＿＿m (π取3.14).

113．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，D 是?

BC 的中点，过点D 作AC 的延长线的垂线DP ，垂足为P.若PD ＝12，PC ＝8，求⊙O 的半径R 的长.

114．如图，在直角坐标系中，以点P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x 轴于A 、B 两点，抛

物线)0(2

>++=a c bx ax y 过点A 、B ，且顶点C 在⊙P 上.⑴ 求⊙P 上劣弧⌒

AB 的长； ⑵ 求抛物线的解析式；⑶ 在抛物线上是否存在一点D ，使线段OC 与PD 互相平分？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.

B C D

P · O

B C

A C

B D O 2

O 1 ·

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此文档下载后即可编辑初一数学培优专题讲义一有理数及其运算一、有理数的基本概念梳理与强化：（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____；若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算：（1） = ；（2） = ；（3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是；变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）（a ＞0） |a| = （a ＝0 ）（a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a

（1）若|a|＝0，则a ；（2）若|a|＝a ，则a ；（3）若|a|＝—a ，则a ；（4），则______||=a a ；（5）0