线性第4章习题

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答 一、填空题(每小题4分，共24分) 1、 若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。 令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、 若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。 即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。 由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性变换练习题

线性变换习题 一、填空题 1. 设σ是3 P 的线性变换，(,,)(2,4,3)a b c b c a b a σ=+-，,,a b c P ?∈，1(1,0,0),ε= 2(0,1,0),ε=3(0,0,1)ε=是3P 的一组基，则σ在基123,,εεε下的矩阵为 _______________，又3123,P αεεε=-+∈则()σα=_________。 2. 设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换σ：()A σξξ=， n P ξ∈，则()1dim (0)σ-＝ ，()dim ()n P σ＝ 。 3. 设P 上三维列向量空间V 的线性变换σ在基123,,ααα下的矩阵是11220 1121-?? ? ? ?-?? ，则σ在基213,,ααα下的矩阵是 。 4. 如果矩阵A 的特征值等于1，则行列式||A E -= 。 5. 设A =???? ? ??? ??21 1 12 1112 ，()X AX σ=是P 3上的线性变换，那么σ的零度= 。 6. 若n n A P ?∈，且2 A E =，则A 的特征值为 。 7. 在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,, ,n x x x -下的矩阵 为 。 8. 在22 P ?中，线性变换10:20A A σ??→ ???在基121001,,0000E E ???? == ? ????? 300,10E ??= ??? 40001E ?? = ???下的矩阵是 。 9. 设321502114A ?? ? = ? ??? 的三个特征值为1λ，2λ，3λ，则1λ+2λ+3λ= ， 1λ2λ3λ= 。 10. 数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为 维线性空间，

线性变换习题

第四章线性变换 习题精解 1.判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是: 1) 在线性空间V中，A ,其中V是一固疋的向量; 2) 在线性空间V中，A 其中V是:一固疋的向量； (X i,X2,X3) (X；,X2 X3,X 鳥? 3) 在P3中，A 4) 在P3中，A(X i,X2, X3) (2x i X2,X2 X3, X i); 5) 在P[X]中, A f (X) f (X 1) 6)在P[X]中，A f(x) f(X o),其中X0 p是一固定的数； 7)把复数域上看作复数域上的线性空间， A 8)在P"中，AX=BXC其中B,C p n n是两个固定的矩阵. 解1)当0时，是;当0时，不是? 2)当0时，是;当0时，不是. 3)不是?例如当(1,0,0), k 2 时,k A( ) (2,0,0), A(k ) (4,0,0), A(k ) k A(). 4)是?因取(X i,x2,x3), (%,丫2,丫3),有 A( ) = A (x i y i,X2 y2,X3 y3) = (2x i 2y i X2 y2,X2 y2 X3 y3,X i yj = (2x i X2,X2 X3,X i) (2y i y?」？y3, y i) =A + A A(k ) A (kx i, kx2, kx3) (2kx1 kx2, kx2kx3, kx1) (2kx1 kx2, kx2kx3,kx1) k A() 故A是P3上的线性变换? 5)是.因任取f (X) P[x], g(x) P[x],并令 u(x) f(x) g(x)则 A(f(x) g(x)) = A u(x) =u(x 1) = f (x 1) g(x 1) =A f (x) + A(g(x)) 再令v(x) kf (x)则A(kf (x)) A(v(x)) v(x 1) kf (x 1) k A(f (x)) 故A为P[X]上的线性变换. 6)是?因任取f(x) P[x], g(x) P[x]则. A(f (X) g(x))= f (X0 ) g(X0 ) A(f (x)) A(g(x)) A(kf (x)) kf (X0) k A(f (x)) 7)不是.例如取a=1,k=l,则 A(ka)=-i , k( Aa)=i, A(ka) kA(a)

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第 一 学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2． 设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性 相关 ． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关， 则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη， 则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）

线性代数第四章练习题集答案解析

第四章 二 次 型 练习4、1 1、写出下列二次型的矩阵 （1）),,(321x x x f =32312 221242x x x x x x -+-； （2）),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。 解：（1）因为 ),,(321x x x f =),,(321x x x ????? ??---01211020 2??? ?? ??321x x x , 所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：??? ? ? ??---01211020 2。 （2）因为 ),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ?? ? ?? ?? ??010********* 1110 ?????? ? ??4321x x x x ， 所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：?? ? ? ? ? ? ? ?010********* 1110。 2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：

（1）??? ??? ?? ??--- - 22 2 12021 212 11； （2）?????????? ? ??---1212102102112121 12101210。 解：（1）设T 321),,(x x x X =，则 ),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ?????? ? ? ?? --- - 22 2 12021212 11????? ??321x x x =3231212 32142x x x x x x x x -+-+。 （2）设T 4321),,,(x x x x X =，则 ),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ????????? ? ? ? ?---121210 210211************??????? ??4321x x x x =43423231212 4222x x x x x x x x x x x x +++-++-。 练习4、2 1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。 （1）),,(321x x x f =32212 221442x x x x x x --+； （2）),,(321x x x f =322122x x x x -； （3）),,(321x x x f =32212 322214432x x x x x x x --++。

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。

线性变换习题课

七、线性变换习题课 1．复习线性变换的概念 例1 将C看成R上的线性空间，变换是线性的，看成C上的线性空间则不是。 证明：R上：有== 又 故A是R上线性空间C的线性变换。 C上：取及，有，而，故A不是C上线性空间C的线性变换。 由上例，变换A是否为线性变换与所讨论的数域有关。 2．利用运算的意义，运算律推证线性变换的等式，利用线性变换与n阶方阵代数同构解决有关问题。 例2设A,B是线性变换，如果证明： ，（k>0） 证明: 由已知,对k=1结论成立,故考虑用数学归纳法. 对k用归纳法.当k=1时结论成立. K=2时,由已知 =AB=(BA+E)A+A-BA2 =BA2+A+A-BA2=2A 结论成立. 设当k时结论成立,即,也即. 当k+1时, =ABA k+AkA k-1-BA k+1=(BA+E)A k+kA k-BA k+1 =BA k+1+A k+kA k-BA k+1=(k+1)A k 所以结论对k+1也成立,从而对一切k1成立. 例3设V是数域P上n维线性空间,证明:V的与全体线性变换交换的线性变换是数乘变换. 证明: 需要表达出线性变换,联系到某基下的矩阵. 设令A,B在某基下的矩阵分别为A,B. 因为,所以由得AB=BA.由的任意 性,也是任意的,从而存在某个k使得A=kE为数量阵(P.204,,于是为数量变换. 有了变换乘积,进一步可考虑可逆变换. 3. 系统小结可逆线性变换的的等价条件,并举例说明一些基本论证方法. A可逆10存在使=E.

A是双射. A在基下的矩阵A可逆—有限维 例4 设是线性空间V的一组基,A是V上的线性变换,证明:可逆当且仅当线性无关. 证明:证法一: “”,,若=0,有B()=0,即=0,=0,即线性无关. “”线性无关, 因dimV=n,故使得 =A() 令使=() 易见,且,即 又任给设= 有()== 故,从A可逆. 证法二:利用双射 “” A是双射,则0==A() 得0=(0对应0) 故,线性无关. “”由dimV=n,V的任一向量可由唯一表示,即V中任一向量有唯一(要证明)原像(显然).故A是双射. 证法三:利用矩阵 A可逆A在下的矩阵A可逆 ()A也是一组基=n 线性无关 例5设,W1,W2是V的子空间,且,则可逆. 证明:由,有V,可设W1的一组基为, W2的一组

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

第七章线性变换习题答案

第七章线性变换3．在P[x]中，Af(x)f(x)，Bf(x)xf(x)，证明： ABBA=E． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明任取f(x)P[x]，则有 =(A BBA)f(x)ABf(x)BAf(x)A(xf(x))B(f(x)) (xf(x))xf(x)f(x)Ef(x)， 于是ABBA=E． 4．设A,B是线性变换，如果ABBA=E，证明： kkk k1,k1ABBAA． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明当k2时，由于ABBA=E，可得 22()()2 ABBAAABBAA B BAAA， 因此结论成立． 假设当ks时结论成立，即ssss1 ABBAA．那么，当ks1时，有 s1s1(s s)()ssss(s1)s ABBAAABBAA B BAAAAA， 即对ks1结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切k1结论都成立． 『特别提醒』由 AE可知，结论对k1也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 1证明设A是线性空间V上的一个可逆变换．对于任意的,V，如果AA，那么，用 A 作用左右两边，得到A AAA，因此A是单射；另外，对于任意的V，存在1()1() 1()1() 1V A，使得 1 AA(A)，即A是满射．于是A是双射．

-1-

『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构． 6．设1,2,,n是线性空间V的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当 A1,A2,,A n线性无关． 证法1若A是可逆的线性变换，设k AkAkA0 ，即 1122nn A(kkk nn)0． 1122 而根据上一题结论可知A是单射，故必有k kk0，又由于 1,2,,n是线性无关的， 1122nn 因此k 1k2k n0．从而A1,A2,,A n线性无关． 反之，若A 1,A2,,A n是线性无关的，那么A AA也是V的一组基．于是，根据 1,2,,n 教材中的定理1，存在唯一的线性变换B，使得B(A i)i，i1,2,,n．显然 BA(i)i，A B(A i)A i，i1,2,,n． 再根据教材中的定理1知，ABBAE．所以A是可逆的． 证法2设A在基 1,2,,n下的矩阵为A，即 A(,,,n)(A,A,,A n)(,,,n)A． 121212 由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵A可逆． 因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A 1,A2,,A n也是V的一组基，即是线性无 关的．反之，如果A AA是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基 1,2,,n到1,2,,n A1,A2,,A n的过渡矩阵，因此A是可逆的．所以A是可逆的线性变换． 『方法技巧』方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2，将线性变换A可逆转化成了矩阵A可逆． 9．设三维线性空间V上的线性变换A在基1,2,3下的矩阵为 aaa 111213 A aaa． 212223 aaa 313233 1）求A在基3,2,1下的矩阵；

线性变换例题 (3)

【例9.15】已知系统具有如下形式 u y y y y 66116')2()3(=+++ 试求此系统对角形式的状态方程。 解 令 y x =1，'2y x =，) 2(3y x = 即 21x x =& 32x x =& u x x x x 661163213+---=& 写成矩阵—向量形式 u x x x x x x ?? ?? ??????+????????????????????---=????? ?????6006116100010321321&&& (9.76) []?? ?? ? ?????=321001x x x y 可以看出A 阵为友矩阵，且A 的特征值为 321321-=-=-=λλλ，， 即 321λλλ≠≠ 。 这时我们选转换矩阵P 形式为 ??????? ???? ?????=---11211 2 22 2 121 111 n n n n n n P λλλλλλλλλΛ M ΛM M ΛΛΛ n 为相同的阶数，这里n =3。 本题中 ???? ??????---=921321111 P 令x=Pz 将上式代入(9.42)式，得： Bu APz z P +=& CPz y Bu P APz P z =+=--11& 系统可写为

????????????????????---??????????---??????????---=??????????32132194132111161161000105.05.111435.05.23z z z z z z &&&u ???????????????? ????---+6005.05.111435.05.23 u z z z z z z ???? ??????-+????????????????????---=????? ?????363300020001321321&&& 输出方程为 [][]?? ?? ? ?????=????????????????????---=321321111921321111001z z z z z z y

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关

第七章 线性变换练习题参考答案

第七章 线性变换练习题参考答案 一、填空题 1．设123,,εεε是线性空间 V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε?==++∈则 σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100?? ? ? ??? 满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为123x A x x ?? ? ? ??? . 2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r . 3．复矩阵()ij n n A a ?=的全体特征值的和等于1n ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于 ||A . 4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 . 5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ?同构. 6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),,()n f f f λλλ . 7．设???? ??=2231A ，则向量??? ? ??11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若????? ? ?--=100001011A 与1010101k B k ?? ?=-- ? ???相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

第七章 线性变换 习题答案

第七章 线性变换 3．在[]P x 中，()()f x f x '=A ，()()f x xf x =B ，证明： -=A B BA =E ． 『解题提示』直接根据变换的定义验证即可． 证明 任取()[]f x P x ∈，则有 ()()()()(())(())f x f x f x xf x f x '-=-=-=A B BA A B BA A B (())()()()xf x xf x f x f x ''=-==E ， 于是-=A B BA =E ． 4．设,A B 是线性变换，如果-=A B BA =E ，证明： 1 ,1k k k k k --=>A B BA A ． 『解题提示』利用数学归纳法进行证明． 证明 当2k =时，由于-=A B BA =E ，可得 22()()2-=-+-=A B BA A A B BA A B BA A A ， 因此结论成立． 假设当k s =时结论成立，即1 s s s s --=A B BA A ．那么，当1k s =+时，有 1 1 ()()(1)s s s s s s s s s s ++-=-+-=+=+A B BA A A B BA A B BA A A A A ， 即对1k s =+结论也成立．从而，根据数学归纳法原理，对一切1>k 结论都成立． 『特别提醒』由0 =A E 可知，结论对1k =也成立． 5．证明：可逆映射是双射． 『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可． 证明 设A 是线性空间V 上的一个可逆变换．对于任意的,V ∈αβ，如果=αβA A ，那么，用1 -A 作用左右两边，得到1 1 ()()--===ααββA A A A ，因此A 是单射；另外，对于任意的V ∈β，存在 1V -=∈αβA ，使得1()-==αββA A A ，即A 是满射．于是A 是双射． 『特别提醒』由此结论可知线性空间V 上的可逆映射A 是V 到自身的同构．

线性代数期末考试题及答案

（2011 至 2012学年 第__2_学期） 课程名称：线性代数A 考试时间：110分钟 课程代码：7100059试卷总分：100分 考试形式：闭卷 学生自带普通计算器: 否 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B -=-+，则必有（ ） A A E =； B B E =； C A B =. D AB BA =。 2、设A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（ ） A. A =0B. B ≠C 时A=0C. A ≠0时B=CD. |A|≠0时B=C 3、设A 是s n ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是( ) A.A 的行向量组线性无关 B.A 的列向量组线性无关 C.A 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关 4、若1x 是方程=AX B 的解，2x 是方程=AX O 的解，则（）是方程=AX B 的解（c R ∈） A.12x cx + B. 12cx cx + C.12cx cx - D.12cx x + 5 、设矩阵A 的秩为r ，则A 中（ ） A.所有r -1阶子式都不为0 B.所有r -1 阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0D.所有r 阶子式都不为0 二、填空题（每小题3分，共15分） 1、已知向量T )4,2,3,1(=α与T k k )2,3,1,(--=β正交，则=k _. 2、1 1101-?? ??? =. 3、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为. 4、如果21,X X 都是方程O X A n n =?的解，且21X X ≠，则=?n n A ； 5、设向量组123100130121T T T (,,),(,,),(,,)==-=-ααα线性 （填相关或无关）

高等代数与解析几何第七章(1-3习题) 线性变换与相似矩阵答案

第七章线性变换与相似矩阵 习题7、1 习题7、1、1判别下列变换就是否线性变换？ (1)设就是线性空间中得一个固定向量, (Ⅰ),, 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(Ⅱ),; 解:当时,显然就是得线性变换; 当时,有,,则,即此时不就是得线性变换。(2)在中, (Ⅰ), 解:不就是得线性变换。因对于,有,,所以。(Ⅱ); 解:就是得线性变换。设,其中,,则有 , 。 (3)在中, (Ⅰ), 解:就是得线性变换:设,则 , ,。

(Ⅱ),其中就是中得固定数; 解:就是得线性变换:设,则 , ,。 (4)把复数域瞧作复数域上得线性空间,,其中就是得共轭复数; 解:不就是线性变换。因为取,时,有,,即。 (5)在中,设与就是其中得两个固定得矩阵,,。 解:就是得线性变换。对,,有 , 。 习题7、1、2在中,取直角坐标系,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换,以表示空间绕轴由轴向方向旋转900得变换。证明(表示恒等变换), , ; 并说明就是否成立。

证明:在中任取一个向量,则根据,及得定义可知:,,;, ,;,,,即,故。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 因为, ,所以。 习题7、1、3在中,,,证明。 证明:在中任取一多项式,有 。所以。 习题7、1、4设,就是上得线性变换。若,证明 。 证明:用数学归纳法证明。当时,有 命题成立。假设等式对成立,即。下面证明等式对也成立。因有

,即等式对也成立,从而对任意自然数都成立。 习题7、1、5证明(1)若就是上得可逆线性变换,则得逆变换唯一;(2)若,就是上得可逆线性变换,则也就是可逆线性变换,且 。 证明:(1)设都就是得逆变换,则有,。进而。即得逆变换唯一。 (2)因,都就是上得可逆线性变换,则有 ,同理有 由定义知就是可逆线性变换,为逆变换,有唯一性得。 习题7、1、6设就是上得线性变换,向量,且,,,都不就是零向量,但。证明,,,线性无关。 证明:设,依次用可得 ,得,而,故;同理有:,得,即得;依次类推可得,即得,进而得。 有定义知,,,线性无关。 习题7、1、7设就是上得线性变换,证明就是可逆线性变换得充要条件为既就是单射线性变换又就是满射线性变换,即就是一一变换。

高等数学线性代数习题答案第四章

习题 4-1 1.验证函数f (x )=lnsin x 在[ π5π ,66 ]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使f ′(ξ)=0. 解: 显然()lnsin f x x =在5π,66x ?????? 上连续,在π5π,66?? ???内可导,且π5π ()()ln 266 f f ==-,满足罗尓定理的条件. 令cos ()cot 0sin x f x x x '===,则π 2x = 即存在ππ5π (,)66 ξα=∈,使()0f ξ'=成立. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ ? [][][] 2 (1)()1,;(2)(),;1,10,21sin ,0π (3)()0,π1, 0e x f x f x x x x f x x =-=--<≤?=?=? 解: (1) 2 ()1e x f x =-在[]1,1-上连续,在()1,1-内可导,且(1)1,(1)1,e e f f -=-=- 即 (1)(1)f f -= () f x ∴在[]1,1-上满足罗尓定理的三个条件. 令 2 ()20e x f x x '==得 0x =, 即存在0(1,1)ξ=∈-,使()0f ξ'=. (2) 101 ()1112 x x f x x x x -≤

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关