2018考研数学一真题和答案及解析
2017年考研数学一真题及答案解析
跨考教育 数学教研室
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1
）若函数0(),0x f x b x >=?≤?
在0x =处连续，则（ ）
【答案】A
【解析】00112lim lim ,()2x x x
f x ax a
++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ） 【答案】C
【解析】'
()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >?>∴?>?Q 或()0
(2)'()0f x f x
，
只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ） 【答案】D 【解析】2(1,2,0)
122
{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.
|u |333
f u gradf xy x z gradf
gradf u ?=?=?
=?=?=? 选D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：
s ），则（ ） 【答案】B
【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为0
1200(t),(t),t t v dt v dt ??则乙要追上甲，则
210
(t)v (t)10t v dt -=?
，当025t =时满足，故选C.
（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ） 【答案】A
【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=T E x 有非零解，故0αα-=T E 。即αα-T E 不可逆。选项B,由()1ααα=T r 得ααT 的特征值为n-1个0，1.故αα+T E 的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
（6）设矩阵200210100021,020,020*********A B C ??????
??????===??????
????????????
,则（ ） 【答案】B
【解析】由()0E A λ-=可知A 的特征值为2,2,1
因为3(2)1r E A --=，∴A 可相似对角化，且100~020002A ??
?
? ???
由0E B λ-=可知B 特征值为2,2,1.
因为3(2)2r E B --=，∴B 不可相似对角化，显然C 可相似对角化， ∴~A C ，且B 不相似于C
（7）设,A B 为随机概率，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ）
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（8）设12,(2)n X X X n ???≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑，则下
列结论中不正确的是（ ） 【答案】B 【解析】
由于找不正确的结论，故B 符合题意。
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9) 已知函数2
1
()1f x x
=+，则(3)(0)f =__________ 【答案】(0)6f =- 【解析】
(10) 微分方程'''230y y y ++=的通解为y =_________
【答案】12()x y e c c -=+，（12,c c 为任意常数）
【解析】齐次特征方程为2
1,22301λλλ++=?=-+
故通解为12()x e c c -+ (11) 若曲线积分22
1
L
xdx aydy x y -+-?在区域{}
22
(,)|1D x y x y =+<内与路径无关，则 a =__________
【答案】1a = 【解析】
22222222,,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ?-?==?+-?+-由积分与路径无关知1P Q a y x
??=?=-??
(12) 幂级数111
(1)n n n nx ∞
--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =________
【答案】()
2
1
()1s x x =
+
【解析】'
'
11
12111(1)(1)1(1)n n n n n n x nx x x x ∞
∞---==????-=-== ? ?++?
???∑∑ （13）设矩阵101112011A ??
?
= ? ???
，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为_________
【答案】2
【解析】由123,,ααα线性无关，可知矩阵123,,ααα可逆，故
()()()()123123,,,,r A A A r A r A αααααα==再由()2r A =得()123,,2
r A A A ααα=
（14）设随机变量X 的分布函数为4
()0.5()0.5()2
x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =_________ 【答案】2
【解析】0.54()0.5()()22??-'=+
x F x x ，故0.54
0.5()()22
??+∞+∞-∞-∞-=+??x EX x x dx x dx ()0?+∞-∞==?x x dx EX 。令42-=x t ，则4()2
?+∞-∞-?x x dx =()242()814()8??+∞+∞-∞-∞+=?+=??t t dt t t dt 因此()2E X =.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )x
y f e x =，求
0x dy dx
=，22
x d y dx
=
【答案】
2'''1
112
(1,1),(1,1),x x dy
d y
f f dx
dx
==== 【解析】 结论：
（16）（本题满分10分）求2
1lim ln 1n
n k k k n
n →∞=??
+ ???∑ 【答案】1
4
【解析】
（17）（本题满分10分）
已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值 【答案】极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -= 【解析】 两边求导得：
2233'33'0x y y y +-+= （1）
令'0y =得1x =±
对（1）式两边关于x 求导得 ()2
266'3''3''0x y y y y y +++= （2） 将1x =±代入原题给的等式中，得11
10x x or y y ==-???
?
==??
， 将1,1x y ==代入（2）得''(1)10y =-< 将1,0x y =-=代入（2）得''(1)20y -=>
故1x =为极大值点，(1)1y =；1x =-为极小值点，(1)0y -= （18）（本题满分10分）
设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()
(1)0,lim
0x f x f x
+
→><，证明：
()I 方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根；
()∏方程2''()()(())0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】 【解析】
（I ）()f x 二阶导数，0()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→>< 解：1）由于0()
lim
0x f x x
+→<，根据极限的保号性得
0,(0,)x δδ?>?∈有()
0f x x
<，即()0f x <
进而()0(0,)0x f δδ?∈<有
又由于()f x 二阶可导，所以()f x 在[0,1]上必连续
那么()f x 在[,1]δ上连续，由()0,(1)0f f δ<>根据零点定理得： 至少存在一点(,1)ξδ∈，使()0f ξ=，即得证
（II ）由（1）可知(0)0f =，(0,1),()0f ξξ?∈=使，令()()'()F x f x f x =，则(0)()0f f ξ== 由罗尔定理(0,),'()0f ηξη?∈=使，则(0)()()0F F F ηξ===， 对()F x 在(0,),(,)ηηξ分别使用罗尔定理：
12(0,),(,)ηηηηξ?∈∈且1212,(0,1),ηηηη∈≠，使得12'()'()0F F ηη==，即
()2
'()()''()'()0F x f x f x f x =+=在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体S 是圆锥面z =被柱面22z x =割下的有限部分，其上任一点的密度为
μ=C
()I 求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程；
()∏求S 的M 质量。
【答案】64 【解析】
（1）由题设条件知，C
的方程为222
22z x y x z x
?=??+=?=?? 则C 在xoy 平面的方程为2220
x y x
z ?+=?=?
（2）
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值，且
3122ααα=+。 ()I 证明 ()2r A =；
()∏若123βααα=++，求方程组Ax β=的通解。
【答案】（I ）略；（II ）通解为1121,11k k R ????
? ?+∈ ? ? ? ?-????
【解析】
（I ）证明：由3122ααα=+可得12320ααα+-=，即123,,ααα线性相关， 因此，1230A ααα==，即A 的特征值必有0。
又因为A 有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A 必可相似对角化，则可设其对角矩阵为1
212,00λλλλ?? ?
Λ=≠≠ ? ??
?
∴()()2r A r =Λ=
（II ）由（1）()2r A =，知3()1r A -=，即0Ax =的基础解系只有1个解向量，
由12320ααα+-=可得()12311,,22011A ααα???? ? ?== ? ? ? ?--????，则0Ax =的基础解系为121??
?
? ?-??，
又123βααα=++，即()12311,,1111A αααβ???? ? ?== ? ? ? ?????，则Ax β=的一个特解为111?? ? ? ???， 综上，Ax β=的通解为1121,11k k R ???? ? ?
+∈ ? ? ? ?-????
（21）（本题满分11分）设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+ 在正交变换X QY =下的标准型221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q
【答案】22
122;0,36 a Q f x Qy y y ? ===-+ ? 【解析】
123(,,)T f x x x X AX =，其中21411141A a -??
?=- ? ?-??
由于123(,,)T f x x x X AX =经正交变换后，得到的标准形为221122y y λλ+，
故2
14
()2||01
11024
1
r A A a a
-=?=?-=?=-， 将2a =代入，满足()2r A =，因此2a =符合题意，此时214111412A -??
?
=- ? ?-??
，则 1232
14
||1
1
103,0,64
1
2
E A λλλλλλλ---=-+-=?=-==--，
由(3)0E A x --=，可得A 的属于特征值-3的特征向量为1111α??
?
=- ? ???；
由(6)0E A x -=，可得A 的属于特征值6的特征向量为2101α-??
?
= ? ???
由(0)0E A x -=，可得A 的属于特征值0的特征向量为3121α?? ?
= ? ???
令()123,,P ααα=，则1360P AP --??
?= ? ???
，由于123,,ααα彼此正交，故只需单位化即
可：
)
))1231,1,1,1,0,1,1,2,1,T T T
βββ=
-=-=， 则(
)1230Q βββ? == ?，360T
Q AQ -??
?= ? ??? （22）（本题满分11分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为
1
(0)(2)2P X P X ====，Y 的概率密度为201()0,y y f y <
()I 求()P Y EY ≤
()∏求Z X Y =+的概率密度。
【答案】,01
4
(I){};(II)()2,23
9
Z z z P Y EY f z z z <
【解析】
（1） 当0,20z z <-<，而0z <，则()0z F Z = （2） 当21,1,z z -≥>即3z ≥时，()1z F Z =
（3）当01z ≤<时，21()2z F Z z =
（4）当12z ≤<时，1
()2z F Z =
（5）当23z ≤<时，211
()(2)22
z F Z z =+-
所以综上22
001
,0121
(),12
211(2),23221,3z z z z F Z z z z z
≥??
所以[]'
01()()223
z z z
z f Z F Z z z <
-<
（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,n X X X ???相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ。该工程师记录的是n 次测量的绝对误差
(1,2,)i i Z X i n μ=-=???，利用12,n Z Z Z ???估计σ。 ()I 求i Z 的概率密度；
()∏利用一阶矩求σ的矩估计量
【答案】
【解析】()()()()i
z i i F z P Z z P X z μI =≤=-≤
当0,()0i
z z F z <=
当0,()()()()()i
z i i X z F z P z X z P z X z F z F z μμμμμ≥=-≤-≤=-≤≤+=+--
当0z ≥时，
综上2
2
2,0()0,0i z z z f z z σ-?>=≤?
令11
11()n n
i i i i i E Z Z
Z Z X n n μ=====-∑∑
由此可得σ
的矩估计量^
1
n
i
i X σμ==-
对总体X 的
n
个样本12,,n X X X ???，则相交的绝对误差的样本
12,,,,1,2...,n i i Z Z Z Z x u i n ???=-=令其样本值为12,,,n i i Z Z Z Z x u ???=-
则对应的似然函数2
12
212,,,0()0,n
i i Z n
n e Z Z Z L σ
σ=-?∑?????>=????其他
两边取对数，当12,,0n Z Z Z ???>时
令
2
31
ln ()10n i i d L n Z d u σσσ==-+=∑ 所以，
μσ==