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2010年浙江省高中数学竞赛解析版

2010年浙江省高中数学竞赛试卷

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．

化简三角有理式x

x x x x

x x x 2

2662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x

解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(

4422s i n c o s s i n

c o s

x x x x =++

。

2．

若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则

p 是q 的（ B ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件解答为 B 。p 成立3x ?≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。 3．

集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或

C. {6,3}x x x <->或

D. {6,3}x x x <->-或解答：D 。画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，

{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .

若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）

A ．12k r -==

B ．1122k r ==

C ．k r ==

D ．k r ==解答．C. P Q Q R P R ==

，

。

5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB=1，则CA 1与C 1B 所成的角的大

小是( C )

A ．60°

B ．75°

C ．90°

D ．105°

解答：C 。建立空间直角坐标系，以11A B 所在的直线为x 轴，在平面111A B C 上垂直于11A B

的直线为y 轴，1BB 所在的直线为z 轴。

则11(

22A

C (22

C (0,0,1)B

，1111(

1),(02222

CA C B CA C B =--=--?=。 6．

设{}n a ，{}n b 分别为等差数列与等比数列，且11444,1a b a b ====，则以

下结论正确的是（ A ）

A. 22a b >

B. 33a b <

C. 55a b >

D. 66a b > 解答：A 。

11444,12

a b a b ====设等差数列的公差为d ，等比数列公比为q,由，得

d=-1,q=

223355663,2,0,1,24

a b a b a b a b =======-=

得。 7．若15,(12)x R x +∈+则的二项式展开式中系数最大的项为（ D ）

A ．第8项 B. 第9项 C. 第8项和第9项 D. 第11项

解答：D. 11512129322,33r r

r r r r r T C T T T T r ++++=≤≤?≤≤由，，r=10，第11项最大。

8．

设()cos

5x f x =，12111

(log ),(log ),(log )e e a f b f c f e πππ

===，则下述关系式正确的是（ D ）。

A ．a b c >> B. b c a >> C. c a b >> D. b a c >>

解答： D 。函数()cos 5x f x =为偶函数，在（0，2π

）上，()cos f x x =为减函数，

而121

111log log ,log ,log 2log log e

e e e e e π

πππ

ππ

=-=-=， log 2log 1

05log 554

e e e ππππ<

<<<，所以b a c >>。

9．

下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（ C ）

32π B. 23π C. 43π D. 34

π 解答：C. 根据题意，该立体图为圆柱和一个1/4的球的组合体。

10. 设有算法如下：

如果输入A=144, B=39,则输出的结果是（ B ） A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 解答 B （1）A=144，B=39，C=27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，C=3：（4）A=12，B=3，C=0。所以A=3。

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）

11.

满足方程2=所有实数解为20102011x ≤≤。

解答

201=?≤≤，解得

20102011x ≤≤。

12. ,x R ∈ 函数()2sin

3cos 23

x x

f x =+的最小正周期为12π. 解答 2s i n 43c o s ()12

x x

f x πππ的周期为，的周期为6，所以函数的周期为。 13. 设P 是圆2236x y +=上一动点，A 点坐标为()20,0。当P

在圆上运动时，线

正视图：半径为1的半圆以及高为1的矩形

俯视图：半径为1的圆

段PA 的中点M 的轨迹方程为22(10)9x y -+=.

解答设M 的坐标为00(,)(,),x y P x y ，设点坐标为则有 0020,22

x y

x y +=

= 00220,2x x y y ?=-=，因为P 点在圆上，所以22(220)(2)36x y -+= 所以P 点轨迹

为22(10)9x y -+=。

14. 设锐角三角形ABC 的边BC 上有一点D ，使得AD 把△ABC 分成两个等腰三角

形，试求△ABC 的最小内角的取值范围为 30

在（1）中，设最小的角为x ，则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以3022.5,所以22.5

，且12w -<<，则z 的实部取值范围为1

a -<<. 解答设2222

120a bi b

z a bi a bi b a b a b -=+?-<++

1112

a b a +=?-<<。

16. 设442)1()1()(x x x x k x f --+-=。如果对任何]1,0[∈x ，都有0)(≥x f ，则k

的最小值为

1192

. 解答 1

)1(2

4+--≥x x x x k 222133131(),124424x x x x x x -+=-+≥=-+因为时最小值为

448111,(1)222x x x ≤

=-时，取最大值（），所以k 的最小值为1

192

。 17. 设R q p ∈,，q x p x x f ++=||)(2。当函数)(x f 的零点多于1个时，)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 0或q.

解答因为函数q x p x x f ++=||)(2为偶函数，由对称性以及图象知道，)(x f 在以其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q 。

三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 设数列 ,1

,,12,

1,,13,22,31,12,21,11k

k k -，问：（1）这个数列第2010项的值是多少；

（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.

解（1）将数列分组： ),1

,,12,

1(,),13,22,31(),12,21(),11(k

k k - 因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，

所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为57

。 --------- 10分

（2）由以上分组可以知道，每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019组，而第4019组中的1位于该组第2010位，所以第2010个值为1的项的序号为（1+2+3+…+4018）+2010=809428。 ------------ 17分

19. 设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。

解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为,,x y z ，则有1,,9x y z ≤≤，且

(10)(10)(10)xyz x y z =--- （*1）

----------------- 5分

即有

50050()5()xyz x y z xy yz zx =-+++++。（*2）

于是有 5xyz 。因此,,x y z 中必有一个取5。不妨设5x =，代入（*1）式，得到

10y z +=。 ----------------10分

此时，y 可取1，2，…，8，9（相应地z 取 9，8，…，2，1），共9种放法。同理可得y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有x y z ==时二种放法重复。因此可得共有

9×3－2 = 25种放法。 ---------------------17分

20. 已知椭圆)1(1222

>=+a y a x ，Rt ABC ?以A （0，1）为直角顶点，边AB 、BC

与椭圆交于两点B 、C 。若△ABC 面积的最大值为

，求a 的值。解：不妨设AB 的方程()01>+=k kx y ，则AC 的方程为11

+-=x k

y 。

由?????=++=1

22y a

x kx y 得：02)1(2

222=++kx a x k a 2222,1B a k x a k -?=+ 由222

111

y x k x y a ?=-+????+=??得：2222

()20a k x a kx +-=22

2,C a k x a k ?=+ 从而有

AB AC == --------5分

于是 244

2222

224211(1)2212(1)()()1ABC k k k k

S AB AC a a a k a k a k a k

+===+++++。令1

2t k k

=+≥，有

2222

222,(1)(1)

ABC a t

a S a a t a a t t

?==-+-+

--------- 10分因为222

(1)2(1),a a t a a t -+≥- 21a t a

-=时等号成立。因此当23

max 21,(),1

ABC a a S a a ?-=-t= ------------- 14分

令32227(3)(839)03,18a a a a a a a =?---=?==-

213

21) 3.

a a a

>?>+∴=∴=

不合题意，舍去，--------- 17分

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

21. 设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB上的点。记

=γ

α,

,。

证明：

ABC

D EF

≥αβγ。

证明由

sin

(1).

sin

BFD

ABC

BD BF B

S BC BA B

αγ

==-

---------5分

(1),(1)

DEC AEF

ABC ABC

S S

βαγβ

=-=-

同理。---------- 10分

所以，1(1)(1)(1)

ABC BFD DEC AEF

DEF

ABC ABC

S S S S

S S

αγβαγβ

????

---

==------=(1)(1)(1),111

αβγαβγαβγαβγ

---+≥?===

等号成立或或。----20分

因此

ABC

D EF

≥αβγ，等号成立，当且仅当，D与C重合，或E与A重合，或F与B 重合。----- 25分

22. （1）设0

a>，平面上的点如其坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线3

y ax

=过格点（n，m），记1x n

≤≤对应的曲线段上的格点数为N。证明：

n m

k k

N ak mn

=+-

∑∑。

(2) 进而设a是一个正整数，证明：

(1)(31)

n n n n

=+-+

∑。

（注[]x表示不超过x的最大整数）

证明（1）考虑区域0,0,

x n y m

<≤<≤且该区域上的格点为nm个。又该区域由区域E：3

0,0,

x n y ax

<≤<≤以及区域F

：0,0

y m x

<≤<≤组成。

在区域E上，直线段(,1)

x k k N k n

=∈≤≤上的格点为3

[]

ak个，

所以区域E 上的格点数为

[]n

k ak =∑

。 ----------------- 5分

同理区域F

上的格点数为

k =∑

。 ----------------- 10分

由容斥原理，3

11n

k k N ak mn ==??=

+-??∑∑。 -------------------------15分

（2）当a 是一个正整数时，曲线3y ax =上的点（3,k ak ）(,1)k N k n +∈≤≤都是格点，所以（1）中的N=n 。同时，3

m an =。将以上数据代入（1）得

1an n

k k an a k n ===-+=∑

∑2(1)(31)4a n n n n +-+。 ----------------- 25分

高中数学竞赛试卷

高中数学竞赛试卷考生注意：1.本试卷共三大题（19个小题），全卷满分150分。2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答。3.解题书写不要超出装订线。4.不能使用计算器。一、选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题甲：10031002≠≠y x 或；命题乙：2005≠+y x ，则命题甲是命题乙的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2，如果圆222n y x =+至少覆盖函数n x x f πsin 3)(=的一个最大点和一个最小点，则正整数n 的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为（） A ．43 B ．32 C ．53 D ． 10 9 4．对于,R x ∈ 函数)()2()2(x f x f x f =-++，则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 5．函数)(x f y =的图象为C ，而C 关于直线1=x 对称的图象为1C ，将1C 向左平移1个单后得到的图象为2C ，则2C 所对应的函数为（） A ．)(x f y -= B ．)1(x f y -= C ．)2(x f y -= D ．)3(x f y -= 6．当b a ,是两个不相等的正数时，下列不等式中不成立的是（） A ．2)1()1)(1(ab ab b b a a +>++ B ．2)22()1)(1(b a b a b b a a +++>++ C ．b a b a b a b a ++>++222233 D ． 2 23 322b a b a b a b a -->-- 7．记xy y x A xy )1)(1(22--=，若abc c b a =++，则ab ac bc A A A A ++=的值为（） A ．3 B ． 3- C ． 4 D ．4- 8．某个货场有2005辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装的货物总数为34箱，为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（） A ．17043 B ．17044 C ．17045 D ． 17046

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．） 1．已知点P (4，1)在函数f (x )＝log a (x －b ) (b ＞0)的图象上，则ab 的最大值是．解：由题意知，log a (4－b )＝1，即a ＋b ＝4，且a ＞0，a ≠1，b ＞0，从而ab ≤(a ＋b )24＝4，当a ＝b ＝2时，ab 的最大值是4． 2．函数f (x )＝3sin(2x －π4)在x ＝43π 24 处的值是．解：2x －π4＝43π12－π4＝40π12＝10π3＝2π＋4π3，所以f (43π24)＝3sin 4π3＝－3 2． 3．若不等式|ax ＋1|≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，则实数a 的值是．解：设函数f (x )＝|ax ＋1|，则f (－2)＝ f (1)＝3，故a ＝2． 4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是．解：有两类情况：同为白球的概率是3×1025×25＝30625，同为红球的概率是7×625×25＝42 625 ，所求的概率是72 625 ． 5．在平面直角坐标系xOy 中，设焦距为2c 的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 2b 2＋y 2 c 2＝1有相同的离心率e ，则e 的值是．解：若c ＞b ，则c 2a 2＝c 2－b 2c 2，得a ＝b ，矛盾，因此c ＜b ，且有c 2a 2＝b 2－c 2 b 2，解得e ＝－1＋52 ． 6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E －ABCD 的体积为V 1，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1 V 2的值是．（第6题图） A 1

高中数学竞赛模拟试卷

高中数学竞赛模拟试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空（前4小题每小题7分，后4小题每小题8分，供60分） 1．计算：0! 1! 2! 100!i +i +i + +i = ．（i 表示虚数单位） 2．设θ是某三角形的最大内角，且满足sin 8sin 2θθ=，则θ可能值构成的集合是．（用列举法表示） 3．一个九宫格如图，每个小方格内都填一个复数，它的每行、每列及对角线上三个格内的复数和都相等，则x 表示的复数是． 4．如图，正四面体ABCD 的棱长为6cm ，在棱AB 、CD 上各有一点E 、F ，若1AE =cm ， 2CF =cm ，则线段EF 的长为 cm ． 5．若关于x 的方程4(3)250x x a ++?+=至少有一个实根在区间[1,2]内，则实数a 的取值范围为． 6．a 、b 、c 、d 、e 是从集合{}1,2,3,4,5中任取的5个元素（允许重复），则abcd e +为奇数的概率为． 7．对任意实数x 、y ，函数()f x 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--，若(1)1f =，则对负整数n ，()f n 的表达式． 8．实数x 、y 、z 满足0 x y z ++=，且2221x y z ++=，记m 为2 x 、2 y 、2 z 中最大者，则m 的最小值为．二、（本题满分14分）设()f x = a 的值：至少有一个正数 b ，使()f x 的定义域和值域相同． i x 1 A B F D E

三、（本题满分14分）已知双曲线22221x y a b -=（a 、b ∈+R ）的半焦距为c ，且2 b a c =．,P Q 是双曲线上任意两点，M 为PQ 的中点，当PQ 与OM 的斜率PQ k 、OM k 都存在时，求PQ OM k k ?的值．四、（本题满分16分）设[]x 表示不超过实数x 的最大整数．求集合2|,12004,2005k n n k k ?????? =≤≤∈?????????? N 的元素个数．五、（本题满分16分）数列{}n f 的通项公式为1122n n n f ??????=- ??????? ?，n ∈+Z ．记1212C +C +C n n n n n n S f f f =，求所有的正整数n ，使得n S 能被8整除．

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .