《解三角形章末检测》专题
《解三角形章末检测》专题
2018年（ ）月（ ）日 班级 姓名
石可破也，而不可夺坚；丹可磨也，而不可夺赤。——《吕氏春秋?诚廉》 一、选择题
1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．75°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
2．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →等于 ( ) A ．－32
B ．－23
C.23
D.32
3．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解 B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解 C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解
D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解
4．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于 ( ) A ．2 5
B. 5
C ．25或 5
D ．以上都不对
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于 ( ) A ．－12
B.12
C ．－1
D ．1
6．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边．若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C 等于( ) A.12
B.32
C.6
6
D ．1
7．已知△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 等于 ( ) A ．2
B.6－2
C ．4－2 3
D ．4＋2 3
8．在△ABC 中,三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为 ( ) A ．61
B.61
2
C.61
4
D ．122
9．在△ABC 中，cos 2 A 2＝b ＋c
2c (a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则( ) A ．a >b B ．a C ．a ＝b D ．a 与b 的大小关系不能确定 11．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是( ) A ．15海里/时 B ．5海里/时 C ．10海里/时 D ．20海里/时 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为 ( ) A.π 6 B.π 3 C.π6或5π6 D.π3或2π3 二、填空题 13．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －c sin C ＝________. 14．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________米． 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝14(b 2 ＋c 2－a 2)，则A ＝______. 16．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则 tan C tan A ＋tan C tan B ＝______. 三、解答题 17．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小； (2)若a ＝33，c ＝5，求b . 18．如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小 时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里/小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间. 19．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ， sin A )，p ＝(b －2，a －2)． (1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； (2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π 3，求△ABC 的面积． 20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b . (1)求sin C sin A 的值； (2)若cos B ＝1 4，△ABC 的周长为5，求b 的长． 21．如图所示，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直 线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问乙船每小时航行多少海里？ 22．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 答案 1．B 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7.A 8．B 9.A 10.A 11.C 12.D 13.0 14.1 000 15.π 4 16.4 17．解 (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得 sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝1 2. 由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π 6. (2)根据余弦定理，得 b 2＝a 2＋ c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7， 所以b ＝7. 18．解 设我艇追上走私船所需要的时间为t 小时，则 BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中， 由∠ABC ＝180°－105°＋45°＝120°， 根据余弦定理知 (14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°， ∴t ＝2或t ＝－3 4 (舍去)． 答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时． 19．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即a ·a 2R ＝b ·b 2R ， 其中R 是△ABC 外接圆的半径，∴a ＝b . ∴△ABC 为等腰三角形． (2)解 由题意知m ·p ＝0， 即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab . 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 即(ab )2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，